Евклидово пространство. Квадратичные формы

Размещено на http://www.allbest.ru/

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования

«Российский экономический университет имени Г.В. Плеханова»

Минский филиал РЭУ им. Г.В. Плеханова

Кафедра информационных технологий и социально-гуманитарных дисциплин

Реферат

по дисциплине «Высшая математика»

Тема: «Евклидово пространство. Квадратичные формы»

Выполнил обучающийся группы Ми-ЗМЕ-202

заочной формы обучения Глод Артём Вячеславович

Научный руководитель: старший

преподаватель Кобяк Гелена Францевна

Минск, 2020

Введение

Арифметическая теория квадратичных форм берет свое начало с утверждения Ферма о представимости простых чисел суммой двух квадратов.

Теория квадратичных форм впервые была развита французским математиком Лагранжем, которому принадлежат многие идеи в этой теории, в частности, он ввел важное понятие приведенной формы, с помощью которого им была доказана конечность числа классов бинарных квадратичных форм заданного дискриминанта. Затем эта теория была значительно расширена Гауссом, который ввел много новых понятий, на основе которых ему удалось получить доказательства трудных и глубоких теорем теории чисел, ускользавших от его предшественников в этой области

Изучение основ теории билинейных и квадратичных форм вызывает ряд трудностей методического характера, обусловленных существованием нескольких различных подходов к построению этой теории. Принятое изложение, основанное на теории унитарных и евклидовых пространств и содержит единый подход к изучению симметричных и эрмитовых форм.

При изучении квадратичных форм необходимо знание классических понятий теории унитарных и евклидовых пространств и основных свойств самосопряженных и унитарных (ортогональных) линейных операторов. Общими обозначениями являются: P - основное поле, под которым мы будем понимать поле комплексных чисел C или поле действительных чисел R. б - комплексное число, сопряженное к комплексному числу б ( б= б. б. R); |б| - модуль комплексного числа б. L - линейное пространство над полем P. В случае, когда размерность линейного пространства L равна n (L = Ln) будем считать L унитарным (при P = C ) или евклидовым (при P = R ) пространством, так как на любом конечном пространстве Ln над полем C или R можно определить скалярное произведение. Для любых векторов x, y. Ln (x, y) обозначает их скалярное произведение. Остальные обозначения или являются общепринятыми в линейной алгебре.

Основная мысль

Вещественное линейное пространство E называется евклидовым, если каждой паре элементов u,v этого пространства поставлено в соответствие действительное число ?u,v?, называемое скалярным произведением, причем это соответствие удовлетворяет следующим условиям:

1.?u,v?=?v,u? ?u,v?E;

2.?u+v,w?=?u,w?+?v,w??u,v,w?E;

3.?л?u,v?=л??u,v??u,v?E, ?л?R;

4.?v,v?>0?v?o ? ?v,v?=0 ? v=o.

В скалярном произведении ?u,v??u,v? вектор u -- первый, а вектор v -- второй сомножители. Скалярное произведение ?v,v? вектора v на себя называется скалярным квадратом. Условия 1-4 называются аксиомами скалярного произведения. Аксиома 1 определяет симметричность скалярного произведения, аксиомы 2 и 3 -- аддитивность и однородность по первому сомножителю, аксиома 4 -- неотрицательность скалярного квадрата ?v,v??v,v?

Линейные операции над векторами евклидова пространства удовлетворяют аксиомам 1-8 линейного пространства, а операция скалярного умножения векторов удовлетворяет аксиомам 1-4 скалярного произведения. Можно сказать, что евклидово пространство -- это вещественное линейное пространство со скалярным произведением. Поскольку евклидово пространство является линейным пространством, на него переносятся все понятия, определенные для линейного пространства, в частности, понятия размерности и базиса.

Аксиомы 2 и 3 скалярного произведения можно заменить одним условием линейности скалярного произведения по первому сомножителю:

?б?u+в?v,w?=б??u,w?+в?v,w??u,v,w?E, ?б,в?R.?б?u+в?v,w?=б??u,w?+в?v,w??u,v,w?E, ?б,в?R.

2. Условие линейности скалярного произведения по первому сомножителю в силу симметричности (аксиома 1) справедливо и для второго сомножителя, т.е. скалярное произведение линейно по любому сомножителю.

3. Линейность скалярного произведения по любому сомножителю распространяется на линейные комбинации векторов:

??i=1mбiui,?j=1nвjvj?=?i=1m?j=1nбiвj?ui,vj?.??i=1mбiui,?j=1nвjvj?=?i=1m?j=1nбiвj?ui,vj?.

Для любых векторов ui,vjui,vj и действительных чисел бi,вj, i=1,…,mбi,вj, i=1,…,m

4. Если хотя бы один сомножитель -- нулевой вектор, то скалярное про изведение равно нулю:

?v,o?=?o,v?=0?v?E.?v,o?=?o,v?=0?v?E.

Действительно, представим нулевой вектор в виде o=0?uo=0?u, где u -- произвольный вектор из E. Тогда из аксиомы 3 получаем:?o,v?=?0?u,v?=0??u,v?=0.

Для любых векторов u и v евклидова пространства E выполняется неравенство Коши-Буняковского:

?u,v?2??u,u???v,v?.

В самом деле, для любого действительного числа л и любых векторов u и v справедливо неравенство:

0??u?лv,u?лv?=л2??v,v??2л??u,v?+?u,u?.0??u?лv,u?лv?=л2??v,v??2л??u,v?+?u,u?.

Следовательно, дискриминант квадратного трехчлена (переменной л) не больше нуля, т.е. 4?u,v?2?4?u,u???v,v??0.Заметим, что равенство нулю дискриминанта возможно только в случае существования такого корня л, для которого ?u?лv,u?лv?=0. Это условие равносильно коллинеарности векторов u и v:u=л?vu=л?v. Напомним, что ненулевые векторы u и v называются коллинеарными, если существует такое число л, что u=л?vu=л?v. Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору. Неравенство Коши-Буняковского выполняется как равенство только для коллинеарных векторов и как строгое неравенство для неколлинеарных.

Длиной (нормой) вектора v в евклидовом пространстве E называется число |v|=v?v,v?.Имея в виду обозначение, длину |v| называют также модулем вектора. Рассматривается арифметическое значение квадратного корня, которое определено для любого вектора из-за неотрицательности подкоренного выражения (аксиома 4). Поэтому каждый вектор имеет положительную длину, за исключением нулевого, длина которого равна нулю:

|o|=0|o|=0.

Углом между ненулевыми векторами u и v евклидова пространства E называется число

ц=arccos?u,v?/|u|?|v|, то есть cosц=?u,v?/|u|?|v| и 0?ц?р.

Представив неравенство Коши-Буняковского в виде

??u,v????|u|?|v| можно сделать вывод, что абсолютное значение выражения ?u,v?/|u|?|v| не превосходит единицы, т.е. величина угла определена для любой пары ненулевых векторов. Заметим, что угол между коллинеарными векторами равен нулю или р.

Длина вектора и угол между векторами называются основными метрическими понятиями. Из неравенства Коши-Буняковского следует неравенство треугольника:

?|u|?|v|??|u+v|?|u|+|v|.

Докажем последнее неравенство. Применяя оценку ?u,v??|u|?|v|, получаем

|u+v|2=?u+v,u+v?=?u,u?+2?u,v?+?v,v??|u|2+2?|u|?|v|+|v|2=(|u|+|v|)2, то есть |u+v|2?(|u|+|v|)2 ? |u+v|?|u|+|v|.

Квадратичной формой называется функция B(x) = A(x,x) из линейного пространства L над произвольным полем F характеристики не 2 в поле F, которая получается из билинейной формы A(x,y) при x = y.

При фиксированном базисе в L квадратичная форма e1, …, en имеет вид:

Квадратичной формой f (x1,x2 …,xn ) п действительных переменных (x1,x2 …,xn ) называется сумма вида:

Квадратичная форма называется действительной или комплексной в зависимости от того, являются ли ее коэффициенты соответственно действительными или ком­плексными числами. Будем рассматривать действительные квадратичные формы.

Квадратичная форма обладает следующими свойствами:

1) Симметричную билинейную форму A(x,y), называют полярной квадратичной форме A(x,x). Матрица билинейной формы в произвольном базисе совпадает с матрицей полярной ей билинейной формы в том же базисе. квадратичный неравенство пространство арифметический

2) Если матрица квадратичной формы имеет полный ранг, то квадратичную форму называют невырожденной, иначе - вырожденной.

3) Квадратичная форма A(x,x) называется положительно (отрицательно) определённой, если для любого x? 0 A(x,x) > 0 (A(x,x) < 0). Положительно определённые и отрицательно определённые формы называются знакоопределёнными.

Квадратичная форма является положительно определенной, тогда и только тогда, когда все угловые миноры её матрицы строго положительны.

Квадратичная форма является отрицательно определенной, тогда и только тогда, когда знаки всех угловых миноров её матрицы чередуются, причем минор порядка 1 отрицателен.

4) Квадратичная форма A(x,x) называется знакопеременной, если она принимает как положительные, так и отрицательные значения.

5) Квадратичная форма A(x,x) называется квазизнакоопределённой, если , но форма не является знакоопределённой.

Для приведения квадратичной формы к каноническому виду используется метод Лагранжа. Метод приведения квадратичной формы к каноническому виду, указанный в 1759 году Лагранжем. Данный метод состоит в последовательном выделении в квадратичной форме

полных квадратов. Пусть есть данная квадратичная форма. Возможны два случая:

- хотя бы один из коэффициентов aii при квадратах отличен от нуля. Не нарушая общности, будем считать a11 ?0 (этого всегда можно добиться соответствующей перенумерацией переменных);

- все коэффициенты aii = 0,i = 1,2,...,n, но есть коэффициент , отличный от нуля (для определённости пусть будет ) a12 ?0.

В первом случае преобразуем квадратичную форму следующим образом: , где y1 = a11 x1 + a12 x2 +... + a1n xn, а через f2 (x2, x3,...,xn ) обозначены все остальные слагаемые. f2 (x2,...,xn ) представляет собой квадратичную форму от n-1 переменных x2, x3,...,xn. С ней поступают аналогичным образом и так далее. Заметим, что .

Второй случай заменой переменных x1 = y1 + y2, x2 = y1 ? y2, x3 = y3,...,xn = yn сводится к первому.

Матрицей квадратичной формы называется матрица, составленная из ее коэффициентов. Квадратичной форме соответствует единственная симметрическая матрица

И наоборот, всякой симметрической матрице соответствует единственная квадратичная форма с точностью до обозначения переменных.

Рангом квадратичной формы называют ранг ее матрицы. Квадратичная форма n переменных называется невырожденной, если ее матрица невырожденная, т. е. r = п, и вырожденной, если r< п. При решении различных задач математики очень часто приходится иметь дело с таблицами чисел, называемых матрицами. С помощью матриц удобно решать системы линейных уравнений, выполнять многие операции с векторами, решать различные задачи компьютерной графики и другие инженерные задачи.

Матрицей называется прямоугольная таблица из чисел, содержащая некоторое количество m строк и некоторое количество п столбцов. Числа т и п называются порядками матрицы. В случае, если т = п, матрица называется квадратной, а число m = n -- ее порядком.В дальнейшем для записи матриц будут применяться либо сдвоенные черточки, либо круглые скобки

Квадратичную форму п переменных х1, х2,...,хn можно записать в мат­ричном виде. Действительно, если Х- матрица-столбец из переменных (x1,x2 …,xn ), XT - матрица, полученная транспонированием матрицы X, т.е. матрица-строка из тех же переменных, то f (x1,x2 …,xn )= XT AX, А определяется формулой.

Теоремы квадратичной формы:

Теорема 1. Квадратичная форма f (x1,x2 …,xn ) с матрицей А линей­ным однородным преобразованием Х = ВУ переводится в квадратичную форму ц (y1, y2 ….yn ) с матрицей С=ВT АВ.

Следствие 1. Определители матриц конгруэнтных невырожденных действительных квадратичных форм имеют одинаковые знаки.

Следствие 2. Конгруэнтные квадратичные формы имеют одинаковые ранги.

Теорема 2. Любая квадратичная форма некоторым невырожденным линейным преобразованием может быть приведена к каноническому виду.

Квадратичная форма f (x1,x2 …,xn ) называется канонической, если она не содержит произведений различных переменных, т. е. . Каноническая квадратная форма называется нормальной (или имеет нормаль­ный вид), если | an | = 1 ( i= 1, 2,..., r), т. е. отличные от нуля коэффициенты при квадратах переменных равны +1 или --1.

Теорема 3. Любую действительную квадратичную форму линейным не­вырожденным преобразованием можно привести к нормальному виду

Теорема 4. Число положительных и число отрицательных квадратов в нормальном виде, к которому приводится данная действительная квадратичная форма невырожденным действительным линейным преобразованием, не зависит от выбора преобразования.

Число положительных квадратов в нормальной форме, к которой приводится данная действительная квадратичная форма, называют положительным индексом инерции этой формы, число отрицательных квадратов - отрицательным индек­сом инерции, разность между положительным и отрицательным индексами инер­ции - сигнатурой формы f. Если известен ранг формы, то задание любого из трех указанных выше чисел определяет два других.

Теорема 5. Две действительные квадратичные формы от n пере­менных тогда и только тогда конгруэнтны, когда они имеют одинаковые ранги и одинаковые сигнатуры.

Теорема 6. Действительная квадратичная форма f (x1,x2 …,xn ) является положительно-определенной тогда и только тогда, когда она принимает положительные значения при любой ненулевой системе значений переменных x1, x2 …,xn. Пусть дана квадратичная форма f (x1,x2 …,xn ) с матрицей А = (ау ). Глав­ными минорами квадратичной формы f называются миноры, т. е. миноры порядка 1, 2,..., п матрицы А, расположенные в левом верхнем углу; последний из них совпадает с определителем матрицы.

Теорема 7. Квадратичная форма f (x1,x2 …,xn ) с действительной матрицей является положительно-определенной тогда и только тогда, когда все ее главные миноры положительны. Действительная квадратичная форма называется отрицательно-определенной, ес­ли она является невырожденной и приводится к нормальному виду, содержащему только отрицательные квадраты всех переменных; эту форму можно привести к виду:

ц (y1, y2 ….yn )= -y2 1 - y2 2 -…- y2 n (1.10).

Теорема 8. Квадратичная форма является отрицательно-определенной тогда и только тогда, когда ее главные миноры четного порядка положительны, а нечетного - отрицательны.

Положительно-определенные и отрицательно-определенные квадратичные формы называются знакоопределенными квадратичными формами.

Вырожденные квадратичные формы, нормальный вид которых состоит из квадратов одного знака, называются полуопределенными. Неопределенными называются квадратичные формы, нормальный вид которых содержит как положительные, так и отрицательные квадраты переменных.

Теорема 9. Если существует ортогональное преобразование с матри­цей С, приводящее действительную квадратичную форму f (x1,x2 …,xn ) к ка­ноническому виду:

ц (y1, y2 ….yn )= л1 y2 1 +л2 y2 2 +лn y2 n (1.11), то л1, л2,…. лn -- характеристические числа матрицы А квадратичной формы f.

Теорема 10. Для любой действительной квадратичной формы сущест­вует ортогональное преобразование, приводящее ее к каноническому виду.

Теорема 11. Для любой действительной симметрической матрицы А су­ществует такая ортогональная матрица Т, что Т-1 АТ - диагональная матрица. С помощью матрицы В записываем искомое ортогональное преобразование x1 = v3/5 y1 + v2/5 y2, x1 = 1/v5(v3y1 + v2y2 ) или x2 = v2/5 y1 + v3/5 y2, x2 = 1/v5 (- v2y1 + v3y2 ).Это преобразование приводит данную квадратичную форму к каноническому виду ц (y1, y2 ) = y2 1 + 11y2 2.

Заключение

В данном реферате были разобраны такие темы, как: Евклидово пространство и Квадратичные формы. Опираясь на всю информацию, приведенную тут, можно приступать к практической части, а то есть к самому решению задач.

Библиографический список

1. Барковский В.В., Барковская Н.В. Математика для экономистов. Высшая математика. К.: Национальная академия управления, 1999. 399 с.

2. Виноградов И. М. Элементы высшей математики. (Аналитическая геометрия. Дифференциальное исчисление. Основы теории чисел). Учебник для вузов. М.: Высш. шк., 1999.

3. Малугин В. А. Математика для экономистов: Линейная алгебра. Курс лекций. М.: Эксмо, 2006- 224 с.

4. Красс М. С., Чупрынов Б. П. Математика для экономистов: учебное пособие. СПб.: Питер, 2007. (Серия «Учебное пособие»)

5. Щипачев В. С. Высшая математика: Учебник для вузов. Высш. шк., 2005.

Размещено на Allbest.ru