Базис, разложение вектора на плоскости по двум неколлинеарным векторам

Размещено на http://www.allbest.ru

Размещено на http://www.allbest.ru

Введение

Выбранная мной тема достаточно актуальна, так как понятия вектора и базиса являются одними из фундаментальных понятий в современной математике и широко используются в различных сферах. В физике - на языке векторов формулируются основные законы механики и электродинамики, в химии - векторы помогают создавать математические модели некоторых химических процессов, в географии - распределение ветра исследуется в векторной форме. Также эти понятия используются в информатике, в биологии и даже в генной инженерии.

Объектом данной работы является базис.

Целью работы является изучение понятия базис, его видов и способов разложения вектора на плоскости по двум неколлинеарным векторам.

Для достижения цели необходимо выполнить следующие задачи:

1) Ознакомиться с основными понятиями темы.

2) Рассмотреть основные методы решения задач на разложение вектора на плоскости по двум неколлинеарным векторам.

3) Проанализировать данные и сделать вывод.

1. Теоретические основы

1.1 Понятие базис

Базис (от древнегреческого вбуйт «основа».) - упорядоченная система векторов в векторном пространстве, такая, что любой вектор этого пространства может быть единственным образом представлен в виде линейной комбинации базисных векторов данного пространства. При этом ни один из базисных векторов не представлен в виде линейной комбинации остальных.

Иными словами, базис - это своеобразная система координат, такая же, как знакомая всем нам Декартова система координат, только вместо осей абсцисс, ординат и аппликат используются данные нам векторы.

1.2 Базис на прямой

Базисом на прямой называется любой ненулевой вектор, принадлежащий этой прямой.Этот вектор называется базисным.

Рис. 1

Вектор образует базис {} на прямой a. (рис. 1)

Любой вектор , коллинеарный прямой L, может быть разложен по базису {} на этой прямой, то есть, представлен в виде = x*.

Коэффициент x в разложении вектора по базису {} называется координатой вектора относительно базиса {} и имеет единственное значение.

Условия образования базиса вектором на прямой:

1 вектор должен быть коллинеарен данной прямой;

2 вектор должен быть ненулевым.

1.3 Базис на плоскости

Базисом на плоскости называется любая упорядоченная пара линейно независимых векторов, принадлежащих этой плоскости. Эти векторы называются базисными.

Рис. 2

Векторы и образуют базис {, } на плоскости . (рис. 2)

Любой вектор , принадлежащий плоскости , может быть разложен по базису {, } на этой плоскости, т.е. представлен в виде = *+ *.

Коэффициенты и в разложении вектора по базису {, } называются координатами вектора относительно базиса {, }.

Условия образования базиса двумя векторами на плоскости:

· векторы должны быть ненулевыми;

· векторы должны быть линейно независимыми, то есть, неколлинеарными;

· векторы должны принадлежать одной плоскости.

1.4 Базис в трёхмерном пространстве

Рис. 3

Базисом в трёхмерном пространстве называется любая упорядоченная тройка линейно независимых векторов. Эти векторы называются базисными.

Векторы , и образуют базис {, , }. (рис. 3)

Любой вектор может быть разложен по базису {, , } в пространстве, то есть, представлен в виде = *+ *+ *.

Коэффициенты , , в разложении вектора по базису {, , } называются координатами вектора относительно базиса {, , }.

Условия образования базиса тройкой векторов в пространстве:

1 векторы должны быть линейно независимыми, то есть, некомпланарными;

2 векторы должны быть ненулевыми.

Базис называется ортогональным, если образующие его векторы попарно ортогональны (взаимно перпендикулярны).

Рис. 4

Базис {, , } является ортогональным. (рис. 4)

Ортогональный базис называется ортонормированным, если образующие его векторы имеют единичную длину.

Рис. 5

базис вектор ортогональный

Ортогональный базис {, , } является ортонормированным. (рис. 5)

1.5 Происхождение термина «базис»

У древнегреческих математиков слово «базис» (вбуйт, в значении основание) обозначало горизонтальное основание плоской или пространственной фигуры. Современный математический смысл этому термину придал Дедекинд в статье 1885 года.

В данной главе было рассмотрено понятие базиса и его происхождение. Выяснилось, что векторы могут образовать базис на прямой, при этом любой вектор, коллинеарный данной прямой может быть разложен по этому базису. Вектора могут образовывать базис на плоскости, при этом любой вектор, не являющийся векторным и лежащий в данной плоскости, может быть единственным образом разложен по этому базису. И в пространстве, при этом любой вектор, не являющийся базисным и находящийся в данном пространстве, может быть разложен, при том единственным образом, по этому базису.

Также были рассмотрены особые случаи базиса в пространстве - ортогональный и ортонормированный базис.

2. Разложение вектора на плоскости по двум неколлинеарным векторам

2.1 Введение

Мы выяснили, что векторы могут образовывать базис на прямой, то есть в одномерном пространстве, на плоскости, то есть в двухмерном пространстве, а также в трёхмерном пространстве.

В данной главе мы наиболее подробно рассмотрим примеры, в которых необходимо разложить вектор по базису на плоскости, то есть по двум неколлинеарным векторам.

2.2 Разложение вектора на плоскости по двум векторам

Лемма.

Если векторы и коллинеарны, то существует такое число k, что = k*

Доказательство.

Дано: и коллинеарны,

Доказать: существует такое число k, что = k*

Доказательство: Возможны два случая:

. (рис.6)

Пусть число k = . Так как k 0, то векторы k и сонаправлены.

Рис. 6

При этом, их длины равны: = * = * = . Следовательно, = k*.

. (рис. 7)

Пусть число k = - . Так как k 0, то векторы k и сонаправлены.

Рис. 7

При этом, их длины равны: = * = * = . Следовательно, = k*.

Лемма доказана.

Теорема.

На плоскости любой вектор можно разложить по двум данным неколлинеарным векторам, причем коэффициенты разложения определяются единственным образом.

Доказательство.

Дано: и неколлинеарные.

Доказать: любой вектор можно разложить по векторам и , то есть

* + y*, x и y определяются единственным образом.

Доказательство: Возможны два случая:

Вектор коллинеарен одному из векторов и , допустим, вектору . (рис. 8)

Рис. 8

Тогда, по лемме о коллинеарных векторах, вектор можно представить в виде = y*, где y - некоторое число, следовательно, *+y*, то есть вектор можно разложить по векторам и .

Вектор не коллинеарен ни вектору , ни вектору . (рис. 9)

Отметим какую-нибудь точку O и отложим от неё векторы , , . Через точку P проведём прямую, параллельную прямой OB, которая пересечёт прямую OA в точке . (рис. 10)

Рис. 9

Рис. 10

По правилу треугольника сложения двух векторов = + , при этом векторы и коллинеарны векторам и , следовательно, по лемме о коллинеарных векторах, суествуют такие числа x и y такие, что и = y*. Поэтому * + y*, то есть вектор можно разложить по векторам и .

Докажем, что коэффициенты x и y определяются единственным образом.

Допустим, что вместе с разложением * + y* существует и другое разложение * + *. Вычтем из первого равенства второе, получим: + -, откуда, учитывая правила действий над векторами, . Данное равенство выполнимо только в том случае, когда и .

Действительно, если предположить, что , то из равенства получим, что , значит, векторы и коллинеарны, что противоречит условию теоремы. Следовательно, = 0 и , откуда и , а это говорит о том, что коэффициенты и разложения вектора определяются единственным образом.

Теорема доказана.

2.3 Разложение вектора по базису на плоскости

Как нам уже известно, любой вектор , принадлежащий плоскости , может быть разложен по базису {, } на этой плоскости, т.е. представлен в виде = + . Разберём один из способов разложения на примере:

Задание: Разложить вектор ) по базису {, }, если , а .

Решение:

Выясняем, образуют ли векторы и базис. Для этого составляем из координат векторов и матрицу и находим её определитель.

Det = 60 - 9 = 51. Определитель не равен нулю, следовательно, векторы и образуют базис {, }.

Как уже говорилось ранее, разложить вектор по базису - значит представить его в виде линейной комбинации базисных векторов, то есть по форме = + , следовательно, наша задача - найти коэффициенты и . Для этого составляем из координат векторов , и систему линейных уравнений и решаем её любым удобным способом:

Не будем подробно расписывать решение, в результате мы получили, что , .

Составляем линейную комбинацию: , это и будет ответом.

Задание решено.

В этой главе был рассмотрен процесс разложения вектора на плоскости по двум неколлинеарным векторам, а также разложение вектора по базису на плоскости. Выяснилось, что базис на плоскости могут образовывать только неколлинеарные вектора. Стоит отметить, что в данной главе была рассмотрена теорема «О разложении вектора на плоскости по двум неколлинеарным векторам», которая является важнейшей в изучаемой теме.

Заключение

В заключение стоит отметить, что в ходе решения поставленных в исследовании задач были достигнуты следующие результаты:

1) Рассмотрены понятие базиса, происхождение термина, его вид в одномерном пространстве, т.е. на прямой, в двухмерном пространстве, т.е. на плоскости, и в трёхмерном пространстве. Также были рассмотрены ортогональный и ортонормированный базисы.

2) В ходе данной работы выяснилось, что базис на плоскости могут образовывать только линейно независимые, т.е. неколлинеарные векторы, а при разложении данный вектор выражается через базисные вектора.

3) Также в процессе исследования были выделены основные методы решения задач на разложение вектора на плоскости по двум неколлинеарным векторам.

В целом, можно сделать вывод, что задачи данного исследования выполнены, а цель, которая была поставлена в начале - достигнута.

Литература

1) Кутателадзе С.С. Основы функционального анализа -- 4 изд., испр. -- Новосибирск: Изд-во Ин-та Математики СО РАН, 2001. -- 354 c.;

2) Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика: учебник. - М.: Юрайт, 2016. - 282 c.;

3) Максимов Ю.Д. Линейная алгебра и аналитическая геометрия: учебное пособие. - М.: Проспект, 2015. - 144 c.

4) Колыков И.М. Базис системы векторов. Разложение вектора по базису [Электронный ресурс]. - Режим доступа: https://function-x.ru/vectors_base.html, свободный -- (14.12.2019);

5) Электронная библиотека SolverBook [Электронный ресурс]. - Режим доступа: http://ru.solverbook.com/ свободный - (14.12.2019).

Размещено на Allbest.ru