Арифметична та геометрична прогресія

Размещено на http://www.allbest.ru/

• Зміст
• геометричний арифметичний прогресія числовий
• Вступ
• 1. Теоретичні відомості числових послідовностей
• 1.1 Історія виникнення поняття «прогресія»
• 1.2 Означення числових послідовностей
• 1.3 Способи задання послідовностей
• 1.4 Арифметична прогресія та її властивості
• 1.4.1 Поняття арифметичної прогресії
• 1.4.2 Формула n-го члена арифметичної прогресії
• 1.4.3 Властивості арифметичної прогресії
• 1.5 Формула суми перших n членів арифметичної прогресії
• 1.6 Геометрична прогресія та її властивості
• 1.6.1 Поняття геометричної прогресії
• 1.6.2 Формула n-го члена геометричної прогресії
• 1.6.3 Властивості геометричної прогресії
• 1.7 Формула суми перших n членів геометричної прогресії
• 2. Розв'язування задач, пов'язаних з арифметичною і геометричною прогресіями
• 2.1 Історичні задачі на прогресії
• 2.2 Обчислення сум
• 2.3 Розв'язування рівнянь
• Висновки
• Список використаної літератури
• Вступ
• Часто в повсякденному житті нам трапляються об'єкти, з якими зручно мати справу, якщо їх попередньо пронумерувати. Наприклад, номери мають місяці та квартали року, дні тижня, під'їзди та квартири будинку, вагони поїзда, і навіть кожному учневі класу присвоєно свій порядковий номер у класному журналі. Об'єкти, які пронумеровано поспіль натуральними числами 1, 2, 3,..., n,..., утворюють послідовності. Так, можна говорити про послідовності сторінок книги, букв слова, поверхів будинку тощо. Об'єкти, які утворюють послідовність, називають членами послідовності. Кожний член послідовності має свій номер. Наприклад, січень -- це перший член послідовності місяців року, число 3 -- другий член послідовності простих чисел. Узагалі, якщо член послідовності має номер n, то його називають n-м членом послідовності. Якщо членами послідовності є числа, то таку послідовність називають числовою.
• Термін «прогресія» запровадив римський вчений Боецій (VІ ст.. ), від латинського «рух уперед». Найдавнішою відомою задачею на використання прогресії вважається задача про поділ хліба з так званого папірусу Рінда.
• Однією з найвідоміших є числова послідовність, яку називають послідовністю Фібоначчі, на честь італійця Л. Пізанського (Фібоначчі) (бл. 1170 - після 1228). Він першим розглянув послідовність чисел, перші два члени якої - одиниці і кожний член якої, починаючи з третього, дорівнює сумі двох попередніх.
• Актуальність дослідження. В курсовій роботі розглядаються числові послідовності, вони дуже широко застосовуються в різних галузях як математичного, так і не математичного світу. Не дивно, що дослідження даного питання інтенсивно продовжувалося і в ХХ столітті. Цьому сприяли нові проблеми комбінаторики, інформатики, які в той час постали перед інтелектуальною елітою суспільства. Дана тема не втрачає своєї актуальності й до наших днів.
• В математиці існує багато задач, часто важких і цікавих, які не пов'язані з будь-чиїм ім'ям, а скоріше носять характер свого роду «математичного фольклору». Ці завдання нерідко мають ходіння в декількох варіантах; іноді кілька таких завдань об'єднують в одну, більш складну; іноді, навпаки, одне завдання розпадається на декілька більш простих; словом, часто, виявляється, важко розрізнити, де закінчується одне завдання і починається інше.
• Числові послідовності використовуються в багатьох галузях, тому вони залишаються актуальною темою в математиці.
• Об'єкт дослідження: процес застосування числових послідовностей та його вияви у різноманітних сферах людської діяльності.
• Предметом дослідження є грунтовне вивчення числових послідовностей та їх застосування.
• Мета дослідження: вивчення властивостей числових послідовностей, ознайомлення зі способами їх задання, а також детальне дослідження арифметичної та геометричної прогресії.
• Відповідно до об'єкта, предмета і мети визначено головні завдання дослідження:
• 1.опрацювати наукову літературу з теми даного дослідження;
• 2.розкрити сутність поняття «числові послідовності»,«арифметична прогресія»,«геометрична прогресія»;
• 3.знайти практичне застосування числових послідовностей.
• Структура та обсяг курсової роботи. Робота складається із вступу, двох розділів, висновків, списку використаних джерел. Загальний обсяг роботи становить
• 1. Теоретичні відомості числових послідовностей
• 1.1 Історія виникнення поняття «прогресія»
• Слово «прогресія» походить від латинського слова «progressio» й озна- чає «рух уперед» (як і слово «прогрес»). Уперше цей термін як математичний ужив у своїх працях римський учений Боецій (V-VI ст.). Прогресії як часткові види числових послідовностей трапляються у папірусах ІІ тисячоліття до н. е. Перші із задач на прогресії, що дійшли до нас, пов'язані з господарською діяльністю, а саме -- з розподілом продуктів, поділом спадку тощо. Найдавнішою задачею на прогресії вважають задачу з єгипетського папірусу Ахмеса Райнда про поділ 100 мір хліба між п'ятьма людьми так, щоб другий одержав на стільки більше від першого, на скільки третій одержав більше від другого і т. д. У цій задачі йдеться про арифметичну прогресію, сума п'яти перших членів якої дорівнює 100. В одній із задач цього папірусу подано формулу першого члена арифметичної прогресії, яку в сучасній символіці записують так:
• Зі знаходженням суми членів арифметичної прогресії пов'язана одна цікава історія. Відомий німецький математик Карл Гаус (1777-1875) ще у школі виявив блискучі математичні здібності. Якось учитель запропонував учням знайти суму ста перших натуральних чисел. Ледь учитель устиг прочитати умову задачі, як малий Гаус підніс руку: «Уже». Увесь клас був захоплений швидкістю, з якою він вирахував. Поміркуйте, як рахував Гаус. Давно неабиякою популярністю користується задача-легенда, яка датується початком нашої ери. Індійський цар Шерам покликав до себе винахідника гри в шахи, свого підданого Сету, щоб нагородити його за кмітливу вигадку. Коли винахідникові запропонували самому вибрати винагороду, він попросив за першу клітинку шахової дошки дати йому 1 зернину пшениці, за другу -- 2 зернини, за третю -- 4 і т. д. Виявилося, що цар не зміг виконати прохання Сети. За останню 64-ту клітинку шахової дошки довелося б віддати 263 зернин пшениці, а за всі клітинки -- таку кількість зернин, яка дорівнює сумі членів геометричної прогресії: 1; 2; 2² ; 2³ ;...; 2⁶³. Ця сума дорівнює 2⁶⁴ - 1 = 18446744073709551615. Таку кількість зернин пшениці можна зібрати із площі, яка приблизно у 2000 разів більша від площі усієї поверхні Землі.
• 1.2 Означення числових послідовностей
• Послідовністю називають функцію, яку задано на множині всіх натуральних чисел або перших n натуральних чисел.
• Числа, які утворюють послідовність, називають членами послідовності. Якщо послідовність має скінченне число членів, тоді її називають скінченною послідовністю. Якщо послідовність має нескінченне число членів, то її називають нескінченною послідовністю, а в запису це показують трьома крапками після останнього записаного члена послідовності.
• Наведемо приклади послідовностей:
• 4; 8; 12; 16;... -- послідовність натуральних чисел, кратних 4;
• -1; -2; -3; -4;... -- послідовність від'ємних цілих чисел;
• 1 ; 2 1 ; 3 1 ; 4 1 ; 5... -- послідовність правильних дробів з чисельником 1;
• 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9 -- послідовність одноцифрових натуральних чисел;
• 7; 7; 7; 7;... -- послідовність, усі члени якої дорівнюють 7.
• Четверта послідовність є скінченною, решта -- нескінченними.
• У загальному випадку члени послідовності, як правило, позначають малими буквами з індексами. Кожний індекс указує порядковий номер члена послідовності. Наприклад, перший член послідовності позначають a₁, читають «a перше», другий -- a₂, читають «a друге», член послідовності з номером n позначають a_n і читають «a енне». Саму послідовність позначають (a_n) і записують: a₁; a₂; a₃; a₄; …. Член a₄ називають наступним за a₃, а член a₃ -- попереднім до члена a₄. Розглянемо, наприклад, послідовність (a_n): 1; 3; 5;... -- послідовність непарних натуральних чисел. У ній a₁ = 1; a₂ = 3; a₃ = 5; …. Член послідовності a₂ = 3 є попереднім до члена a₃ = 5 і наступним за членом a₁ = 1.
• 1.3 Способи задання послідовностей
• Щоб задати послідовність, потрібно вказати спосіб, за допомогою якого можна знайти будь-який її член. Існують різні способи задання послідовностей.
• Послідовність можна задати описом знаходження її членів. Напри- клад, нехай задано послідовність, членами якої є дільники числа 15, записані у порядку зростання. Цю послідовність, яка описана словами, можна записати: 1; 3; 5; 15. 2.
• Скінченну послідовність можна задати переліком її членів. Наприклад, (b_n): 54; 1; 33; 27. 3.
• Послідовність можна задати таблицею, у якій навпроти кожного члена послідовності вказують його порядковий номер.Наприклад:

n	1	2	3	4	5
an	-2	1	-4	1	6

• Послідовність можна задати формулою, за якою можна знайти будь-який член послідовності, знаючи його номер. Наприклад, послідовність натуральних чисел, кратних 3, можна задати формулою а_n = 3_n; послідовність чисел, обернених до натуральних, -- формулою b_n = Такі формули називають ще формулами n-го члена послідовності. Нехай послідовність (c_n) задано формулою c_n = 3n- n². Підставляючи замість n натуральні числа 1, 2, 3,..., одержимо:
• с₁ = 3 · 1 - 1² = 2; с₂ = 3 · 2 - 2² = 2; с3 = 3 · 3 - 3² = 0;....
• Отже, (c_n): 2; 2; 0;....
• Послідовність можна задати так: спочатку вказати перший або кілька перших членів послідовності, а потім -- умову, за якою можна визначити будь-який член послідовності за попередніми. Такий спосіб задання послідовності називають рекурентним.
• Наприклад, знайдемо кілька членів послідовності (a_n), у якій перший член дорівнює -1, другий -- -3, а кожний наступний, починаючи із третього, дорівнює добутку двох попередніх. Одержимо: a₁ = -1; a₂ = -3;
• a₃ = a₁ · a₂ = (-1) · (-3) = 3;
• a₄ = a₂ · a₃ = (-3) · 3 = -9;
• a₅ = a₃ · a₄ = 3 · (-9) = -27; і т. д.
• Умови, що задають цю послідовність, можна записати так:
• a₁ = -1; a₂ = -3; a_{n + 2} = a_n · a_{n + 1}.
• Формулу a_{n + 2} = a_n · a_{n + 1}, за допомогою якої будь-який член послідовності можна знайти через попередні, називають рекурентною формулою. Розглянуті вище послідовності є числовими послідовностями, оскільки їхніми елементами є числа. Існують й інші послідовності. Наприклад, послідовність передач на каналі телебачення, послідовність футбольних команд у турнірній таблиці тощо. Надалі розглядатимемо лише числові послідовності.
• 1.4 Арифметична прогресія та її властивості
• 1.4.1 Поняття арифметичної прогресії
• Розглянемо послідовності:
• 1; 4; 7; 10; 13; 16; 19; 22;...;
• 0,5; 1; 1,5; 2; 2,5; 3; 3,5; 4;...;
• 10; 8; 6; 4; 2; 0; -2; -4; -6....
• Простежимо: кожний член першої послідовності, починаючи із другого, можна одержати, якщо до попереднього члена додати число 3. Друга і третя послідовності мають таку саму особливість: кожний наступний член послідовності, починаючи із другого, дорівнює попередньому, до якого додають одне й те саме число: у другій послідовності -- число 0,5, у третій -- число -2.
• Кожна з розглянутих послідовностей є прикладом арифметичної прогресії.
• Арифметичною прогресією називають послідовність, кожний член якої, починаючи із другого, дорівнює попередньому члену, до якого додають одне й те саме число.
• Це число називають різницею арифметичної прогресії та позначають буквою d (d -- початкова буква латинського слова «differentia» -- різниця).
• Отже, якщо маємо арифметичну прогресію a_1; a₂; a₃; …, то a₂ = a₁ + d;
• a₃ = a₂ + d; …, тобто для будь-якого натурального n виконується рівність
• a_{n + 1} = a_n + d.
• З означення арифметичної прогресії випливає, що різниця між будь-яким її членом, починаючи із другого, і попереднім членом дорівнює одному й тому самому числу -- різниці d, тобто a₂ - a₁ = d, a₃ - a₂ = d,.... Отже,
• a_{n + 1} - a_n = d.
• Правильно і навпаки: якщо в деякій числовій послідовності різниця між будь-яким її членом, починаючи із другого, і попереднім членом дорівнює одному й тому самому числу, то така послідовність є арифметичною прогресією.
• Щоб задати арифметичну прогресію, достатньо вказати її перший член і різницю. Тоді кожний наступний член можна обчислити через попередній за рекурентною формулою
• a_{n + 1} = a_n + d.
• У таблиці наведено приклади арифметичних прогресій для деяких значень a₁ і d.

a1	d	Арифметична прогресія
1 0 5 1,1	2 -2 0 -0,5	1; 3; 5; 7; 9;... 0; -2; -4; -6; -8;... 5; 5; 5; 5; 5;... 1,1; 0,6; 0,1; -0,4; -0,9

• Перші три з наведених арифметичних прогресій є нескінченними, четверта -- скінченною.
• 1.4.2 Формула n-го члена арифметичної прогресії
• Знайдемо кілька перших членів арифметичної прогресії, у якій а₁ = 4, d = 3.
• Одержимо:
• a₂=a₁+d=4+3=7;
• a₃=a₂+d=7+3=10
• Далі можна знайти a₄, a₅ і т. д.
• Щоб знайти член цієї прогресії з великим порядковим номером, наприклад, a₅₀, потрібно виконати багато обчислень. Тому відшукання членів арифметичної прогресії за формулою a_{n + 1} = a_n + d часто буває незручним.
• Знайдемо інший шлях знаходження n-го члена арифметичної прогресії (a_n).
• За означенням арифметичної прогресії маємо:
• a₂=a₁+d;
• a₃=a₂+d=(a₁+d)+d=a₁+2d;
• a₄=a₃+d=(a1+2d)+d=a₁+3d.
• Зауважуємо, що в цих формулах коефіцієнт біля d на 1 менший від порядкового номера члена прогресії, який шукаємо. Так, a₅=a₁+4d,a₂₀=a₁+19d. Отже, можемо записати:
• a_n=a₁+(n-1)d=--+---
• Одержану формулу називають формулою n-го члена арифметичної прогресії.
• 1.4.3 Властивості арифметичної прогресії
• В арифметичній прогресії 1; 3; 5; 7; 9;... кожний член, починаючи із другого, є середнім арифметичним двох сусідніх з ним членів:
• 3=;5=;7=;...
• Таку властивість має будь-яка арифметична прогресія.
• Властивість 1: Будь-який член арифметичної прогресії, починаючи із другого, є середнім арифметичним двох сусідніх з ним членів.
• Доведення.
• Нехай маємо арифметичну прогресію (а_n) з різницею d. Тоді для натуральних значень n > 1 виконуються рівності:a_n-a_n-1=d,a_n+₁-a_n=d. Звідси: a_n-a_n-1=a_n+1-a_n;2a_n=a_n-1+a_n+1;
• Із властивістю 1 арифметичної прогресії і пов'язана її назва.
• Розглянемо скінченну арифметичну прогресію (x_n), яка має 7 членів: 3; 5; 7; 9; 11; 13; 15. Знайдемо суму крайніх членів прогресії і суми членів, рівновіддалених від крайніх:
• x₁ + x₇ = 3 + 15 = 18;
• x₂ + x₆ = 5 + 13 = 18;
• x₃ + x₅ = 7 + 11 = 18;
• x₄ + x₄ = 9 + 9 = 18.
• Сума будь-яких двох членів арифметичної прогресії, які рівновіддалені від її крайніх членів, дорівнює сумі крайніх членів. Таку властивість має будь-яка скінченна арифметична прогресія.
• Властивість 2:Сума будь-яких двох членів скінченної арифметичної прогресії, які рівновіддалені від її крайніх членів, до- рівнює сумі крайніх членів прогресії.
• Доведення
• Нехай маємо скінченну арифметичну прогресію a₁; a₂; a₃; …; a_n - ₂; a_n - ₁; a_n з різницею d. Зауважимо, що сума індексів двох членів прогресії, які рівновіддалені від крайніх членів, дорівнює n + 1. Нехай a_{k + 1} та a_n - _k -- два дові- льні члени даної прогресії, рівновіддалені від крайніх членів. Оскільки
• a_{k + 1} = a₁ + kd, a_n - _k = a₁ + (n - k - 1)d = (a₁ + (n - 1)d) - kd = a_n - kd,
• то a_{k + 1} + a_n - _k = a₁ + kd + a_n - kd = a₁ + a_n. ?
• 1.5 Формула суми перших n членів арифметичної прогресії
• Розглянемо приклад.
• Приклад:Знайти суму натуральних чисел від 1 до 100 включно.
• ? Запишемо суму S даних чисел двома способами: у порядку зростання
• доданків і в порядку спадання, та почленно додамо одержані рівності:
• S = 1 + 2 + 3 + … + 100
• +
• S = 100 + 99 + 98 + … + 1
• 2S = 101 + 101 + 101 + … + 101
• Суми пар чисел, розміщених одне під одним у правих частинах цих рів-
• ностей, дорівнюють 101; таких пар є 100. Тому
• 2S = 101 · 100.
• Звідси S==5050
• Отже, сума всіх натуральних чисел від 1 до 100 включно дорівнює 5050. ?
• Зазначимо, що послідовність натуральних чисел 1; 2;...; 99; 100 є ариф-
• метичною прогресією (a_n), у якій a₁ = 1; d = 1; n = 100.
• Використаємо проведені міркування для виведення формули суми Sn
• перших n членів довільної арифметичної прогресії a1; a2; …; an;....
• Запишемо:
• S_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n;
• S_n=a_n+a_n-1+a_n-2+…+a₁. +--+--++------
• Додамо почленно ці рівності, одержимо:
• 2S_n=(a₁+a_n)+(a₂+a_n-1)+(a₃+a_n-2)+…+(a_n+a₁) +--+
• За властивістю 2 арифметичної прогресії сума кожних двох членів, узя-
• тих у дужки, дорівнює a₁ + a_n. Таких сум є n, тому:
• 2S_n=(a₁+a_n)*n
• Звідси
• (1)
• Якщо в одержаній формулі замість a_n підставити вираз a₁ + (n - 1)d, то матимемо:
• Отже,
• (2)
• Формули (1) і (2) називають формулами суми перших n членів арифметичної прогресії.
• 1.6 Геометрична прогресія та її властивості
• 1.6.1 Поняття геометричної прогресії
• Розглянемо послідовності:
• 2; 4; 8; 16; 32; 64;...;
• 2; -4; 8; -16; 32; -64;...;
• 9; 3; 1;...;
• Кожний член першої послідовності, починаючи із другого, можна одержати, якщо попередній член помножити на 2. Друга і третя послідовності мають таку саму особливість: кожний наступний член послідовності, починаючи із другого, дорівнює попередньому, помноженому на одне й те саме число: у другій послідовності -- на число -2, у третій -- на число .
• Кожна з розглянутих послідовностей є прикладом геометричної прогресії.
• Геометричною прогресією називають послідовність відмінних від нуля чисел, кожний член якої, починаючи із другого, дорівнює попередньому, помноженому на одне й те саме число.
• Це число називають знаменником геометричної прогресії та позначають буквою q (початкова буква французького слова «qwoti» -- частка). Знаменник геометричної прогресії може дорівнювати будь-якому числу, крім 0.
• Отже, якщо маємо геометричну прогресію b₁; b₂; b₃;..., то b₂ = b_1*q;
• b₃ = b_{2 *}q;..., тобто для будь-якого натурального n виконується рівність
• b_n=b_n*q
• З означення геометричної прогресії випливає, що частка від ділення будь-якого її члена, починаючи із другого, на попередній член дорівнює одному й тому самому числу -- знаменнику q, тобто: ;;….
• Отже,

• Правильно й навпаки: якщо у деякій послідовності частка від ділення будь-якого її члена, починаючи із другого, на попередній член дорівнює одному й тому самому числу, то така послідовність є геометричною прогресією. Геометричні прогресії, як і арифметичні, можуть бути скінченними і не- скінченними.
• Щоб задати геометричну прогресію, достатньо вказати її перший член і знаменник. Тоді кожний наступний член через попередній можна обчислити за рекурентною формулою
• b_n+1=b_n · q.
• У таблиці наведено приклади геометричних прогресій для деяких значень b₁ і q.
• 1.6.2 Формула n-го члена геометричної прогресії
• Знайдемо кілька перших членів геометричної прогресії, у якій b₁ = 5, q = 2:
• Далі можна знайти b₅, b₆ і т. д.
• Щоб знайти член цієї прогресії з великим порядковим номером, наприклад, b₅₀, потрібно виконати багато обчислень. Тому відшукання членів геометричної прогресії за формулою b_n+1=b_n*q часто є незручним.
• Знайдемо зручніший спосіб відшукання n-го члена геометричної прогресії (b_n) зі знаменником q. За означенням геометричної прогресії маємо:
• Зауважуємо, що в цих формулах показник степеня числа q на одиницю менший від порядкового номера члена прогресії, який шукаємо. Отже, можемо записати:
• Одержану формулу називають формулою n-го члена геометричної прогресії.
• 1.6.3 Властивості геометричної прогресії
• У геометричній прогресії 1; 3; 9; 27; 81;... квадрат кожного члена, починаючи із другого, дорівнює добутку двох сусідніх з ним членів:
• 3² = 1 · 9; 9² = 3 · 27; 27² = 9 · 81;....
• Таку властивість має будь-яка геометрична прогресія.
• Властивість 1:Квадрат будь-якого члена геометричної прогресії, по- чинаючи із другого, дорівнює добутку двох сусідніх з ним членів.
• Доведення.
• Нехай маємо геометричну прогресію (b_n) зі знаменником q. Тоді для n > 1 виконуються рівності:
• Звідси:
• Якщо всі члени геометричної прогресії є додатними числами, то з рівності випливає, що . Отже, кожний член такої прогресії, починаючи із другого, є середнім геометричним двох сусідніх з ним членів. З цією властивістю геометричної прогресії і пов'язана її назва.
• Розглянемо скінченну геометричну прогресію (bn), яка має шість членів: 1; 2; 4; 8; 16; 32. Знайдемо добуток крайніх членів цієї прогресії та добутки членів, рівновіддалених від крайніх:
• Бачимо, що добутки членів прогресії, рівновіддалених від її крайніх членів, дорівнюють добутку крайніх членів. Таку властивість має будь-яка скінченна геометрична прогресія.
• Властивість 2:Добуток будь-яких двох членів скінченної геометрич- ної прогресії, рівновіддалених від її крайніх членів, до- рівнює добутку крайніх членів.
• Доведення.
• Нехай маємо скінченну геометричну прогресію b₁; b₂; b₃; …; b_n - ₂; b_n - ₁; b_n зі знаменником q. Зауважимо, що сума індексів двох членів прогресії, які рівновіддалені від крайніх членів, дорівнює n + 1. Нехай b_{k + 1} та b_n - _k -- два довільні члени даної прогресії, рівновіддалені від крайніх членів. Оскільки
• ,то
• 1.7 Формула суми перших n членів геометричної прогресії
• Нехай b₁; b₂; b₃; … -- геометрична прогресія, знаменник якої дорівнює q. Позначимо через S_n суму перших n членів цієї прогресії, тобто
• (1)
• Помноживши обидві частини цієї рівності на q, одержимо:
• За означенням геометричної прогресії:
• Тоді:
• (2)
• Віднімемо почленно від рівності (1) рівність (2), одержимо:
• Якщо q?1, то Урахувавши, що ,одержимо:
• .Отже,(3)
• Формули (3) називають формулами суми перших n членів геометричної прогресії. Другою з цих формул зручно користуватися, якщо q > 1. Якщо q = 1, то кожний член геометричної прогресії дорівнює b1, тому .
• 2. Розв'язування задач, пов'язаних з арифметичною і геометричною прогресіями
• 2.1 Історичні задачі на прогресії
• Найдавнішою відомою задачею на використання прогресії вважається задача про поділ хліба з так званого папірусу Рінда. Звучить вона приблизно таким чином:
• 100 мір хліба потрібно розділити між пятьма чоловіками таким чином, щоб другий отримав на стільки ж більше ніж перший, на скільки третій отримав більше другого, четвертий більше третього і п'ятий більше четвертого. Крім того, двоє перших мають отримати в 7 разів меньше трьох інших. Скількі потрібно дати кожному?
• Розв'язування: Очевидно, що кількість хліба, отриманого чоловіками, являє собою зростаючу арифметичну прогресію. Де перший її член х, а різниця y. Тоді отримаємо: доля першого х, доля другого х + у, доля третього х + 2y, доля четвертого х + 3y, доля п'ятого х + 4y.
• Отримаємо систему рівнянь і після її розв'язування отримаємо відповідь.
• Задача про кицьок, мишей та ячмінь
• Ось іще одна дуже відома задача з того ж папірусу: «У семи людей по сім кицьок; кожна кицька з'їдає по сім мишей, кожна миша з'їдає по сім колосків, з кожного колоска може вирости по сім мір ячменю. На скільки великі числа цього ряду та їх сума?»
• Ця ж задача багато разів з різними варіаціями повторювалась і у інших народів в інші часи. Наприклад, у книзі XIII ст. «Книга абакa» Леонардо Пізанського(Фібоначчи) є задача, в якій фігурують 7 старух, що направились до Риму (імовірно, паломниць), у кожної з яких 7 мулів, на кожному з яких по 7 мішків, і в кожному з яких по 7 хлібів, в кожному з яких по 7 ножів, і кожен з яких в 7 ножнах. В задачі питають, скільки всього предметів.
• Дослідники стверджують, давні вавілоняни також добре були знайомі з обома прогресіями.
• Легенда про шахи
• Безумовно найвідомішою із старовинних задач на прогресії безумовно є легенда про винайдення шахів. Астрономічна сума, яку згідно домовленості мали видати у нагороду старцю просто приголомшує Ця задача яскраво представляє характер геометричної послідовності.
• Царю дуже сподобалися шахи і він обіцяв винахідникові гри велику нагороду. Винахідник запросив дати йому за першу клітинку шахівниці одну пшеничну зернину, а за кожну наступну клітину - в двічі більше, ніж за попередню. Цар здивувався, що винахідник так мало заплатив.
• Коли ж прийшов час сплатити таку вартість, виявилося, що такої кількості зерна не існує у всьому світі.
• Сума чисел від 1 до 100
• Також відома цікава легенда про дитинство Карла Фрідріха Гауса. Згідно з цією легендою, шкільний вчитель математики, щоб завантажити дітей на тривалий час, запропонував їмпідрахувати суму чисел від 1 до 100. Маленький Гаус помітив, що попарні суми з протилежних кінців однакові: 1+100=101, 2+99=101 і т. д., і миттєво отримав результат: 50*101=5050.
• Задача про кроликів
• Італійський купець і мандрівник, син міського писаря, Леонардо із Пізи (1180-1240р.), більш відомий під прізвищем Фібоначчі,був одним із найвідоміших математиків середньовіччя. Роль його книг у розвитку математики і поширенню у Європі математичних знань важко переоцінити. Життя і наукова кар'єра Леонардо тісно пов'язані з розвитком європейської культури інауки. При розв'язуванні однієї задачі про можливість кількості народження кроликів від однієї пари через рік, він одержав ряд чисел:1,1,2,3,5,8,13,21,34,55… Особливістю цієї послідовності чисел є те, що кожний її член, починаючи з третього, дорівнює сумі двох попередніх, а відношення сусідніх чисел ряду наближається до відношення золотого перерізу, який дуже хвилював голови того часу.
• 2.2 Обчислення сум
• Вивчаючи арифметичну та геометричну прогресії, ми знаходили суми перших n їхніх членів. Проте є задачі, розв'язуючи які, доводиться шукати суми чисел, що не утворюють ні арифметичної, ні геометричної прогресії. Такі суми деколи можна знайти, перетворивши певним чином їхні доданки.
• Приклад 1. Знайти суму ,у якій цілі частини доданків утворюють арифметичну прогресію, а дробові частини -- геометричну.
• ? Позначимо цю суму через S і запишемо її так:
• У перших дужках записано суму членів арифметичної прогресії (a_n), у якій а₁ = 1, d = 2. Знайдемо, яким за номером членом цієї прогресії є число 13:
• Отже, в перших дужках записано суму семи перших членів арифметичної прогресії. У других дужках записано суму семи перших членів геометричної прогресії (b_n), у якій ,.Використавши формули суми перших n членів арифметичної та геометричної прогресій, знаходимо:
• Відповідь:.?
• 2.3 Розв'язування рівнянь
• Розглянемо приклад.
• Приклад 2. Розв'язати рівняння: ,якому коефіцієнти 4, 7, …, 25 утворюють арифметичну прогресію.
• ? Запишемо рівняння так:
• У дужках записано суму перших членів арифметичної прогресії, у якій а₁ = 4, d = 3. Знайдемо кількість членів цієї прогресії. Нехай число 25 є її n-м членом. За формулою n-го члена 25 = 4 + (n - 1)*3, звідки:
• 21 = 3(n- 1); 7 = n - 1; n = 8.
• Отже, у дужках записано суму восьми перших членів арифметичної прогресії. Тоді матимемо:
• Відповідь. 2,5. ?
• Висновки
• Послідовністю називають функцію, яку задано на множині всіх натуральних чисел або перших n натуральних чисел.
• Арифметичною прогресією називають послідовність, кожний член якої, починаючи із другого, дорівнює попередньому члену, до якого додають одне й те саме число.
• Геометричною прогресією називають послідовність відмінних від нуля чисел, кожний член якої, починаючи із другого, дорівнює попередньому, помноженому на одне й те саме число.
• Мета курсової роботи вивчення основних понять, властивостей числових послідовностей, а також ознайомлення зі способами їх задання та детальне дослідження арифметичної та геометричної прогресії. Дана тема досить поширена у шкільному курсі математики. Інформації для викладення матеріалу було достатньо, тому мети було досягнуто.
• У ході роботи було виконано аналіз літератури з даної теми, в результаті цього було розкрито сутність поняття «числова послідовность»,«арифметична прогресія» та «геометрична прогресія».
• Під час опрацювання даної роботи ми також докладно вивчили властивості арифметичної та геометричної прогресії та застосування їх в задачах.
• Числова послідовність використовується в багатьох галузях: в математиці, хімії, теорії інформації, архітектурі тощо.
• Вивчаючи питання, ми дізналися, про перші задачі, пов'язані з прогресією, а також, що термін «прогресія» запровадив римський вчений Боецій (VІ ст.. ), від лат. « рух уперед»
• На мою думку, « Числові послідовності» є досить цікавою та широковідомою темою серед математиків, оскільки мають цікаві властивості для застосування їх в задачах. Та дана тема буде актуальною ще довгий час.
• Отже, використання вмінь та навичок застосовувати числові послідовності, а також їх властивості є невід'ємною частиною уроків математики. За допомогою розуміння і вміння застосовувати дані властивості під час розв'язання задач допоможуть отримати правильний результат.
• Список використаної літератури
• http://lidia4924.blogspot.com/p/4.html.
• https://knowledge.allbest.ru/mathematics/2c0a65625b2bd79a5c43b89521216d37_0.html.
• https://naurok.com.ua/arifmetichna-progresiya-prezentaciya-do-proektu-chislovi-poslidovnosti-28839.html.
• Алгебра: підруч. для 9 кл. загальноосвіт. навч. закл. / В. Кравчук, М. Підручна, Г. Янченко. Тернопіль: Підруч- ники і посібники, 2017. 264 с.
• Алгебра: підруч. для 9 класу загальноосвіт. навч. закл. / Н. А. Тарасенкова, І. М. Богатирьова, О. М. Коломієць, З. О. Сердюк. К.: УОВЦ «Оріон», 2017. 272 с.
• Мерзляк А. Г.,. Полонський В. Б, Якір М. С. Алгебра для загальноосвітніх навчальних закладів з поглибленим вивченням математики: підруч. для 9 кл. загальноосвіт. навч. закладів /. Х.: Гімназія, 2017. 416 с.: іл.
• Размещено на Allbest.ru
...