Формирование учения о магических конструкциях до начала XVIII столетия

Размещено на http: //www. allbest. ru/

Пермский государственный гуманитарно-педагогический университет Россия, 614000, Пермь, ул. Сибирская, 24

Формирование учения о магических конструкциях до начала XVIII столетия

А.Е. Малых, В.И. Данилова

malych@pspu.ru; (342) 280-37-55

Аннотация

Представлен историко-математический анализ вклада ученых в создание теории магических конструкций (квадраты, окружности, многоугольники, кресты, звезды и др.). Кроме того, рассмотрены методы построения магических квадратов (совершенные, составные, рамочные, простые и др.). Процесс формирования учения об этом объекте охватывает период с древних времен до начала XVIII столетия.

Ключевые слова: магические фигуры (окружности, многоугольники, кресты, звезды); магические квадраты (совершенные, составные, бордюрные и др.); типы; композиции; построения.

математический квадрат магический окружность

Введение

Среди разнообразных теоретико-числовых задач представляют интерес те, которые связаны с магическими конструкциями. Учение о них занимало значительное место в древние времена, когда "приложениями" математики являлись числовые суеверия и астрология. В Индии, Китае, странах ислама магические фигуры использовались в качестве талисманов. В работах XVII в. они выступали уже в роли математических развлечений; XVIII и, особенно, XIX столетия также богаты исследованиями таких конструкций. Внимание к ним не утрачено и в наши дни ввиду их приложений.

1. Магические квадраты и их виды

Частным случаем конструкций являются магические квадраты (ниже м.к.). Напомним, что м.к. порядка n называется такое расположение первых n2 натуральных чисел в таблице размера nn, что сумма чисел в каждой строке, столбце и вдоль двух диагоналей одинакова. Она равна одному и тому же значению

,

называемому магической постоянной. Само же число n считают порядком м.к. Иногда на м.к. накладываются дополнительные условия, например, чтобы свойство магичности выполнялось, кроме того, и на всех "параллелях" к двум диагоналям. Последние называют "ломаными". Такие квадраты получили названия полных, изящных, дьявольских, кабалистических, панмагических. Французы их называли совершенными.

Совершенный м.к. порядка 4 был известен индусам уже в XI-XII вв. Сумма чисел, стоящих в каждой его строке, столбце и на двух диагоналях, равна 34. Такую же сумму имеют числа вдоль каждой из "ломаных" диагоналей (рис. 1). Панмагический квадрат порядка 5 имеет магическую сумму вдоль 12 направлений (строки, столбцы, две диагонали) и на 8 "ломаных" диагоналях (рис. 2).

Методы построения м.к. и их свойства зависят от порядка n: нечетного, нечетно-четного, четно-четного. Еще Леонардом Эйлером (1707-1783) было доказано, что не существует нечетно-четных совершенных м.к. (1782) [1].

М.к. можно составлять из чисел любых арифметических прогрессий, в частности, четных или нечетных. На рис. 3,а, б представлены такие квадраты с S = 27 и S = 30 соответственно.

Существуют м.к. из треугольных, других видов фигурных чисел, а также из простых. На рис. 4,а, б магические суммы равны соответственно 111 и 102.

Можно рассматривать м.к., в которых S является произведением чисел, а не суммой. Пример м.к., составленного из первых 9 натуральных степеней числа 2, показан на рис. 5.

Терпение и стремление получить другие м.к. привели ученых к построению рамочных квадратов. В них при отбрасывании окаймляющей полосы шириной в одну или несколько клеток оставшийся квадрат не утрачивает своего магического свойства. Приведенный на рис. 6 м.к. с S = 260 имеет две рамки, а в центре его находится 16-клеточный м.к. с S = 130.

Еще одной разновидностью м.к. являются составные. Они, как следует из названия, разбиваются на подквадраты, каждый из которых - магический. Примером является м.к. порядка 8 с S = 260. Все четыре его подквадрата порядка 4 - магические с константой S = 130 (рис. 7).

В статье показано развитие учения о магических конструкциях, выяснена их структура и методы построения; оценен вклад, внесенный учеными разных стран. Вначале рассмотрены м.к., а затем магические конструкции.

2. Изучение магических квадратов в Китае

Известно, что м.к. появились в незапамятные времена на Древнем Востоке. Одна из дошедших до нас легенд повествует о том, что когда император Ю из династии Шан ( 2000 г. до н.э.) стоял на берегу Ло, притоке Желтой реки, из воды появилась большая рыба (черепаха, сказочное чудовище) с рисунком на спине (панцире), составленном из двух мистических символов - черных и белых кружочков (рис. 8,а). Эта диаграмма и стала известна под названием "Ло шу" (документ реки Ло), впоследствии осознанная как изображение м.к. порядка 3 (рис. 8,б). Первое специальное упоминание о нем найдено около I в. до н.э. в "Записях ритуалов, собранных старшим Даем". Вплоть до X в. квадраты порядка 3 были воплощены в амулетах, заклинаниях [2].

Религиозные и философские приемы, используемые китайцами для интерпретации м.к., основывались на дуалистической метафизической теории "Инь-Ян". В соответствии с ней и способом китайского письма "Ло шу" строили следующим образом: записывали числовой квадрат порядка 3; поворачивали его относительно центра на 45; транспонировали противоположные нечетные ("Ян") элементы и "сжимали" квадрат (рис. 9).

При исследовании математических свойств "Ло шу" выясняется, что сумма чисел, стоящих в строках, столбцах и вдоль диагоналей равна 15; произведение центрального числа С (5) и порядка n (3) равно магической постоянной S (15), т. е.

nС= S; далее

n2С= T,

где Т - сумма всех элементов м.к. Эти формулы справедливы для любых м.к. нечетного порядка. "Ло шу" находится в сбалансированном состоянии по отношению к элементу С: 5 - среднее арифметическое противоположных пар элементов. Вся конструкция рассматривалась китайцами как объект универсальной гармонии и считалась явлением мистическим. М.к. использовался в качестве религиозного символа, у которого четные (женские) числа исключались, а нечетные (мужские) располагались в виде креста (рис. 10).

Вплоть до IX столетия китайцы не предпринимали попыток построения м.к. более высоких порядков. Но и в IX в. все они строились на основе "Ло шу" [3].

М.к. посвящен трактат Ян Хуэя "Продолжение древних математических методов для разъяснения волшебных свойств чисел" (1275). В нем автор составил и изучал структуру таких квадратов для . Часть была получена его предшественниками, но многие примеры раньше не встречались. К их числу относится квадрат из 81 клетки (рис. 11), состоящий из 9 магических подквадратов порядка 3, построенных на основе "Ло шу" довольно своеобразно: девять девяток чисел последовательно располагались в соответствующих клетках большого квадрата.

Из магических сумм каждого девятиклеточного квадрата вновь составлен м.к. порядка 3, имеющий S = 369 (рис. 12,а). Если каждое из его чисел уменьшить на 110, то получится м.к., составленный из членов арифметической прогрессии с а1=1, d=3 (рис.12,б).

На основе анализа книги Ян Хуэя и других источников можно оценить важный вклад ученых раннего Китая в науку и искусство построения м.к.: они получили м.к. порядка 3, первыми построили квадраты порядков 5 - 7, 9; бордюрные, а также составные и нарощенные.

В центре всех их построений лежал "Ло шу". В период, предшествующий 1275 г., китайцы далеко продвинулись в изучении м.к. и овладели методами их построения уже достаточно полно. Знания о м.к. накапливались и расширялись.

В систематизированный трактат Чжэн Давея (1593) были включены не только рассуждения о м.к., но и магические окружности [4].

3. Изучение магических квадратов в Индии

От Китая м.к. распространились в Индию и граничащие с ней страны. В одном из джайнистских храмов был найден панмагический квадрат порядка 4 с S = 34, построенный в X - XI вв. (рис. 13). М.к., их свойства, некоторые методы построения были известны в ранней средневековой Индии. По всей стране ими пользовались в качестве талисманов. Их рисовали на кувшинах удач, медицинских кружках, амулетах. Такие квадраты были найдены в Тибете, на Суматре, Филиппинах и других восточных территориях.

Однако первые исследования м.к. и построение магических фигур были представлены Пандитом Нарайяной в его "Ганита каумуди" (1356) [5]. Некоторые методы были неизвестны на Западе, а другие переоткрыты впоследствии. В этой книге приведены примеры построения м.к. порядка 6, 10, 14. Один из них (n = 10) похож на полумагический квадрат Ян Хуэя (отсутствует свойство магичности вдоль диагоналей; а в самих квадратах совпадают целые блоки). "Ганита каумуди" - уникальное сочинение, так как ни в одном из дошедших до нас индийских арифметических трактатов не уделялось столько внимания построению м.к. и фигур. Из работы следует, что в Индии в середине XIV в. были известны методы построения всех типов квадратов.

М.к. нечетного порядка Нарайяна строил "диагональным" методом, ставшим впоследствии общеизвестным:

- заполнение начинается со средней клетки верхней строки;

- все последующие числа размещаются по диагонали;

- если клетка окажется вне квадрата, то число записывается в соответствующую клетку квадрата той же строки (столбца); если число z + 1 должно быть помещено в уже занятую клетку, то оно записывается в том же столбце, что и число z, под ним.

Нарайяна строил этим методом м.к. порядков 3, 5, 7, 9. Он заметил, что м.к. можно заполнять либо n2 числами арифметической прогрессии с суммой nS, либо n-наборами чисел одной и той же арифметической прогрессии, сумма которых - nS.

Для м.к. вида

n = 4k + 2

метод построения значительно сложнее. Один из двух предложенных Нарайяной состоял в следующем: составлялся естественный квадрат порядка 4k + 2 = 6 "ходом вола", в нем отмечались значком * клетки, которые транспонировались с выделенными числами согласно определенным правилам. Ученый дал способ построения всех (1624 = 384) панмагических квадратов порядка 4. Из анализа работы следует, что он наметил новые пути исследования м.к., предвосхитив европейских математиков более чем на два столетия. Методы построения квадратов и магических фигур у Нарайяны не имеют ничего общего с работами других ученых. Если учесть, что выяснение структуры м.к. в те времена находилось вне интересов исследователей, то станет более ясным вклад Нарайяны в эту область науки.

4. Магические квадраты в странах арабского халифата

К м.к. проявляли глубокий интерес и внесли важный вклад в развитие их теории ученые стран ислама. Такой квадрат впервые появился у них как талисман в рукописях Джабара ибн Хайяна [6]. Он помещен также в конце одного из трактатов энциклопедии Ихван ас-Сафы, более известной как "Чистые братья и Верные друзья", - союзе математиков, возникшем в X в. - богатом торговом и культурном городе Басра на берегу Персидского залива. В энциклопедии представлены м.к. для . В случае n = 3 построение выполнялось с помощью ходов фигур на шахматной доске: начало - в средней нижней клетке, затем дважды ходом коня, ходом пешки, после чего ходом слона на две клетки по диагонали, ходом пешкой, дважды ходом коня до средней верхней клетки (рис. 14).

М.к. порядка 4 энциклопедисты составили по "точечному" методу: в клетки, отмеченные точками, помещались числа, соответствующие их клеточным номерам (рис. 15,а) и начиная с конца в каждую свободную клетку с номером х записывали дополнительное число, т. е. n2 + 1 - x (рис.15,б). Начало расстановки чисел в соответствии со спецификой записи у арабов отмечено стрелками: сначала от А к В, затем - от С к D. Полученный м.к. интересен тем, что сумма чисел во всех пяти подквадратах порядка 2 равна 34, т. е. S; кроме того, квадрат - панмагический (рис. 15,в).

Уникальным является 36-клеточный м.к. (рис. 16,а). Если удалить из него две средних строки и два таких же столбца, то получится м.к. порядка 4. Уменьшив каждое из его чисел на 10, приходят к панмагическому квадрату (рис. 16,б). Если же исходный квадрат разделить на четыре части и симметрично отразить их относительно двух диагоналей, то полученный м.к. с S = 111 является рамочным, а внутренний подквадрат порядка 4 - панмагический с S = 74 (рис. 17). Заметим, что принцип такого построения в доступной автору литературе не описан. "Чистые братья" указали на возможность использования м.к. в медицинской практике.

Значительный вклад в развитие теории м.к. внес известный знаток магии Абу-л-Аббас ибн Али Аль-Буни (ум. 1225). Он был первым арабом, умевшим строить их для любого n и применять эти конструкции при изготовлении сложных талисманов [7].

Особо следует отметить тот факт, что все арабоязычные ученые с неиссякаемым интересом разрабатывали методы построения рамочных м.к.

Магическим конструкциям посвятил свои трактаты и Абу Али ибн аль-Хайсам (965-1039) - величайший ученый Востока, отец оптики, известный в средневековой Западной Европе как Альхазен. Он разработал два метода построения м.к. четного и нечетно-четного порядков, построил конкретные квадраты для n = 8, 10. Заметим, что при n = 10 в Европе такие методы были переоткрыты лишь в начале XVII в. Баше де Мезириаком [8].

Уже в начале XIII в. у арабов в основном была разработана математическая теория м.к., позволявшая строить квадраты любого порядка и с необходимой магической постоянной. Ученые знали три класса квадратов; для каждого из них определили правила и методы их построения. Кроме рамочного, при помощи которого можно строить квадраты каждого из классов, им был известен и ряд других методов.

Точечный метод построения м.к. порядка 4k был расширен персидским ученым Абу Бакром Мухаммедом ал-Караки (ум. 1139). Он расставил точки в квадрате несколько иначе и иллюстрировал метод построения м.к. для n = 6, 10, 14. Ученый, по-видимому, одним из первых стал изучать внутреннюю структуру м.к., исследуя, в частности, составные, т. е. состоящие из подквадратов Ci, где .

В этом случае порядок n м.к. должен быть равен n1n2; n1, n2 ? 1, 2.

В качестве примера ал-Караки построил м.к., в котором n = 9, n1 = n2 = 3, причем каждый из Ci составлен в соответствии с предписанием "Чистых братьев" (рис. 18).

5. Магические квадраты в Западной Европе

Под влиянием арабских и персидских трактатов числовая магия проникла в средневековую Западную Европу.

По-видимому, первое специальное сочинение о м.к. было написано византийским грамматистом и лексикографом Мануэлем Мосхопулосом.

В трактате "Наставление по нахождению числовых квадратов" ( 1313) он изложил правила их построения для

n = 2k + 1 и n = 4k,

пользуясь циклическими перестановками, называя их "как бы обходящими кругом". Для построения м.к. порядка

n = 2k + 1

ученый сформулировал правило: если n не является кратным числа 3, то 1 помещают в любую клетку квадрата. В случае, когда , то - в среднюю клетку верхней (нижней) строки. От клетки, в которой записано предыдущее число, все последующие опускаются (поднимаются) на ход коня. При этом каждый раз учитывают, что к верхней строке квадрата примыкает нижняя, а к каждому крайнему справа столбцу - крайний левый. Если клетка окажется занятой, то число помещается над предыдущим (под ним). Примером такого построения Мосхопулоса явились квадраты порядка n = 5, 7, 9. М.к. порядка 5 приведен на рис.19. Ученый изучал также панмагические квадраты порядка 4 [9].

В средневековой Западной Европе считали, что как на отдельных людей, так и на целые народы оказывают влияние планеты. В сочинении "О сокровенной философии" немецкий гуманист Генрих Корнелий Агриппа (1486-1535) изложил без пояснения методы построения м.к. для . Он связал их соответственно с астрологическими свойствами планет, называя м.к. "планетарными таблицами". Описывая их волшебные свойства, Агриппа советовал гравировать таблицы в виде талисманов на металлических пластинках и носить на себе. Так, м.к. порядка 4 он связал с небесной сферой, на которой расположен Юпитер (рис. 20,б). В соответствии с его методом построения, числа, стоящие в угловых клетках "естественного" квадрата (рис. 20,а), остаются на своих местах, а числа в средних крайних строках и столбцах симметрично отражаются от центра квадрата. Числовой 22 квадрат, расположенный в центре, остается неподвижным.

В сочинении Михаэля Штифеля "Полная арифметика" (1544) впервые в Западной Европе был предпринят анализ математической структуры м.к. [10]. Век спустя ими стали интересоваться Френикль де Бесси, Блез Паскаль, Пьер Ферма, Габриэль, Арно, Баше де Мезириак, Филипп де Лагир и многие другие европейские ученые.

6. Магические фигуры

С XIV в. появились обобщения м.к. Ученые стали создавать магические многоугольники, окружности, кресты, звезды, кубы, параллелепипеды, пучки и т.д. Так, магический прямоугольник, состоящий из двух панмагических квадратов порядка 4, построил Пандит Нарайяна. В его конструкции сумма чисел, стоящих в любой из ее строк, равна 132, а в каждом столбце и на каждой из пар диагоналей - 66 (рис. 21). Фигуру индусы с благоговением называли Vitana (небесный свод). Используя конструкцию, ученый построил ряд магических фигур. Одна из них, изображенная на рис. 22, называлась Padma (лотос).

Разнообразные магические фигуры Нарайяна строил при помощи магического прямоугольника с постоянной суммой вдоль столбцов, равной 294, а в каждом из столбцов - 98, причем все три квадрата, входящие в него, - панмагические (рис. 23).

Одна из конструкций, представленная на рис. 24, называлась Dvadasakara - двенадцатирукая. Нарайяна расположил соответствующие строки каждого из трех м.к. последовательно в двух горизонтальных полосах - "руках", а числа столбцов - в двух вертикальных "руках".

В другой конструкции Vajra Padma (жемчужный лотос) сумма чисел, расположенных в каждом из четырех вертикальных и горизонтальных полос, равнялась 294, а в каждой из четырех пар цветков - 98 (рис. 25).

Уникальной является трехмерная конструкция (рис. 26). В ней магические суммы одинаковы соответственно вдоль трех видимых граней куба.

Представляет интерес еще одна магическая фигура Padma Vrtta (вписанный лотос). Каждая группа из 12 чисел, расположенных в ней, имеет одну и ту же магическую сумму, равную 294 (рис. 27).

Ученые большинства стран Востока и Западной Европы строили магические фигуры, отличные о приведенных выше. Так, П. Нарайяна расположил числа магического прямоугольника (рис. 21) в магический круг (рис. 28). В нем сумма чисел, расположенных вдоль всех окружностей и диаметров, равна 132.

Первое построение магических многоугольников в Западной Европе выполнил французский алгебраист Френикль де Бесси (1602-1678). Он расположил числа от 1 до 73 вдоль сторон трех правильных шестиугольников, в общем центре которых находится число 37 (рис. 29) [11]. К каждой из сторон этих шестиугольников примыкают соответственно по три, пять и семь чисел соответственно. Кроме того, вдоль трех диагоналей, соединяющих противоположные вершины, и трех серединных перпендикуляров, проведенных к противоположным сторонам шестиугольников, магические суммы равны 111 в наименьшем, 185 в среднем и 259 во внешнем шестиугольниках.

Известно, что японская наука с самого начала испытывала влияние Китая. Взаимосвязи этих наук хорошо иллюстрирует отношение к астрологии и астрономии. Японское мироощущение, ориентированное на чувство, а не на разум, способствовало лишь внешним, практическим сторонам китайской науки, но вносило в них эстетический оттенок. Поэтому математические проблемы сводились к различным бытовым задачам, связанным с вписыванием многоугольников в круг, кругов разных радиусов - друг в друга и др.

В XVII в. стали создаваться математические школы, в которых разрабатывались свои методы решения, хранимые в тайне. Ряд ученых этого периода выполнял построение магических окружностей. Так, в конструкциях Имамуры, (первое издание его работы 1660г.) использовались методы построения м.к. нечетных порядков.

При этом указывалось только начало заполнения (рис. 30,а).

В качестве примера ученый привел м.к. порядка 7 (рис. 30,б). Заметим, что такой метод построения был новым. В этом же издании Имамура привел магические окружности порядков . Одна из них обладает рядом магических свойств и имеет вид (рис. 31):

Во втором издании (1684) Имамура представил конструкции, названные им "магическими колесами", причем "колеса" эти "катились" не только по вершинам правильных многоугольников (рис. 32), но и по окружностям (рис. 33, 34) [12]. Интересно отметить, что "магические колеса" - это японское изобретение. Аналогов им в истории математики нет.

При построении различных видов м.к. наиболее сложной процедурой была разработка методов построения рамочных конструкций. Однако объем статьи не позволяет представить это подробно.

Заключение

Пройдет еще более двух столетий и м.к. найдут многочисленные приложения, в частности в теории планирования экспериментов (30-е гг. XX в.), а с середины прошлого столетия - в создании помехоустойчивых кодов в связи с запуском спутников Земли и ракет.

Список литературы

1. Euler L. Recherches sur une nouvelle espйce de quarres magiques // Opera Omnia. 1823. V. 7. Ser. I. P. 291-492.

2. Camman S. Old Chinese magic squares // Cinologica. 1960. № 7. P.14-15.

3. Camman S. The solution of magic squares in China // J. Amer. Oriental Soc. 1960. № 80. P. 116-124.

4. Needeam J. Science and Civilization in China // History of scientific Thought. Vol. 2: Mathematics and Sciences of the haven and Earth. London. 1959.

5. Nвrвэaтa P. The Ganita Kaumudi. Benares, 1936. Part I; 1942. Part II.

6. Hermelink H. Die дltersten magischen Quadrate hцherer Ordnung und ihre Bildungsweise // Arh. Med. Naturwiss. 1953. № 42. S. 199-214.

7. Sesiano J. Herstellungsverfahren magischer Quadrate aus islamischer Zeit (I) // Sudhoffs Archiv. 1980. № 64. S. 187-196.

8. Bachet de Meziriac Problиmйs plaisans et delectables, qui seffont pur les nombres. Lion, 1612.

9. Tannery P. Le Traitй de Manuel Moschopoules sur les carres magiques, texte grecet traduction // Annuaire de l'assciation pour l'encouragement des etudes qrecques en France. 1886. V. 20. P. 88-118.

10. Stifel M. Arithemetica integra. Norimbergae. 1554.

11. Frenicle de Bessy B. Des carrйs magiques. Divers ouvrages de mathematique et de physique / Par Messieurs de l' Acad. Royale Sci. Paris. 1693. P. 423-507.

12. Smith D.E., Mikami Y. A history of Japanese mathematics. Chicago: The open court publishing company. 1914.

Размещено на Allbest.ru