Актуальные проблемы современной алгебры

(S)?t(H)-1.

Как показано в [118], условию на неплотности из теоремы Васильева удовлетворяют все простые классические группы, кроме групп PSL(3,3), PSU(3,3) и PSp(4,3).

Таким образом, к настоящему моменту установлено, что группа G, изоспектральная простой классической группе L (отличной от PSL(3,3), PSU(3,3) и PSp(4,3)), имеет имеет ровно один неабелев композиционный фактор S. Другими словами, с точностью до изоморфизма имеют место включения

S?G/K?Aut(S),

где K - разрешимый радикал группы G, т.е. наибольшая нормальная разрешимая подгруппа. Следующим естественным шагом является доказательство того, что S изоморфна L. В связи с этим Кондратьевым было введено понятие квазираспознаваемой простой группы. Неабелева простая группа H называется квазираспознаваемой по спектру, если любая конечная группа, изоспектральная H, имеет единственный неабелев композиционный фактор и этот фактор изоморфен H. К концу 2010 года было известно, что все простые классические группы с несвязным графом простых чисел и нерешенной проблемой распознаваемости квазираспознаваемы, за исключением групп PSL(n,q) и PSU(n,q), где одно из чисел n и n-1 является простым (см. [119]).

Допустим, что уже доказано, что L квазираспознаваема. Тогда группа G удовлетворяет условию

L?G/K?Aut(L),

поэтому теперь необходимо изучение разрешимого радикала группы G. Если показать, что K=1, то G будет удовлетворяет условию

L?G?Aut(L)

и, в частности, для G будет только конечное число вариантов, т.е. h(L) будет конечно. Если же найти группу G такую, что K>1, то из упомянутого результата [112] будет следовать, что h(L) бесконечно. Ясно, что для доказательства тривиальности группы K достаточно показать, что спектр любого собственного накрытия группы L строго содержит спектр самой группы L (под накрытием группы L здесь подразумевается конечная группа, гомоморфно отображающаяся на L), или, другими словами, что L распознаваема по спектру среди накрытий. Как замечено Заварнициным, нет нужды рассматривать все накрытия, а можно ограничится полупрямыми произведениями вида K:L, где K - элементарная абелева группа. Известно, что группы PSL(n,q), где n>4, распознаваемы среди накрытий и что группы PSU(n,q), где n>4 и q- степень простого числа p, распознаваемы среди накрытий вида K:L, где K - элементарная абелева p-группа [120]. Таким образом, особый интерес представляет вопрос о распознаваемости групп PSU(n,q) среди накрытий вида K:L, где K - элементарная абелева p'-группа.

В рамках выполнения проекта получены следующие результаты.

Предложение 1 (Гречкосеева, Лыткин). Пусть

L=PSL(n,q),

где n>3 и n - простое число. Тогда L квазираспознаваема по спектру.

Из этого предложения и вышеупомянутого результата о накрытиях линейных групп [120] следует

Теорема 1 (Гречкосеева, Заварницин, Лыткин). Пусть

L=PSL(n,q),

где n>3 и n - простое число, и G - конечная группа, изоспектральная L.

Тогда

L?G?Aut(L).

В частности, L почти распознаваема по спектру.

Теорема 2. Пусть L - одна из простых групп PSU(n,q), где n>3. Предположим, что L действует на элементарной абелевой r-группе, где r и q взаимно просты. Тогда либо

щ(L)?щ(K:L), либо

L=PSU(5,2)

и r=3.

Теорема 3. Пусть L - одна из простых групп PSp(2n,q) и Щ(2n+1,q), где n>2, PЩ(2n,q,+) и PЩ (2n,q,-), где n>3. Предположим, что L действует на элементарной абелевой r-группе, где r и q взаимно просты. Тогда

щ(L)?щ(K:L).

1.3 Исследования в конечных нелиевых группах

Для периодической группы G множество порядков ее элементов называется спектром. Широко исследуются вопросы распознавания конечных групп по спектру. С другой стороны, естественным является стремление отказаться от условия конечности. Так для периодических групп можно поставить вопрос о том, какие спектры способны гарантировать локальную конечность соответствующих групп? Вместе с ответом на этот вопрос хорошо иметь также полное описание групп с заданным спектром.

Еще Бернсайд задавался вопросами о том, что делает группу конечной, и предложил обратить внимание на период группы. Тем самым появилась известная проблема Бернсайда. Из результатов П.С. Новикова, С.И. Адяна и И.Г. Лысенка [121,122] следует, что для любого n>8000 существует не локально конечная группа периода n. С другой стороны, существуют примеры спектров, способных обеспечить локальную конечность соответствующей группы. Так, группы периода 2, очевидно, являются локально конечными. Из результатов Леви, ван дер Вардена и Санова [123-125] следует локальная конечность групп периода 3 и 4. Д.В. Лыткина [126] позднее описала строение групп, порядок каждого элемента которой не превосходит числа 4. М. Холл [81] доказал локальную конечность групп периода 6, 2-длина и 3-длина таких групп равна 1, и в частности, они разрешимы длины не больше 4. Вопросы о локальной конечности групп периодов 5 и 12 являются открытыми и вызывающими. Резюмируя целый ряд работ, принадлежащих ряду авторов, среди которых М.Ф. Ньюмен, В.Д. Мазуров, А.Х. Журтов, Н.Д. Гупта, Э. Джабара, [127, 128, 129, 130, 131] можно заключить, что если спектр группы является подмножеством множества {1, 2, 3, 4, 5}, отличным от {1,5}, то соответствующая группа локально конечна. В.Д. Мазуров и А.С. Мамонтов [132] доказали локальную конечность группы со спектром {1, 2, 3, 5, 6} и описали ее строение. Д.В. Лыткина и А.А. Кузнецов [133] доказали распознаваемость группы L2(7) по спектру, тем самым дав исчерпывающий ответ на вопрос о локальной конечности групп со спектром {1, 2, 3, 4, 7}. В.Д. Мазуров [134] доказал локальную конечность группы со спектром {1,2,3,4,8} и описал ее строение. Следующими естественными шагами в этом направлении является исследование периодических групп со спектрами {1,2,3,4,5,6}, {1,2,3,4,8,16}, {1,2,3,4,6} и {1,2,3,4,6,12}. Конечные группы со спектром {1,2,3,4,5,6} описаны В. Ши и Р. Брандлем [135]. Конечные группы со спектром {1,2,3,4,8,16} описаны В.Д. Мазуровым [134]. Исчерпывающего описания конечных групп со спектрами {1,2,3,4,6} и {1,2,3,4,6,12} пока не известно. Естественной является попытка использовать при исследовании конечных групп со спектрами {1,2,3,4,6} и {1,2,3,4,6,12} результаты Холла и Хигмена [37]. Например, из результатов Брюхановой [136] известно, что 2-длина группы периода 12 равна 2. На этом пути исследований возникнет ситуация, когда 2,3-группа действует на векторном пространстве над полем из трех элементов так, что любой элемент порядка 3 действует квадратично. Данная ситуация отражена в понятии квадратичной пары, которую ввел Д. Томпсон. Однако он описал квадратичные пары только для простых чисел, начиная с 5. Квадратичные пары для простого числа 3 начал исследовать Ч.И. Хо [137], им получен ряд результатов, где описаны квадратичные пары для 3 в ряде частных случаев. Из результата А. Чермака [138]2002 года следует описание групп, порожденных классом сопряженных элементов порядка 3, которые действуют точно и неприводимо на векторном пространстве так, что любой элемент порядка 3 действуют квадратично, и не имеющих компонент (условие, которое выполнено для групп периода 12). В последующей работе 2004 [139] А. Чермак закончил описание групп, порожденных элементами порядка 3, которые действуют точно и неприводимо на векторном пространстве так, что любой элемент порядка 3 и в случае, когда группы имеют компоненты, тем самым полностью разобрав случай неприводимого действия.

В рамках данного проекта исследовались группы периода 12, порожденные двумя элементами порядка 3, действующие на векторном пространстве из трех элементов так, что любой элемент порядка 3 действует квадратично. Доказано, что такие группы являются конечными и получено их описание. Кроме того, получено представление таких групп в виде слов и определяющих соотношений, которое удобно при исследовании абстрактных групп периода 12. Стоит отметить, что возникающие группы порядка 3 не всегда порождаются сопряженными элементами порядка 3, поэтому даже в конечном случае эти результаты, в каком-то смысле продолжают работу Чермака. Кроме того, конечно же, важным фактом является доказательство конечности соответствующих групп. Аналогичная работа проделана для групп периода 12, порожденных инволюцией и элементом порядка 3, которые действуют на векторном пространстве из трех элементов так, что любой элемент порядка 3 действует квадратично. Представление таких групп в виде слов и определяющих соотношений позволило в каком-то смысле отказаться от требования действия группы на векторном пространстве. А именно, была доказана конечность, и получено описание для группы периода 12 без элементов порядка 12, порожденной инволюцией и элементом порядка 3. Эти результаты позволили дальше исследовать подгруппы, порожденные небольшим числом элементов малых порядков, в группах периода 12.

За отчетный период Р.К. Курмазовым следующая проблема, внесённая в 2002 году Е.П. Вдовиным в "Коуровскую тетрадь" [92, проблема 15.40]:

Проблема 1. Пусть N - нильпотентная подгруппа конечной простой группы G. Верно ли, что существует подгруппа N1, сопряжённая с N, для которой N?N1={e}?

Данная проблема связана с проблемой 17.40, внесённой Е.П. Вдовиным в "Коуровскую тетрадь" [92] в 2010 году.

Проблема 2. Пусть N - нильпотентная подгруппа конечной группы G. Всегда ли существуют такие x,y?G, что

N?Nx?Ny=„F(G)?

В 1966 году Д.С. Пассман доказал (см. [140]), что в p-разрешимой группе G всегда найдутся силовские p-подгруппы P1,P2,P3 такие, что

P1?P2?P3=Op(G).

Позднее В.И. Зенков (см. [141]) используя классификацию конечных простых групп показал, что в любой конечной группе G существуют силовские p-подгруппы P1,P2,P3 такие, что

P1?P2?P3=Op(G).

Введём следующие обозначения. Символами Symn и Altn будем обозначить симметрическую и знакопеременную группу степени n соответственно, а символом Sym(Щ) будем обозначать симметрическую группу множества Щ.

Определение Пусть G - подгруппа группы Sym(Щ). Асимметрическим разбиением A группы G называется разбиение множества Щ такое, что только единица группы G стабилизирует A. Другими словами разбиение Щ=A1?…?Ak называется асимметрическим, если из того что Ai?g=Ai для любого i следует, что g=e.

Курмазовым Р.К. доказаны следующие теоремы:

Теорема 1 Пусть N - произвольная нильпотетная подгруппа группы Symn и n?5. Кроме того, в случае n=8 потребуем, чтобы N не являлась 2-группой. Тогда существует элемент x?Symn такой, что

N?Nx={e}.

Теорема 2 Пусть N - произвольная нильпотетная подгруппа группы Altn и n?5. Тогда существует элемент x?Altn такой, что

N?Nx={e}.

При исследовании проблемы [92, проблема 17.40] возникает необходимость рассматривать подстановочное сплетение G?N, где N - нильпотентная подгруппа группы Symn. При этом важную роль играет следующий результат, полученный Р.К. Курмазовым.

Теорема 3 Пусть N - нильпотентная подгруппа группы Symn. Тогда существует асимметрическое разбиение A1?A2?A3=1,…,n.

С каждой конечной группой G можно связать граф, множество вершин которого совпадает с множеством простых делителей порядка группы G, и две различные вершины графа (т. е. два простых числа) p,q соединены ребром в том и только в том случае, когда в группе есть элемент порядка pq. Этот граф называется графом простых чисел или графом Грюнберга-Кегеля группы. Особый интерес представляют группы, для которых этот граф несвязен.

Как показали Грюнберг и Кегель, группы с несвязным графом простых чисел распадаются на три класса, два из которых - группы Фробениуса и так называемые удвоенные группы Фробениуса играют исключительную роль в проблеме распознавания конечных простых групп лиева типа по набору порядков их элементов. За отчётный период В.Д. Мазуров в сотрудничестве с М.Р. Зиновьевой получил исчерпывающие результаты о строении графов простых чисел групп Фробениуса и удвоенных групп Фробениуса и описал все простые группы, графы простых чисел которых совпадают с графами простых чисел групп Фробениуса и удвоенных групп Фробениуса. А именно:

Получено полное описание удвоенных групп Фробениуса.

Доказано, что граф простых чисел любой удвоенной группы Фробениуса, а также любой разрешимой группы Фробениуса состоит из двух компонент связности, каждая из которых является полным графом.

Доказано, что граф простых чисел неразрешимой группы Фробениуса состоит из двух компонент связности, одна из которых является полным графом, а вторая содержит числа 2, 3 и 5 и получается из полного графа удалением ребра (3,5).

Показано, что два непустых конечных дизъюнктных множества простых чисел тогда и только тогда являются компонентами связности графа простых чисел удвоенной группы Фробениуса, когда одно из этих множеств содержит простое число p, делящее q-1 для любого простого числа q из второго множества.

Показано, что два непустых конечных дизъюнктных множества простых чисел всегда составляют компоненты связности графа простых чисел для некоторой разрешимой группы Фробениуса.

Показано, что два непустых конечных дизъюнктных множества простых чисел тогда и только тогда являются компонентами связности графа простых чисел некоторой неразрешимой группы Фробениуса, когда одно из этих множеств содержит числа 2, 3 и 5.

Получен исчерпывающий список конечных простых групп, графы простых чисел которых совпадают с графами простых чисел подходящих групп Фробениуса или удвоенных групп Фробениуса. В этом списке содержатся несколько бесконечных серий конечных простых групп лиева типа, знакопеременные группы степеней 9 и 12, а также спорадические группы Матьё и Янко.

Пусть G - конечная группа, р(G) - множество всех простых делителей ее порядка и щ(G) - спектр группы G, т.е. множество порядков всех ее элементов. Граф

GK(G)=(V(GK(G)),E(GK(G))),

где V(GK(G)) - множество вершин и E(GK(G)) - множество ребер, называется графом Грюнберга-Кегеля (или графом простых чисел) группы G, если

V(GK(G))= р(G)

и ребро (r, s) лежит в E(GK(G)) тогда и только тогда, когда rs Є щ(G) и r?s. Простые числа r,s Є р(G) называются смежными, если они смежны как вершины графа GK(G), т.е. (r, s) Є E(GK(G)). В противном случае, r и s называются несмежными.

Свойства графа простых чисел GK(G) дают богатую информацию о структуре группы G (см. [115], [113], [47], [117]).

Через t(G) обозначено максимальное количество простых делителей порядка группы G, попарно несмежных в GK(G). Другими словами, t(G) - это максимальное число вершин в кокликах графа GK(G) (множество вершин в графе называется кокликой (или независимым), если его элементы попарно несмежны). В теории графов это число называется числом вершинной независимости или неплотностью графа. По аналогии обозначим через t(r, G) максимальное число вершин в кокликах графа GK(G), содержащих простое число r. Назовем это число - r-неплотностью.

В [142], для каждой неабелевой простой группы G был дан арифметический критерий смежности вершин в графе простых чисел GK(G). С помощью этого критерия были найдены значения t(G), t(2, G), и в случае, когда G является группой лиева типа над полем характеристики p, значение t(p, G). Обозначим через с(G) и с(r, G) некоторую коклику максимального размера в GK(G) и коклику максимального размера, содержащую r, в GK(G) соответственно. Нетрудно убедиться, что в общем случае с(G) и с(r, G) определены неединственным образом. В [142] были описаны все коклики с(2, G), а также все коклики с(p, G) для групп лиева типа над полем характеристики p. Более того, в этой же работе для каждой простой группы G была найдена по крайней мере одна коклика с(G), что позволило вычислить t(G), но проблема нахождения всех таких коклик не рассматривалась. В рамках настоящего госконтракта опубликована статья, в которой решена задача: найти все коклики максимального размера в графе простых чисел конечной простой группы G. Для достижения поставленной цели введены два множества И(G) и И'(G), состоящие из подмножеств множества р(G). При этом любую коклику с(G) максимального размера можно получить как и(G)Uи'(G), где и(G) Є И(G) и и'(G) Є И'(G).

Теорема. Пусть G - конечная неабелева простая группа. Тогда любая коклика максимального размера графа GK(G) является объединением подмножеств и(G) Є И(G) и и'(G) Є И'(G).. Множества И(G), И'(G) и максимальный размер t(G) коклик в GK(G) приведены в предложении 1 для знакопеременных групп, в таблице 1 для спорадических групп, и в таблицах 2, 3, 4 для групп лиева типа.

Обозначим через ф(n) множество простых чисел r, для которых n/2?r?n, и через s_n-минимальный элемент из ф(n). Определим множество ф'(n) следующим образом. Нечетное простое число r лежит в ф'(n) в том и только в том случае, если r<n/2 и r+s_n>n, а 2 лежит в ф'(n) в том и только в том случае, если 4+s_n>n.

Предложение 1. Пусть G=Alt_n - знакопеременная группа степени n, и n?5. Если ф'(n)?1, то

и(G)=ф(n)Uф'(n)

- единственная коклика максимального размера в GK(G), и И'(G)=Ш. Если ф'(n?2, то

и(G)= ф(n), И'(G)={r| r Є ф'(n)},

и любая коклика максимального размера в GK(G) имеет вид ф(n)U{r}, где r Є ф'(n). В любом случае, множество

И(G)= и(G)

одноэлементно, а все элементы и'(G) множества И'(G) являются одноэлементными подмножествами в р(G).

1.4 Исследования квантований алгебр

Новый математический объект под названием "квантовая группа", появившийся в начале 80-х годов в работах П.П. Кулиша, Н.Ю. Решетихина, Е.К. Склянина, и Л.Д. Фаддеева, Л.А. Тахтаджяна, посвященных квантовому методу обратной задачи (КМОЗ), - откуда и происходит его название уже завоевал широкую популярность среди специалистов в разных областях физики и математики. Область применений квантовых групп довольно широка. Она простирается от конкретных вычислительных приложений в некоторых моделях статфизики и квантовой механики до крайне абстрактных, претендуя на некую общую идеологию, связующую теорию алгебраических групп, комбинаторику и геометрию над полями простой характеристики. Между этими крайностями находятся по краинеи мере две точки зрения на предмет, позволяющих ближе познакомиться с ним.

Первая состоит в том, что квантовая группа является результатом квантования группы Ли, так превращенной в пуассоново многообразие, что скобка Пуассона согласована с групповым умножением. Задача квантования такого объекта естественно вытекает из анализа математической стороны КМОЗ и детально рассмотрена В.Г. Дринфельдом в основополагающем цикле работ (см., к примеру, [1]). Еще одним результатом этого подхода является получение обширного запаса так называемыхквантовых R-матриц, т. е. матриц размером nІ х nІ, удовлетворяющих квантовому уравнению Янга-Бакстера

R№ІRІіR№І = RІіR№ІRІі,

R№І = R Д--1 и RІі = 1ДR.

Физический смысл таких матриц состоит в том, что они задают коммутационные соотношения между элементами квантовой трансфер-матрицы Т квантовой статистической модели:

RTДT=TДTR.

Вторая точка зрения основывается на эвристическомпринципе, согласно которому каждый математический объект должен иметь своего "некоммутативного"двойника (искушенныйчитатель конечно же заметит здесь аналогию с движением "суперизации" математики); в частности, таковыми должны обладать алгебраическиегруппы или группы Ли. Результаты обоих подходов удобно формулировать в терминах алгебр Хопфа - объекта, придуманного в начале 50-х годов топологами.

По определению наряду с умножением

m: Н--Д Н ® Н

в алгебре Хопфа Н задано коумножение

D:--Н ® Н Д Н,

надлежащим образом согласованное с m. Было хорошо известно, что наряду с содержательными (топологическими) примерами алгебр Хопфа имеются еще и "бессодержательные", а именно, с каждой аффинной алгебраической группой или группой Ли G естественно ассоциируются две алгебры Хопфа: алгебра О(С) регулярных функций на G и универсальная обертывающая алгебра Ug алгебры Ли этой группы. В первом случае коумножение--D--получается из обращения стрелок в отображении группового умножения

G х G--® G,

а во втором для каждого х из Ug полагают

D(х )--=--1Дх +--х--Д1

и продолжают--D на всю алгебру U(g) по мультипликативности. С точки зрения алгебраической геометрии многообразие G и алгебра функций на нем взаимозаменяемы, а поскольку привычнее иметь дело с многообразием, то рассмотрение О(С) не принесет ничего нового. Однако взаимозаменяемость G и О(С), а равно и произвольного многообразия и алгебры функций на нем остается в силе лишь до тех пор, пока эта алгебра является коммутативной. Некоммутативной алгебре отвечает "некоммутативное многообразие", удовлетворительно описать которое с топологическои точки зрения пока не представляется возможным. Теория квантовых групп как раз и дает примеры некоммутативных и некокоммутативных алгебр Хопфа, являющихся в известном смысле деформациями коммутативных алгебр функций на группах и, соответственно, кокоммутативных универсальных обертывающих алгебр Ли этих групп. Грубо говоря, квантовая группа - это некоторая алгебра Хопфа.

Уравнения Янга-Бакстера являются объединяющим началом при изучении двумерных интегрируемых систем в рамках квантового метода обратной задачи, при нахождении решений некоторых моделей статистической механики и при изучении факторизованного рассеяния солитонов и струн.

В работе Белавина и Дринфельда [2] исследовались функциональные решения классического уравнения Янга-Бакстера на простых алгебрах Ли над полем комплексных чисел. Каждое такое решение индуцирует на алгебре Ли структуру биалгебры Ли. В работе Столина [3], используя идеи работы Белавина и Дринфельда [2], исследовались структуры биалгебр Ли, заданные на простых алгебрах Ли над полем комплексных чисел.

Антисимметричные решения классического уравнения Янга-Бакстера находятся в соответствии, с так называемыми, симплектическими алгебрами Ли, то есть с алгебрами Ли, на которых задана невырожденная кососимметрическая билинейная форма, являющаяся 2-коциклом в скалярной когомологии. Баджо, Бенаяди и Медина изучали алгебры Ли, допускающие одновременно структуру квадратичной (то есть алгебры Ли с невырожденной симметрической ассоциативной билинейной формой) и симплектической алгебры Ли.

Дуальным понятием алгебры над полем является понятие коалгебры. Наиболее интересными по содержанию объектами являются коалгебры, на которых задана операция умножения, согласованная, в определенном смысле, с коумножением. Такие объекты называются биалгебрами. Так, например, в алгебрах Хопфа коумножение - это гомоморфизм соответствующих алгебр.

Другим примером биалгебр являются биалгебры Ли, которые были введены Дринфельдом [1] для изучения решений классического уравнения Янга-Бакстера. Биалгебры Ли - это одновременно алгебры Ли и коалгебры Ли, коумножение которых является 1-коциклом. Коалгебры Ли были введены Михаэлисом в [4].

В работах Желябина [5,6] дано определение биалгебры по Дринфельду (Д-биалгебры), связанное с некоторым многообразием алгебр. Алгебры Мальцева были введены А.И. Мальцевым как касательные алгебры локальных аналитических луп Муфанг. Они являются обобщением алгебр Ли, и их теория достаточно хорошо развита. Важным примером нелиевой алгебры Мальцева является векторное пространство элементов с нулевым следом алгебры Кэли-Диксона относительно операции коммутирования в качестве умножения.

В.В. Вершининым [13] изучались некоторые свойства биалгебр Мальцева. В частности, были получены условия на коумножение, при которых данная биалгебра является биалгеброй Мальцева. М.Е. Гончаровым были описаны структуры биалгебр Мальцева на простой нелиевой алгебре Мальцева M(7).

В 2004 И.П. Шестаков и J.M. Perez-Izquierdo доказали, что любая алгебра Мальцева является подалгеброй коммутаторной алгебры обобщенного альтернативного центра некоторой неассоциативной алгебры. Среди этих неассоциативных обертывающих алгебр Мальцева, как и в случае алгебр Ли, существует универсальная обертывающая алгебра. Во многом свойства этих универсальных алгебр близки к свойствам универсальных обертывающих алгебр Ли. В частности, универсальные обертывающие алгебр Мальцева являются коассоциативными кокоммутативными H-биалгебрами.

Между тем до сих пор не известны примеры некокоммутативных H-биалгебр. В случае алгебр Хопфа, важные примеры некокоммутативных алгебр Хопфа возникают при квантовании структур биалгебр Ли. Такие квантовые универсальные обертывающие играют большую роль в таких разделах математики и физики как квантовый метод обратной задачи, теория алгебраических групп, комбинаторика, геометрия над полями конечной характеристики и др.

Пусть (A, u,--m,--e,--D,--S) - алгебра Хопфа над полем F, где u - единица, m - умножение, e - коединица, D - коумножение и S - антипод. Через F [ [h]]обозначим кольцо формальных степенных рядов от переменной h над полем F.

Определение. Деформацией алгебры Хопфа (A,--u,--m,--e,--D,--S) над полем F является топологическая алгебра Хопфа (Ah,--uh,--mh,--eh,--Dh,--Sh) над кольцом F [ [h]]формальных степенных рядов от переменной h над F такое, что Ah изоморфна A [ [h]]как F [ [h]]модуль.

mh--є--m--(mod--h)

D--h--є--D--(mod--h).

Выражение A [ [h]]обозначает алгебру формальных степенных рядов с коэффициентами из A:

ah=a_+a1h+a2hІ+…(ai°A)

Поскольку mh и--D h являются гомоморфизмами F [ [h]]- модулей, то они полностью определяются своими действиями на элементах, для которых a1=a2=…=0. Условия (ii) и (iii) означают, что

mh--(a,b)=--m(a,b)+m1(a,b)h+m2(a,b)hІ+…

Dh(a)=--D(a)+D1(a)h+D2(a)hІ+…

для некоторых F [ [h]]линейных отображений mi--и--Di.

Пусть g - алгебра Ли над полем F, U(g) - универсальная обертывающая алгебра алгебры g. Известно, что алгебра U(g) обладает структурой коассоциативной кокоммутативной алгебры Хопфа (U(g),--u,--m,--e,--D,--S) для которой элементы алгебры g являются примитивными.

Определение. Деформация алгебр Хопфа универсальной обертывающей алгебры U(g) алгебры Ли g называется квантовой универсальной обертывающей алгеброй.

Нас будут интересовать некокоммутативные деформации.

Определение. Ассоциативная коммутативная алгебра A, на которой задана антисимметричная билинейная форма {,} называется алгеброй Пуассона-Ли, если выполняются следующие условия:

1. {a,{b,c}}+{b,{c,a}}+{c,{a,b}}=0 - тождество Якоби.

2. {ab,c}=a{b,c}+{a,c}b - тождество Лейбница.

В этом случае форма {,} называется скобкой Пуассона.

Определение. Алгебра Пуассона-Ли (A, {,}), являющаяся одновременно алгеброй Хопфа (A,--u,--m,--e,--D,--S) называется алгеброй Пуассона-Хопфа, если структуры алгебры Пуассона-Ли и алгебры Хопфа согласованны с помощью тождества:

{D(a),D(b)}=D({a,b}).

Понятие ко-алгебры Пуассона-Ли дуально понятию алгебры Пуассона-Ли.

Определение. Коассоциативная кокоммутативная коалгебра, на которой задано линейное кососимметричное коумножение d называется ко-алгеброй Пуассона-Ли, если дуальная алгебра вместе с дуальной антисимметричной билинейной формой является алгеброй Пуассона-Ли. В этом случае коумножение d называется коскобкой Пуассона-Ли.

Определение. Ко-алгебра Пуассона-Ли, являющаяся одновременно алгеброй Хопфа (A,--u,--m,--e,--D,--S) называется ко-алгеброй Пуассона-Хопфа, если структуры ко-алгебры Пуассона-Ли и алгебры Хопфа согласованны с помощью тождества:

d(ab)=d(a)D(b)+D(a)d(b).

Определение. Пусть g - алгебра Ли. Пара (g,d) называется биалгеброй Ли тогда и только тогда, когда (g,d)--- коалгебра Ли и коумножение d является 1-коциклом (см. [1]), т.е. удовлетворяют равенству

d([a,b])=S([a(1),b]Дa(2)+a(1)Д[a(2),b])+S([a,b(1)]Дb(2)+b(1)Д[a,b(2)]),--d(a)=Sa(1)Дa(2)--,--d(b)=Sb(1)Дb(2).

Для алгебр Ли известно, что если универсальная обертывающая алгебра U(g) обладает структурой ко-алгебры Пуассона-Ли--d, то

d(g)Н gДg

и (g,d) - биалгебра Ли. Верно и обратно - если (g,d) - биалгебра Ли, то коумножение d естественно продолжается до коскобки Пуассона-Ли на универсальную обертывающую алгебру U(g).

Определение. Пусть A - кокоммутативная ко-алгебра Пуассона-Хопфа с коскобкой Пуассона d. Квантизация A - это Хопфова дифформация Ah алгебры Хопфа A такая, что

d(x)--є (Dh(a)- Dh°(a))/h (mod h),

где x°A и a - произвольный элемент из A такой, что

a є x (mod h), Dh°(a)=t(D(a))

t(aДb)=bДa

- морфизм перестановки).

Определение. Квантование биалгебры Ли (g,d) - это квантование U h(g) универсальной обертывающей алгебры U(g) вместе с коскобкой Пуассона-Ли, индуцированной коумножением d. В этом случае биалгебра (g,d) называется квазиклассическим примером квантовой универсальной обертывающей алгебры Uh(g).

Возникает естественный вопрос о существовании квантизаций для произвольных биалгебр Ли. Положительный ответ на этот вопрост получил Решетихин, который доказал, что любая конечномерная биалгебра Ли допускает квантизацию.

Определение. Антикоммутативная алгебра M с умножением [,] называется алгеброй Мальцева, если для любых x,y,z°M выполнено

J(x,y, [x,z])= [J(x,y,z),x],

J(x,y,z)= [ [x,y],z]+ [ [y,z],x]+ [ [z,x],y]

- якобиан элементов x,y,z.

По аналогии с определениями алгебр и ко-алгебр Пуассона-Ли можно ввести определение ко-алгебр Пуассона-Мальцева. Отличие будет заключатся в том, что вместо тождества Якоби (ко-тождества Якоби) скобка Пуассона-Мальцева (коскобка Пуассона-Мальцева) удовлетворяет тождеству алгебры Мальцева (тождеству коалгебры Мальцева).

За отчетный период была проведена попытка перенести имеющуюся технику, используемую для получения квантовых универсальных обертывающих для биалгебр Ли для квантования биалгебр Мальцева (M(7), d), где M(7) - единственная простая нелиева алгебра Мальцева. В этом случае, как показано в [143], коумножение d--задается решением

r°M(7)ДM(7)

классического уравнения Янга-Бакстера на M(7):

d(a)=dr(a)--=--S[ai,a]Дbi+SaiД[bi,b],--

r=SaiДbi.

Классическое уравнение Янга-Бакстера на M(7) - это следующее уравнение на элемент r:

[ai,aj]ДbiДbj-aiД[aj,bi]Дbj+aiДajД[bi,bj]=_.

В работе [143] также были описаны все такие решения.

Пусть теперь (M(7),dr) - биалгебра Мальцева. Определим на универсальной обертывающей алгебре U(M(7)) коскобку dr по правилу

dr(a) = [D(a),r],

где D--- коассоциативное умножение на U(M(7)).

Нами доказано, что коскобка dr является кососимметричным отображением, удовлетворяющее ко-тождеству Лейбница. Однако вместе с этим оказалось, что в отличии от случая алгебр Ли, где такая же коскобка задавала структуру ко-алгебры Пуассона-Ли, в случае алгебр Мальцева данная коскобка не удовлетворяет ко-тождеству Мальцева. Более того было показано, что биалгебра Мальцева не может быть квазиклассическим пределом квантовой универсальной обертывающей Uh(M(7)).

1.5 Адаптация полученных результатов в области современной алгебры к использованиям в дальнейших разработках

Полученные результаты исполнителей НИР нашли дальнейшее применение к решению известной задачи теории групп:

Проблема 5. Описать холловы подгруппы в конечных простых группах.

Эта проблема приковывала внимание многих математиков на протяжении длительного периода времени [46,62-64,67-71,74,79,66,81,85,94]. Ее значимость объясняется тем, что холловы подгруппы в определенном смысле "наследуются" нормальными подгруппами и факторгруппами (см. выше). В частности, необходимым условием существования холловой п-подгруппы является существование таких подгрупп у всех композиционных факторов группы. Важность проблемы описания холловых подгрупп в простых и близких к ним группах была понятна еще Ф. Холлу. В его работе 1956 года [81] и последующей работе Дж. Томпсона 1966 года [85] (которая была специально посвящена этому вопросу) описаны холловы подгруппы симметрических групп. Для групп лиева типа проблема 4 сформулирована в известном обзоре А.С. Кондратьева [94]). Л.С. Казарин [46]описал холловы r'-подгруппы в простых группах для всех простых чисел r. Ф. Гросс, доказывая в работах [69,70]с помощью классификации конечных простых групп сопряженность холловых п-подгрупп в случае, когда 2 не лежит в п (ослабленная гипотеза Ф. Холла), описал для этого случая холловы п-подгруппы спорадических групп, классических групп, а также исключительных групп лиева типа над полем характеристики p, принадлежащей п. Ревиным случай, когда p принадлежит п, для групп лиева [95] и случай спорадических групп [93] были исследованы полностью. Таким образом, незавершенным осталось описание холловых п-подгрупп в группах лиева типа в характеристике p, не лежащей в п (за исключением классических групп при условии, что п не содержит 2) и, как ни странно, в знакопеременных группах. Случай, когда 2 содержится в п, а 3 и p нет, разобран в [74] для линейных и симплектических групп и в [96] для всех оставшихся групп лиева типа. Более того, в той же работе [96] авторами утверждалось, что последний оставшийся случай, когда 2,3 лежат в п, а характеристика p не лежит в п, также полностью разобран и, тем самым, классификация п-холловых подгрупп во всех конечных простых группах завершена. Но, к сожалению, этот результат базировался на неверной лемме 3.14 из [96]. Вследствие этой ошибки в списке п-холловых подгрупп в группах лиева типа были пропущены несколько серий в группах сравнительно небольших рангов. Эти ошибки исправлены в работе [97]. Важно отметить, что если G - E_п-группа лиева типа и H- п-холлова подгруппа, принадлежащая одному из пропущенных классов, то, как показано в [97], с необходимостью G не оладает свойством D_п. Это означает, что все результаты [96,98-101], касающиеся свойства D_п верны. Подытоживая результаты упомянутых работ, можно сформулировать следующее условное утверждение. Классификация холловых подгрупп в известных конечных простых группах завершена. Используя этот результат, Е.П. Вдовину и Д.О. Ревину удалось полностью решить все упомянутые выше проблемы, а также получить в терминах композиционного строения группы критерии, когда конечная группа обладает свойствами E_п, C_п и D_п [99-105,97]. Хотя разработанная D_п-теория носит вполне завершенный характер, было бы абсолютно неверно говорить о закрытии исследований в данном направлении. Скорее наоборот, эта теория дает в руки исследователя новый инструмент, с помощью которого можно получать мощные обобщения известных классических теорем. Например, в качестве приложения этой теории, показано, что если для п-подгрупп конечной группы выполнен полный аналог теоремы Силова, то для нее справедлив и п-аналог другой классической теоремы - теоремы Бэра-Судзуки. Сама теорема Бэра-Судзуки представляет собой, таким образом, частный случай этого результата. Вообще, D_п-теория открывает широкие горизонты для дальнейших исследований.

2. Показатели

За время выполнения НИР в 2011 году поступили в магистратуру ММФ 3 студента - исполнителя НИР.

Количество подготовленных и опубликованных научных трудов за 2011 г.: Опубликовано 15 научных статей (см. Приложение А),

Сдано в печать 14 научных статей (см. Приложение А).

Количество сделанных научных докладов за 2011 г.:

Сделано 6 докладов на отечественных и 30 докладов на международных научных форумах и конференциях (см. Приложение Б).

Заключение

В ходе исполнения 3 этапа "Проведение исследований" получены следующие результаты:

Описаны простые ассоциативные Z-конформных алгебры, построены свободные ассоциативных Z-конформных алгебры;

Решен вопрос о существовании универсальной обёртывающей алгебры Рота-Бакстера произвольного веса л для любой дендриформных диалгебры и триалгебры;

Описаны все простые группы, графы простых чисел которых совпадают с графами простых чисел групп Фробениуса и удвоенных групп Фробениуса;

Показано, что структуры Рота-Бакстера веса 0 находятся во взаимно однозначном соответствии с тройками Рота-Бакстера;

Описаны холловы подгруппы в конечных простых группах;

Описаны д-дифференцирования простых алгебр Филиппова и алгебр Филиппова малых размерностей;

Доказан аналог теоремы Михаэлиса для альтернативных биалгебр;

Описана групповая структура абстрактного соизмерителя групп Баумслага-Солитера.

Выполненные на 3 этапе работы соответствуют требованиям технического задания, календарного плана и нормативной документации.

Приведены списки опубликованных работ, выступлений на научных форумах, а также другие показатели успешной работы в рамках данного проекта.

Полученные результаты имеют мировой уровень, а исполнители представляют передовой фронт науки в указанных областях.

По результатам НИР напрашивается вывод о целесообразности продолжения работ.

Список использованных источников

1. Дринфельд В.Г., Гамильтоновы структуры на группах Ли, биалгебры Ли и геометрический смысл классических уравнений Янга-Бакстера, ДАН СССР, 268, N 2, 1983, 285-287.

2. Белавин А.А., Дринфельд В.Г., О решениях классического уравнения Янга-Бакстера для простых алгебр Ли // Функц. анализ и его прил., 16, 3 (1982), 1-29.

3. Some remarks on Lie bialgebra structures on simple complex Lie algebras // Comm. in Algebra, 27, 9 (1999) 4289-4302.

4. Michaelis W., Lie coalgebras // Adv. Math., 38 (1980), 1-54.

5. Желябин В.Н., Йордановы биалгебры и их связь с биалгебрами Ли // Алгебра и логика 1, 36 (1997), 3-25.

6. Желябин В.Н., Йордановы биалгебры симметрических элементов и биалгебры Ли // Сибирский математический журнал, 39, 2 (1998), 299-308.

7. Joni, S.A. and Rota G.C., Coalgebras and bialgebras in combinatorics // Studies in Applied Mathematics, 61 (1979), 93-139.

8. Aguiar M., On the associative analog of Lie bialgebras // Journal of algebra, 244 (2001), 492-532.

9. Polishchuk A., Clasic Yang-Baxter Equation and the A-constraint // Advances in Mathematics, 168, 1 (2002), 56-96.

10. Желябин В.Н., Об одном классе йордановых Д-биалгебр // Алгебра и анализ 11, 4 (1999), 64-94.

11. Гончаров М.Е., Классическое уравнение Янга-Бакстера на альтернативных алгебрах. Структура альтернативной Д-биалгебры на матричной алгебре Кэли - Диксона // Сиб. мат. журн., 48, 5 (2007) 1009-1025.

12. Гончаров М.Е., Биалгебры Ли, возникающие из альтернативных и йордановых биалгебр // Сиб. мат. журн., 51, 2 (2010), 268-284.

13. V.V. Vershinin, On Poisson-Malcev Structures // Acta Applicandae Mathematicae, 75(2003) 281-292.

14. Sweedler M.E. Hopf algebras, New York: W.A. Benjamin Inc., 1969.

15. Michaelis W. The dual Lie bialgebra of a Lie bialgebra, AMS/IP Stud. Adv. Math., Editor S. -T. Yau., 4 (1997), 81-94.

16. Желябин В.Н. Дуальные коалгебры йордановых биалгебр и супералгебр, Сибирский математический журнал, 46, 6 (2005) 1302-1315.

17. Anquela J.A., Cortes T., Montaner F., Nonassociative Coalgebras, Communications in Algebra, 22:12 (1994) 4693-4716.

18. Kac V.G. Vertex algebras for beginners. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 1998.

19. Belavin A.A., Polyakov A.M., Zamolodchikov A.B. Infinite conformal symmetry in two-dimensional quantum field theory // Nucl. Phys. B. 1984. V. 241. P. 333?380.

20. Borcherds R.E. Vertex algebras, Kac-Moody algebras, and the Monster / Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A. 1986. V. 83. P. 3068?3071.

21. Dong C., Lepowski J. Generalized vertex algebras and relative vertex operators. Boston: Birkhauser, 1993. (Progress in Math., V. 112).

22. Frenkel I.B., Lepowsky J., Meurman A. Vertex operator algebras and the Monster. New York: Academic Press, 1998. (Pure and Applied Math., vol. 134).

23. M.I. Golenishcheva-Kutuzova, V.G. Kac, Г-conformal algebras, J. Math. Phys. 39 (1998) no.4, 2290?2305.

24. Колесников П.С. О неприводимых алгебрах конформных эндоморфизмов над линейной алгебраической группой// Современная математика и ее приложения. 2008. Т. 60. С. 42?56.

25. B. Bakalov, A.D'Andrea, V.G. Kac, Theory of finite pseudoalgebras, Adv. Math. 162 (2001) no.1, 1?140.

26. Sylow M.L. Th'eor`emes sur les groupes de substitutions,Math. Ann., 5 (1872), N4, 584-594.

27. Каргаполов М.И., Мерзляков Ю.И. Основы теории групп. 4-е изд. М. Наука. Физматлит. 1996.

28. Чунихин С.А. Подгруппы конечных групп. Минск. Наука и техника. 1964.

29. Hartley B. Helmut Wielandt on the pi-structure of finite groups,Mathematische Werke = Mathematical Works /Helmut Wielandt, ed. by B.~Huppert and H.~Sneider,vol. 1, Walter de Gruyter, Berlin, 1994, 511-516.

30. Burnside W. Theory of groups of finite order,2nd ed.,Camb. 1911.

31. Чунихин С.А. О разрешимых группах, Изв. НИИММ Том. Унив., 2 (1938), 220-223.

32. Hall P.A note on soluble groups,J. London Math. Soc., 3 (1928), 98-105.

33. Green J.A., Rosenblade J.E., Thompson J.G. Philip Hall, Bull. London Math. Soc., 16 (1984), N6,603-626.

34. MacTutor History of Mathematics. Philip Hall. (texttthttp://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Hall.linebreak html).

35. Шеметков Л.А. Два направления в развитии теории непростых конечных групп,Успехи матем. н., 30 (1975), N2(182), 179-198

36. Шеметков Л.А. Обобщения теоремы Силова,Cиб. матем. ж., 44 (2003), N6, 1425- -1431.

37. Hall P., Higman G. On the p-lenght of p-soluble groups and reduction theorem for Burnside's problem,Proc. London Math. Soc., Ser. III, 6 (1956), N21, 286-304.

38 Кострикин А.И. О проблеме Бернсайда, Изв. АН СССР, сер. матем., 23 (1959), N1, 3-34.

39. Зельманов Е.И. Решение ослабленной проблемы Бернсайда для групп нечетного показателя, Изв. АН СССР, сер. матем., 54 (1990), N1, 42-59.

40. Зельманов Е.И. Решение ослабленной проблемы Бернсайда для 2-групп, Матем. сб., 182 (1991), N4, 568-592.

41. Гольберг П.А. Cиловские базы pi-отделимых групп, ДАН СССР, 64 (1949), N6, 615-618.

42. Каргаполов М.И. О факторизации pi-отделимых групп, ДАН СССР, 114 (1957), N6, 1155-1157.

43. Ведерников В.А. Подпрямые произведения групп с холловыми pi-подгруппами, Матем. заметки, 59 (1996), N2, 311-313.

44. Виланд Г. Пути развития структурной теории конечных групп, Междунар. матем конгресс в Эдинбурге, 1958 г. Обзорные доклады. М., Физматгиз. 1962. 263-276.

45. Казарин Л.С. Теоремы силовского типа для конечных групп, в сб. Структурные свойства алгебраических систем. Нальчик, Кабардино-балкарск. унив., 1981, 42-52.

46. Казарин Л.С. О произведении конечных групп, ДАН СССР, 269 (1983), N3, 528-531.

47. Мазуров В.Д. Об одном вопросе Л.А. Шеметкова, Алгебра и логика, 31 (1992), N6, 624-636.

48. Русаков С.А. Аналоги теоремы Силова вложении подгрупп, ДАН СССР, 5 (1961), 139-141.

49. Русаков С.А. Аналоги теоремы Силова о существовании и вложении подгрупп, Сиб. матем. ж., 4 (1963), N5, 325-342.

50. Русаков С. А. C-теоремы для n-групп, Вест. АН БССР, 1972, N3, 5-9.

51. Тютянов В.Н.D_pi-теорема для конечных групп, имеющих композиционные факторы такие, что 2-длина любой разрешимой подгруппы не превосходит единицы, Вести Нац. акад. наук Беларуси, сер физ. -мат. наук, 2000 N1, 12-14.

52. Тютянов В.Н. О теоремах силовского типа для конечных групп, Укр. матем. ж., 52 (2000), N10, 1426-1430.

53. Тютянов В.Н. О гипотезе Холла, Укр. матем. ж., 54 (2002), N7, 1181-1191.

54. Чунихин С. А., Шеметков Л.А. Конечные группы, в сб. Алгебра. Топология. Геометрия, 1969 (Итоги науки. ВИНИТИ АН СССР), М., 1971.

55. Шеметков Л.А. К теореме Холла, ДАН СССР, 147 (1962), N2, 321-322.

56. Шеметков Л.А. Новая D-теорема в теории конечных групп, ДАН СССР, 160 (1965), N2, 290-293.

57. Шеметков Л.А. Силовские свойства конечных групп, Матем. сб., 76 (1968), N2, 271-287.

58. Шеметков Л.А. О силовских свойствах конечных групп, ДАН БССР, 16 (1972), N10, 881-883.

59. Шеметков Л.А.D-строение конечных групп,Матем. сб., 67 (1965), N3, 384-497.

60. Шеметков Л.А. О сопряженности и вложении подгрупп, в сб.последнем пятом Конечные группы, Минск, 1966, 881-883.

61. Шеметков Л.А. Формации конечных групп. М., Наука, 1978.

62. Arad Z., Ward M.B. New criteria for the solvability of finite groups,J. Algebra, 77 (1982), N1, 234-246.

63. Arad Z., Chilag D.A criterion for the existence of normal pi-complements in finite groups, J. Algebra, 87 (1984), N2, 472-482.

64. Arad Z., Fisman E. On finite factorizable groups,J. Algebra, 86 (1984), N2, 522-548.

65. Baer R. Verstreute Untergruppen endlicher Gruppen,Arch. Math. 9 (1958), N1-2, 7-17.

66. Spitznagel E.L. Hall subgroups of certain families of finite groups,Math. Z., 97 (1967), N4, 259-290.

67. Gross F. Odd order Hall subgrous of GL(n,q) and Sp(2n,q),Math. Z., 187 (1984), N2, 185-194.

68. Gross F. On the existence of Hall Subgroups,J. Algebra, 98 (1986), N1, 1-13.

69. Gross F. On a conjecture of Philip Hall, Proc.London Math. Soc., Ser.~III, 52 (1986), N3, 464-494.

70. Gross F. Odd order Hallsubgroups of the classical linear groups, Math. Z., 220 (1995), N3, 317-336.

71. Gross F. Conjugacy of odd order Hallsubgroups, Bull. London Math. Soc., 19 (1987), N4,311-319.

72. Wielandt H. Der Normalisator einer subnormalen Untergruppe,Acta Sci. Math. Szeged, 21 (1960) 324-336.

73. Wielandt H. Sylowt"urme in subnormalen Untergruppen,Math. Z., 73 (1960), N4. 386-392.

74. Gross F. Hall subgroups of order not divisible by 3, Rocky Mt. J. Math., 23 (1993), N2, 569-591.

75. Guo W., Li B. On the Shemetkov problem for Fitting classes, Beitr"age Algebra Geom. 48 (2007), N1, 281-289.

76. Guo, W. Formations determined by Hall subgroups,J. Appl. Algebra Discrete Struct. 4 (2006), N3, 139-147.

77. Guo, W. Some problems and results for the research on Sylow objects of finite groups. (Chinese)J. Xuzhou Norm. Univ. Nat. Sci. Ed. 23 (2005), N3, 1-6, 40.

78. Guo, W. Some problems in group theory, Международная конференция "Алгебра и ее приложения", посв. 75-летию В.П. Шункова, Красноярск, 12-18 августа 2007 г., тезисы докладов, 162-163.

79. Ferguson P.A., Kelley P. Hall pi-subgroups which are direct product of nonabelian simple groups, J. Algebra 120 N1 (1989), 40-46.

80. Hartley B.A theorem of Sylow type for a finite groups, Math. Z., 122 (1971), N4, 223-226.

81. Hall P. Theorems like Sylow`s,Proc. London Math. Soc., Ser. III, 6 (1956), N22, 286-304.

82. Ito N. On pi-structures of finite groups,Tohoku Math. Journ., 4 (1952) N1, 172-177.

83. Suzuki M. Group theory II, NY, Berlin, Heidelberg, Tokyo, Springer-Verl. 1986.

84. Tibiletti M.C. Sui prodotti ordinati di gruppi finiti,Boll. Un. Mat. Ital. (3), 13 (1958), 46- -57.

85. Thompson J.G. Hall subgroups of the symmetric groups,J. Comb. Th., 1 (1966) N2, 271-279.

86. Wielandt H. Zum Satz von Sylow,Math. Z., 60 (1954), N4. 407-408.

87. Wielandt H. Sylowgruppen und Kompositoin-Struktur,Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg, 22 (1958), 215-228.

88. Wielandt H. Zum Satz von Sylow. II, Math. Z., 71 (1959), N4. 461-462.

89. Zappa G. Sopra un'estensione di Wielandt del teorema di Sylow,Boll. Un. Mat. Ital. (3) 9, (1954), N4, 349- -353.

90. Мазуров В.Д., Ревин Д.О. О холловом D_pi-свойстве для конечных групп, Сибирский матем. ж., 38 (1997), N1, 106-113.

91. Кострикин А.И. Конечные группы, в сб. Алгебра. Топология. Геометрия, 1964 (Итоги науки. ВИНИТИ АН СССР) М., 1966.

92. Коуровская тетрадь. Нерешенные вопросы теории групп.15-е изд. Новосибирск, Ин-т матем. СО РАН. 2002.

93. Ревин Д.О. Свойство D_pi в одном классе конечных групп, Алгебра и логика, 41 (2002) N3, 335-370.

94. Кондратьев А.С. Подгруппы конечных групп Шевалле, Успехи матем. н., 41, N1 (1986), 57-96.

95. Ревин Д.О. Холловы pi-подгруппы конечных групп Шевалле, характеристика которых принадлежит pi, Матем. труды, 2 (1999), N1, 157-205.

96. Revin D.O., Vdovin E.P. Hall subgroups of finite groups,Contemporary Mathematics, 402 (2006), 229-265.

97. D.O. Revin and E.P. Vdovin,On the number of classes of conjugate Hall subgroups in finite simple groups, J. Algebra 324 (2010), N12, 3614-3652.

98. Вдовин Е.П., Ревин Д.О. Холловы подгруппы нечетного порядка конечных групп, Алгебра и логика, 41 (2002) N1, 15-56.

99. Ревин Д.О. Свойство D_pi в линейных и унитарных группах,Сиб. матем. ж., 49 (2008), N2, 437-448.

100. Ревин Д.О. Характеризация конечных D_pi-групп,ДАН, 417 (2007), N5, 601-604.

101. Revin D. О.The D_pi-property in finite simple groups, Algebra and Logic, 47 (2008), N3, 210-227.

102. Ревин Д.О. Свойство D_pi конечных групп в случае, когда 2notinpi, Труды ИММ УрО РАН, 13 (2006) N1, 166-182.

103. Е.П. Вдовин, Д.О. Ревин, Критерий сопряженности холловых подгрупп в конечных группах, Сибирский математический журнал, 51 (2010), N3, 506-516.

104. Д.О. Ревин, Вокруг гипотезы Ф. Холла, Сибирские электронные математические известия, 6 (2009), 366-380.

105. D.O. Revin and E.P. Vdovin, Existence criterion for Hall subgroups of finite groups, J. Group Theory 14 (2011), N1, 93-101.

106. В.Д. Мазуров, Распознавание конечных групп по множеству порядков их элементов // Алгебра и логика 1998, Т. 37, № 6, С. 651-666.

107. M. Hagie, The prime graph of a sporadic simple group // Commun. Algebra, 31, N9 (2003), 4405-4424.

108. А.В. Заварницин, О распознавании конечных групп по графу простых чисел // Алгебра и логика 2006, Т. 45, № 4, 390-408.

109. A.V. Zavarnitsine, Exceptional action of the simple groups L₄(q) in the defining characteristic// Siberian Electronic Math. Reports, 2008. V. 5, 68-74.

110. A.V. Zavarnitsine, Uniqueness of the prime graph of L₁₆(2) //Siberian Electronic Math. Reports. 2010, V. 7, 119-122.

111. L. Babai and R. Beals. A polynomial-time theory of black-box groups I // In Groups St Andrews 1997 in Bath, I (eds. C.M. Campbell, E.F. Robertson, N. Ruskuc, and G.C. Smith), LMS Lecture Note Series 260 (Cambridge U. Press 1999). P. 30-64.

...