Сферический треугольник

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

ДЕПАРТАМЕНТ ОБРАЗОВАНИЯ ГОРОДА МОСКВЫ

Юго-Западный административный округ

Государственное бюджетное общеобразовательное учреждение

города Москвы «Школа № 15»

Межрайонная конференция

Московского городского конкурса проектных и исследовательских работ

Сферический треугольник

Работу выполнили

Абакумов Данил

Кареев Артём

учащиеся __9Ж______класса

ГБОУ Школа № 15

Научный руководитель:

Шишкова Елена Ивановна

учитель математики ГБОУ Школа №15

Москва, 2017

Введение

Сферическая геометрия возникла в связи с потребностями астрономии. По-видимому, первым обращением человечества к тому, что потом получит название сферической геометрии, была планетарная теория греческого математика Евдокса (ок. 408-355 гг. до н.э.), одного из учеников Академии Платона. Это была попытка объяснить движение планет вокруг Земли с помощью четырех вращающихся концентрических сфер, каждая из которых имела особую ось вращения с концами, закрепленными на охватывающей сфере, к которой, в свою очередь, были «прибиты» звезды. Таким образом объяснялись замысловатые траектории планет (в переводе с греческого «планета» - блуждающая).

Проблема исследования состоит в следующем: сходны ли свойства сферической, евклидовой и неевклидовой геометрий. В чем их различия?

Цель исследования: повысить роль математики, как важной науки.

Объект исследования: сфера.

Предмет исследования: сферический треугольник.

Гипотеза исследования: треугольники, лежащие в плоскости и на сфере, не могут считаться равными, поскольку во втором случае плоскость имеет кривизну. В связи, с чем и свойства этих фигур имеют различия.

В соответствии с целью, предметом и гипотезой были поставлены следующие задачи исследования:

1. Изучить геометрическое понятие "сферический треугольник" и его свойства;

2. Изучить и сравнить с евклидовой геометрией;

3. Изучить области применения новых знаний;

Для решения поставленных задач были использованы методы исследования:

· поисковый (поиск информации, по данной теме в специальной литературе);

· экспериментальный (доказательство теорем, работа с литературой и с интернет-источниками);

· аналитический (анализ изученного материала);

· практический (решение задач).

История

Античный математик и философ Евклид жил в 3 веке до нашей эры. И математиком он был действительно выдающимся - не только для своего времени, но и для современности. Ведь та самая геометрия, которую сегодня изучают школьники всего мира, носит название «евклидовой». Она базируется на пяти аксиомах, выведенных именно им. Без преувеличения, этот ученый заложил фундамент современной геометрии и во многом - математики как науки. В известном труде «Начала» он изложил стереометрию, планиметрию, аспекты теории чисел, создал базу для последующего развития математики. Он по праву считается "отцом геометрии".

И только через 2 с лишним тысячи лет российский математик Лобачевский усомнился в безраздельной справедливости геометрии Евклида. Он вывел «свою собственную» геометрию, которая базировалась не на плоскости, а на псевдосфере. Интересно, что все Аксиомы, выведенные Евклидом, сохранялись. Кроме одной - о параллельных прямых. Кроме Лобачевского, «свою» геометрию вывел и немецкий математик Риман. В настоящее время три геометрии странным образом сосуществуют в мире - Евклидова, Римана и Лобачевского.

Неевклидова и евклидова геометрии. Аксиома параллельности прямых

равнобедренный сферический треугольник лобачевский

Некоторые факты из Геометрии Лобачевского

- Сумма углов треугольника меньше 180 °, меняется от треугольника к треугольнику и может приближаться к нулю.

- Сумма углов всякого выпуклого четырехугольника меньше 360 °, и поэтому не существует прямоугольников.

- В геометрии Лобачевского не существуют подобные треугольники.

- В геометрии Лобачевского два треугольника равны, если три угла одного треугольника равны трем углам другого.

- Для любого заданного угла б можно найти такой перпендикулярный отрезок к данной прямой, что угол параллельности равен б.

Итак, аксиома параллельных прямых. Отличие аксиомы параллельных прямых Лобачевского от Евклидова в том, что у Лобачевского на плоскости через точку, не лежащую на данной прямой, проходит более чем одна прямая, не пересекающая данную. В то время, как у Евклида эта прямая только одна.

Основные понятия сферической геометрии

Сферой называется множество точек пространства, расположенных на данном расстоянии от данной точки, называемой её центром. Сфера - тело вращения полуокружности вокруг его диаметра как оси (рис.1).

Рис.1

Диаметральная плоскость пересекает сферу по большой окружности (рис.2).

Ртис.2

Любая плоскость, которая не проходит через центр сферы, пересекает сферу по малой окружности (рис.3).

Рис.3

Две большие окружности делят сферу на четыре области (рис.4а). Три большие окружности делят сферу на восемь областей (рис.4б).

а б

Рис.4

Дуга AB - сферический отрезок. Длина сферического отрезка АВ равна величине центрального угла AOB (рис.5а).

Рис.5

Сферический отрезок, соединяющий две точки на сфере, короче любой другой линии на сфере, соединяющий эти две точки (рис.5б).

Сферический треугольник

Сферический треугольник - фигура, образованная тремя дугами окружностей больших кругов, попарно соединяющих три точки.

Среди всех сферических многоугольников наибольший интерес представляет сферический треугольник. Он получается при пересечении трёх больших окружностей, причём таких треугольников на сфере образуется восемь. Зная элементы (стороны и углы) одного из них можно определить элементы всех остальных.

Поэтому рассматривают соотношение между элементами одного из них, того, у которого все стороны меньше половины большой окружности.

Сторонами сферического треугольника являются отрезки сферических прямых (a, b, c), вершинами - их концы (A, B, C), углами - углы, образуемые сторонами сферического треугольника в его вершинах (б, в, г).

Многие свойства сферического треугольника почти полностью повторяют свойства обычного треугольника, среди них - неравенство треугольника, три признака равенства треугольника. Однако, существуют и другие признаки равенства сферических треугольников, такие как:

1) Если все три угла одного треугольника равны соответственным углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

2) Если две стороны одного треугольника равным двум соответственным сторонам другого треугольника, равны углы, лежащие против одной пары равных сторон, а углы, лежащие против другой пары равных сторон, одновременно острые или тупые, то такие треугольники равны.

3) Если два угла одного треугольника равны двум соответственным углам другого треугольника, равны стороны, лежащие против одной пары равных углов, а стороны, лежащие против другой пары равных углов, одновременно меньше или больше, то такие треугольники равны.

Равнобедренный сферический треугольник

Сферический треугольник называется равнобедренным, если две его стороны равны.

Всякий сферический треугольник, наложимый на треугольник, ему симметричный - равнобедренный.

Полярный сферический треугольник

Полярный треугольник - понятие сферической геометрии. Полярным для данного сферического треугольника называется такой сферический треугольник, по отношению к сторонам которого вершины данного треугольника являются полюсами.

Полюсом называется одна из двух точек пересечения перпендикуляра из центра сферы к плоскости большого круга. То есть в данном случае каждая вершина данного сферического треугольника лежит на перпендикуляре из центра сферы к большому кругу, содержащему соответствующую сторону полярного сферического треугольника.

Применение сферического треугольника

· Использование в трехмерной графике сферических треугольников.

· В астрономии.

· В географии. Теорема сферического треугольника позволяет по координатам двух городов A и B находить расстояние между ними.

· В архитектуре.

· В дизайне в виде стула от Джорджа Нельсона.

· В гравюре.

Паруса в архитектуре

Заключение

Данная тема ''Сферический треугольник'' была выбрана нами не только, потому что она интересна, но и поскольку сферический треугольник будет связан с нашими будущими профессиями архитектора и проектировщика. Сферический треугольник имеет обширное применение в данных областях и является одной из важных их частей.

Изучая теорию по сферической геометрии, мы сделали выводы:

-Определили основные понятия сферической геометрии;

-Охарактеризовали специфику сферического треугольника как области математики на основе исторических фактов;

-Ознакомились с главными учеными исследуемых евклидову и неевклидову геометрии в своих работах;

-Ознакомились с практическими применениями в различных сферах знаний;

Всё это показывает актуальность этого раздела в наши дни, и возможно уже в ближайшем будущем.

Источники

А.В. Силин и Н.А. Шмакова "Открываем неевклидову геометрию" [Текст] - Просвещение, 1988.

П. Кранц “Сферическая тригонометрия“ [Текст] - ЛКИ, 2007, переводчик - А. Цейтлин

П. С. Александров ”Что такое неэвклидова геометрия” [Текст] - Издательство академии педагогических наук РСФСР, 1950

Б.А. Розенфельд “История неевклидовой геометрии” [Текст] - Наука, 1976

Размещено на Allbest.ru