Размещено на http://www.allbest.ru/

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего образования

«Чувашский государственный педагогический университет

им. И. Я. Яковлева»

Физико-математический факультет

Кафедра математического анализа, алгебры и геометрии

ВЫПУСКНАЯ КВАЛИФИКАЦИОННАЯ РАБОТА

Решение планиметрических задач на окружности с применением компьютерных программных пакетов

Чебоксары 2017



Содержание

• Введение
• Глава 1. Теоретические сведения о динамической геометрической среде GeoGebra
• 1. Краткие сведения о программе GeoGebra
• 2. Пользовательский интерфейс GeoGebra
• 3. Использование основных инструментов динамической геометрической среды GeoGebra
• Глава 2. Решение планиметрических задач на окружности с применением динамической геометрической среды GeoGebra
• 1. Основные теоретические сведения из школьного курса геометрии
• 1.1 Основные термины, связанные с окружностью, и их свойства
• 1.2 Вписанные и центральные углы
• 1.3 Вписанные и описанные окружности
• 1.4 Основные формулы окружностей
• 2. Решение задач на окружности с применением программы GeoGebra
• 2.1 Задачи на доказательство геометрических фактов
• 2.2 Решение планиметрических задач в программе GeoGebra
• Заключение
• Библиографический список



Введение

На сегодняшний день существуют различные математические пакеты и программы, с помощью которых можно облегчить работу при решении задач по математике.

Существующая концепция применения компьютерных технологий в учебном процессе призвана предусмотреть:

Їиспользование компьютерных технологий только при изучении тех тем и разделов, где это оправдано учебной целью;

Їсведение к минимуму рутинной работы, связанной с выполнением однотипных операций;

Ївысвобождение времени для знакомства с различными способами решения данного круга задач, сравнения эффективности применяемых методов и всестороннего рассмотрения и уточнения нюансов изучаемой темы;

Їорганизацию работы с компьютерными программами, при которой обучаемые в ходе учебной деятельности осваивают логику и алгоритмы вычислений;

Їповышение наглядности в обучении, демонстрацию различной графической информации.

Привлечение пакетов прикладных программ к изучению тем курса имеет специфические особенности, позволяющие рассмотреть все их нюансы более глубоко и разносторонне. Эти программы постоянно обновляются и улучшаются. Так, наиболее известными программами, для наглядного изучения геометрии и алгебры, являются динамическая геометрическая среда «GeoGebra», «Живая геометрия», «Математический конструктор». Неоспорим тот факт, что при изучении в курсе математики тем, которые требуют сложных графических иллюстраций, скрупулёзных вспомогательных вычислений и моделирования различных процессов при меняющихся исходных данных, компьютерная поддержка приносит ощутимую пользу.

GeoGebra - это бесплатная динамическая математическая программа для всех уровней образования. Этот математический пакет имеет достаточно много инструментов и может быть использован при вычислительных процедурах в самых различных разделах математики: алгебре, геометрии, анализе, статистике, арифметике.

Эта полезная и интересная программа написана австрийским математиком Маркусом Хохенвартером на языке Java, которая работает на большинстве операционных систем.

Актуальность работы. Применение современных математических пакетов прикладных программ и персонального компьютера с их быстродействием, большим объёмом памяти и мощными графическими возможностями позволяет преподавателю провести занятие на более качественном уровне.

С помощью программы GeoGebra можно облегчить проведение уроков геометрии и алгебры. Также GeoGebra позволяет создавать анимационные чертежи, с помощью которых легко можно увидеть, понять и решить задачу без проблем. При помощи этой программы можно находить интегралы, производные от функций, находить координаты точек и т.д. В данной работе содержатся основные сведения о программе GeoGebra и пошаговые решения задач. Следует отметить, что программа легко устанавливается и загружается, имеет простой интерфейс и поддерживается на русском языке.

Цели данной работы:

1) изучение основных возможностей программы GeoGebra, применение ее при решении различных планиметрических задач на окружности и создание чертежей;

2) показать значимость внедрения в учебный процесс компьютерных программных пакетов.

Объект исследования - процесс обучения решению планиметрических задач на окружности в старших классах.

Предмет - использование динамической геометрической среды GeoGebra при решении планиметрических задач.

Задачи:

1) решить задачи на окружности из курса планиметрии с использованием программы GeoGebra;

2) доказать теоремы и геометрические утверждения при помощи программного пакета GeoGebra.

Содержание работы. Глава 1 посвящена основным теоретическим сведениям динамической геометрической среды GeoGebra, содержащей следующие параграфы, которые подробно описаны:

· краткие сведения о программе GeoGebra;

· пользовательский интерфейс GeoGebra;

· использование основных инструментов динамической геометрической среды GeoGebra.

При написании главы была использована следующая литература: [7], [8].

Глава 2 содержит два параграфа: «Основные теоретические сведения из школьного курса геометрии» и «Решение задач на окружности с применением программы GeoGebra». В первом параграфе даны основные термины, связанные с окружностью, и их свойства; рассмотрены темы как: вписанные и центральные углы, вписанная и описанная окружности; приведены основные формулы, применимые к окружностям. Второй параграф содержит задачи и их подробный разбор решения, чертежи, построенные с помощью программы GeoGebra, и приведены поэтапные шаги их построения.

При написании этой главы использовалась следующая литература: [1], [2], [3], [4], [5], [6].

Структура и объем работы. Данная работа состоит из введения, 2-ух глав, заключения и списка использованной литературы. Первая глава состоит из трех параграфов, вторая глава - из двух параграфов, разделенных на подпункты. Первый параграф второй главы содержит 4 подпункта, а второй параграф - 2. В библиографический список включены 8 источников. Количество страниц в работе - 50.



Глава 1. Теоретические сведения о динамической геометрической среде GeoGebra

1. Краткие сведения о программе GeoGebra

Динамическая геометрическая среда GeoGebra является бесплатным, свободно распространяемым продуктом. GeoGebra помогает создавать математические построения и модели. С помощью этого продукта, легко можно создавать «живые чертежи» в планиметрии, в особенности, для построений с помощью циркуля и линейки. Также программа владеет возможностями работы с функциями, например: построить графики, вычислить экстремумы, корни и т.д. [7].

Создателем этой программы является австрийский математик - Маркус Хохенвартер, которую он написал на языке Java [8]. Эта программа не просто известна в Интернете, она с каждым днем набирает популярность среди учителей математики. GeoGebra дает новые возможности в преподавании урока математики, является помощницей учителей. Математический пакет позволяет создавать анимированные чертежи, которые изменяются, если менять параметры. Параметры меняются при помощи инструмента «Ползунок». Цвета и стили объектов можно изменять, что позволяет строить красивые и яркие чертежи. Также с помощью программы GeoGebra легко доказывать геометрические утверждения, что позволяет избежать многих трудностей в понимании данного утверждения. Эту программу можно использовать практически в каждой учебной теме, где необходимы построения, использовать также при решении задач графическим методом.

GeoGebra позволяет сделать математику более наглядной и динамичной, увлекает учеников и учителей.

Динамическая геометрическая среда GeoGebra полностью поддерживает русский язык, что очень удобно для использования.



2. Пользовательский интерфейс GeoGebra

Приступим к изучению интерфейса программы. После того как установили GeoGebra и запустили его, появится следующее окно:

В строку ввода нужно вводить алгебраические данные, команды и функции с помощью клавиатуры, а панель инструментов можно использовать только при помощи компьютерной мыши. В панели объектов или в алгебраическом окне будут отображаться объекты, которые были использованы при построении, со своими значениями, координатами. После того, как ввели в строку ввода команды и нажали на кнопку «Enter», все объекты будут представлены в графическом окне. Следует отметить, что в GeoGebra алгебра и геометрия всегда вместе.

В целом пользовательский интерфейс GeoGebra гибкий и быстро осваиваемый.

3. Использование основных инструментов динамической геометрической среды GeoGebra

Рассмотрим инструменты динамической геометрической среды GeoGebra. Каждый инструмент обладает своим преимуществами. Как же работать с инструментами?

Для начала нужно активировать инструмент, нажав на соответствующую кнопку с иконкой в панели инструментов. В нижнем углу на иконке инструментов можно заметить небольшую стрелочку, которая скрывает другие возможности инструмента. Выбрав тот или иной инструмент, можно работать с ним не нажимая каждый раз на иконку, чтобы снова выбрать его, а если понадобится другой инструмент, то просто нужно выбрать соответствующую этому инструменту иконку. Инструменты расположены по своим категориям. Если не понятно как использовать инструмент, то наводя на него курсор, можно получить подсказку, с помощью которой все становится понятным. Кроме того, если открыть протокол построения (Меню Вид Протокол), то можно увидеть подробную информацию о шагах построения.

Рассмотрим каждую категорию инструментов.

Инструменты категории «Движение» - позволяют перемещать объекты, изменять их положение.

· Инструмент «Перемещать» - инструмент, с помощью которого можно перемещать объекты на графическом окне.

· Инструмент «Движение относительно точки», который осуществляет движение относительно точки. Для этого нужно выбрать центр и вращать вокруг него объект.

Категория инструментов «Точки»:

геометрический geogebra окружность угол

· Инструмент «Точка». Точка появится на окне, если щелкнуть на графическое окно.

· «Точка на объекте» - устанавливает точку на определенный объект. В этом случае точка будет находиться на объекте или внутри него, но не за пределами.

· «Прикрепить / Снять точку». С помощью этого инструмента можно прикрепить свободную точку к объекту или же снять точку с объекта.

· Инструмент «Пересечение» позволяет точно указать место пересечения двух прямых, окружностей и т.п.

· «Середина или центр». Указав две точки, отрезок, окружность или конику - этот инструмент обозначает середину или центр.

· «Комплексное число» - добавляет комплексное число.

Категория инструментов «Прямые по двум точкам»:

· «Прямая» - позволяет построить прямую по двум указанным точкам.

· «Отрезок» - этот инструмент строит отрезок по точкам началу и концу.

· «Отрезок с фиксированной длиной» - строит отрезок с заданной длиной, т.е. если перемещать отрезок, то длина его не изменится.

· «Луч» - строит луч по указанной начальной точке и точке, лежащей на этом луче.

· «Ломаная» - строит ломаную по указанным вершинам.

· «Вектор» - строит вектор. Для этого нужно указать начало и конец вектора.

· «Отложить вектор» - позволяет отложить равный вектор.

Категория «Прямые линии»:

· «Перпендикулярная прямая». Для построения перпендикулярной прямой нужно указать точку, через которую она будет проходить, и прямую, к которой будем проводить перпендикуляр.

· «Параллельная прямая» - строит прямую, параллельную данной, через любую точку, которая не принадлежит исходной.

· «Срединный перпендикуляр» - проводит срединный перпендикуляр к отрезку.

· «Биссектриса угла» - делит угол пополам. Для этого нужно указать три точки или две прямые.

· «Касательная» - строит касательные к различным кривым. Для построения необходимо выбрать точку касательной и окружность (конику, график произвольной функции), к которой будет проведена касательная (или касательные).

· «Поляра или диаметр» - позволяет построить поляру или диаметр в зависимости от выбора элементов: так, выбрав точку и окружность - построится поляра, а выбрав прямую и окружность - диаметр.

· «Аппроксимация» - позволяет приближенно выразить величины и объекты через другие более простые величины или объекты.

· «Локус» - позволяет отображать линии, по которому движется зависимый объект. Для использования этого инструмента нужно указать точку геометрического места и точку, от которой она зависит.

Следующий набор инструментов «Многоугольники»:

· «Многоугольник» - позволяет построить фигуру по нескольким точкам. Для этого нужно по очереди указать все вершины, а затем соединить с первой.

· «Правильный многоугольник» - строит правильный многоугольник по заданному положению, длине стороны и количеству вершин.

· «Жесткий многоугольник» - позволяет построить многоугольник, аналогичный данному, по указанию всех вершин данного многоугольника или просто выбрав многоугольник. Полученный многоугольник можно перемещать и поворачивать.

· «Векторный многоугольник» - используется для построения произвольного многоугольника, а также построения другого многоугольника, аналогичного данному, в котором вершины одного многоугольника не изменяются, если переместить вершины другого многоугольника в произвольном направлении.



Следующий набор инструментов «Окружности и дуги»:

· «Окружность по центру и точке» - для использования этого инструмента нужно указать центр будущей окружности и некоторую точку, которая будет определять радиус.

· «Окружность по центру и радиусу» - в поле нужно поставить точку, которая будет служить центром окружности и в появившемся окне ввести значение радиуса, которую будет иметь наша окружность.

· «Циркуль» - для того, чтобы использовать этот инструмент, сначала нужно выбрать две точки или отрезок, задающий радиус окружности, и центр.

· «Окружность по трем точкам». Указываем на графическом окне три точки (учитывая, что они не должны лежать на одной прямой), наша окружность построится мгновенно, но центр окружности в этом случае указываться не будет.

· «Полуокружность по двум точкам» - рисует полуокружность по заданным двум точкам.

· «Дуга по центру и двум точкам» - строит дугу при указании центра окружности и две точки на ней (начало и конец дуги).

· «Дуга по трем точкам» - этот инструмент строит дугу по указанным трем точкам.

· «Сектор по центру и двум точкам» - строит сектор по центру окружности и двум точкам на ней (аналогично инструменту «Дуга по центру и двум точкам».

· «Сектор по трем точкам» - строит сектор по трем точкам (инструмент, аналогичный инструменту «Дуга по трем точкам»).

Категория инструментов «Кривые второго порядка»:

· «Эллипс» - строит эллипс по трем точкам, две точки которой являются фокусами, а третья принадлежит эллипсу.

· «Гипербола» - строится по двум фокусам и точке, принадлежащей гиперболе (аналогично эллипсу).

· «Парабола» - позволяет построить параболу по указанной точке и прямой - директрисе параболы.

· «Коника по пяти точкам» - изображает кривую второго порядка (эллипс, гипербола, парабола) на плоскости по пяти точками.

Категория инструментов «Измерения»:

· «Угол» - отображает и измеряет угол между прямыми.

· «Угол заданной величины». Указать точку стороны угла, затем его вершину и размер.

· «Расстояние или длина». Нужно указать две точки, отрезок, многоугольник или окружность, чтобы вывести их длину (длину замкнутой кривой) или периметр.

· «Площадь» - выводит на окне площадь фигуры.

· «Наклон прямой» - указывает наклон прямой.

· «Создать список» - создает список по указанным ячейкам элементов.

Следующая категория «Преобразования»:

· «Отражение относительно прямой» - отражает исходный объект относительно выбранной прямой.

· «Отражение относительно точки» - отображает объект относительно точки.

· «Отражение относительно окружности». Укажите точку или другой объект и окружность, относительно которой отображается объект.

· «Поворот вокруг точки» - поворачивает объект вокруг выбранной точки на определенный угол, который указывается пользователем.

· «Параллельный перенос по вектору». Нужно указать исходный объект и вектор переноса.

· «Гомотетия относительно точки». Укажите проектируемый объект, центр и коэффициент гомотетии.

Набор инструментов «Специальные возможности»:



· «Текст». Нажмите на полотно или на точку, чтобы создать надпись.

· «Изображение» - добавляет изображение. Для этого нужно выбрать точку, где будет находиться левый нижний угол изображения.

· «Карандаш» - позволяет писать на полотне. Можно изменять цвет и тип линии карандаша.

· «Фигура от руки» - изображает функцию или геометрическую фигуру, нарисованную от руки.

· «Отношение объектов» - выявляет отношение объектов друг к другу.

· «Исследователь функций» - исследует функцию.

Набор инструментов «Дополнительные элементы»:

· «Ползунок». Создается ползунок с интервалом и шагом. Он закрепляется к определенным объектам и при изменении значений на ползунке, меняется расстояние (угол) между объектами.

· «Флажок». Отображает флажок, который определяет видимость объектов на полотне.

· «Кнопка». Добавляет кнопку на полотне.

· «Окно ввода». Вставляет окно ввода числового значения.

Категория инструментов «Действия над объектами»:



· «Переместить чертеж» - позволяет перетаскивать чертеж.

· «Увеличить» - приближает чертеж при нажатии на экран. Также это действие можно производить при помощи колесика мыши.

· «Уменьшить» - отдаляет чертеж.

· «Показать / скрыть объект» - показывает или скрывает объекты.

· «Показать / скрыть обозначение» - показывает или скрывает обозначения объектов.

· «Копировать стиль». Выбрав объект-источник, указать те объекты, на которые будет применен стиль объекта-источника.

· «Удалить» - удаляет выбранный объект.

Панель инструментов весьма обширна. Как уже говорилось выше, чтобы узнать как именно ими пользоваться, всего лишь нужно навести курсор на инструмент. Так, если постоянно пользоваться этой программой, можно легко все запомнить и уже применять инструменты без подсказок.



Глава 2. Решение планиметрических задач на окружности с применением динамической геометрической среды GeoGebra

1. Основные теоретические сведения из школьного курса геометрии

Изучение геометрии в школе начинается с планиметрии, в которой рассматриваются свойства фигур на плоскости. Например, таких фигур как: отрезки, треугольники, прямоугольники, окружности и т.п. В данную работу включены: основные определения и доказательства основных теорем, утверждений, решение некоторых задач из курса планиметрии с применением программы GeoGebra.

1.1 Основные термины, связанные с окружностью, и их свойства

Окружность - геометрическая фигура, состоящая из всех точек плоскости, находящихся на заданном расстоянии от данной точки, где данная точка - центр окружности, а отрезок, который соединяет какую-либо точку, лежащую на окружности, с центром - радиус окружности [1].

Свойства окружности:

1. Прямая может иметь с окружностью две общие точки, в этом случае прямая - это секущая; прямая может иметь с окружностью одну общую точку - точку касания, тогда прямая - это касательная; также прямая и окружность могут не иметь общих точек.

2. Точка касания двух окружностей лежит на линии, соединяющей их центры.

3. Через три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести окружность, и притом только одну.

Докажем это свойство.

Для доказательства этой теоремы не нужна система координат, поэтому уберем ее: нажимаем в рабочем окне на стрелку «Полотно» и видим, что в нем выбрана команда «Оси».

Нажимаем на уже выбранную команду «Оси», для того, чтобы убрать систему координат.

Выбираем инструмент «Окружность по трем точкам» и теперь построим эту окружность. Для этого на графическом окне выбираем три точки , , , через которые будет проходить наша окружность .

Известно, что через точки и можно провести бесконечное множество окружностей [5]. Центры всех этих окружностей образуют прямую , которая является серединным перпендикуляром к отрезку (см. Рис. 1.1.1).

Через точки и тоже можно провести бесконечно много окружностей, центры которых образуют прямую линию - серединный перпендикуляр к отрезку . Эти прямые и не могут быть параллельными, т.к. отрезки и - пересекаются в точке . Прямые и пересекаются в точке , которая находится на одинаковых расстояниях от точек , и . Следовательно, точка - центр единственной окружности , построенной через три точки.

Рис. 1.1.1

Если провести серединный перпендикуляр через отрезок , то он так же будет проходить через точку (см. Рис. 1.1.2).

Рис. 1.1.2

Таким образом, доказано, что три точки , и , не принадлежащие одной прямой, образуют единственную окружность , проходящую через эти три точки.

Теорема о касательной и секущей. Если из точки, лежащей вне окружности, проведены касательная и секущая, то квадрат длины касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть: .

Теорема о секущих. Если из точки, лежащей вне окружности, проведены две секущие, то произведение одной секущей на ее внешнюю часть равно произведению другой секущей на ее внешнюю часть: .

Хорда - отрезок, который соединяет две точки окружности.

Диаметр - хорда, проходящая через центр окружности.

Если любые две точки, принадлежащие окружности, делят ее на две части, то каждая из этих частей - дуга окружности. Дуга, у которой отрезок, соединяющий ее концы, является диаметром - полуокружность [2].

Свойства хорд:

1. Диаметр (радиус), перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и обе стягиваемые ею дуги пополам. Верно и обратное: если диаметр (радиус) делит пополам хорду, то он перпендикулярен этой хорде.

2. Дуги, которые находятся между параллельными хордами, равны.

3. Произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды, в том случае, если две хорды и окружности пересекаются в точке : .

Касательная - прямая, которая имеет с окружностью только одну общую точку, эта общая точка называется точкой касания [3].

Свойства касательной:

1. Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания.

2. Отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.

Доказательство.

Построим окружность с помощью инструмента «Окружность по центру и радиусу». В нашем случае, центр окружности - точка , а радиус можно взять любой. Отмечаем некоторую точку вне окружности. Выбираем инструмент «Касательная» и проводим касательные через точку к нашей окружности.

Отмечаем точки пересечения касательных с окружностью и . Соединяем точку с центром окружности , т.е. проведем прямую . Для того, чтобы доказать, что , воспользуемся инструментом «Расстояние или длина». Указываем точки и , и . На графическом поле будет указываться длина каждого отрезка.



Выбираем инструмент «Угол» для того, чтобы измерить углы и . Угол можно измерить выбрав три точки , затем или две прямые и , и .

На чертеже видно, что углы и равны (см. Рис. 1.1.3).

Рис. 1.1.3

Точку можно перемещать как и изменять радиус окружности, чтобы наглядно увидеть результат доказательства. Длина отрезков и , также величина углов и будут изменяться, но они все равно будут равны между собой соответственно. Что и требовалось доказать.

Отметим также, что часть плоскости, которая ограничена окружностью, - это круг.

Круговой сектор (или просто сектор) - это часть круга, которая ограничена дугой и двумя радиусами, соединяющими начало и конец дуги с центром круга.

Сегмент - часть круга, которая ограничена дугой и хордой, которая ее стягивает.



1.2 Вписанные и центральные углы

Центральным углом называется плоский угол с вершиной в центре окружности (см. Рис. 1.2.1). Центральный угол равен градусной мере дуги, на которую опирается.

Рис. 1.2.1

Вписанный угол - угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают эту окружность (см. Рис. 1.2.2).

Рис. 1.2.2

Свойства углов, связанных с окружностью:

1. Вписанный угол либо равен половине соответствующего ему центрального угла, либо дополняет половину этого угла до .

2. Если углы вписаны в одну окружность и опираются на одну и ту же дугу, то они равны.

Докажем это с помощью GeoGebra.

Проведем окружность с центром в точке и радиусом . Используя инструмент «Дуга по центру и двум точкам» изобразим дугу на окружности.

Выберем несколько точек на окружности . Теперь применим инструмент «Угол». Для этого выбираем дугу и точку, принадлежащую окружности, с такой последовательностью, чтобы образовался нужный нам угол, т.е. сначала выбираем точки , и последовательно. Образовался угол , опирающийся на дугу (см. Рис. 1.2.3). Так же изобразим углы и . Для наглядности соединим точки, образующие угол, отрезками. Доказали, что все вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

Рис. 1.2.3

3. Все вписанные углы, опирающиеся на диаметр, прямые.

Доказательство.

Изобразим окружность по центру в точке . Укажем на окружности диаметр . Отметим на окружности несколько точек (точки принадлежат окружности). Соединим каждую из этих точек с концами диаметра при помощи инструмента «Отрезок». Используя инструмент «Угол», измерим углы (см. Рис. 1.2.4). Каждый из этих углов будет равен , т.е. эти углы - прямые.



Рис. 1.2.4

Чтобы убедиться, что это действительно так, можно подвигать точки , принадлежащие окружности. Что и требовалось доказать.

4. Угол, который образован касательной к окружности и секущей, проведенной через точку касания, будет равен половине дуги, находящейся между его сторонами.

1.3 Вписанные и описанные окружности

Окружность и треугольник:

1) центр вписанной окружности - есть точка пересечения биссектрис треугольника;

2) центр описанной окружности - есть точка пересечения срединных перпендикуляров;

3) центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, лежит на середине гипотенузы;

4) если треугольник правильный, то центр вписанной и описанной окружностей этого треугольника совпадают;

5) отрезки, соединяющие вершины треугольника с точками касания вписанной окружности, пересекаются в одной точке (точке Жергонна).

Доказательство.

Для удобства сначала построим окружность. Отметим точки на поле и проведем от них касательные к окружности. Отметим точки пересечения касательных, образуются вершины треугольника. Также следует отметить точки касания окружности и получившегося треугольника - это точки . Соединяем вершины треугольника с точками соответственно. Видим, что они пересекаются в одной точке - точке Жергонна (см. Рис. 1.3.1). Следовательно, что и требовалось доказать.

Рис. 1.3.1

Рассмотрим еще одну теорему, которую можно наглядно представить в GeoGebra.

Теорема. Основания трех высот произвольного треугольника, середины трех его сторон и середины трех отрезков, соединяющих его вершины с ортоцентром, лежат на одной окружности (окружности девяти точек), радиус которой равен половине радиуса описанной около треугольника окружности. (Окружность девяти точек - также называют окружностью Эйлера [4].)

Доказательство. Построим произвольный треугольник . Используя инструмент «Многоугольник».

Проведем высоты треугольника от каждой ее вершины . Для того, чтобы провести высоту, нужно использовать инструмент «Перпендикулярная прямая».



Отметим точки пересечения прямых со сторонами треугольника и точку пересечения высот (ортоцентр). Используя инструмент «Срединный перпендикуляр», отметим на середины соответственно.

Проведем медианы треугольника . Отметим точку пересечения медиан (центроид). После этого через точки проведем окружность, используя инструмент «Окружность по трем точкам».

Выяснилось, что точки лежат на одной окружности. Это легко увидеть на чертеже (см. Рис. 1.3.2).

Рис. 1.3.2

Измерим радиусы окружностей. Находим радиус первой (описанной около ) окружности: проведем срединные перпендикуляры к сторонам треугольника; отмечаем точку их пересечения - центр окружности (см. Рис. 1.3.3).



Рис. 1.3.3

Теперь найдем центр окружности девяти точек. Для этого выберем любые три точки на окружности, например, . Соединим эти точки, образуя отрезки и (см. Рис. 1.3.4). Проведем срединные перпендикуляры этих отрезков, их точка пересечения и будет центром нашей окружности (окружности девяти точек).

Рис. 1.3.4

Используя инструмент «Расстояние или длина», измерим радиусы двух окружностей.

Пусть радиус первой окружности , а радиус второй окружности (окружности девяти точек) равен . Измерив длины радиусов, видно, что , т.е. радиус окружности девяти точек равен половине радиуса описанной окружности произвольного треугольника (см. Рис. 1.3.5).

Что и требовалось доказать.



Рис. 1.3.5

Чтобы посмотреть все шаги построения, нужно зайти в протокол (Вид Протокол) и в появившемся справа окне, изучить каждый этап.

Окружность и многоугольники:

1) около выпуклого четырехугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда сумма его внутренних противоположных углов равна : (см. Рис. 1.3.6);

Рис. 1.3.6

2) во вписанном четырехугольнике произведение диагоналей равно сумме произведений его противоположных сторон (теорема Птоломея): ;

3) в четырехугольник можно вписать окружность только тогда, когда равны суммы его противоположных сторон: ;

4) около параллелограмма можно описать окружность только тогда, когда он - прямоугольник;

5) около трапеции можно описать окружность только в том случае, когда трапеция - равнобочная; центр окружности - точка пересечения оси симметрии трапеции с серединным перпендикуляром к боковой стороне;

6) в параллелограмм можно вписать окружность только тогда, когда он - ромб.

1.4 Основные формулы окружностей

1. Длина окружности радиуса вычисляется по формуле:

2. Площадь круга радиуса вычисляется по формуле:

3. Длина дуги окружности радиуса с центральным углом , вычисляется по формуле: .

4. Площадь сектора радиуса с центральным углом :

5. Радиус вписанной окружности: , где - площадь треугольника, - полупериметр ( - стороны треугольника); если окружность вписана в прямоугольный треугольник, то радиус равен: .

6. Радиус описанной окружности: , , где - угол, лежащий против стороны , - площадь треугольника ( - стороны треугольника) (см. Рис. 1.4.1).

Рис. 1.4.1



§2. Решение задач на окружности с применением программы GeoGebra

2.1 Задачи на доказательство геометрических фактов

Задача 2.1.1. Доказать, что если две окружности имеют общую хорду, то прямая, проходящая через центр этих окружностей, перпендикулярна данной хорде [5].

Доказательство.

Рассмотрим треугольники и (см. Рис. 2.1.1). Эти треугольники равны по трем сторонам: - общая.

Обозначим точку пересечения хорды и прямой, проходящей через центры окружностей через точку . Тогда: . Треугольники и равны по двум сторонам и углу между ними: - общая. Отсюда имеем, что два равных угла могут иметь в сумме только в том случае, когда каждый из них равен .

Что и требовалось доказать.

Рис. 2.1.1

Шаги построения в GeoGebra (см. Табл.1):



Таблица 1

№	Название	Иконка в GeoGebra	Определение
1	Окружности с центром и		Две пересекающиеся окружности с радиусами и соответственно.
2	Точки и		Точки пересечения двух окружностей.
3	Отрезок		Отрезок .
4	Прямая		Прямая, проходящая через центры окружностей и .
5	Точка		Пересечение хорды и прямой .
6	Отрезки , , ,		Отрезки , , , .
7	Угол ; угол		Угол - угол между и прямой , проходящей через центры окружностей; угол - угол между и .

Задача 2.1.2. На высоте остроугольного треугольника взята точка . Точки и симметричны точке относительно сторон и . Доказать, что окружности, описанные около треугольников и , пересекаются второй раз в точке , симметричной точке , относительно стороны (см. Рис. 2.1.2) [4].

Построение в программе GeoGebra (см. Табл.2):

Таблица 2

№	Название	Иконка в GeoGebra	Определение
1	Треугольник		Остроугольный треугольник, проходящий через точки .
2	Прямая		Прямая, проходящая через вершину треугольника , перпендикулярная стороне .
3	Точка		Точка, принадлежащая .
4	Точки		Отражение точки относительно прямых , и соответственно.
5	Отрезки , , ,		Пунктиром отмечаем отрезки .
6	Окружность		Окружность по трем точкам .
7	Окружность		Окружность по трем точкам .
8	Точка		Точка пересечения двух описанных окружностей и около треугольников и .

Рис. 2.1.2

2.2 Решение планиметрических задач в программе GeoGebra

Задача 2.2.1. В окружность с центром в точке вписан треугольник - прямоугольный, где - гипотенуза, - больший катет. На взята точка таким образом, что . Известно, что точка - середина дуги [6].

а) Докажите, что .

б) Найдите площадь пятиугольника , если .

Решение.

а) Из условия имеем, что равнобедренные прямоугольные треугольники и равны по двум катетам, т.к. - середина дуги . Следовательно, (см. Рис. 2.2.1).

- по 1-ому признаку равенства треугольников, т.е. - по условию, - как вписанные углы, опирающиеся на одну дугу , . Тогда как соответствующие стороны равных треугольников, т.е. - равнобочный.



Рис. 2.2.1

Чтобы был равен , достаточно, чтобы был равен . Действительно, , четырехугольник вписан в окружность (сумма противоположных углов и равна), следовательно, . - т.к. опирается на диаметр. Из этого следует, что . Равнобочный треугольник, у которого углы при основании равны - прямоугольный.

Что и требовалось доказать.

б) Известно, что , .

Находим площадь (см. Рис. 2.2.2):

, коэффициент подобия равен:



Подставляем в первое выражение для нахождения площади, получаем:

Ответ: б) 36.

Решение задачи в программе GeoGebra (см. Табл.3):

Таблица 3

№	Название	Иконка в GeoGebra	Определение
1	Угол		Угол, с заданной величиной .
2	Треугольник		Прямоугольный треугольник , с прямым углом и гипотенузой .
3	Окружность		Окружность по трем точкам .
4	Срединный перпендикуляр		.
5	Точка		Точка - центр окружности.
6	Угол		Угол, между и .
7	Отрезок		Отрезок , принадлежит катету , .
8	Многоугольник		Пятиугольник, проходящий через вершины .
9	Площадь		Нахождение площади искомого пятиугольника :

Рис. 2.2.2



Задача 2.2.2. Две окружности пересекаются в точках и . Проведены диаметры этих окружностей и . Найдите расстояние между центрами окружностей, если известно, что [1].

Решение.

Пусть и - центры окружностей. Понятно, что - средняя линия . Проведем отрезок . Вписанные углы , т.к. они опираются на диаметр соответствующей окружности. Следовательно, точки - принадлежат одной прямой.

Возможны два случая. Рассмотрим каждый из них.

1 случай. Точки и лежат по разные стороны от точки (см. Рис.2.2.3).

Рис. 2.2.3

Расстояние между центрами окружностей будет равно:

2 случай. и - лежат по одну сторону от точки (см. Рис. 2.2.4).



Рис. 2.2.4

Расстояние между центрами окружностей и будет равно:

Ответ: 5 или 2.

Задача 2.2.3. Две окружности с радиусами 9 и 4, касаются внешним образом. Третья окружность касается двух данных окружностей и их общей внешней касательной. Найдите радиус третьей окружности [3].

Решение.

Возможны два случая взаимного расположения прямой и окружностей.

1 случай. Пусть первая окружность с центром в точке имеет радиус , вторая окружность с центром имеет радиус . Окружность с центром в точке касается 1-ой и 2-ой окружностей в точках и соответственно и их общей внешней касательной в точке (см. Рис. 2.2.5). Обозначим радиус третьей окружности с центром в точке через . - точки касания окружностей c прямой , точка - точка касания 1-ой и 2-ой окружностей.

и , т.к. - радиусы, проведенные в точки касания. Проведем перпендикуляр из центра 1-ой данной окружности к радиусу 2-ой данной окружности; перпендикуляры , . Радиусы данных окружностей параллельны: , следовательно, точки лежат на одной прямой. - прямоугольник, то

Имеем:

Далее:

.

Рис. 2.2.5

2 случай. Пусть окружность с центром в точке имеет радиус , окружность с центром в точке имеет радиус , а окружность с центром имеет радиус и касается 2-ух данных окружностей и их общей внешней касательной .

Рис. 2.2.6

Находим радиус аналогично первому случаю:

.

Ответ: 1,44 или 36.

Задача 2.2.4. Найдите длину отрезка общей касательной к двум окружностям, заключенного между точками касания, если радиусы окружностей равны 23 и 7, а расстояние между центрами окружностей равно 34 [3].

Решение.

Пусть - центр окружности радиуса , а - центр окружности радиуса ; точки и - точки касания окружностей с их общей касательной. Проведем прямую . Имеем - прямоугольный.

Рассмотрим два случая расположения окружностей и их общей касательной.

1 случай. Данные две окружности лежат по одну сторону от касательной (см. Рис. 2.2.7).

Рис. 2.2.7

В этом случае . Из треугольника по теореме Пифагора находим:

2 случай. Окружности с центрами в точках и лежат по разные стороны от их общей касательной (см. Рис. 2.2.8).

Рис. 2.2.8

Находим : . - прямоугольный, следовательно, по теореме Пифагора:

Ответ: 30 или 16.

Шаги построения в GeoGebra (см. Табл.4):

Таблица 4

№	Название	Иконка в GeoGebra	Определение
1	Окружность с		Окружность с центром в точке и радиусом .
2	Отрезок с фиксированной длиной		Отрезок - расстояние между центрами окружностей .
3	Окружность с радиусом		Окружность с центром в точке и радиусом .
4	Касательная		Общая касательная к окружностям: 1 случай: окружности лежат по одну сторону от касательной (см. Рис. 2.2.7); 2 случай: окружности лежат по разные стороны от их общей касательной (см. Рис. 2.2.8)
5	Точки		Точки касания окружностей и их общей касательной.
6	Расстояние		1 случай: ; 2 случай:

Задача 2.2.5. Дан параллелограмм со сторонами и углом . Окружность с центром касается биссектрисы и двух сторон параллелограмма, исходящих из вершины одного его острого угла. Найдите площадь четырехугольника [4].

Решение.

Рассмотрим случаи расположения окружности.

1 случай. Окружность касается биссектрисы угла и двух сторон параллелограмма, исходящих из вершины (см. Рис. 2.2.9). В этом случае окружность вписана в правильный треугольник со сторонами . Радиус окружности будет равен:



Найдем площадь четырехугольника :

Рис. 2.2.9

2 случай. Рассмотрим случай, когда окружность касается биссектрисы и двух сторон , исходящий из вершины (см. Рис. 2.2.10). Окружность вписана в правильный треугольник со сторонами .

Рис. 2.2.10

Радиус вписанной окружности будет равен:

Площадь в этом случае находим следующим образом:



Ответ: или .

Задача 2.2.6. Вершина , равнобедренного треугольника , является центром данной окружности радиуса 2. Боковая сторона треугольника равна 5, а основание равно 8. Найдите радиус окружности, касающейся данной и проходящей через концы основания треугольника [6].

Решение.

Пусть - радиус данной окружности , а - радиус окружности , касающейся данной и проходящей через точки и . Проведем прямую перпендикулярно основанию треугольника. Обозначим точку пересечения этих прямых через - середина основания (). Тогда .

Находим:

Возможны два случая расположения окружности . Рассмотрим каждый из них.

1 случай. Окружность описана вокруг равнобочного (см. Рис. 2.2.11). Треугольник - прямоугольный:



Находим площадь равнобедренного треугольника :

Радиус окружности будет равен:

Рис. 2.2.11

2 случай. Окружность описана вокруг равнобедренного (см. Рис. 2.2.12).

Рис. 2.2.12

Треугольник - прямоугольный, находим :



Находим площадь равнобочного треугольника :

Теперь найдем радиус описанной окружности:

Ответ: .

Задача 2.2.7. Дан треугольник - прямоугольный (), угол при вершине равен . Точка - середина гипотенузы этого треугольника, точка - симметрична точке относительно прямой . Найдите угол [5].

Решение.

Известно, что центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, лежит на середине гипотенузы, значит точка - центр окружности , описанной около . , т.к. - серединный перпендикуляр к . Имеем: Следовательно, точка

Пусть , тогда центральный угол Точка отобразится в точку , в этом случае не будет определен (см. Рис. 2.2.13).



Рис. 2.2.13

Пусть , тогда центральный угол Точки и расположены по одну сторону от . Из прямоугольного :

Рис. 2.2.14

Пусть , тогда центральный угол Точки и расположены по разные стороны от (см. Рис. 2.2.15).

Рис. 2.2.15

Рассмотрим четырехугольник - вписанный в окружность :



Ответ: , если ; , если ; если , то угол не определен.



Заключение

Динамическая геометрическая среда GeoGebra является полезным, доступным, позволяющим наглядно доказывать теоремы и утверждения, продуктом. С помощью него легко представить данные объекты, можно перемещать их, решать задачи разными способами. При решении задач на окружности, не надо уделять много времени на построение чертежей, следует всего лишь кликнуть пару раз на соответствующие команды и требуемая работа уже готова. GeoGebra удобна в использовании. Любой учитель, и даже ученик, сам может научиться использовать инструменты данной программы. Программу, как уже говорилось выше, можно скачать в Интернет.

При изучении математики, GeoGebra позволяет облегчить задания, которые требуют сложных графических представлений. Применение современных математических пакетов прикладных программ и персонального компьютера с их быстродействием, большим объёмом памяти и мощными графическими возможностями позволяет преподавателю провести занятие на более качественном уровне.

Данная работа направлена на облегчение решения планиметрических задач на окружности. Причина сложившейся проблемы, которую испытывают ученики при решении задач планиметрии - решение задач по образцу.

Эффективность применения программы GeoGebra была подтверждена, доказана важность внедрения компьютерных программных пакетов при решении задач на уроках геометрии.



Библиографический список

1. Атанасян Л.С., Базылев В.Т. Геометрия. В 2-х ч. Ч. I. Учеб. пособие для студентов физ.-мат. фак. пед. ин-тов. - М.: Просвещение, 1986. - 336 с.

2. Гусев В.А., Литвиненко В.И., Мордкович А.Г. Практикум по элементарной математике: Геометрия: Учеб. пособие для студентов физ.-мат. спец. пед. ин-тов и учителей. - М.: Просвещение, 1992. - 352 с.

3. Просолов, В. В. Задачи по планиметрии, ч. 1/ В. В.Просолов. - М.:Наука,1986. - 272 с.

4. Фисунов, П. А. Элементарная геометрия - планиметрия: учебно-метод. пособие / П. А. Фисунов. - Чебоксары: Чувашскийгоспедуниверситет им. И. Я. Яковлева, 2003. - 88 с.

5. Шарыгин И. Ф. Задачник: От учебной задачи к творческой. - М.: Дрофа, 1996.

6. http://fipi.ru

7. http://www.slideshare.net/marinmets/geogebra-1962501

8. https://ru.wikipedia.org/wiki/GeoGebra

Размещено на Allbest.ru

...