Структура биалгебры Мальцева

Размещено на http://www.allbest.ru/

СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ НАУК

УЧРЕЖДЕНИЕ РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ НАУК «ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ ИМ. С.Л. СОБОЛЕВА»

ОТЧЕТ О НАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКОЙ РАБОТЕ

С.С. Гончаров

В рамках федеральной целевой программы «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 годы по Государственному контракту от 20 сентября 2010 г. № 14.740.11.0346

Шифр заявки «2010-1.1-111-128-010» по теме: АКТУАЛЬНЫЕ ПРОБЛЕМЫ СОВРЕМЕННОЙ АЛГЕБРЫ

Наименование этапа: «Проведение исследований» межуточный, этап № 2) Новосибирск 2011

РЕФЕРАТ

Отчет 45 с., 2 прил.

Ключевые слова: Конечная группа, Йорданова супералгебра, Структуризуемая супералгебра, Конформная алгебра, Коалгебра, Диалгебра, Биалгебра, Жесткая группа.

Объектами исследования являются фундаментальные проблемы в следующих направлениях современной алгебры: теория неассоциативных алгебр, теория конечных групп и алгебраическая геометрия.

Выполнение НИР в целом направлено на проведение фундаментальных исследований в области современной алгебры, с целью получения научных результатов мирового уровня, на подготовку и закрепление в сфере науки и образования научных и научно-педагогических кадров, а также формирование эффективных и жизнеспособных научных коллективов.

Частными целями проведения работ являются:

Выявление более глубоких взаимосвязей между современным аспектами алгебры и изучение особенностей возникающих проблем. Привлечение студентов и аспирантов к научно-исследовательской работе, что позволит: воспитать у студентов математическую культуру, необходимые интуицию и эрудицию в вопросах приложения математики; развить системное мышление; познакомить с ролью теоретической и прикладной математики в современной жизни; выработать навыки математического исследования, интерпретации результатов исследования и оценки точности полученного решения; выработать навыки доведения решения до практически приемлемого результата - числа, графика, точного качественного вывода с применением для этого современных компьютерных технологий; выработать умение самостоятельно работать со специальной математической литературой, получать и осознанно применять полученные знания; сформировать стиль мышления, необходимый для успешного использования компьютерных и информационных технологий при исследовании прикладных задач.

В ходе выполнения 2 этапа получены следующие результаты:

Доказано, что структура биалгебры Мальцева, заданная на алгебре Мальцева M, не индуцирует структуру ко-Пуассоно-Мальцевской алгебры на универсальной обертывающей алгебре U(M) алгебры М. Классифицированы простые ассоциативные Z-конформные алгебры конечного типа. Построен пример исключительной двупорождённой йордановой диалгебры. Получена классификация простых конечномерных некоммутативных йордановых супералгебр характеристики 0. Найдены условия существования обобщенной супералгебры векторного типа с четной частью A и нечетной частью M, где М - конечный проективный модуль ранга 1. Доказывается, что периодическая группа, в которой любая конечная подгруппа двуступенно нильпотентна, обладает нормальной силовской двуступенно нильпотентной подгруппой, порождающей вместе со своим централизатором всю группу. Доказана алгоритмическая разрешимость проблемы равенства для конечных копредставлений жестких групп. Доказано, что в конечных простых Eр-группах число классов сопряженных р-холловых подгрупп является ограниченным р-числом. Доказано, что любая Dр-группа является Bsр-группой. Получено полное описание линейных операторов пространства Минковского, допускающих полярное разложение, то есть разложение в произведение лоренцево самосопряженного и лоренцево ортогонального линейных операторов. Для групп Баумслага--Солитера с взаимно простыми параметрами описана групповая структура абстрактного соизмерителя и для каждой подгруппы конечного индекса найдено копредставление её группы автоморфизмов. Доказано, что при действии конечной простой классической группы G размерности не меньше 8 на векторном пространстве над полем положительной характеристики, отличной от характеристики определения группы G, в естественном полупрямом произведении всегда возникает элемент, порядок которого отличен от порядка любого элемента группы G. Для каждой конечной простой группы описаны коклики наибольшего размера в ее графе простых чисел. Доказано, что простые линейные группы PSL(r,q), где r - нечетное простое число и r не делит q-1, квазираспознаваемы по спектру. Найдены явные формулы для нахождения максимальных порядков полупростых элементов простых симплектических и ортогональных групп над полями характеристики 2. Доказано, что для произвольной алгебры Новикова-Пуассона коммутатор, относительно умножения в алгебре Новикова, является йордановой скобкой на ассоциативно-коммутативной алгебре. Для конечных простых линейных и унитарных групп получены достаточные арифметические условия на существование нетривиальных неподвижных точек элементов больших простых порядков в эквихарактеристических модулях таких групп. Установлено достаточное условие существования корня многочлена над гензелевым нормированным полем.

В результате исследований получены новые фундаментальные результаты мирового уровня, которые вошли в дипломные и курсовые работы исполнителей, доложены на различных научных форумах, опубликованы в монографиях и статьях и внедряются в учебный процесс Новосибирского государственного университета.

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

1. АНАЛИЗ ПОСТАВЛЕННЫХ ЗАДАЧ

2. ИЗУЧЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ГРУПП

3. ОЦЕНКА КОНКУРЕНТОСПОСОБНОСТИ ПОСТАВЛЕННЫХ ЗАДАЧ

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

ПРИЛОЖЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

Выполнение НИР направлено на проведение фундаментальных исследований в области современной алгебры, с целью получения научных результатов мирового уровня, на подготовку и закрепление в сфере науки и образования научных и научно-педагогических кадров, а также формирование эффективных и жизнеспособных научных коллективов.

В состав разрабатываемой научной продукции входят математические модели задач; алгоритмы и методы решения поставленных задач; публикации результатов исследований в отечественных и зарубежных изданиях; диссертации; отчет о НИР, содержащий обоснование развиваемых направлений исследований, изложение методик проведения исследований, а также описание полученных результатов.

Как уже отмечено выше, результаты исследований носят фундаментальный характер и могут быть востребованы во многих сферах научной деятельности. Например, при проведении современных исследований в области теории колец и теории групп, в частности в теории супералгебр, теории диалгебр, теории биалгебр, теории конечных групп, алгебраической геометрии и в других областях.

Результаты исследований вошли в курсовые и дипломные работы исполнителей.

Результаты НИР внедряются в образовательный процесс: при чтении математических курсов для студентов старших курсов; при проведении курсов повышения квалификации молодых преподавателей НГУ и проведении специальных семинаров по современным разделам математики в Новосибирском Государственном университете.

Результаты подтверждены публикациями в реферируемых журналах по математике, а также выступлениями на российских и международных конференциях по тематике НИР.

Хотя исследования 2 этапа являются заделом для всей НИР, исполнителями уже получен ряд результатов мирового уровня. Получены новые фундаментальные результаты, найдены новые подходы, разработаны новые алгоритмы, найдены новые приложения, опубликованы новые научные статьи, защищены диссертации и дипломные работы, и осуществляется внедрение результатов в учебный процесс.

1. АНАЛИЗ ПОСТАВЛЕННЫХ ЗАДАЧ

Первые примеры алгебр Хопфа естественным образом возникли при изучении алгебраической топологии в 1941г. в работе Х. Хопфа [1]. Начиная с конца 60-х годов, появилось новое направление в изучении алгебр Хопфа -- теория квантовых групп (ее развитие стимулируется связями с физикой). Одним из первых фундаментальных изданий по алгебрам Хопфа была известная книга Свидлера [2]. Наиболее важными примерами квантовых групп являются деформации универсальных обертывающих алгебр для алгебр Ли, называемые также квантованными универсальными обертывающими алгебрами. В середине 80-х годов В.Г. Дринфельд доказал, что любую биалгебру Ли L можно “квантовать”, то есть построить квантовую универсальную обертывающую с классическим пределом L. Алгебры Мальцева были введены А.И. Мальцевым [2] как касательные алгебры локальных аналитических луп Муфанг. Они являются обобщением алгебр Ли, и их теория достаточно хорошо развита. Важным примером нелиевой алгебры Мальцева является векторное пространство элементов с нулевым следом алгебры Кэли-Диксона относительно операции коммутирования в качестве умножения. В.В. Вершининым изучались некоторые свойства биалгебр Мальцева. В частности, были получены условия на коумножение, при которых данная биалгебра является биалгеброй Мальцева. М.Е. Гончаровым были описаны структуры биалгебр Мальцева на простой нелиевой алгебре Мальцева M(7), а также структуры биалгебр Ли, возникающих из альтернативных и йордановых биалгебр [4]. И.П. Шестаков и J.M. Perez-Izquierdo доказали, что любая алгебра Мальцева является подалгеброй коммутаторной алгебры обобщенного альтернативного центра некоторой ассоциативной алгебры [5]. Среди этих неассоциативных обертывающих алгебр Мальцева, как и в случае алгебр Ли, существует универсальная обертывающая алгебра. Во многом свойства этих универсальных алгебр близки к свойствам универсальных обертывающих алгебр Ли. В частности, универсальные обертывающие алгебр Мальцева являются коассоциативными кокоммутативными H-биалгебрами. Между тем до сих пор не известны примеры некокоммутативных H-биалгебр. В случае алгебр Хопфа, важные примеры некокоммутативных алгебр Хопфа возникают при квантовании структур биалгебр Ли. Такие квантовые универсальные обертывающие играют большую роль в таких разделах математики и физики как квантовый метод обратной задачи, теория алгебраических групп, комбинаторика, геометрия над полями конечной характеристики и др. За отчетный период была проведена попытка перенести имеющуюся технику, используемую для получения квантовых универсальных обертывающих для биалгебр Ли для квантования биалгебр Мальцева. К сожалению оказалось, что данная техника не работает при рассмотрении квантований биалгебр Мальцева. В работе удалось обобщить коумножение, заданное на простой семимерной биалгебре Мальцева M(7) до коскобки на универсальной обертывающей алгебре U(M(7)). Установлено, что данная коскобка удовлетворяет ко-Лейбнецову тождеству. Но, в отличии от случая алгебр Ли, где аналогичная коскобка будет коскобкой Пуассона-Ли, в случае биалгебр Мальцева данное коумножение не будет коскобкой Пуассона-Мальцева. Полученные результаты могут быть использованы в дальнейшем при изучении квантования биалгебр Мальцева.

Антидифференцирования, то есть такие линейные отображения T, что выполненно T(xy) = -T(x)y - xT(y), возникают и рассматриваются в работах Р.Б. Брауна, Н.С. Хопкинс и В.Т. Филиппова [6,7,8]. Так у Р.Б. Брауна и Н.С. Хопкинс антидифференцирования возникают при изучении некоторых некоммутативных йордановых алгебр, также Н.С. Хопкинс были получены примеры ненулевых антидифференцирований на простой трехмерной алгебре Ли sl2 и показано отсутствие ненулевых антидифференцирований на простых конечномерных алгебрах Ли с нулевым центром и размерности строго выше 3 при некоторых ограничениях на характеристику основного поля. Результаты Н.С. Хопкинс получили широкое обобщение в работах В.Т. Филиппова. Где он рассматривал понятие д-дифференцирования [9,10,11], то есть такого линейного отображения U, где для фиксированного элемента д из основного поля, верно U(xy) = д(U(x)y + xU(y)). Данное отображение является одновременно обобщением дифференцирования и антидифференцирования. В результате, В.Т. Филиппов дал описание д-дифференцирований первичных альтернативных, лиевых и мальцевских алгебр над ассоциативно-коммутативным кольцом с 1/6. А именно, им было доказано, что первичные альтернативные и мальцевские нелиевы алгебры не имеют нетривиальных д-дифференцирований; первичные алгебры Ли не имеют ненулевых д-дифференцирований при д отличном от -1, 0, 1/2,1; первичные алгебры Ли с невырожденной симметрической инвариантной билинейной формой не имеют нетривиальных д-дифференцирований; а также, были приведены примеры нетривиальных 1/2-дифференцирований для простой бесконечномерной алгебры Ли W1. В дальнейшем, исследования в области д-дифференцирований продолжил П. Зусманович [12]. Им были описаны д-дифференцирования и д-супердифференцирования первичных супералгебр Ли и в положительной характеристике им был дан положительный ответ на вопрос В.Т. Филиппова о существовании делителей нуля в кольце 1/2-дифференцирований первичной алгебры Ли. А именно, было показано, что первичная супералгебра Ли не имеет ненулевых д-дифференцирований и д-супердифференцирований при д отличном от -1,0,1/2,1, а пространство 1/2-дифференцирований (соответственно, 1/2-супердифференцирований) совершенной супералгебры Ли с нулевым центром, обладающей невырожденной суперсимметрической инвариантной билинейной формой, совпадает с центроидом (соответственно, суперцентроидом) супералгебры. В работах И.Б. Кайгородова дается полное описание д-супердифференцирований простых конечномерных лиевых и йордановых супералгебр над алгебраически замкнутыми полями характеристики нуль [13,14,15,16]. Доказано отсутствие нетривиальных д-супердифференцирований у данного класса супералгебр. В работе И.Б. Кайгородова и В. Н. Желябина, выполненной в рамках НИР, дается полное описание д-супердифференцирований простых конечномерных унитальных йордановых супералгебр над алгебраически замкнутыми полями характеристики отличной от 2. В тоже время, ими было дано описание д-супердифференцирований простых йордановых супералгебр Дубль Кантора, построенных на ассоциативно-коммутативной алгебре с единицей. Как оказалось, нетривиальные д-супердифференцирования у данного класса супералгебр, возможны лишь в случае д=1/2 и возможны только у супералгебр векторного типа. В работы было дано полное описание нетривиальных 1/2-дифференцирований супералгебр векторного типа. В частности, были приведены новые примеры примеры нетривиальных д-супердифференцирований для йордановых супералгебр векторного типа. Как следствие, был получен критерий специальности для простых йордановых супералгебр Дубль Кантора. А именно, было показано, что если простая супералгебра Дубль Кантора имеет нетривиальное д-супердифференцирование, то она должна быть специальной. Отметим, что понятие д-дифференцирования допускает широкое обобщение. Одним из примеров такого обобщения могут являться понятия квазидифференцирования и обобщенного дифференцирования. Напомним, что линейное отображение H называется обобщенным дифференцированием, если существуют такие линейные отображения G и F, что при произвольных элементах x,y алгебры A выполняется следующее равенство H(xy)=G(x)y+xF(y). Легко заметить, что в случае ассоциативной алгебры с единицей для обобщенного дифференцирования H верно соотношение H(xy)=H(x)y+xH(y)-xH(1)y. А с другой стороны, H(xy)=H(x)y+xR(y), где R --- дифференцирование некоторое алгебры A. Эквивалентность данных понятий в случае ассоциативной алгебры с единицей была замечена в работе Х. Коматсу и А. Накаямы [53,54]. В тоже время, обобщенные дифференцирования в первом смысле, рассматривались в работах Леджера и Лакса [52], а также Жанга Р. И Жанга Я. [55]. Где ими были рассмотрены вопросы описания обобщенных дифференцирований алгебр и супералгеб Ли. В частности, были описаны квазидифференцирования простых алгебр Ли ранга не ниже 1. В действительности. Тройки (H,G,F) относительно операции комvутирования образуют алгебру Ли и называются тройные дифференцирования. Тройные дифференцирования различных классов алгебр изучались в работах Ж. Перез-Изкуедро и К. Жиманес-Гистал [56,57,58]. В частности, для обобщеных алгебр Кэли-Диксона было показано, что все компоненты тернарных дифференцирований конструируются посредством дифференцирований и скалярных отображений. Стоит отметить, что возможны и другие способы обобщений дифференцирований. Например, в работе [59] было предложено понятие предифференцирования, то если такого линейного отображения D, что для произвольных элементов x,y,,z алгебры А верно D((xy)z)=(D(x)y)z+(xD(y))z+(xy)D(z). Ясно, что в случае ассоциативной алгебры с единицей, понятие дифференцирования и предифференцирования совпадают. Легко заметить, что понятие тернарного дифференцирования, как и д-дифференцирования, алгебры допускает естественное обобщение на случай n-арной алгебры. Отметим, что в данном случае, тривиальными д-дифференцированиями будут являться 1/n-дифференцирования, которые будут являться элементами центроида n-арной алгебры. В рамках выполнения НИР, Кайгородовым И.Б. Начато изучение д-дифференцирований n-арных (n+1)-мерных алгебр Филиппова, впервые описанных в [30], а также простой тернарной алгебры Мальцева М8, впервые описанной в работе [60].

Конформные алгебры представляют собой алгебраические системы, возникающие при формализации свойств коэффициентов сингулярной части операторного разложения произведений полей (operator product expansion, OPE) в двумерной конформной теории поля. С алгебраической точки зрения, конформные алгебры -- это линейные пространства над полем k характеристики нуль, снабженные унарной линейной операцией D и “многозначной” билинейной операцией (·(л)·), принимающей на любых двух элементах конечное число значений. Наиболее интересен случай конформных алгебр конечного типа, в которых имеется конечное число полей и коэффициенты сингулярной части OPE зависят только от этих полей и их производных. Такие конформные алгебры являются аналогами обычных конечномерных алгебр в соответствующей псевдотензорной категории. Обобщение понятия конформной алгебры -- псевдоалгебры над алгебрами Хопфа -- активно изучаются. В частности, над всеми кокоммутативными алгебрами Хопфа уже построена структурная теория ассоциативных, лиевых и йордановых псевдоалгебр конечного типа. Но один из естественных классов алгебр Хопфа -- координатные алгебры алгебраических групп -- состоит не только из кокоммутативных алгебр. Нами получена классификация простых и полупростых объектов конечного типа в классе градуированных конформных алгебр, который охватывает псевдоалгебры над всеми такими линейными алгебраическими группами, у которых компонента связности единицы изоморфна аффинной прямой. Доказана следующая теорема. Пусть основное поле k алгебраически замкнуто и имеет характеристику нуль. Тогда простая градуированная ассоциативная конформная алгебра конечного типа изоморфна конформной алгебре петель Cur A над простой конечномерной градуированной ассоциативной алгеброй A; простая градуированная ассоциативная конформная алгебра конечного типа изоморфна прямой сумме конечного числа простых. Для завершения классификации ассоциативных псевдоалгебр над всеми линейными алгебраическими группами размерности 1 остается рассмотреть случай Z-конформных алгебр, отвечающих мультипликативной группе поля (В.Ю. Губарев).

Диалгеброй называется векторное пространство с двумя операциями левого и правого умножения. Ассоциативные диалгебры были введены Лодеем в 1993 году, с их помощью строится универсальная обёртывающая для алгебр Лейбница [17]. Далее в литературе появлялись различные типы диалгебр, и, наконец, Колесников в 2008 году из общеалгебраических соображений, основанных на теории операд, показал как для определённого многообразия алгебр построить соответствующее многообразие диалгебр [18,19]. В частности, были указаны 3 тождества, определяющие многообразие йордановых диалгебр. Независимо Веласкес и Фелиппе из других соображений определили понятие квазийордановой алгебры как некоммутативного аналога йордановой алгебры, кроме того они приведели 2 тождества, которым удовлетворяют квазийордановы алгебры. Далее Бремнер указал недостающее тождество, которому удовлетворяли все приведённые в статье Веласкеса и Фелиппе примеры квазийордановых алгебр. Вместе с недостающим тождеством получилось 3 тождества, алгебры удовлетворяющие этим 3 тождествам были названы полуспециальными квазийордановыми алгебрами. После этого понятия полуспециальной квазийордановой алгебры и йордановой диалгебры стали эквивалентны. В работе Бремнера и Перези по аналогии с обычными алгебрами введено понятие специальной йордановой диалгебры и специального тождества (s-тождества) как тождества, которое выполнено во всех специальных йордановых диалгебрах, но не выполняется во всех йордановых диалгебрах. Одним из основых результатов работы Бремнера и Перези является доказательство отсутствия s-тождеств степени ? 7 и пример s-тождества степени 8, этот результат получен методами компьютерной алгебры. Также Бремнер и Перези поставили задачу обобщить классические результаты, известные для специальных йордановых алгебр, на случай диалгебр. При решении задачи, поставленной Бремнером и Перези, автором ранее были доказаны аналог теоремы Кона о характеризации элементов свободной специальной йордановой диалгебры от ? 2 порождающих как симметрических элементов свободной ассоциативной диалгебры, а также аналоги теорем Ширшова и Макдональда про специальные йордановый алгебры. В дальнейшем возможно обобщение других классических результатов на случай диалгебр. Методами исследования является сведение задач для диалгебр к задачам для обычных алгебр, также существенно используются конформные алгебры.

Обобщением класса йордановых супералгебр является класс некоммутативных йордановых супералгебр. Класс некоммутативных йордановых алгебр чрезвычайно обширен - кроме (коммутативных) йордановых алгебр он содержит также, например, все альтернативные и квазиассоциативные алгебры, эластичные квадратичные алгебры, а также антикоммутативные алгебры. Проблема классификации простых конечномерных некоммутативных йордановых алгебр была решена Р.Шейфером [20]в случае характеристики 0 и степени >2, Р.Оемке [21] для простых конечномерных эластичных алгебр со строго ассоциативными степенями в характеристике не 2,3 и степени >2, К.Мак-Криммоном [22] для простых конечномерных некоммутативных йордановых алгебр степени >2 и K.Смитом [23] для степени два. Строго первичные некоммутативные йордановы алгебры описаны В.Г.Скосырским [24]. А.П.Пожидаевым и И.П.Шестаковым классифицированы простые конечномерные некоммутативные йордановы супералгебры над полем характеристики 0 (без ограничений на степень алгебры) и доказан аналог теоремы Оемке для случая произвольной характеристики.

Хорошо известна конструкция Кантора [25,26,27], которая по ассоциативно-коммутативной алгебре с дифференцированием позволяет построить йорданову супералгебру. Полученная таким образом, йорданова супералгебра принадлежит классу супералгебр векторного типа. Супералгебры векторного типа играют важную роль при построении контрпримеров. С.В. Пчелинцевым были построены примеры первичных (-1,1)-алгебр и йордановых алгебр с абсолютными делителями нуля, так называемых "Монстров Пчелинцева" [28]. Е. И. Зельманов, Ю.А. Медведев и И.П. Шестаков с помощью йордановых супералгебр векторного типа были даны другие конструкции "Монстров Пчелинцева". Йордановы супералгебры векторного типа с одним дифференцированием изучались в работах К. Маккримона им был найден критерий простоты йордановой супералгебры и доказана специальность таких йордановых супералгебр [27]. Е.И. Зельманов и К. Мартинес построили универсальную ассоциативную обертывающую алгебру для простой йордановой супералгебры векторного типа с одним дифференцированием. В. Н. Желябиным и И.П. Шестаковым [29] были описаны унитальные простые специальные йордановы супералгебры с ассоциативной четной частью A, нечетная часть M которых является ассоциативным A-модулем. Если супералгебра не является супералгеброй невырожденнойбилинейной суперформы, то ее четная часть A --- дифференциально простая алгебра относительно некоторого множества дифференцирований, а нечетная часть M - конечнопорожденный проективный A-модуль ранга 1. Умножение в M задается с помощью фиксированных конечных множеств дифференцирований и элементов алгебры A. Если число порождающих A-модуля M равно 1, то исходная йорданова супералгебра является супералгеброй векторного типа J(A,D). Первый пример простой йордановой супералгебры векторного типа над полем действительных чисел, у который M не является однопорженным A-модулем был построен И.П. Шестаковым. Пример подобной супералгебры, но уже над полем характеристики ноль, в котором нельзя извлечь квадратный корень из -1, построил В.Н. Желябин.

Последние десятилетия большой интерес представляет вопрос нахождения надлежащего обобщения алгебр Ли на случай n-арной операции. Одним из таких обобщений являются алгебры Филиппова, введённые В.Т. Филипповым в 1985 году [30]. Помимо прочего, этот класс алгебр является алгебраическим аппаратом механики Намбу, предложенной Й. Намбу, как обобщение классической гамильтоновой механики. Однако, в отличие от алгебр Ли, данный класс алгебр содержит незначительное число простых объектов (в конечномерном случае характеристики 0), поэтому представляет интерес нахождение класса n-арных алгебр, обобщающего класс алгебр Ли и более насыщенного простыми объектами. В работе А. С. Руденко вводится понятие редуцированно лиевых тернарных алгебр (RLT-алгебр), как обобщение тернарных алгебр Филиппова. Доказано, что многообразие RLT-алгебр содержит многообразие алгебр Филиппова в качестве собственного подмногообразия. Также строятся некоторые примеры RLT-алгебр минимальной размерности как фактор-алгебр свободных тернарных алгебр от различного числа порождающих, что является одним из возможных подходов в описании RLT-алгебр малых размерностей. Доказан аналог теоремы Энгеля для RLT-алгебр. Показано, что на пространстве операторов правого умножения RLT-алгебры можно задать структуру алгебры Ли, которая является полупростой подалгеброй специальной алгебры Ли, если рассматриваемая RLT-алгебра проста и конечномерна над полем характеристики 0, и также показано отсутствие RLT-алгебры с невырожденной (косо)симметрической формой, отличной от тернарной алгебры Филиппова.

Алгебры Новикова возникли в 1979 в работе И.М. Гельфанда и И.Я. Дорфмана [31] как формализм, описывающий условие гамильтоновости операторов определенного вида, действующих на гладких конечномерных многообразиях со значениями в алгебрах Ли векторных полей. В работе А.А. Балинского и С.П. Новикова [32] алгебры Новикова были введены для изучения свойств локальных алгебр Ли, возникающих из скобок Пуассона гидродинамического типа. Простые конечномерные алгебры Новикова над полем нулевой характеристики были описаны Е.И. Зельмановым [33]. Как оказалось, всякая такая алгебра является полем. Примеры неассоциативных конечномерных простых алгебр Новикова над полем ненулевой характеристики и бесконечномерных простых алгебр Новикова над полем нулевой характеристики получены В.Т. Филипповым [34]. Классификации простых алгебр Новикова с идемпотентом посвящены работы М. Осборна [35,36,37].

Алгебры Новикова-Пуассона были введены К. Ксу [38,39,40]. Как оказалось, каждая алгебра Новикова-Пуассона с ассоциативной коммутативной единицей может быть получена из ассоциативной коммутативной дифференциальной алгебры. Связь между ассоциативными дифференциальными алгебрами и алгебрами Новикова была также указана в работе И.М. Гельфанда и И.Я Дорфмана. В работе А.С. Тихова установлено соответствие между алгебрами Новикова-Пуассона с ассоциативной коммутативной единицей и йордановами супералгебрами. В частности, А.С. Тиховым было анонсировано, что алгебра Новикова-Пуассона проста тогда и только тогда, когда проста соответствующая ей йорданова супералгебра. В.Н. Желябиным и А.С. Тиховым [41] были описаны алгебры Новикова-Пуассона, у которых алгебра Новикова не является простой алгеброй, а соответствующая ей ассоциативная коммутативная дифференциальная алгебра является дифференциально простой. В частности, доказано, что над полем характеристики ноль алгебра Новикова проста тогда и только тогда, когда дифференциально проста ее ассоциативная коммутативная дифференциальная алгебра. В связи с вышесказанным возникает вопрос как устроены алгебры Новикова-Пуассона с произвольной ассоциативной-коммутативной алгеброй и простой алгеброй Новикова?

В рамках выполнения проекта на 2 этапе работы коллективом исследователей опубликовано 9, принято к печати 8, сдано в печать 7 научных статей (см. Приложение А); сделано 6 докладов на отечественных и 10 докладов на международных научных форумах (см. Приложение Б). В штат ИМ СО РАН приняты молодые научные сотрудники: Гончаров Максим Евгеньевич, Дудкин Федор Анатольевич и Кайгородов Иван Борисович.

2. ИЗУЧЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ГРУПП

Задача о полярном разложении линейных операторов пространства Минковского была сформулирована ак. Годуновым С.К. в связи с задачей построения термодинамики в условиях специальной теории относительности. Известна полная классификация лоренцево ортогональных операторов (см., например, [42] ). Известна жорданова классификация самосопряженных операторов в эрмитовых пространствах с индефинитной метрикой [43]. Задача о метрической классификации самосопряженных операторов в пространствах с индефинитной метрикой также решена [44]. Мы предлагаем независимое решение задачи о классификации самосопряженных операторов в пространствах Минковского.

Задача о полярном разложении потребовала решения задачи извлечения квадратного самосопряженного корня S из оператора вида A*A , который в данном случае может и не существововать - критерий разрешимости был найден. Существование полярного разложения линейного оператора A=QS, где Q - лоренцево ортогональный, а S -- лоренцево самосопряженный линейный оператор, приводит к еще одному необходимому дополнительному условию совпадения ядер S и A. Ак. Годунов С.К. предложил далее 1) развить численные алгоритмы для построения полярного разложения линейных операторов в пространствах Минковского, 2) построить спектральные портреты для некоторых лоренцево самосопряженных матриц. Чуркиным В. А. получено полное описание линейных операторов пространства Минковского, допускающих полярное разложение, то есть разложение в произведение лоренцево самосопряженного и лоренцево ортогонального линейных операторов.

Пусть G - группа. Обозначим через ?(G) множество изоморфизмов подгрупп конечного индекса группы G. Два таких изоморфизма ц1: H1 > H1' и ц2: H2 > H2' назовем эквивалентными (пишем ц1~ц2), если существует такая подгруппа конечного индекса H группы G, что оба изоморфизма определены на H и ц1|H = ц2|H. Для двух данных изоморфизмов ц1 и ц2 из ?(G) определим их произведение ц1 ц2: ц1-1(H1'H2) > ц2(H1'H2) - изоморфизм из ?(G). Фактор множество ?(G)/ ~ наследует умножение [б][в]=[бв] и является группой отностельно такой операции. Будем называть такую группу абстрактным соизмерителем группы G (англ. abstract commensurator) или, для краткости, соизмерителем группы G и обозначать Comm(G). Группа Comm(G), как правило, гораздо больше, чем Aut(G). Например, Aut(Zn) GL(n,Z), в то время, как Comm(Zn)GL(n,Q). Соизмерители точно описаны лишь для нескольких классов групп. Для группы MCGg классов отображений поверхностей Иванов нашел Comm(MCGg). Фарб и Хэндэль доказали, что Comm(Out(Fn))Out(Fn) для n?4. Лейнингер и Маргалит нашли соизмеритель группы кос Bn на n?4 нитях. Для группы Ноттингема соизмеритель подсчитал Ершов. В 1962 году Г. Баумслаг и Д. Солитер [45] нашли серию нехопфовых групп с одним соотношением простого вида в классе групп BS(p,q)= < a, t | t-1 ap t=aq >. Здесь p и q - пара ненулевых целых чисел (параметры). На протяжении почти 50 лет эти группы активно исследовались. Мескин доказал, что группа BS(p,q) финитно аппроксимируема тогда и только тогда, когда p|q или q|p. Коллинз описал группу автоморфизмов BS(p,q) при взаимно простых p и q. Коллинз и Левин заметили, что группа BS(p,q), где |p| и |q| не равны единице и одно из чисел p и q делит другое, имеет бесконечно порожденную группу автоморфизмов. Доказано, что группа BS(p,q) при |p| не равном |q| не может быть подгруппой фундаментальной группы связного ориентируемого 3-многообразия. Никакая группа Баумслага-Солитера не может быть подгруппой гиперболической группы. Группа BS(p,q) обладает автоматной структурой тогда и только тогда, когда |p|=|q|. Таким образом, группы Баумслага-Солитера в настоящее время исполняют роль тестовых групп. Многие вопросы об этих группах до сих пор не решены. Несомненно, специалисты по теории групп будут в дальнейшем обращаться к группам Баумслага-Солитера. Поэтому целесообразно иметь наиболее полное описание их свойств, для облегчения исследований. Заметим, что для разрешимых групп Баумслага-Солитера вида BS(1,n) О. В. Богопольский уже описал абстрактный соизмеритель [46]. Полученный результат охватывает более широкий класс групп Баумслага-Солитера и дополняет результат Богопольского на случай взаимно простых параметров, не равных единице.

3. ОЦЕНКА КОНКУРЕНТОСПОСОБНОСТИ ПОСТАВЛЕННЫХ ЗАДАЧ

Локально конечные группы являются важным объектом теоретико-групповых исследований, весьма близким к хорошо изученному классу конечных групп. С другой стороны, как было впервые продемонстрировано академиками П.С. Новиковым и С.И. Адяном, локально конечные группы составляют весьма узкий подкласс класса в периодических групп. Так, в свободных бернсайдовых группах большого периода любая конечная подгруппа является циклической, что невозможно в неабелевых локально конечных группах ограниченного периода. Поэтому актуальной является проблема нахождения условий на строение и вложение конечных групп в периодичесую группу, которые гарантируют её локальную конечность. К настоящему времени в России и за рубежом получено много впечатляющих результатов по этой проблематике и первенство здесь принадлежит российским учёным. В первую очередь здесь следует назвать фамилии Шункова, Созутова, Сучкова, Шлёпкина и их учеников. Успех в решении указанной проблемы основывается на впечатляющих результатах Беляева и Боровика, показавших, что группа, являющаяся объединением возрастающей последовательности конечных простых групп лиева типа, изоморфна простой группе лиева типа над локально конечным полем. В последнее время для решения проблемы успешно привлекаются методы локального анализа, развитые при решении задачи классификации конечных простых групп. Последним из полученных в этом направлении результатов является теорема о том, что периодическая группа, в которой любая конечная подгруппа двуступенно нильпотентна, обладает нормальной локально конечной силовской 2-подгруппой, порождающей вместе со своим централизатором всю группу. Она получена Д.В. Лыткиной и В.Д. Мазуровым [47], обоснована полным доказательством, и поэтому её достоверность не вызывает сомнения. Она распространяет ранее полученные аналогичные результаты с класса 2-групп на произвольные периодические группы и является результатом мирового уровня. С другой стороны, общая проблема далеко не исчерпана и требует продолжения исследований. Ближайшей задачей является изучение периодических групп, в которых каждая конечная подгруппа удовлетворяет тождеству [x,y][x,y]=1.

Н.С.Романовским и А.Г.Мясниковым был найден широкий класс разрешимых групп - жесткие группы, в котором удачно работают методы алгебраической геометрии над группами. Затем первый автор доказал принципиальный результат о нетеровости по уравнениям жестких групп и в серии статей развил алгебраическую геометрию над делимыми распавшимися жесткими группами [48, 49, 50]. Разработанные методы и техника применяются нами к изучению возможности задания жестких групп через определяющие соотношения и решению алгоритмических проблем над жесткими группами. Доказывается, что если рассмотреть множество всех жестких групп ступени разрешимости не выше m с данным конечным алфавитом X порождающих элементов, на которых выполняется данный набор соотношений R, то в нем существует лишь конечное число максимальных по накрытию групп, которые, по сути, и определяются соотношениями R. Множество соотношений называется полным, если максимальная группа всего одна. Доказывается, что всякая конечно порожденная жесткая группа полно конечно определена. Указан эффективный алгоритм построения по данному конечному множеству соотношений R конечного набора эффективных представлений жестких групп, содержащих все максимальные группы, тем самым решается вопрос о том, является ли данное соотношение в классе жестких групп ступени разрешимости не выше m следствием соотношений R, другими словами, доказывается алгоритмическая разрешимость проблемы равенства. Есть надежда, что подобными методами удастся решить и проблему сопряженности в жестких группах. В этом направлении будут продолжены исследования. Планируется также исследовать вопрос об алгоритмической разрешимости элементарной теории делимой распавшейся жесткой группы.

Хорошо известно, что в теории конечных групп p-группы p-подгруппы и p-элементы играют особую роль. Благодаря особенностям строения и, в частности, нильпотентности, для таких групп, подгрупп и элементов удается доказывать особые утверждения (условимся называть их p-теоремами), аналоги которых для произвольных групп, подгрупп и элементов неверны, а зачастую даже не могут быть сформулированы. Примерами таких утверждений являются:

теоремы Силова (краеугольный камень теории конечных групп по единодушному признанию специалистов);

теорема о нетривиальности центра произвольной нетривиальной p-группы и ее следствие - теорема о нильпотентности p-групп;

теоремы о существовании нормального p-дополнения;

теорема Бэра-Судзуки, дающая критерий принадлежности произвольного элемента p-радикалу;

теорема Пассмана-Зенкова о пересечениях силовских подгрупп.

Если рассмотреть некоторое множество р простых чисел, то для многих p-теорем можно сформулировать утверждения (как правило, неверные в общем случае), которые получаются заменой числа p на множество р. Мы будем называть такие утверждения р-аналогами соответствующих p-теорем или просто р-теоремами. Можно также попытаться доказать справедливость той или иной р-теоремы для того или иного класса конечных групп, а также изучить свойства класса всех конечных групп, для которых эта теорема верна. Так Ф.Холлом были введены в рассмотрение свойства (классы) Eр, Cр и Dр конечных групп, обозначающие справедливость для группы р-аналога одной из трех теорем Силова. Более точно, говорят, что конечная группа G обладает свойством (принадлежит классу)

Eр, если G содержит р-холлову подгруппу (аналог силовской p-подгруппы); алгебраический сингулярный линейный оператор

Cр , если G принадлежит Eр и любые две р-холловы подгруппы группы G сопряжены;

Dр , если G принадлежит Cр и всякая р-подгруппа группы G содержится в некоторой р-холловой подгруппе.

Еще в 20-е годы Холл доказал, что всякая разрешимая группа обладает свойством Dр (или, как еще говорят, является Dр-группой) для произвольного множества р простых чисел. В дальнейшем многими авторами предпринимались попытки доказать одно из свойств Eр , Cр , Dр для того или иного класса конечных групп, а также научиться строить Eр-, Cр - и Dр-группы из уже известных. Была обнаружена тесная связь холловых свойств с нормальным и композиционным строением группы. Более точно, было доказано, что класс Eр замкнут относительно взятия нормальных подгрупп и гомоморфных образов, но не замкнут относительно расширений;

класс Cр замкнут относительно взятия расширений, но не замкнут относительно нормальных подгрупп;

класс Dр замкнут относительно взятия гомоморфных образов.

Участникам проекта Д.О.Ревину и Е.П.Вдовину удалось завершить описание холловых подгрупп в конечных просых группах и доказать замкнутость класса Dр относительно расширений и нормальных подгрупп, а класса Cр относительно гомоморфных образов. Из этих результатов следует, что конечная группа обладает свойством Dр тогда и только тогда, когда каждый ее композиционный фактор обладает этим свойством. Поскольку для любой конечной простой группы (в терминах ее естественных арифметических параметров) был найден простой критерий ее принадлежности классу Dр, для любой конечной группы c известными композиционными факторами и любого множества простых чисел р можно легко определить, обладает эта группа свойством Dр или нет. Для классов Eр и Cр были найдены критерии принадлежности конечной группы G этим классам в терминах т.н. групп G-индуцированных автоморфизмов. Таким образом, вопрос о справедливости ослабленных аналогов Eр и Cр теоремы Силова сведен к почти простым группам. На сегодняшний день одной из наиболее актуальных задач данного направления является получение арифметической характеризации почти простых Eр и Cр -групп. Важно также изучить р-аналоги других p-теорем, попытаться проследить связь между ними и, по возможности, получить арифметическую характеризацию по образцу групп со свойством Dр.

Спектром конечной группы называется множество порядков ее элементов. Группы называются изоспектральными, если имеют одинаковые спектры. Группа G называется распознаваемой по спектру, если все изоспектральные ей конечные группы изоморфны между собой, т.е. изоморфны G. Группа G называется почти распознаваемой по спектру, если с точностью до изоморфизма существует только конечное число конечных групп, изоспектральных G. Наибольший интерес проблема распознаваемости по спектру представляет для неабелевых простых групп и групп, близким к ним. Около 2000 г. была видвинута гипотеза о том, что конечные простые классические группы достаточно большой размерности почти распознаваемы по спектру.

За последние несколько лет сложилась следующая схема исследования проблемы распознаваемости по спектру для простых групп. Простая неабелева группа L называется квазираспознаваемой по спектру, если любая изоспектральная ей конечная группа содержит единственный неабелев композиционный фактор и этот фактор изоморфен L. Накрытием группы L называется конечная группа, гомоморфно отображающаяся на L. Группа L называется распознаваемой по спектру среди накрытий, если любое собственное накрытие группы L не изоспектрально группе L. Отметим, что квазираспознаваемая и распознаваемая среди накрытий группа L является почти распознаваемой; более того, любая конечная группа, изоспектральная L, изоморфна расширению группы L посредством некоторого автоморфизма. Таким образом, упомянутая выше схема влючает в себя два этапа: проверка свойства квазираспознаваемости и изучение спектров накрытий.

Графом простых чисел группы G называется граф, вершинами которого являются простые делители порядка группы G и в котором две различные вершины r и s соединены ребром тогда и только тогда, когда в G есть элемент порядка rs. Ясно, что граф простых чисел группы восстанавливается по ее спектру. К настоящему моменту свойство квазираспознаваемости изучено для всех простых классических групп с несвязным графом простых чисел, кроме групп из серий PSL(r,q), PSL(r+1,q), PSU(r,q) и PSU(r+1,q), где r - нечетно простое число. В.Д. Лыткиным получен следующий результат.

Теорема 1. Пусть L=PSL(r, q), где r - нечетное простое число и r не делит q-1. Тогда L квазираспознаваема по спектру.

В 2008 г. А.В. Заварницин показал, что все простые линейные группы размерности больше четырех распознаваемы по спектру среди накрытий. Таким образом, верно следующее

Следствие 1. Пусть L=PSL(r, q), где r - нечетное простое число и r не делит q-1. Если G - конечная группа, изоспектральная L, то G изоморфна некоторой группе H со свойством L? H? Aut (L). В частности, группа L почти распознаваема по спектру.

Отметим, что методы, применяемые для доказательства теоремы 1, могут быть использованы исследования квазираспознаваемости групп PSL(r, q), где r - нечетное простое число и r делит q-1.

Как было уже отмечено, простые линейные группы распознаваемы среди накрытий. М.А. Гречкосеевой рассматривалась соответствующая задача для остальных классических групп, т. е. для унитарных, ортогональных и симплектических групп. Как несложно показать, группа L распознаваема по спектру среди накрытий тогда и только тогда, когда для любого конечного векторного пространства V, на котором действует группа L, спектр естественного полупрямого произведения VL строго содержит спектр группы L. Хорошо известно, что свойства представлений конечных классических групп в характеристике определения отличаются от свойств остальных представлений. В соответствии с этим фактом задача о спектрах накрытий распадается на две независимые части: одна часть касается произведений VL, где V и L определены над полями одной характеристики, а второй - произведений VL, где V и L определены над полями различных характеристик (вопросы 17.73 и 17.74 в "Коуровской тетради" соответственно).

Теорема 2. Пусть L - одна из простых групп PSU(n,q), где n ? 4, PSp(2n,q) и Щ(2n+1,q), где n ? 3, PЩ(+,2n,q) и PЩ(-,2n,q), где n ? 4, и V - конечный L-модуль над полем характеристики r, которая не делит q. Если L отлична от PSU(5,2) или r отлично от 3, то спектр естественного полупрямого произведения VL строго больше спектра группы L. Если L=PSU(5,2), то существует L-модуль V над полем характеристики 3 такой, что спектры групп VL и L совпадают.

Доказательство теоремы 2 основывается на результате В.Д. Мазурова о действии циклического фробениусова дополнения и на результатах Л. Ди Мартино и А. Е. Залесского о степени минимального аннулирующего многочлена элементов примарного порядка в представлениях классических групп. Теорема 2 дает исчерпывающий ответ на вопрос 17.74 из "Коуровской тетради" для классических групп. В дальнейшем планируется получить аналогичные результаты для простых исключительных групп лиева типа, а также изучить вопрос 17.73.

Как уже отмечалось, граф простых чисел конечной группы восстанавливается по ее спектру, поэтому утверждения о графе простых чисел конечной группы могут быть использованы при решении проблемы ее распознаваемости по спектру. В 2005 г. А.В. Васильев и Е.П. Вдовин [51] указали критерий смежности в графе простых чисел для каждой конечной простой группы. В частности, ими было найдено число вершинной независимости этого графа, т.е. наибольший размер коклики. Как оказалось, интерес представляет наибольший размер колики, но и описание всех коклик такого размера. В рамках проекта А.В. Васильев и Е.П. Вдовин получили соответствующее описание для всех конечных простых групп.

В 2009 г. У. Кантор и А. Сереш нашли формулы для наибольших порядков элементов в простых группах лиева типа над полями нечетных характеристик. На основе этих формул ими была доказана теорема о том, что три наибольших элемента спектра простой группы лиева типа над полем нечетной характеристики однозначно определяют эту характеристику. В.Д. Лыткиным были найдены формулы для наибольших порядков полупростых элементов в простых симплектических и ортогональных группах над полями характеристики 2. Этот результат может быть использован для обобщения теоремы Кантора и Сереша на весь класс простых групп лиева типа.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В ходе исполнения 2 этапа «Постановка задач» получены следующие результаты:

Доказано, что структура биалгебры Мальцева, заданная на алгебре Мальцева M, не индуцирует структуру ко-Пуассоно-Мальцевской алгебры на универсальной обертывающей алгебре U(M) алгебры М. Классифицированы простые ассоциативные Z-конформные алгебры конечного типа. Построен пример исключительной двупорождённой йордановой диалгебры. Получена классификация простых конечномерных некоммутативных йордановых супералгебр характеристики 0. Найдены условия существования обобщенной супералгебры векторного типа с четной частью A и нечетной частью M, где М - конечный проективный модуль ранга 1. Доказывается, что периодическая группа, в которой любая конечная подгруппа двуступенно нильпотентна, обладает нормальной силовской двуступенно нильпотентной подгруппой, порождающей вместе со своим централизатором всю группу. Доказана алгоритмическая разрешимость проблемы равенства для конечных копредставлений жестких групп. Доказано, что в конечных простых Eр-группах число классов сопряженных р-холловых подгрупп является ограниченным р-числом. Доказано, что любая Dр-группа является Bsр-группой. Получено полное описание линейных операторов пространства Минковского, допускающих полярное разложение, то есть разложение в произведение лоренцево самосопряженного и лоренцево ортогонального линейных операторов. Для групп Баумслага--Солитера с взаимно простыми параметрами описана групповая структура абстрактного соизмерителя и для каждой подгруппы конечного индекса найдено копредставление её группы автоморфизмов. Доказано, что при действии конечной простой классической группы G размерности не меньше 8 на векторном пространстве над полем положительной характеристики, отличной характеристики определения группы G, в естественном полупрямом произведении всегда возникает элемент, порядок которого отличен от порядка любого элемента группы G. Для каждой конечной простой группы описаны коклики наибольшего размера в ее графе простых чисел. Доказано, что простые линейные группы PSL(r,q), где r - нечетное простое число и r не делит q-1, квазираспознаваемы по спектру. Найдены явные формулы для нахождения максимальных порядков полупростых элементов простых симплектических и ортогональных групп над полями характеристики 2. Доказано, что для произвольной алгебры Новикова-Пуассона коммутатор, относительно умножения в алгебре Новикова, является йордановой скобкой на ассоциативно-коммутативной алгебре. Для конечных простых линейных и унитарных групп получены достаточные арифметические условия на существование нетривиальных неподвижных точек элементов больших простых порядков в эквихарактеристических модулях таких групп. Установлено достаточное условие существования корня многочлена над гензелевым нормированным полем.

Выполненные на 2 этапе работы соответствуют требованиям технического задания, календарного плана и нормативной документации.

Приведены списки опубликованных работ, выступлений на научных форумах, а также другие показатели успешной работы в рамках данного проекта.

Полученные результаты имеют мировой уровень, а исполнители представляют передовой фронт науки в указанных областях.