Двойные интегралы
Определение двойного интеграла и его свойства. Сведение двойных интегралов к повторным. Расстановка пределов интегрирования. Вычисление двойных интегралов в декартовой системе координат. Определение прямоугольной и произвольной областей интегрирования.
| Рубрика | Математика |
| Вид | лекция |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 28.03.2020 |
| Размер файла | 132,7 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
1
Размещено на http://www.allbest.ru/
1. Двойные интегралы
1.1 Определение двойного интеграла
Двойные интегралы. Определение двойного интеграла и его свойства. Повторные интегралы. Сведение двойных интегралов к повторным. Расстановка пределов интегрирования. Вычисление двойных интегралов в декартовой системе координат.
Двойной интеграл представляет собой обобщение понятия определенного интеграла на случай функции двух переменных. В этом случае вместо отрезка интегрирования будет присутствовать какая-то плоская фигура.
Пусть D - некоторая замкнутая ограниченная область, а f(x,y) - произвольная функция, определенная и ограниченная в этой области. Будем предполагать, что границы области D состоят из конечного числа кривых, заданных уравнениями вида y=f(x) или x=g(y), где f(x) и g(y) - непрерывные функции.
Рис. 1.1
Разобьем область D произвольным образом на n частей. Площадь i-го участка обозначим символом ?si. На каждом участке произвольно выберем какую-либо точку Pi, и пусть она в какой-либо фиксированной декартовой системе имеет координаты (xi,yi). Составим интегральную сумму для функции f(x,y) по области D, для этого найдем значения функции во всех точках Pi, умножим их на площади соответствующих участков ?si и просуммируем все полученные результаты:
. (1.1)
Назовем диаметром diam(G) области G наибольшее расстояние между граничными точками этой области.
Двойным интегралом функции f(x,y) по области D называется предел, к которому стремится последовательность интегральных сумм (1.1) при неограниченном увеличении числа разбиений n (при этом ). Это записывают следующим образом
. (1.2)
Заметим, что, вообще говоря, интегральная сумма для заданной функции и заданной области интегрирования зависит от способа разбиения области D и выбора точек Pi. Однако если двойной интеграл существует, то это означает, что предел соответствующих интегральных сумм уже не зависит от указанных факторов. Для того чтобы двойной интеграл существовал (или, как говорят, чтобы функция f(x,y) была интегрируемой в области D), достаточно чтобы подынтегральная функция была непрерывной в заданной области интегрирования.
Рис. 1.2
Пусть функция f(x,y) интегрируема в области D. Поскольку предел соответствующих интегральных сумм для таких функций не зависит от способа разбиения области интегрирования, то разбиение можно производить при помощи вертикальных и горизонтальных линий. Тогда большинство участков области D будет иметь прямоугольный вид, площадь которых равна Dsi=DxiDyi. Поэтому дифференциал площади можно записать в виде ds=dxdy. Следовательно, в декартовой системе координат двойные интегралы можно записывать в виде
. (1.3)
Замечание. Если подынтегральная функция f(x,y)1, то двойной интеграл будет равен площади области интегрирования:
. (1.4)
Отметим, что двойные интегралы обладают такими же свойствами, что и определенные интегралы. Отметим некоторые из них.
Свойства двойных интегралов.
10. Линейное свойство. Интеграл от суммы функций равен сумме интегралов:
;
и постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:
.
20. Аддитивное свойство. Если область интегрирования D разбить на две части, то двойной интеграл будет равен сумме интегралов по каждой этой части:
.
30. Теорема о среднем. Если функция f(x,y) непрерывна в области D, то в этой области найдется такая точка (x,h), что:
.
Далее возникает вопрос: как вычисляются двойные интегралы? Его можно вычислить приближенно, с этой целью это разработаны эффективные методы составления соответствующих интегральных сумм, которые затем вычисляются численно при помощи ЭВМ. При аналитическом вычислении двойных интегралов их сводят к двум определенным интегралам.
1.2 Повторные интегралы
Повторными интегралами называются интегралы вида
. (1.5)
В этом выражении сначала вычисляется внутренний интеграл, т.е. производится сначала интегрирование по переменной y (при этом переменная x считается постоянной величиной). В результате интегрирования по y получится некоторая функция по x:
.
Затем полученную функцию интегрируют по x:
.
Пример 1.1. Вычислить интегралы:
а) , б) .
Решение. а) Произведем интегрирование по y, считая, что переменная x=const. После этого вычисляем интеграл по x:
.
а б
Рис. 1.4
б) Так как во внутреннем интеграле интегрирование производится по переменной x, то y3 можно вынести во внешний интеграл как постоянный множитель. Поскольку y2 во внутреннем интеграле считается постоянной величиной, то этот интеграл будет табличным. Производя последовательно интегрирование по y и x, получаем
.
Между двойными и повторными интегралами существует взаимосвязь, но сначала рассмотрим простые и сложные области. Область называется простой в каком-либо направлении, если любая прямая, проведенная в этом направлении, пересекает границу области не более чем в двух точках. В декартовой системе координат обычно рассматривают направления вдоль осей Ox и Oy. Если область является простой в обоих направлениях, то говорят коротко - простая область, без выделения направления. Если область не является простой, то говорят, что она сложная.
Любую сложную область можно представить в виде суммы простых областей. Соответственно, любой двойной интеграл можно представить в виде суммы двойных интегралов по простым областям. Поэтому в дальнейшем мы будем рассматривать, в основном, только интегралы по простым областям.
Теорема. Если область интегрирования D - простая в направлении оси Oy (см. рис.1.4а), то двойной интеграл можно записать в виде повторного следующим образом:
; (1.6)
если область интегрирования D - простая в направлении оси Ox (см. рис.1.4б), то двойной интеграл можно записать в виде повторного следующим образом:
. (1.7)
|
простая область |
простая область в направлении Oy |
простая область в направлении Ox |
сложная область |
Рис. 1.3
Рис. 1.5
Если область интегрирования является правильной в обоих направлениях, то можно произвольно выбирать вид повторного интеграла, в зависимости от простоты интегрирования.
1.3 Расстановка пределов интегрирования
интегрирование двойной интеграл декартовый
1.3.1 Прямоугольная область интегрирования
При сведении двойных интегралов к повторным, основная трудность возникает при расстановке пределов во внутренних интегралах. Наиболее просто это сделать для прямоугольных областей (см. рис. 1.5).
Пример 1.2. Вычислить двойной интеграл
.
Решение. Запишем двойной интеграл в виде повторного:
.
1.3.2 Произвольная область интегрирования
Для того, чтобы перейти от двойного интеграла к повторному следует:
построить область интегрирования;
расставить пределы в интегралах, при этом следует помнить, что пределы внешнего интеграла должны быть постоянными величинами (т.е. числами) независимо от того, по какой переменной вычисляется внешний интеграл.
Пример 1.3. Расставить пределы интегрирования в соответствующих повторных интегралах для двойного интеграла
, если а) б)
Решение. а) Изобразим область интегрирования D (см. рис.1.6). Пусть интегрирование во внешнем интеграле производится по переменной x, а во внутреннем - по y. Расстановку пределов всегда нужно начинать с внешнего интеграла, в данном случае с переменной x. Из рисунка видно, что x изменяется от 0 до 1, при этом значения переменной y будут изменяться от значений на прямой y=x до значений на прямой y=2x. Таким образом, получаем
.
Рис. 1.6
Рис. 1.7
Пусть теперь интегрирование во внешнем интеграле производится по y, а во внутреннем - по x. В этом случае значения y будут изменяться от 0 до 2. Однако тогда верхняя граница изменений значений переменной x будет состоять из двух участков x=y/2 и x=1. Это означает, что область интегрирования нужно разбить на две части прямой y=1. Тогда в первой области y изменяется от 0 до 1, а x от прямой x=y/2 до прямой x=y. Во второй области y изменяется от 1 до 2, а x - от прямой x=y/2 до прямой x=1. В результате получим
.
б) Построим область интегрирования D (см. рис.1.7). Пусть во внешнем интеграле интегрирование производится по x, а во внутреннем - по y. В этом случае при изменении x от -1 до 1 изменения переменной y сверху будут ограничены двумя линиями: окружностью и прямой. На отрезке [-1;0] y изменяется от y=0 до ; на отрезке [0;1] переменная y изменяется от y=0 до y=1-x. Таким образом,
.
Пусть теперь во внешнем интеграле интегрирование производится по y, а во внутреннем - по x. В этом случае y будет изменяться от 0 до 1, а переменная x - от дуги окружности до прямой x=1-y. В результате получим
.
Данные примеры показывают, как важно правильно выбирать порядок интегрирования.
Пример 1.4. Изменить порядок интегрирования
а) ; б) .
Решение. а) Построим область интегрирования. На отрезке [0;1] для x переменная y изменяется от прямой y=0 до прямой y=x. В результате получается следующая область интегрирования (см. рис.1.8). На основании построенного рисунка, расставляем пределы интегрирования
.
Рис. 1.8
б) Построим область интегрирования. На отрезке [0;9/16] для y переменная x изменяется от прямой x=y до параболы ; на отрезке [9/16;3/4] - от прямой x=y до прямой x=3/4. В результате получается следующая область интегрирования (см. рис.1.9). На основании построенного рисунка, расставляем пределы интегрирования,
.
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Понятие интеграла. Приложения двойных интегралов к задачам механики: масса плоской пластинки переменной плотности; статические моменты и центр тяжести пластинки; моменты инерции пластинки. Вычисление площадей и объёмов с помощью двойных интегралов.
реферат [508,3 K], добавлен 16.06.2014Понятие двойного интеграла, условия его существования, свойства и методы вычисления: сведение двойного интеграла к повторному для прямоугольной и криволинейной областей; двойной интеграл в полярных координатах; замена переменных; вычисление объемов тел.
контрольная работа [321,9 K], добавлен 21.07.2013Вычисление двойного интеграла в прямоугольных координатах. Замена переменных в двойном интеграле. Аналог формул прямоугольников и формулы трапеции. Теорема существования двойного интеграла, его геометрический и физический смысл и основные свойства.
курсовая работа [1,3 M], добавлен 13.02.2013Интегралы, у которых один или оба предела интегрирования бесконечны, и у которых функция не ограничена на отрезке интегрирования. Понятие несобственных интегралов с бесконечными пределами интегрирования. Геометрический смысл несобственного интеграла.
презентация [104,1 K], добавлен 18.09.2013Непосредственное (элементарное) интегрирование, вычисление интегралов с помощью основных свойств неопределенного интеграла и таблицы интегралов. Метод замены переменной (метод подстановки). Интегрирование по частям, определение точности интегралов.
презентация [117,8 K], добавлен 18.09.2013Понятие определенного, двойного, тройного, криволинейного и поверхностного интегралов. Предел интегральной суммы. Вычисление двойного интеграла. Кратные интегралы в криволинейных координатах. Формулы перехода от цилиндрических координат к декартовым.
курсовая работа [241,3 K], добавлен 13.11.2011История интегрального исчисления. Определение и свойства двойного интеграла. Его геометрическая интерпретация, вычисление в декартовых и полярных координатах, сведение его к повторному. Применение в экономике и геометрии для вычисления объемов и площадей.
курсовая работа [2,7 M], добавлен 16.10.2013Специфика декартовых координат и способ их использования при вычислении двойного интеграла, сведенного к повторному интегрированию. Примеры решения задач и особенности определения тройного интеграла в системе цилиндрических и сферических координат.
презентация [69,7 K], добавлен 17.09.2013Расчет неопределенных интегралов по частям и по формуле Ньютона-Лейбница. Вычисление несобственного интеграла или доказательство его расходимости. Расчет площади фигуры, ограниченной кардиоидой. Расстановка пределов двумя альтернативными способами.
контрольная работа [251,2 K], добавлен 28.03.2014Свойства и характеристика интегралов с бесконечными пределами, признаки их сходимости. Расчет несобственных интегралов с бесконечными пределами. Определение несобственного интеграла от разрывной функции с аналитической и геометрической точки зрения.
реферат [144,5 K], добавлен 23.08.2009Определение криволинейного интеграла по координатам, его основные свойства и вычисление. Условие независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования. Вычисление площадей фигур с помощью двойного интеграла. Использование формулы Грина.
контрольная работа [257,4 K], добавлен 23.02.2011Методы интегрирования в древности. Понятие первообразной функции. Основная теорема интегрального исчисления. Свойства неопределенных и определенных интегралов и методы их вычисления, произвольные постоянные. Таблица интегралов элементарных функций.
презентация [525,7 K], добавлен 11.09.2011Рассмотрение задач численного интегрирования по простейшим формулам. Понятие тройных интегралов и их применение для вычисления объема, массы, площади, моментов инерции, статистических моментов и координат центра масс тела на конкретных примерах.
курсовая работа [348,5 K], добавлен 17.12.2013Поиск общего интеграла дифференциального уравнения. Расстановка пределов интегрирования. Координаты вершины параболы. Объем тела, ограниченного поверхностями. Вычисление криволинейного интеграла. Полный дифференциал функции. Вычисление дуги цепной линии.
контрольная работа [298,1 K], добавлен 28.03.2014Понятие и назначение интегралов, их классификация и разновидности. Вычисление интегралов от тригонометрических функций: методика, основные этапы, используемые инструменты. Интегралы, зависящие от параметра, их отличительные особенности и вычисление.
курсовая работа [1,1 M], добавлен 19.09.2011Определение определенного интеграла, правила вычисления площадей поверхностей и объемов тел с помощью двойных и тройных интегралов. Понятие и виды дифференциальных уравнений, способы их решения. Действия над комплексными числами, понятие и свойства рядов.
краткое изложение [145,1 K], добавлен 25.12.2010Нахождение частных производных, градиента функции. Вычисление интеграла, переход от двойного интеграла к последовательному, пределов интегрирования. Общее и частное решение дифференциального уравнения второго порядка. Применение признака Даламбера.
контрольная работа [297,6 K], добавлен 11.05.2013Несобственные интегралы первого рода. Понятие абсолютно и условно сходящегося интеграла. Несобственные интегралы второго рода. Определение непрерывности функции и равномерной сходимости. Свойства несобственных интегралов, зависящих от параметра.
курсовая работа [240,1 K], добавлен 23.03.2011Способы вычисления интегралов. Формулы и проверка неопределенного интеграла. Площадь криволинейной трапеции. Неопределенный, определенный и сложный интеграл. Основные применения интегралов. Геометрический смысл определенного и неопределенного интегралов.
презентация [1,2 M], добавлен 15.01.2014Определение двойного интеграла, его геометрический смысл, свойства, область интегрирования. Условия существования двойного интеграла, его сведения к повторному; формула преобразования при замене переменных, геометрические и физические приложения.
презентация [1,5 M], добавлен 18.03.2014
