Внутренние идеалы алгебр Ли и их свойства

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

ФГБОУ ВО Оренбургский государственный университет

Внутренние идеалы алгебр Ли и их свойства

Мещерина Е.В., к.ф.-м.н.

Впервые понятие внутреннего идеала было введено для йордановых алгебр Н. Джекобсоном [1]. Первым систематическим изучением внутренних идеалов алгебр Ли занялась Дж. Бенкарт [2].

Определение. Скажем, что подпространство B алгебры Ли L является внутренним идеалом, если .

Считается, что внутренний идеал алгебры Ли является аналогом одностороннего идеала ассоциативной алгебры.

Внутренние идеалы сыграли важную роль в классификации простых конечномерных алгебр Ли над полями положительной характеристики. В частности, было показано, что в любой конечномерной алгебре Ли над алгебраически замкнутым полем существуют одномерные внутренние идеалы [3] и [4].

Рассмотрим некоторые свойства внутренних идеалов алгебр Ли.

1. Пусть алгебра Ли B является внутренним идеалом алгебры Ли L. Тогда B' = [B,B] является внутренним идеалом. [5]

Напомним определение присоединенного отображения для алгебры Ли.

Определение. Пусть . Тогда линейное отображение , определенное по формуле называется присоединенным к элементу x.

Доказательство. Из тождества Якоби следует, что присоединенное отображение алгебры Ли является дифференцированием. Такое дифференцирование алгебры Ли называется внутренним [6].

Пусть элементы . Тогда

(1)

Из формулы (1) следует включение .

Следовательно, . Из того, что B является внутренним идеалом следует, что .

Отметим, что .

Получили включение .

Мы доказали, что B' является внутренним идеалом алгебры Ли L.

2. Внутренний идеал алгебры Ли не всегда является алгеброй Ли.

Пример такого внутреннего идеала был построен в [5] и приведен ниже.

Рассмотрим алгебру матриц F_n, n ? 4 порядка n над полем F.

Введем следующее известное обозначение для матричных единиц. Через е_ij обозначим матрицу, у которой на пересечении i-ой строки и j-го столбца стоит 1, а все остальные элементы равны нулю.

Матричные единицы перемножаются по следующему правилу:

где - символ Кронекера.

Рассмотрим алгебру A порожденную как векторное пространство всеми матричными единицами e_ij, j > i.

Алгебру A можно также охарактеризовать как алгебру верхнетреугольных матриц с нулями на главной диагонали.

Алгебра A является ассоциативной нильпотентной алгеброй. Она также является нильпотентной алгеброй Ли по отношению к операции коммутирования [x,y] = xy - yx.

Пусть B векторное подпространство, порожденное матричными единицами e₁₂,e₂₃, а C - матричными единицами .

Обозначим через D алгебру D = B + C.

Легко проверить, что . Следовательно, D - внутренний идеал.

Коммутатор [e₁₂,e₂₃] = e₁₃ не содержится в D.

Следовательно, внутренний идеал D не является алгеброй Ли.

3. Взаимный коммутант внутренних идеалов может не быть внутренним идеалом. [5]

Рассмотрим пример. Он построен на основе примера из [2].

Рассмотрим алгебру Ли sl₂(F) над полем F характеристики 0.

Тогда матрицы e = e₁₂, f = e₂₁, h = e₁₁ e₂₂ образуют базис алгебры sl₂(F) и подпространства Fe и Ff являются ее внутренними идеалами.

Рассмотрим множество .

Покажем, что множество B является внутренним идеалом. Для этого нужно проверить, что .

Вычислим коммутаторы базисных элементов:

,

,

,

.

Следовательно, .

Возьмем множество , которое так же является внутренним идеалом, и рассмотрим множество C = [A, B] = .

Справедливы следующие соотношения

,

,

,

.

То есть, [C,[C,L]] не является подмножеством C, что означает, что множество C не является внутренним идеалом.

4. Сумма внутренних идеалов алгебры Ли L может не быть внутренним идеалом.

Например, в [5] была дана классификация внутренних идеалов алгебры над алгебраически замкнутым полем F характеристики нуль. Внутренними идеалами данной алгебры Ли являются подпространства и но их сумма не является внутренним идеалом алгебры .

5. Если алгебра B является внутренним идеалом алгебры Ли L, то является идеалом B. [5]

Доказательство. Пусть . Тогда и .

Возьмем произвольный элемент и рассмотрим [b, x]. Получим , .

6. Пусть подалгебра Ли B является внутренним идеалом алгебры Ли L. Тогда Bⁿ внутренний идеал. [5]

Для доказательства напомним следующие определения.

Определение. Характеристическим идеалом алгебры Ли называется идеал замкнутый относительно внутренних дифференцирований.

Определение. Характеристический идеал [L,L], обозначаемый D(L) = L' называется производным идеалом или коммутантом алгебры Ли L.

Определение. Производным рядом алгебры Ли L называется убывающая последовательность характеристических идеалов, определяемых рекуррентно.

Определение. Нижним центральным рядом алгебры Ли L называется убывающая последовательность характеристических идеалов, определяемых рекуррентно

Утверждение, аналогичное свойству 6, для множества Bⁿ доказано в [2].

Доказательство. Отметим, что коммутант алгебры Ли также является алгеброй Ли.

Докажем методом математической индукции.

1. Основание индукции. Пусть n = 1.

Выше было доказано, что коммутант B' = [B,B] является внутренним идеалом (свойство 5).

2. Индукционный переход.

Предположим, что для n = k утверждение выполнено, то есть B^(k) является внутренним идеалом.

Докажем для n = k + 1.

По определению B^{(k + 1)} = [B^(k), B^(k)].

Так как по предположению B^(k) внутренний идеал, то согласно свойству 1 делаем вывод, что B^{(k +1)} является внутренним идеалом.

7. Пусть H - внутренний идеал алгебры Ли L. Тогда справедливо включение .[7]

Доказательство. Пусть произвольные. Тогда справедливы равенства

.

Из определения внутреннего идеала следует, что .

8. В алгебре Ли L = sl_n(F) над полем F характеристики нуль все собственные внутренние идеалы абелевы.[7]

Доказательство. Пусть неабелев собственный внутренний идеал.

Обозначим, через матрицы такие, что произвольная.

Тогда согласно свойству 7, справедливо включение . Пусть .

Рассмотрим два случая.

1. Матрица C является диагональной.

Так как tr C = 0, найдутся такие, что коэффициенты при e_ii,e_jj равные б и в различные ненулевые.

Вычислим . Из свойства 7 следует, что .

Аналогично, получим включение

i) Предположим сначала, что .

Применяя свойство 7, получим:

Согласно свойству 7, для n = 2 утверждение выполнено.

Теперь предположим, что n ? 3.

Рассмотрим произведение , где .

Согласно свойству 7, справедливо включение .

Рассуждая аналогично, получим:

, где .

Следует, что

Вычислим

, где .

Следует, что .

Аналогично

, где .

Следует, что .

Пусть теперь .

Получим .

Следует, что .

Мы доказали, что H = L.

ii) Предположим теперь, что в C входит с ненулевым коэффициентом слагаемое .

Тогда или .

Рассуждая аналогично предыдущему случаю, покажем, что H = L.

2. Матрица C не является диагональной.

Согласно свойству 7, для n = 2 утверждение выполнено.

Теперь предположим, что n ? 3.

Пусть t₁,...,t_n базис векторного пространства V на котором матрица C задает линейное преобразование f.

Найдется такое, что векторы t_i и f(t_i) неколлинеарны.

Пусть s₁ = t_i, s₂ = f(s₁), векторы s₃,...,s_n дополняют до базиса систему s₁,s₂.

Линейное преобразование f имеет матрицу

в базисе s₁,...,s_n.

Обозначим через a_i вторую координату в разложении f(s_i), i ? 3 по базису s₁,...,s_n.

Введем новый базис s₁' = s₁, s₂' = s₂, s_i' = s_i a_is₁ при i ? 3.

Тогда f(s_i') = f (s_i a_is₁) = f (s_i) a_is₂ при i ? 3.

Тогда после перехода к базису s₁',...,s_n' матрица C имеет вид

Согласно свойству 7, элемент содержится в H.

Так же применяя свойство 7, получим элемент

принадлежащий H.

Пусть

Согласно свойству 7, элемент содержится в H.

Получим равенство .

Следовательно, .

Применяя свойство 7, получим элементы .

Так как e₁₂ принадлежит H, получим .

Следовательно, .

Вычислим .

Следует, что .

Получим .

Следует, что

Вычислим .

Следует, что .

Получим

Следует, что

Из пункта 1 ii) получим равенство H = L.

9. Пусть F алгебраически замкнутое поле, char F = 0. Все собственные внутренние идеалы H алгебры Ли sl_n(F) удовлетворяют условию: .[7]

Доказательство теоремы. Согласно теореме Ли [8], матрицы разрешимой алгебры Ли линейных преобразований конечномерного векторного пространства над алгебраически замкнутым полем характеристики нуль могут быть приведены одновременно к треугольному виду.

Согласно свойству 8 для полей нулевой характеристики все собственные внутренние идеалы H алгебры sl_n(F) абелевы.

Это означает, в частности, что H является абелевой алгеброй Ли.

Из теоремы Ли следует, что все матрицы собственного внутреннего идеала H могут быть приведены одновременно к треугольному виду.

Не трудно доказать, что диагональные элементы матриц из H равны нулю.

Пусть A и B две матрицы из H. Предположим, что матричные единицы входят с ненулевыми коэффициентами в разложение A и B соответственно.

Тогда ненулевыми в коммутаторе [A,B] могут быть только произведения , если l = i (в этом случае k < j) или , если j = k (в этом случае i < l).

Оба этих произведения не могут одновременно равняться нулю.

Следовательно, из равенства [A,B] = 0 следует равенство AB = 0.

10. Обобщим свойство 9 на один класс бесконечномерных алгебр Ли. [7]

Определение. Обозначим через gl_fr(V) множество линейных отображений конечного ранга бесконечномерного векторного пространства V над полем F в себя. Пусть sl_fr(V) = [gl_fr(V), gl_fr(V)].

Пусть F алгебраически замкнутое поле, char F = 0, V бесконечномерное векторное пространство над F. Все собственные внутренние идеалы H алгебры Ли sl_fr(V) удовлетворяют условию:.

Доказательство. Пусть H собственный внутренний идеал алгебры Ли sl_fr(V), произвольные.

Так как f,g преобразования ограниченного ранга, существует векторное пространство такое, что .

Пусть произвольное.

Обозначим через U конечномерное подпространство V содержащее W и x.

Тогда ограничивая действие элементов H на U получим множество преобразований .

Покажем, что G внутренний идеал алгебры Ли sl(U).

Пусть Обозначим через U' подпространство дополняющее U до V, то есть сумма V=UU' прямая.

Можно считать, что , определяя действие l на U' нулевым образом.

Тогда .

Ограничивая действие преобразования [s,[t,l]] на подпространстве U, получим .

Возможны 3 случая.

1. G = 0.

В этом случае .

2. Подпространство G собственный внутренний идеал алгебры Ли sl(U).

Согласно свойству 9, выполнено равенство .

3. G = sl(U).

Обозначим через n размерность векторного пространства U.

Пусть e₁,e₂,... базис векторного пространства V, первые n элементов которого образуют базис U.

Будем использовать обычные обозначения для матричных единиц.

Выполнено равенство [sl(u),sl(u)] = sl(u).

Следующие коммутаторы принадлежат H:

внутренний идеал алгебра ли

где

Следовательно, так как .

Элементы принадлежат H.

Мы показали, что все элементы вида принадлежат H.

Пусть произвольное.

Учитывая ограниченность ранга f, можно считать, в бесконечной матрице A задающей f ненулевыми являются только первые k-1 строк.

Пусть A_i матрица, состоящая из i-ой строки матрицы A. Тогда

Матрица [e_ik,[e_ki, A_i]], 1 i k-1 отличается от матрицы A_i конечным числом элементов.

Поэтому можно считать, что все A_i принадлежат H, 1 i k-1.

Следовательно, H = sl_fr(V).

В этом случае внутренний идеал H не является собственным.

Список литературы

1. Jacobson, N. Structure theory of quadratic Jordan algebras / N. Jacobson // Lecture Notes.- Tata Institute.- Bombay, 1970.- 128 pp.

2. Benkart, G. On inner ideals and ad-nilpotent elements of Lie algebras / G. Benkart // Transaction of the American Mathematical Society.- 1977.- V. 232.- P. 61-81.

3. Премет, А. А. Алгебры Ли без сильного вырождения / А.А. Премет // Математический сборник, 1986. - Т. 129 (171). - № 1, - C. 140-153.

4. Премет, А. А. Внутренние идеалы в модулярных алгебрах Ли / А.А. Премет // Весцi АН БССР. Сер. фiз.-мат. навук, 1986. - № 5. - C. 11-15.

5. Мещерина, Е.В. О некоторых свойствах внутренних идеалов алгебры Ли / Е.В. Мещерина, С.А. Пихтильков //Вестник ОГУ.- 2013.- № 9 (158).- C. 110-114.

6. Бурбаки, Н. Группы и алгебры Ли (главы I-III) / Н. Бурбаки. - М.: Мир, 1976.- 496 с.

7. Мещерина, Е.В. О собственных внутренних идеалах простых алгебр Ли / Е.В. Мещерина, С.А. Пихтильков, О.А. Пихтилькова //Ученые записки Орловского государственного университета.- 2012.- № 6.- Часть 2.- C. 156-162.

8. Джекобсон, Н. Алгебры Ли / Н. Джекобсон. - М.:Мир, 1964.- 355 с.

Размещено на Allbest.ru

...