Решение краевой задачи для гиперболического уравнения третьего порядка в трехмерной области

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Решение краевой задачи для гиперболического уравнения третьего порядка в трехмерной области



Данная работа посвящена обоснованию существования и единственности решения краевой задачи для дифференциального уравнения в частных производных третьего порядка гиперболического типа. Уравнение рассматривается в неограниченной трехмерной области специального вида, обладающей определенной конфигурацией. Заметим, что в современной теории краевых задач для дифференциальных уравнений с частными производными важное место занимают исследования именно гиперболических уравнений [1]. Особый интерес к такого рода уравнениям объясняется и теоретической значимостью результатов, и их качественным приложениям в различных областях естествознания. Актуальность постановки и доказательства существования и единственности различных краевых задач обусловлена именно тем, что гиперболические уравнения являются моделями реальных процессов, протекающих в природе и рассматриваемых в технике [2], [3], [4]. Важную роль в изучении различных процессов и явлений играют не только уравнения второго порядка, но и уравнения третьего порядка [5] и порядка выше третьего. В настоящее время разработаны разнообразные методы решения таких задач: метод Римана, метод Римана-Адамара, метод общих и специальных решений и другие [6], [7]. Рассмотрение частных случаев уравнений третьего порядка в трехмерном пространстве представляет определенный интерес с точки зрения построения общей теории.

Постановка задачи

Уравнение

будем рассматривать в области 



Задача Дарбу. В области  требуется найти функцию u (x, y, z) со следующими свойствами:

;

 и  в ;

1. искомая функция удовлетворяет граничным условиям:

краевой гиперболический риман адамар

.

Граничные функции непрерывны и имеют непрерывные смешанные производные второго порядка в области своего определения.

Таким образом, значения искомой функции задаются на одной характеристической плоскости z=a и на двух нехарактеристических плоскостях y=x и z=x.

Построение функции Римана-Адамара

Для решения задачи применен метод Римана-Адамара. Функция Римана для гиперболического уравнения известна [8], она имеет вид:

,

Функция , согласно [9], определяется формулой:

Симметрия рассматриваемого гиперболического уравнения относительно переменных x, y и z позволила построить функцию Римана-Адамара, которая сыграла основную роль при доказательстве существования и единственности поставленной задачи Дарбу.

Идея построения функции Римана-Адамара исходя именно из симметрии уравнения заимствована из работы С.П. Пулькина [10].

Пусть  - произвольная точка области . Проведем через нее характеристические плоскости x=x₀, y=y₀, z=z₀, которые вместе с гранями , ,  образуют две ограниченные области. Мы возьмем ту из них, в которой x>x₀, и обозначим ее через G. Область G представляет собой шестигранник. Проведем плоскости x=x₀, y=y₀, z=z₀. Они разделят область G на пять областей G_k, :

;

;

G₁ - прямоугольный параллелепипед; G₂, G₃, G₄ - прямые треугольные призмы; G₅ - четырехгранник.

В области G определим функцию Римана-Адамара , полагая



Заметим, что функция Римана-Адамара была построена исходя из требования выполнения следующих условий:

.

Решение задачи Дарбу

Для операторов  имеет место тождество:

где

Пусть в этом тождестве u - есть решение задачи Дарбу, а v - функция Римана-Адамара, тогда имеем тождество:

.

Для функции v плоскости x=z₀, y=x₀, y=z₀ являются поверхностями разрыва первого рода. Поэтому для того, чтобы иметь возможность применить теорему Остроградского-Гаусса, проведем плоскости:

,



где  достаточно мало. Эти плоскости отделяют от областей G_k поверхности разрыва функции v.

То есть фактически мы отступаем на достаточно малую величину  от плоскостей, где функция Римана-Адамара терпит разрыв, и строим вспомогательную область. Области G_k, урезанные выше названными плоскостями, обозначим  и положим . Проинтегрируем рассматриваемое тождество по области  и применим теорему Остроградского-Гаусса, получим:

где S - граница области , а n_x, n_y, n_z - направляющие косинусы внешней нормали к поверхности S. Так как S состоит из 25 плоских фигур, то полученное после интегрирования тождество можно записать в виде:

где

,

S_k - плоские фигуры, составляющие границу S области . Нумерация S_k произвольная.

Обозначим через A_k пределы при  интегралов I_k и вычислим их. Сначала рассмотрим интегралы по граням параллелепипеда  и найдем пределы этих интегралов.

Пусть  Здесь n_x = n_y = 0, n_z = 1, поэтому

Так как при z = z₀ имеем R=1, R_x = R_y = R_xy = 0, то

.

Или, учитывая граничные условия, получим

Интегралы I₂ и I₃ на гранях параллелепипеда y = y₀ и x = x₀ и их пределы вычисляются аналогично:

На грани z = a:



Так как  то

.

Пределы интегралов по граням параллелепипеда  и  содержат неизвестные значения искомой функции и ее производных.

.

,

.

.

Теперь вычислим пределы интегралов по граням прямой призмы .

На грани  имеем:

.

.



На грани z = a имеем:

На грани y = y₀:

.

Здесь , и легко видеть, что v₂ и ее производные  равны нулю при y = y₀, так что:

Пусть 

Здесь .

.

.

Так как по определению , то , и поэтому, проецируя S₁₀ на плоскость xOy и переходя к пределу при , получим:



.

Предел интеграла I₁₁ по грани  вычисляется как A₆.

.

.

Теперь вычислим интегралы по границе области  и их пределы.

Пусть 

.

.

На грани S₁₃ области , поэтому

На грани z = a:

.

.



Пусть 

Здесь  Тогда

Проецируя S₁₅ на плоскость xOy, и учитывая, что  при x=y, после перехода к пределу получим:

.

На грани 

.

.

При вычислении оставшихся девяти интегралов по границам областей  и  и их пределов, примем во внимание, что  равны нулю при z=x, а v₅, v₅, z равны нулю при y=x.

Как показывают вычисления:

.

;

.

;

  .

;

;

.

;

.

;

.

;

;

.

Интегралы A_k по граням x = z₀, y = x₀, z = z₀, расположенным внутри области G, содержат неизвестную функцию  и ее производные. Преобразуем эти интегралы, рассматривая их попарно.

.

.

Разность , и так как , то  при x=z₀.

Все остальные квадратные скобки равны нулю, поэтому:

Аналогично показывается, что

В оставшихся десяти двойных интегралах путем интегрирования по частям освободимся от производных граничных функций. Будем иметь:

Двойные интегралы, поменяв в них порядок интегрирования, можно объединить в один, и учитывая, что:

получаем:

Интегралы A₁₀, A₂₀, A₂₄, содержащие функцию g (x, y) и ее производные, преобразуются аналогично, при этом сумма определенных интегралов, возникающих при интегрировании по частям, равна нулю, и мы получим:

.



Аналогичное преобразование интегралов, содержащих h (x, y) и ее производные, дает:

С учетом того, что h (x, x) = f (x, a), сумма определенных интегралов даст:

Таким образом, из полученного в результате предельного перехода тождества, в левой части которого будет сумма пределов A_k, получаем следующее явное представление искомой функции:

.



Анализ этого представления позволяет сделать вывод о том, что найденная функция удовлетворяет всем требованиям, предъявляемым ей в формулировке задачи.

краевой гиперболический риман адамар



Список литературы

1. Энбом Е.А. Решение краевой задачи для гиперболического уравнения третьего порядка в трехмерной области и его применения. Самарский научный вестник. 2014. №4 (9). С. 145-147.

2. Энбом Е.А. Некоторые краевые задачи для вырождающихся гиперболических уравнений третьего порядка в трехмерных областях. Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук. Самара. 2003.

3. Балабаева Н.П. Устойчивость нелипшицевых дифференциальных уравнений с управлением. В сборнике: Математическое моделирование и краевые задачи. Труды тринадцатой межвузовской конференции. Редколлегия: В.П. Радченко (отв. редактор), Э.Я. Раппопорт, Е.Н. Огородников, М.Н. Саушкин (отв. секретарь). 2005. С. 31-33.

4. Балабаева Н.П. Устойчивость систем дифференциальных включений по медленным переменным. Наука и мир. 2015. Т.1. №3 (19). С. 19-21.

5. Энбом Е.А. Аналог задачи Коши для уравнения третьего порядка. В сборнике: Математическое моделирование и краевые задачи. Труды тринадцатой межвузовской конференции. Редколлегия: В.П. Радченко (отв. редактор), Э.Я. Раппопорт, Е.Н. Огородников, М.Н. Саушкин (отв. секретарь). 2003. С. 171-173.

6. Ежов А.М. О функции Вольтерра для уравнения Эйлера-Пуассона и ее применении к решению задачи Коши и характеристической задачи. Краевые задачи для уравнений математической физики. Межвузовский сборник научных трудов. Куйбышев. 1990. С. 19-26.

7. Балабаева Н.П. Исследование устойчивости дифференциальных включений методом усреднения. Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук. Самара. 2005.

8. Волкодавов В.Ф., Николаев Н.Я., Быстрова О.К., Захаров В.Н. Функция Римана для некоторых дифференциальных уравнений в n-мерном евклидовом пространстве и их применения. Самара.: Изд-во «Самарский университет», 1995. 76 с.

9. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Т. 1. М.: Наука, 1965. 294 с.

10. Пулькин С.П. Некоторые краевые задачи для уравнения $ u_{xx} + u_{yy} + \frac{p} {x} u_x = 0. $ Ученые записки Куйбышевского педагогического института, 1958. Выпуск 21. С. 3-54.

Размещено на Allbest.ru

...