Решение систем нелинейных уравнений

Размещено на http://www.allbest.ru

Министерство науки и высшего образования Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего образования

Санкт - Петербургский Горный университет

Кафедра информатики и компьютерных технологий

Расчётно - графическое задание

Вариант 2

По дисциплине: Математическое моделирование

Тема: Решение систем нелинейных уравнений

Выполнил: студент группы РТ-17

Верещагин И.И./

Проверил: Доцент каф. ИКТ

Сибирев В.Н./

Санкт-Петербург 2019

Решение систем нелинейных уравнений. Метод итерации

Решение системы нелинейных уравнений являются значения неизвестных, при которых каждое из уравнений системы обращается в тождество.

Метод простых итераций (метод последовательных приближений), как известно, применяется для решения систем линейных алгебраических уравнений и отыскания корней нелинейных уравнений. Этот метод может быть использован для вычисления решения систем нелинейных уравнений.

Как известно, метод итерации применим не всегда. Для систем двух нелинейных уравнений условие сходимости процесса уточнения решения выглядит следующим образом

Решим заданное уравнение: с точностью вычислить решение системы нелинейных уравнений

Шаг 1. Преобразуем систему для использования метода простой итерации к виду Определим справедливость условия сходимости. Вычисляем частные производные в обоих уравнениях по обеим переменным:

Помня, что функция и sin, и cos по абсолютной величины не более единицы, можем утверждать, что условие сходимости выполняется.

Шаг 2. Для получения начального приближения строим график функций первого и второго уравнений системы в табличном процессоре Microsoft Excel. Для этого заносим в первый столбец таблицы A значения x от -2 до 2. В соседнем столбце В вычисляем значение переменного y по первому уравнению (рис. 1) и строим график y(x) (категория «точечная») (рис 2.). В четвертом столбце D заполняем диапазон изменения y от -2 до 2 шагом 0,2.

Рис. 1. Вычисления для построения графика первого уравнения системы

Рис. 2. Построение графика первого уравнения системы

В третьем столбце С по формуле второго уравнения вычисляем значения х (рис. 3).

Рис. 3. Вычисление функции второго уравнения системы

Вызываем контекстное меню и выбираем команду «Выбрать данные». Microsoft Excel выводит диалоговое окно выбора данных с кнопками «Добавить», «Изменить», «Удалить». Нажатие на команду «Добавить» вызывает окно «Изменение ряда». Вводим в соответствующие поля диалогового окна диапазоны ячеек, содержащие значения х и значение у. Нажатие на кнопку «ОК» приводит к построению графика второго уравнения системы в тех же осях координат.

Рис 4. Добавление второго графика

Определяем приблизительно координаты точки пересечения графиков и полагаем эти значения нулевыми приближениями решения: x=1.7, y=-0.3.

Шаг 3. Заносим формулы для вычисления следующих итераций, получаем по ним результаты и копируем эти формулы на некоторые диапазон (рис 5).

Рис. 5. Вычисления приближенного значения

Копирование формул прекращаем при наличии в значения х и у повторения нужного количества цифр после запятой.

Решение системы нелинейных уравнений Microsoft Excel с использованием надстройки «поиск решения»

Чтобы воспользоваться надстройкой «Поиск решения», нужно ввести значения нулевого приближения (рис. 6) аналогично тому, как при нахождении приближенного решения системы линейных алгебраических уравнений методом простой итерации или методом итерации Зейделя. В соседнюю ячейку вводим формулу, состоящую из суммы квадратов двух выражений, первым из которых является выражение F1(x,y), вторым - F2(x,y). Т.е. формула F12(x,y)+F12(x,y). После этого вызывается надстройка «Поиск решения» (рис. 7).

Рис. 6. Вызов надстройки «Поиск решения»

Рис. 7. Установки параметров для работы надстройки «Поиск решения»

Программа Microsoft Excel автоматически в качестве целевой ячейки (ячейки, содержащей формулу, величину которой нужно подобрать) выводит адрес ячейки с формулой. Далее нужно установить значения, которое должна принимать формула в целевой ячейке. Это выражение должно обращаться в ноль. Поэтому вводим ноль в окне надстройки «Поиск решения». Затем устанавливаем адреса ячеек, значения которых нужно изменять, чтобы подобрать требуемое значение в целевой ячейке. В рассматриваемом случае нужно указать два адреса. Для этого при их выделении держим нажатой клавишу Ctrl.

Нажатие на кнопке «Выполнить» производит поиск решения. Если решение подобрать невозможно из-за некорректного задания данных, то программа Microsoft Excel выводит окно с сообщением об этом. Если решение получено, то выводится окно с соответствующим сообщением и запросом на сохранение найденного решения в ячейках, содержащих начальное приближение (рис. 8).

Рис. 8. Результат работы надстройки «Поиск решения»

При нажатии кнопки «ОК» найденное значение записывается в ячейки, куда были введены начальные значения

Рис. 9. Результат поиска решения

Решения системы нелинейных уравнений в пакете mathcad

При решении задачи в пакете MathCAD, сначала определяем приближенное значение решения. Для этого строим в одной системе координат графики левых частей обоих уравнений. Сначала первый график первого уравнения системы (рис. 10).

Рис. 10 Построение графика первого уравнения

В пакете MathCAD в одной системе координат можно отображать более одного графика. Для этого, подписывая ось абсцисс, через запятую указываем аргумент каждого графика (рис. 11).

Рис 11. Задание параметров для построения второго графика

Аналогично поступаем с надписями у оси ординат. Для доступа задания имени второго графика нажимается запятая после имени первого переменного у оси ординат. При этом программа производит перенос курсора на строку ниже, где и задается имя второго графика (рис. 12). Координаты точки пересечения графика показывают решения системы.

Вторым этапом решения задачи средствами MathCAD является уточнение решения, для чего используется функция Find. Эта функция позволяет решать системы линейных и нелинейных уравнений методом итераций. Ее вид Find (x,y,z,…), где x,y,z,.. - искомые неизвестные.

Рис. 12. Добавление второго графика

Рис. 13. Решение системы нелинейных уравнений в пакете MathCAD

РЕШЕНИЕ системы нелинейных уравнений методом ньютона

Метод простых итераций является одним из простейших методов получения решения систем нелинейных уравнений. Его существенным недостатком является медленная сходимость и ограничения к его использованию. Метод Ньютона обеспечивает более быструю сходимость и имеет меньшие ограничения по применению. Кстати, функция пакета MathCAD применяет именно этот метод в функций given find.

Пусть нужно найти решение системы нелинейных уравнений. Эту систему можно записать как матричное уравнение F(X)=0, где Х - вектор неизвестных переменных Х= , F(X) - вектор уравнений системы F(X)= . Формула Ньютона для вычисления корня нелинейного уравнения f(x)=0 имеет вид . Решение матричного уравнения получается по такой же формуле. При этом действие на матрицу заменяется умножением на обратную матрицу, т.е. формула имеет вид , где использовано обозначение - обратная матрица к матрице частных производных по первой и второй переменным . Значок (k) - означает номер итерации или номер приближения. Вычисления прекращают при выполнении условия max|xi(k+1)-xi(k)|<е для обоих значений переменной.

В рассматриваемом случае обратная матрица вычисляется по формуле , где . Возвращаясь к обычной (не матричной записи), можем записать , где величины , и вычисляются как определители матриц по формулам:

Рассмотрим решение задачи: с точностью вычислить решение системы методом Ньютона.

Переписываем систему:

Вычисляем первые частные производные от левой части первого и второго уравнений: .Воспользуемся начальным приближения решения системы, полученным ранее: х(0)=1,7 и y(0)=-0,3.

Рис. 14. Решение системы методом Ньютона (режим отображения чисел)

Рис. 15. Решение системы методом Ньютона (режим отображения формул)

Вывод

нелинейный уравнение график

Как видим, сходимость метода более быстрая, чем у метода простой итерации (требуемая точность достигнута за меньшее число шагов). Решения, полученные разными методами, совпадают.