Быстрый счет без калькулятора

Кто знает, возможно, в будущем я сам смогу открыть новые способы быстрых вычислений.

II. Список использованной литературы

1. Арутюнян Е., Левитас Г. Занимательная математика.- М.: АСТ - ПРЕСС, 1999. - 368 с.

2. Гарднер М. Математические чудеса и тайны. - М., 1978.

3. Глейзер Г.И. История математики в школе. - М.,1981.

4. «Первое сентября» Математика №3(15), 2007.

5. Татарченко Т.Д. Способы быстрого счета на занятиях кружка, «Математика в школе», 2008, №7, стр.68

6. Устный счет/Сост. П.М.Камаев. - М.: Чистые пруды, 2007- Библиотечка «Первого сентября», серия «Математика». Вып. 3(15).

Приложение 2

Картина Н.П. Богданова-Бельского «Устный счёт»



Это задание дал учитель:

Приложение 3

Самостоятельная работа для одноклассников

1. 62*11=

2. 29*11=

3. 29*4=

4. 121*1,5=

5. 4321*5=

6. 38*9=

7. 16*125=

8. 1000-729=

9. 352=

ПАСПОРТ ПРОЕКТА

Название проекта - «Счёт без калькулятора»

Руководитель проекта: Сидякина Софья Витальевна

Название учебного учреждения: Государственное автономное профессиональное образовательное учреждение « Волгоградский социально-педагогический колледж »

Учебный предмет, в рамках которого производится работа по проекту:

Математика: алгебра и начала математического анализа; геометрия

Учебные дисциплины, близкие к теме проекта: -

Авторы проекта: Свиридова Дарья Игоревна

Тип проекта по доминирующей деятельности: практико-ориентированный

Проблема проекта: С древних времён жизни человек не мог обойтись без счёта. У каждого народа необходимость в простейших арифметических подсчётах возникла задолго до появления первых зачатков письменности, потому что постижение Мира во всем постоянно требовало количественной оценки знаний. Используя опыт ушедших поколений, первые великие мыслители своими открытиями закладывали фундамент древнейшей науки математики. На мой взгляд, это очень интересный предмет. Математика тесно связана с нашей повседневной жизнью. Математика встречается в нашей жизни практически на каждом шагу и совсем она не скучная. Иногда люди, при решении примеров и задач могут забыть или не знать правила вычисления, а под рукой нет калькулятора, тогда им может помочь буклет с правилами, формулами и способами вычисления.

Цель проекта: создать буклет «Счёт без калькулятора»

Задачи проекта:

1. рассмотреть историю возникновения чисел и счета;

2. составить перечень всех действий с числами;

3. найти правила на действия с числами;

4. подобрать примеры к каждому правилу;

5. выявить нестандартные способы подсчета без калькулятора («устный счет»);

6. определить структуру буклета;

7. оформить буклет « Счёт без калькулятора».

ГЛАВА I ИСТОРИЯ ВОЗНИКНОВЕНИЯ ЧИСЕЛ И СЧЁТА

1. История возникновения чисел.

Концепция числа лежит в основе познания окружающего мира. Мы оперируем числами ежедневно, не слишком задумываясь о том, что они из себя изначально представляют. Того же, кто попытается проникнуть в суть числа, ждут невероятные открытия.

Давным-давно во времена, когда у людей не было цифр, и они не умели считать как мы сейчас, у них все равно возникало огромное количество поводов для счета. Люди использовали пальцы рук, а при больших числах и ног, чтобы посчитать, например, количество голов скота в стаде. Если уж своих пальцев не хватало, звали приятеля, чтобы уже считать на его руках и ногах. Это было достаточно неудобно. Потом придумали делать глиняные кружочки для подсчета. И подобных вариантов существовало множество, то есть пользовались подручными средствами. В Древности племена Майя использовали только три обозначения: точку, линию и эллипс и записывали ими любые цифры. В Древнем Египте использовали такую запись чисел: единица обозначалась палочкой, сотня -- пальмовым листом, а сто тысяч -- лягушкой. Но человечество развивалось, хозяйство увеличивалось, усложнялись и подсчеты. И вот примерно в V веке до нашей эры появились первые цифры. Говорят, их изобрели шумеры. На глиняных табличках они рисовали различные символы в виде клиньев. После шумеров такой системой пользовались вавилоняне и египтяне.

Римская система счисления была очень распространена в Европе и считалась на то время, идеальной: I-- 1, V-5, X-10, L-50, C-100, D-500, M-1000.

С небольшими числами она вполне удобна, но для записи больших чисел очень сложна. Еще один недостаток: невозможно письменно делать вычисления. Их можно сделать только в уме, что, естественно, может породить большое количество ошибок. Сейчас римские цифры применяют в записи века или порядкового номера.

В V веке в Индии появилась система записи, которую мы знаем как арабские цифры и активно используем сейчас. Это был набор из 9 цифр от 1 до 9. Каждая цифра записывалась так, чтобы ей соответствовало количество углов. Нуля еще не существовало, он появился позже. Вместо него просто оставляли пустое место. Далее арабы переняли индийскую систему счисления и начали применять ее. В XII веке система попала в Европу и получила очень широкое распространение.

Вот такая история чисел. Сейчас тоже используются разные числа. Некоторые страны, как например, арабские страны и Китай, пользуются своими особенными цифрами. Но, все-таки, наибольшее распространение получили арабские цифры, которые используют и понимают во всем мире.

2. Древние способы счёта

Теперь обратимся к самой истории счета. В истории вычислительной техники можно условно выделить следующие этапы:

1. Домеханический(ручной ) - с древних времен до н.э.

2. Механический - с середины XVII-го века н.э.

3. Электро-механический - с 90-х годов XIX-го века

4. Электронный - с 40-х годов XX-го века

а) Домеханический период.

Пальцы человека были не только первым счетным прибором, но и первой вычислительной машиной. Сама природа предоставила человеку этот универсальный счетный инструмент. Для большинства бытовых потребностей людей их помощи хватало. Фиксация результатов счета производилась различными способами: нанесение насечек, счетные палочки, узелки и др. Использование их требовало хорошей тренировки памяти.К счету по пальцам рук восходят многие системы счисления, например пятеричная (одна рука), десятеричная (две руки), двадцатеричная (пальцы рук и ног), сорокаричная (суммарное число пальцев рук и ног у покупателя и продавца). У итальянцев при счете на пальцах рук большой палец обозначает цифру 1, а указательный - цифру 2. Когда считают американцы и англичане, указательный палец означает цифру 1, а средний - 2, в этом случае большой палец представляет цифру 5. А русские начинают счет на пальцах, первым загибая мизинец, и заканчивают большим пальцем, обозначающим цифру 5, при этом указательный палец сопоставлялся с цифрой 4. Но когда показывают количество, выставляют указательный палец, затем средний и безымянный.

На следующей схеме показаны все доступные представления «количественной» информации о пяти лосях. Они различаются по принципу соотнесения с внешним видом животных. Если такого соотнесения не происходит, то система счета приобретает абстрактный характер - такие системы появлялись в более развитых обществах.

В древнерусской нумерации единицы назывались "перстами", десятки - "суставами", а все остальные числа - "сочислениями". Четверичная система счета основана на "перстах" руки, не считая большого пальца. Счет восьмерками является сочетанием двоичной и четверичной систем. Пальцевой счет девятками с помощью, так называемых девятериц - своеобразный способ умножения, обозначающей девятилетние сроки человеческой жизни. Счет десятками Русь переняла для весовых измерений и денежного счета, опередив в этом даже Европу, которая познакомилась с ней только вXIII веке, а усвоила ее и того позже. Однако окончательно эта система счисления прижилась в России вместе с реформами Петра I, пришедшими к нам из Европы.

Устройство Абак известно практически у всех народов. Оно представляет собой деревянную дощечку, посыпанную песком, на которую наносились бороздки. В этих бороздках размещались камешки или жетоны, обозначавшие цифры. В то время использовалась шестидесятеричная позиционная система, т.е. каждый разряд числа содержал 60 единиц, и в зависимости от своего места в числе каждый разряд обозначала либо количество единиц, либо десятков и так далее. Так как выкладывать в каждой бороздке по 60 камешков было затруднительно, то бороздки делили на две части: в одной помещали камешки, отсчитывающие десятки, а в другой - камешки, отсчитывающие единицы.

b)Механический период.

Основной прорыв в счете начался в 17 веке - начало эры науки. Ученые сменили торговцев и начали изобретать новые вычислительные механизмы. Важным прорывом стало создание логарифмов и счетных палочек Джоном Непером. Позднее на смену ручному счету приходит более «удобный». В 1642 г. француз Паскаль, в дальнейшем великий математик и физик, в возрасте 19-и лет создал первую счетную машину. Машина Паскаля работала по следующему принципу: при полном повороте колеса меньшего разряда механизм поворачивает колесо большего разряда на единицу. Так же и на счетах: когда младший разряд косточек заполнен, тогда добавляется косточка к старшему разряду.

Принцип связанных колес, заложенный Паскалем, почти на 3 столетия стал основой для создания последующих модификаций вычислительных устройств. В 1673 г. великий математик Готфрид Лейбниц, развив идею Паскаля, создал механический арифмометр, на котором можно было выполнять все четыре арифметические операции с многозначными числами.

c) Электро-механический период.

Необходимость проведения массовых расчетов (экономика, статистика, управление и планирование, и др.) и развитие прикладной электротехники, позволили создавать «умные» механизмы и электромеханические вычислительные устройства.

Расчеты были необходимы повсюду: когда требовалось построить дом, создать новое оружие или инструменты. Наконец, математические расчеты постоянно требовались для развития науки. Спустя немного времени Жозеф-Мари Жаккард создает первый механизм, управляемый программой - ткацкий станок, работающий по установленному алгоритму. Принцип станка Жаккарда применен во многих аппаратах, например, в аристофоне, механическом тапере, одном из телеграфов Витстона и т.д.

Первый ткацкий станок

Работы Жаккарда продолжил Герман Холлерит, который вошел в историю как создатель электрической табулирующей системы. Он придумал машину, которая работала не с цифрами, а с зашифрованными данными.

Следующим скачком, приближающим нас к современному компьютеру, стало изобретение Конрадом Цузе своего первого образца автоматической «оперативной памяти» по принципу движущихся металлических стержней. Поэтому его изобретение могло хранить в памяти итоги промежуточных расчетов. Но по вполне не понятным причинам, доделать свое изобретение до совершенства он не смог.

d) Электронный период.

Группа изобретателей в 1943 году (ее возглавили Преспер Эккерт и Джон Мочли) начала разрабатывать другое изобретение, которое стало первым компьютером. Это был знаменитый ENIAC - первая вычислительная машина, в основе которой была работа электронных ламп. Это представитель первого поколения компьютеров. Жизнь изобретения была не долгой. Эстафету этого прибора перехватил компьютер EDSAC, который мог хранить в памяти программу. Уже через два года UNIVAC создали первый компьютер, имеющий оперативную память, которая сохраняла информацию на магнитной ленте. В одно время с ним появилось и новый гаджет - принтер, используемый для вывода информации.

Первая вычислительная машина

В 1950 - 1952 гг. начинается эра компьютерных разработок. В лаборатории киевского института создают необычный компьютер - малая и большая электронно-счетная машина. В тот период времени это были самые мощные компьютеры.А в 1948 году было изобретено устройство, сделавшее настоящий переворот и ставшее сердцем всех компьютеров - транзистор.Он вытеснил ламповый механизм, дав начало современным процессорам. Переломным моментом стало изобретение микросхем и создание на их основе супербыстрого и очень маленького «мозга» компьютера -- процессора.

Первый транзистор

3. Старинные способы умножения

Русский крестьянский способ умножения. Был распространён среди крестьян губерний, он не требовал знания всей таблицы умножения. Надо было лишь уметь умножать и делить на 2.

Индийский способ умножения. На Руси этот способ был известен как способ умножения крестиком. На этом «крестике» и заключается неудобство умножения, легко запутаться, к тому же трудно удерживать в уме все промежуточные произведения, результаты которых затем надо сложить.

Египетский способ умножения. Выполнять арифметические действия было очень сложно, особенно это касалось действия умножения. Выход из этой ситуации нашли египтяне. Они заменили умножение на любое число - удвоением, то есть сложением числа с самим собой.

ГЛАВА II СЧЁТ БЕЗ КАЛЬКУЛЯТОРА

1. Шесть арифметических действий с примерами

В математике существуют 6 арифметических действий (сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень, извлечение корня). Рассмотрим их подробнее:

1. Сложение. Одна из основных операций, позволяющая объединить два слагаемых.

Запись сложения: 8 + 3 = 11

8 и 3 - слагаемые

11 - сумма

2. Вычитание. Действие, обратное сложению.

Запись вычитания: 15-7 = 8

15 - уменьшаемое

7 - вычитаемое

8 - разность

Если разность 8, сложить с вычитаемым 7, это даст уменьшаемое 15. Операция сложения 8 + 7 = 15 является контрольной проверкой вычитания 15 - 7 = 8.

3. Умножение. Арифметическое действие в виде краткой записи суммы одинаковых слагаемых.

Запись умножения: 12 Ч 5 = 60 или 12 * 5 = 60

12 - множимое

5 - множитель

60 - произведение

12 Ч 5 = 12 + 12 + 12 + 12 + 12

В случае если множимое и множитель поменять ролями, произведение остается одним и тем же. Например:

5 Ч 5 = 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 10

5 Ч 2 = 5 + 5 = 10

Поэтому и множитель, и множимое называются «сомножителями».

4. Деление. Арифметическое действие обратное умножению.

Запись: 48 : 6 = 8 или 48 / 6 = 8

48 - делимое

6 - делитель

8 - частное

13

В данном случае произведение делителя 6 и частного 8, в качестве проверки, дает делимое 48

Если в результате операции деления, частное является не целым числом, то его можно представить дробью 3 / 5. Если частное является целым числом, в таком случае говорят, что первое из озвученных чисел нацело делится или, проще говоря, делится на второе.

Например, число 35 полностью делится на 5, ибо частное это целое число 7. Второе число в данном случае называется делителем первого, первое же - кратным второго.

Пример 1

Число 5 является делителем чисел 25, 60, 80 и не действует в качестве делителя для чисел 4, 13, 42, 61.

Пример 2

Число 60 кратное чисел 15, 20, 30 и не является кратным для чисел 17, 40, 90.

В случае, когда делимое не делится полностью, иногда применяют так называемое деление с остатком. Деление с остатком, это отыскание наибольшего подходящего целого числа, которое в произведении с делителем дает нужное число, не превышающее делимое.

Такое искомое число называется неполным частным. Разность между делимым и произведением делителя на неполное частное называется остатком, которое всегда меньше делителя.

5. Возведение в степень. Операция умножения числа на самого себя несколько (n) раз.

Основание степени называется число, которое повторяется сомножителем определённое количество раз.

Показателем степени называется число, которое указывает, сколько раз берется одинаковый множитель.

Степенью называется число, получаемое в результате взаимодействия основания и показателя степени.

Запись возведения в степень: 34 = 81

3 - основание степени

4 - показатель степени

81 - степень

34 = 3 Ч 3 Ч 3 Ч 3

14

Вторая степень называется иначе квадратом, третья степень - кубом. Первой степенью числа называют само это число.

Извлечение корня. Арифметическое действие, обратное возведению в степень.

Запись: = 3

81 - подкоренное число

4 - показатель корня

3 - корень

= 81 - возведение числа 3 в четвертую степень дает 81 (проверка извлечения корня)

= 4 - корень второй степени называется - квадратным.

При знаке квадратного корня показатель корня принято опускать: = 4

= 2 - корень третьей степени называется - кубичным.

Правила первых четырех действий регулирующие взаимодействия с целыми числами предполагаются известными. Возведение в степень выполняется повторным умножением.

2.2 Устный счет

Устный счет - гимнастика для ума. Счет в уме является самым древним способом вычисления. Освоение вычислительных навыков развивает память и помогает усваивать предметы естественно-математического цикла. Существует много приемов упрощения арифметических действий. Знание упрощенных приемов вычисления особенно важно в тех случаях, когда вычисляющий не имеет в своем распоряжении таблиц и калькулятора. Мы хотим остановиться на способах сложения, вычитания, умножения, деления, для производства которых достаточно устного счета или применения ручки и бумаги. Мотивацией для выбора темы послужило желание продолжения формирования вычислительных навыков, умения быстро и чётко находить результат математических действий. Правила и приёмы вычислений не зависят от того, выполняются они письменно или устно. Однако владение навыками устных вычислений представляет большую ценность не потому, что в быту ими пользуются чаще, чем письменными выкладками. Это важно ещё и потому, что они ускоряют письменные вычисления, приобретают опыт рациональных вычислений, дают выигрыш в вычислительной работе.

1. Счёт на пальцах. Способ быстрого умножения чисел в пределах первого десятка на 9. Допустим, нам нужно умножить 7 на 9. Повернём руки ладонями к себе и загнём седьмой палец (начиная считать от большого пальца слева). Число пальцев слева от загнутого будет равно десяткам, а справа - единицам искомого произведения.

2.Умножение на 1,5 .Для этого нужно к исходному числу прибавить его половину.

Например,

341,5 = 34+17=51

1251,5= 125+62,5=187,5

3. Умножение на 4. Это очень простой прием, хотя очевиден лишь для некоторых. Хитрость в том, что нужно просто умножить на 2, а затем опять умножить на 2:

58Ч4 = (58Ч2) + (58Ч2) = (116) + (116) = 232

4. Умножение на 5. Этот прием невероятно прост. Возьмите любое число, разделите на 2 (поделите пополам). Если в результате получилось целое число, припишите 0 в конце. Если нет, то не обращайте внимание на запятую, и в конце добавьте 5. Это срабатывает всегда:

2682Ч5= 2682:2=1341(целое число, поэтому добавьте 0)13410.

Давайте попробуем другой пример:

5887Ч5=5887:2=2943,5 (дробное число, пропустите запятую, добавьте 5)

29435.

5. Умножение на 9. Чтобы умножить любое число от 1 до 9 на 9, посмотрите на руки. Загните палец, который соответствует умножаемому числу (например 9Ч3 - загните третий палец), посчитайте пальцы до загнутого пальца (в случае 9Ч3 - это 2), затем посчитайте после загнутого пальца (в нашем случае - 7). Ответ - 27.

6. Умножение чисел от 10 до 20. К одному из чисел надо прибавить количество единиц другого, умножить на 10 и прибавить произведение единиц чисел.

Пример 1.

16•18= (16+8) • 10+6 • 8=288

Пример 2.

17 • 17= (17+7) • 10+7 • 7=289

7. Умножение на 11. Умножать на 11 чуть сложнее, чем умножать на 10. Закономерность здесь такая:

53 х 11 = 583

Шаг 1 -- Складываем две цифры двузначного числа: 5 + 3 = 8

Шаг 2 -- Помещаем результат между двумя числами двузначного числа: 583

59 х 11 = 649

Шаг 1 -- 5 + 9 = 14

Шаг 2 -- Перекидываем единицу налево, если сумма на предыдущем шаге оказалась больше 9: 5 + 1 = 6 (справа остается второй символ, в данном случае это четверка)

Шаг 3 -- На первый символ мы единицу уже перекинули, получили 6. Далее у нас осталась 4, которую ставим в центр, и дописываем 9: 649

8. Умножение на 22,33,44…99. Нужно множитель представить в виде произведения однозначного числа (от 2 до 9) на 11, то есть 44 = 4 * 11; 55 = 5 * 11 и т.д. Затем произведение первых чисел умножить на 11.

Пример 1.

24 • 22 = 24 • 2 • 11 = 48 • 11 = 528

Пример 2.

23 • 33 = 23 • 3 • 11= 69 • 11 = 759

9. Умножение на 25, 50, 125. При умножении на эти числа можно воспользоваться следующими выражениями:

a • 5=a • 10:2 ; a • 50=a • 100:2 ;

a • 25=a • 100:4 ; а • 125=а • 1000:8 .

Пример 1.

27 • 25 = 27 • 100 : 4 = 2700 : 4 = 675

Пример 2.

43 • 50 = 43 • 100 : 2 = 4300 : 2 = 2150

10. Деление на 5, 25, 50. Можно воспользоваться следующими выражениями:

а : 5 = a • 2 : 10 ; a : 50 = a • 2 : 100 ;

a : 25 = a • 4 : 100 .

Примеры:

35 : 5 = 35 • 2 : 10 = 70 : 10 = 7

3750 : 50 = 3750 • 2 : 100 = 7500 : 100 = 75

11. Деление на 5. Делить большие числа на 5 очень просто. Нужно просто умножить на 2 и перенести запятую:

195 / 5

Шаг 1: 195Ч2 = 390

Шаг 2: Переносим запятую: 39,0 или просто 39.

2978 / 5

Шаг 1: 2978Ч2 = 5956

Шаг 2: 595,6

12. Быстрое возведение в квадрат. Этот прием поможет быстровозвести в квадрат двузначное число, которое заканчивается на 5.

85 х 85 = 7225

Шаг 1 -- Умножаем первую цифру на первую цифру, увеличенную на единицу: 8 x (8 + 1) = 72

Шаг 2 -- Дописываем к получившемуся результату 25; 7225

13. Подсчет процентов. Если вам нужно оставить 15% чаевых, есть простой способ сделать это.

Высчитайте 10% (разделите число на 10), а потом добавьте получившееся число к его половине и получите ответ:

15% от $25 = (10% от 25) + ((10% от 25) / 2) $2.50 + $1.25 = $3.75

14. Вычитание из 100. Можете пользоваться этим простым правилом: отнимите от 9 все цифры, кроме последней, а последнюю цифру отнимите от 10.

1000-648

Шаг 1: от 9 отнимите 6 = 3; Шаг 2: от 9 отнимите 4 = 5; Шаг 3: от 10 отнимите 8 = 2.Ответ: 352

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В результате работы над проектом я узнала историю возникновения чисел и счета, вспомнила все арифметические действия над числами (сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень, извлечение из-под корня), выявила нестандартные способы подсчета без калькулятора («устный счет»). Но, я рассмотрела лишь немногие способы быстрого счета. Все рассмотренные методы устного вычисления говорят о многолетнем интересе ученых и простых людей к игре с цифрами. Используя некоторые из этих методов на уроках или дома можно развить скорость вычислений, добиться успехов в изучении учебных дисциплин. Умножение без калькулятора - тренировка памяти и математического мышления. Вычислительная техника совершенствуется и по сей день, но любая машина делает то, что в нее закладывают люди, а мы узнали некоторые приемы устного счета, которые помогут нам в жизни.Работа над проектом еще больше вызвала у меня интерес к математике, появилось желание к самостоятельной творческой работе.

Свою работу я оформила в виде буклета «Счет без калькулятора». В нем подробно описала правила, формулы и способы вычисления. Я думаю, что буклет станет хорошим помощником в решении затруднительных ситуаций при вычислениях.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ.

1. Вычисления на счетах. Кирюшин Е.Д. «Кооперативное издательство», Москва - 1925

2. От абака до компьютера. Гутер Р.С. «Знание», Москва - 1981 г.

3. История развития вычислительной техники. Ланина Э.П. ИрГТУ, Иркутск - 2001 г.

4. Логарифмическая линейка. Хренов Л.С. «Высшая школа», Москва - 1981г.

5. Журнал «В мире информатики», Издательский дом "Первое сентября", Москва.

6. Кордемский Б. А., Ахадов А. А. Удивительный мир чисел: Книга учащихся,- М. Просвещение, 1986.

7. Минских Е. М. «От игры к знаниям», М., «Просвещение» 1982г.

8. Свечников А. А. Числа, фигуры, задачи М., Просвещение, 1977г.

9. Журнал « Занимательные головоломки», № 1, 2012, издатель « Де Агостини », Россия

10.Выгодский М. Я « Справочник по элементарной математике », «АСТ», Москва, 2006

Введение Устный счет - гимнастика для ума. Счет в уме является самым древним способом вычисления. Освоение вычислительных навыков развивает память и помогает усваивать предметы естественно-математического цикла. Существует много приемов упрощения арифметических действий. Знание упрощенных приемов вычисления особенно важно в тех случаях, когда вычисляющий не имеет в своем распоряжении таблиц и калькулятора. Мы хотим остановиться на способах сложения, вычитания, умножения, деления, для производства которых достаточно устного счета или применения ручки и бумаги. Мотивацией для выбора темы послужило желание продолжения формирования вычислительных навыков, умения быстро и чётко находить результат математических действий. Правила и приёмы вычислений не зависят от того, выполняются они письменно или устно. Однако владение навыками устных вычислений представляет большую ценность не потому, что в быту ими пользуются чаще, чем письменными выкладками. Это важно ещё и потому, что они ускоряют письменные вычисления, приобретают опыт рациональных вычислений, дают выигрыш в вычислительной работе. На уроках математики приходится, много делать устных вычислений и когда учитель показал нам приём быстрого умножения на числа 11, у нас возникла идея, а существуют ли ещё приёмы быстрого вычисления. Мы поставили перед собой задачу, найти и опробовать другие приёмы быстрого вычисления. Немногие умеют считать быстро и правильно. Исследование, проведенное в нашей школе, показало: 1. Зачем нужно уметь считать? а) пригодится в жизни, например, считать деньги;(16%) б) чтобы хорошо учиться в школе; (16%) в) чтобы быстро решать; (16%) г) чтобы быть грамотным; (52%) д) не обязательно уметь считать. 2. Перечислите, при изучении, каких школьных предметов тебе понадобится правильно считать? а) математика; (80%) б) физика; (15%) в) химия; (5%) г) технология; д) музыка; 3. Знаешь ли ты приемы быстрого счета? а) да, много; б) да, несколько (85%); в) нет, не знаю(15%). 4. Применяешь ли ты при вычислениях приемы быстрого счета? а) да; (15%) б) нет (85%) 5. Хотели бы вы узнать приемы быстрого счета, чтобы быстро считать? а) да; (92%) б) нет (8%). Говорят, если хотите научиться плавать, вы должны войти в воду, а если хотите уметь решать задачи, то должны начать их решать. Но для начала надо освоить азы арифметики. Научиться считать быстро, считать в уме можно только при большом желании и систематической тренировке в решении задач. А ведь приёмы быстрого устного счёта известны давно. Великолепные способности к устному счёту таких блестящих математиков, как Гаусс, фон Нейман, Эйлер или Валлис, вызывают настоящий восторг. Об этом много написано. Мы хотим рассказать и показать некоторые известные вычислительные секреты. И тогда перед вами откроется совсем другая математика. Живая, полезная и понятная. 1.Способы быстрого умножения 1. СЧЁТ НА ПАЛЬЦАХ Способ быстрого умножения чисел в пределах первого десятка на 9. Допустим, нам нужно умножить 7 на 9. Повернём руки ладонями к себе и загнём седьмой палец (начиная считать от большого пальца слева). Число пальцев слева от загнутого будет равно десяткам, а справа - единицам искомого произведения. Рис. 1. Счёт на пальцах 2. УМНОЖЕНИЕ ЧИСЕЛ ОТ 10 ДО 20 Можно очень просто умножать такие числа. К одному из чисел надо прибавить количество единиц другого, умножить на 10 и прибавить произведение единиц чисел. Пример 1. 16•18=(16+8) • 10+6 • 8=288, или Пример 2. 17 • 17=(17+7) • 10+7 • 7=289. Задание: Умножьте быстро 19 • 13. Ответ 19 •13=(19+3) •10 +9 •3=247. 3. УМНОЖЕНИЕ НА 11 - Чтобы двузначное число, сумма цифр которого не превышает 10, умножить на 11, надо цифры этого числа раздвинуть и поставить между ними сумму этих цифр. Пример: 72 • 11 = 7 (7 + 2) 2 = 792; 35 • 11 = 3 (3 + 5) 5 = 385. - Чтобы умножить на 11 двузначное число, сумма цифр которого 10 или больше 10, надо мысленно раздвинуть цифры этого числа, поставить между ними сумму этих цифр, а затем к первой цифре прибавить единицу, а вторую и последнюю (третью) оставить без изменения. Пример. 94 • 11 = 9 (9 + 4) 4 = 9 (13) 4 = (9 + 1) 34 = 1034. Задание: Умножьте быстро 54 • 11 (594) Задание: Умножьте быстро 67• 11 (737) 4. УМНОЖЕНИЕ НА 22, 33, ..., 99 - Чтобы двузначное число умножить на 22, 33, ..., 99, надо этот множитель представить в виде произведения однозначного числа (от 2 до 9) на 11, то есть 44 = 4 11; 55 = 5 • 11 и т.д. Затем произведение первых чисел умножить на 11. Пример 1. 24 • 22 = 24 • 2 • 11 = 48 • 11 = 528 Пример 2. 23 • 33 = 23 • 3 • 11= 69 • 11 = 759 Задание: Умножьте 18• 44 5. УМНОЖЕНИЕ НА 5, НА 50, НА 25, НА 125 При умножении на эти числа можно воспользоваться следующими выражениями: a • 5=a • 10:2 a • 50=a • 100:2 a • 25=a • 100:4 а • 125=а • 1000:8 Пример1. 17 • 5=17 • 10:2=170:2=85 Пример 2. 43 • 50=43 • 100:2=4300:2=2150 Пример 3. 27 • 25=27 • 100:4=2700:4=675 Пример 4. 96 • 125=96:8 • 1000=12 • 1000=12000 Задание: умножьте 824•25 Задание: умножьте 348•50 &2. Способы быстрого деления 1. ДЕЛЕНИЕ НА 5, НА 50, НА 25 При делении на 5, на 50, на 25 можно воспользоваться следующими выражениями: a:5= a • 2:10 a:50=a • 2:100 a:25=a • 4:100 Примеры: 35:5=35 • 2:10=70:10=7 3750:50=3750 • 2:100=7500:100=75 6400:25=6400 • 4:100=25600:100=256 &3. Способы быстрого сложения и вычитания натуральных чисел. - Если одно из слагаемых увеличить на несколько единиц, то из полученной суммы надо вычесть столько же единиц. Пример. 785+963=785+(963+7)-7=785+970-7= 1748 - Если одно из слагаемых увеличить на несколько единиц, а второе уменьшить на столько же единиц, то сумма не изменится. Пример. 762+639=(762+8)+(639-8)=770 + 631=1401 - Если вычитаемое уменьшить на несколько единиц и уменьшаемое увеличить на столько же единиц, то разность не изменится. Пример. 529-435=(529-5)-(435+5)=524-440=84 Заключение Существуют способы быстрого сложения, вычитания, умножения, деления, возведения в степень. Мы рассмотрели лишь немногие способы быстрого счета. Все рассмотренные нами методы устного вычисления говорят о многолетнем интересе ученых и простых людей к игре с цифрами. Используя некоторые из этих методов на уроках или дома можно развить скорость вычислений, добиться успехов в изучении всех школьных предметов. Умножение без калькулятора - тренировка памяти и математического мышления. Вычислительная техника совершенствуется и по сей день, но любая машина делает то, что в нее закладывают люди, а мы узнали некоторые приемы устного счета, которые помогут нам в жизни. Нам было интересно работать над проектом. Пока мы только изучали и анализировали уже известные способы быстрого счета. Но кто знает, возможно, в будущем мы сами сможем открыть новые способы быстрых вычислений. Литература: Арутюнян Е., Левитас Г. Занимательная математика.- М.: АСТ - ПРЕСС, 1999. - 368 с. Гарднер М. Математические чудеса и тайны. - М., 1978. Глейзер Г.И. История математики в школе. - М.,1981. «Первое сентября» Математика №3(15), 2007. Татарченко Т.Д. Способы быстрого счета на занятиях кружка, «Математика в школе», 2008, №7, стр.68. Устный счет / Сост. П.М.Камаев. - М.: Чистые пруды, 2007- Библиотечка «Первого сентября», серия «Математика». Вып. 3(15).

ВВЕДЕНИЕ

Можно ли представить себе мир без чисел? Без чисел невозможно жить в современном обществе. Развитие любой науки не возможно, если бы не наука о числах.

Две стихии господствуют в математике - числа и фигуры с их бесконечным многообразием свойств и взаимосвязей. В моей работе предпочтение отдано стихии чисел и действий с ними.

Сейчас, на этапе стремительного развития ИКТ-технологий, современные школьники не хотят утруждать себя счетом в уме. Поэтому я сочла важным показать не только то, что сам процесс выполнения действия может быть важным, но и интересным занятием.

Объектом исследования являются алгоритмы счета.

Предметом исследования выступает процесс вычисления.

Цель: изучить нестандартные приемы вычислений и экспериментальным путем выявить причину отказа от использования этих способов при обучении математике современных школьников.

Задачи:

· раскрыть историю возникновения счета;

· описать старинные способы вычислений и опытно- экспериментальным путем выявить трудности в их использовании;

· рассмотреть некоторые приемы устных вычислений и на конкретных примерах показать преимущества их использования.

Гипотеза: в старину говорили: «Умножение - мое мученье». Значит, раньше было сложно и трудно умножать. Просты ли наши современные способы различных вычислений, а не только умножения?

При работе над докладом я пользовалась следующими методами:

· поисковый метод с использованием научной и учебной литература, а также поиск необходимой информации в сети Интернет;

· практический метод выполнения вычислений с применением нестандартных алгоритмов счета;

· анализ полученных в ходе исследования данных.

Актуальность данной темы заключается в том, что использование нестандартных приемов в формировании вычислительных навыков помогает сэкономить время на уроке, успешно сдать экзамен в 9м классе по математике.

За простыми действиями сложения, вычитания, умножения и деления скрываются тайны истории математики. Случайно услышанные слова «умножение решеткой», «шахматным способом» заинтриговали вас. Захотелось узнать эти и другие способы вычислений, а также сравнить их с сегодняшними.

Для того чтобы выяснить, знают ли современные школьники другие способы выполнения арифметических действий, кроме умножения, сложения, вычитания столбиком и деления «уголком» и хотели бы узнать новые способы, был проведен тестовый опрос (см. Приложение). Всего опрошено 37 учащихся 5 - 6 классов.

Результаты анкетирования:

Вопрос	5 класс	6 классы	Всего
	да	нет	не знаю	да	нет	не знаю
1 нужно ли уметь считать устно, применяя удобные способы?	22	-	2	12	1	-	37
2 Умеете ли вы умножать, складывать, вычитать числа столбиком, делить «уголком»?	24	-	-	13	-	-	37
3 Знаете ли вы другие способы выполнения устного счёта?	8	8	8	6	4	3	37
4 А хотели бы узнать?	20	-	4	9	4	-	37

Сводная таблица анкетирования:

Вопрос	5, 6 классы
	да	нет	не знаю
1 нужно ли уметь считать устно, применяя удобные способы?	34	1	2
2 Умеете ли вы умножать, складывать, вычитать числа столбиком, делить «уголком»?	37	-	-
3 Знаете ли вы способы выполнения устного счёта?	14	12	11
4 А хотели бы узнать?	29	9	4

По результатам опроса можно сделать вывод, что в большинстве случаев современные школьники не знают способов выполнения действий кроме таких как умножения, сложения, вычитания столбиком и деления «уголком», так как на уроках учитель редко обращает внимание на способы устного счёта.

Глава I. ИСТОРИЯ СЧЁТА

1.1. КАК ВОЗНИКЛИ ЧИСЛА

Подсчитывать предметы люди научились ещё в древнем каменном веке - палеолите, десятки тысяч лет назад. Как это происходило? Сначала люди лишь на глаз сравнивали разные количества одинаковых предметов. Они могли определить, в какой из двух куч больше плодов, в каком стаде больше оленей и т.д. Если одно племя меняло пойманных рыб на сделанные людьми другого племени каменные ножи, не нужно было считать, сколько принесли рыб и сколько ножей. Достаточно было положить рядом с каждой рыбой по ножу, чтобы обмен между племенами состоялся.

Чтобы с успехом заниматься сельским хозяйством, понадобились арифметические знания. Без подсчета дней трудно было определить, когда надо засевать поля, когда начинать полив, когда ждать потомства от животных. Надо было знать, сколько овец в стаде, сколько мешков зерна положено в амбары.

И вот более восьми тысяч лет назад древние пастухи стали делать из глины кружки - по одному на каждую овцу. Чтобы узнать, не пропала ли за день хоть одна овца, пастух откладывал в сторону по кружку каждый раз, когда очередное животное заходило в загон. И только убедившись, что овец вернулось столько же, сколько было кружков, он спокойно шел спать. Но в его стаде были не только овцы - он пас и коров, и коз, и ослов. Поэтому пришлось сделать из глины и другие фигурки. А земледельцы с помощью глиняных фигурок вели учет собранного урожая, отмечая, сколько мешков зерна положено в амбар, сколько кувшинов масла выжато из оливок, сколько соткано кусков льняного полотна. Если овцы приносили приплод, пастух прибавлял к кружкам новые, а если часть овец шла на мясо, несколько кружков приходилось убирать. Так, еще не умея считать, занимались древние люди арифметикой.

Затем в человеческом языке появились числительные, и люди смогли называть число предметов, животных, дней. Обычно таких числительных было мало. Например, у племени реки Муррей в Австралии было два простых числительных: энэа (1) и петчевал (2). Другие числа они выражали составными числительными: 3= «петчевал-энэа», 4 «петчевал-петчевал» и т. д. Ещё одно австралийское племя - камилороев имело простые числительные мал (1), булан (2), гулиба (3). И здесь другие числа получались сложением меньших: 4=«булан-булан», 5=«булан-гулиба», 6=«гулиба-гулиба» и т.д.

У многих народов название числа зависело от подсчитываемых предметов. Если жители островов Фиджи считали лодки, то число 10 называли «боло»; если они считали кокосовые орехи, то число 10 называли «каро». Точно так же поступали живущие на Сахалине у берегах Амура нивхи. Ещё в XIX веке одно и то же число они называли разными словами, если считали людей, рыб, лодки, сети, звёзды, палки.

Мы и сейчас используем разные неопределённые числительные со значением «много»: «толпа», «стадо», «стая», «куча», «пучок» и другие.

С развитием производства и торгового обмена люди стали лучше понимать, что общего у трёх лодок и трёх топоров, десяти стрел и десяти орехов. Племена часто вели обмен «предмет за предмет»; к примеру, обменивали 5 съедобных кореньев на 5 рыб. Становилось ясно, что 5 одно и то же и для кореньев, и для рыб; значит, и называть его можно одним словом.

Постепенно люди начали использовать для счёта камешки, палочки, части собственного тела. Вот как известный русский учёный Н.Н. Миклуха-Маклай описывал счёт папуасов: «Папуас загибает один за другим пальцы руки, причём издаёт определённый звук, например «бе, бе, бе…». Досчитав до пяти, он говорит: «Ибон-бе» (рука). Затем он загибает пальцы другой руки, снова повторяя «бе, бе…», пока не дойдёт до «ибон-али» (две руки). Затем он идёт дальше, приговаривая «бе, бе…», пока не дойдёт до «самба-бе» (одна нога) и «самба-али» (две ноги). Если нужно считать дальше, папуас пользуется пальцами рук и ног кого - нибудь другого».

Похожие способы счёта применяли и другие народы. Так возникли нумерации, основанные на счёте пятёрками, десятками, двадцатками.

До сих пор я рассказывала об устном счёте. А как записывали числа? Поначалу, ещё до возникновения письменности, использовали зарубки на палках, насечки на костях, узелки на верёвках. Найденная волчья кость в Дольни - Вестонице (Чехословакия), имела 55 насечек, сделанных более 25 000 лет назад.

Когда появилась письменность, появились и цифры для записи чисел. Сначала цифры напоминали зарубки на палках: в Египте и Вавилоне, в Этрурии и Финики, в Индии и Китае небольшие числа записывали палочками или чёрточками. Например, число 5 записывали пятью палочками. Индейцы ацтеки и майя вместо палочек использовали точки. Затем появились специальные знаки для некоторых чисел, таких, как 5 и 10 .

В то время почти все нумерации были не позиционными, а похожими на римскую нумерацию. Лишь одна вавилонская шестидесятеричная нумерация была позиционной. Но и в ней долго не было нуля, а также запятой, отделяющей целую часть от дробной. Поэтому одна и та же цифра могла означать и 1, и 60, и 3600. Угадывать значение числа приходилось по смыслу задачи.

За несколько столетий до новой эры изобрели новый способ записи чисел, при котором цифрами служили буквы обычного алфавита. Первые 9 букв обозначали числа десятки 10, 20,…, 90, а ещё 9 букв обозначали сотни. Такой алфавитной нумерацией пользовались до 17 в. Чтобы отличить «настоящие» буквы от чисел, над буквами-числами ставили чёрточку (на Руси эта чёрточка называлась «титло»).

Во всех этих нумерациях было очень трудно выполнить арифметические действия. Поэтому изобретение в VI веке индийцами десятичной позиционной нумерации по праву считается одним из крупнейших достижений человечества. Индийская нумерация и индийские цифры стали известны в Европе от арабов, и обычно их называют арабскими.

При записи дробей ещё долгое время целую часть записывали в новой десятичной нумерации, а дробную - в шестидесятеричной. Но в начале XV в. самаркандский математик и астроном аль-Каши стал употреблять в вычислениях десятичные дроби.

Числа, с которыми мы работаем с положительными и отрицательными числами. Но, оказывается, что это не все числа, которые используют в математике и других науках. И узнать о них можно не дожидаясь старшей школы, а гораздо раньше, если изучать историю возникновения чисел в математике.

1.2 « ЧУДО - СЧЁТЧИКИ»

«Он все понимает с полуслова и тут же формулирует вывод, к которому обычный человек, может быть, придет путем долгих и тягостных раздумий. Книги он поглощает с невероятной скоростью, а на первом месте в его шорт-листе бестселлеров -- учебник по занимательной математике. В момент решения самых трудных и необычных задач в его глазах горит огонь вдохновения. Просьбы сходить в магазин или помыть посуду остаются без внимания либо выполняются с большим недовольством. Самая лучшая награда-- это поход в лекторий, а самый ценный подарок -- книга. Он максимально практичен и в своих поступках в основном подчиняется рассудку и логике. Он холодно относится к окружающим его людям и предпочтет катанию на роликах шахматную партию с компьютером. Будучи ребенком, он не по годам осознает собственные недостатки, отличается повышенной эмоциональной устойчивостью и приспособляемостью к внешним обстоятельствам».

Именно так, по мнению психологов, выглядит человек-калькулятор, индивидуум, обладающий уникальными математическими способностями, позволяющими ему в мгновение ока производить в уме самые сложные подсчеты.

За порогом сознания чудо - счетоводы, способные без калькулятора совершать невообразимо сложные арифметические действия, обладают уникальными особенностями памяти, отличающей их от других людей. Как правило, кроме огромных линеек формул и вычислений, эти люди (ученые их называют мнемониками -- от греческого слова mnemonika, означающего "искусство запоминания") держат в голове списки адресов не только друзей, но и случайных знакомых, а также многочисленных организаций, где им когда-то приходилось бывать.

В лаборатории НИИ психотехнологий, где решили исследовать феномен, провели такой эксперимент. Пригласили уникума -- сотрудника Центрального государственного архива Санкт-Петербурга Александра Н. Ему предлагали для запоминания различные слова и цифры. Он должен был их повторять. Всего за пару минут он мог зафиксировать в памяти до семидесяти элементов. Десятки слов и цифр буквально "загрузили" в память Александра. Когда количество элементов перевалило за две сотни, решили проверить его возможности. К удивлению участников эксперимента, МЕГАпамять не дала ни одного сбоя. С секунду пошевелив губами, он с поразительной точностью, словно читая, начал воспроизводить весь ряд элементов.

Еще, например, один учёный - исследователь провёл эксперимент с мадмуазель Осака. Испытуемую попросили возвести в квадрат 97, получить десятую степень того числа. Она это сделала моментально.

В Ванском районе западной Грузии живет Арон Чикашвили. Он быстро и точно производит в уме сложнейшие вычисления. Как-то друзья решили проверить возможности «чудо-счётчика». Задание было сложным: сколько слов и букв скажет диктор, комментирующий второй тайм футбольного матча «Спартак» (Москва) - «Динамо» (Тбилиси). Одновременно был включен магнитофон. Ответ последовал, как только диктор сказал последнее слово: 17427 букв , 1835 слов. На проверку ушло ….5 часов. Ответ оказался правильным.

Рассказывают, что отец Гаусса обычно платил своим рабочим в конце недели, прибавляя к каждому дневному заработку за сверхурочные часы. Однажды после того, как Гаусс-отец закончил расчеты, следивший за операциями отца ребёнок, которому было три года, воскликнул: «Папа, подсчёт не верен! Вот такая должна быть сумма». Вычисления повторили и с удивлением убедились, что малыш указал правильную сумму.

Интересно, что многие «чудо-счётчики» не имеют понятия вообще, как они считают. «Считаем, и всё! А как считаем, Бог его знает». Некоторые «счётчики» были совсем необразованными людьми. Англичанин Бакстон, «счётчик-виртуоз», так никогда и не научился читать; американский «негр- счётчик» Томас Фаллер умер неграмотным в возрасте 80-ти лет.

Проводились соревнования в институте кибернетики Украинской академии наук. В соревновании участвовали молодой «счётчик-феномен» Игорь Шелушков и ЭВМ «Мир». Машина за несколько секунд сделала множество сложных математических операций. Победителем в этом соревновании вышел Игорь Шелушков.

В Сиднейском университете в Индии тоже проходили соревнования человека и машины. Шакунтала Деви тоже несколько опередила ЭВМ.

В 2007 году Марк Вишня, которому тогда было 2,5 года, поразил всю страну своими интеллектуальными способностями. Юный участник шоу «Минута славы» без труда считал в уме многозначные числа, опережая при вычислениях родителей и жюри, которые пользовались калькуляторами. Уже в два года он освоил таблицу косинусов и синусов, а также некоторые логарифмы.

Большинство таких людей обладает прекрасной памятью и имеют дарование. Но некоторые из них никакими способностями к математике не обладают. Они знают секрет! А секрет этот в том, что они хорошо усвоили приемы быстрого счёта, запомнили несколько специальных формул. Однако бельгийский служащий, который за 30 секунд по предложенному ему многозначному числу, полученному от умножения некоторого числа само на себя 47 раз, называет это число (извлекает корень 47-ой степени из многозначного числа), добился таких потрясающих успехов в счёте в результате многолетней тренировки.

Итак, многие «счётчики-феномены» пользуются особыми приемами быстрого счёта и специальными формулами. Значит, мы тоже можем пользоваться некоторыми из этих приёмов.

Глава II. СТАРИННЫЕ СПОСОБЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ

2.1. РУССКИЙ КРЕСТЬЯНСКИЙ СПОСОБ УМНОЖЕНИЯ

В России несколько веков назад среди крестьян некоторых губерний был распространен способ, который не требовал знание всей таблицы умножения. Надо было лишь уметь умножать и делить на 2. Этот способ получил название КРЕСТЬЯНСИЙ (существует мнение, что он берет начало от египетского).

Пример: умножим 47 на 35,

· запишем числа на одной строчке, проведём между ними вертикальную черту;

· левое число будем делить на 2, правое - умножать на 2 (если при делении возникает остаток, то остаток отбрасываем);

· деление заканчивается, когда слева появится единица;

· вычёркиваем те строчки, в которых стоят слева чётные числа; 35 + 70 + 140 + 280 + 1120 = 1645

· далее оставшиеся справа числа складываем - это результат.

2.2. Таблица умножения на «9»

Следующий способ был замечен мною, когда я учила таблицу умножения на 9.

1*9=9

2*9=18

3*9=27

4*9=36 и т.д.

Вглядитесь внимательно. Сумма цифр полученного числа всегда равна 9. На первом месте (в числе десятков) в ответе будет стоять цифра на один меньше множителя, не равного 9. По такому приему можно запомнить таблицу умножения на «9».

Движение пальца - это еще один из способов помочь памяти: с помощью пальцев рук запомнить таблицу умножения на 9. Положив обе руки рядом на стол, по порядку занумеруем пальцы обеих рук следующим образом: первый палец слева обозначим 1, второй за ним обозначим цифрой 2, затем 3, 4… до десятого пальца, который означает 10. Если надо умножить на 9 любое из первых девяти чисел, то для этого, не двигая рук со стола, надо приподнять вверх тот палец, номер которого означает число, на которое умножается девять; тогда число пальцев, лежащих налево от поднятого пальца, определяет число десятков, а число пальцев, лежащих справа от поднятого пальца, обозначает число единиц полученного произведения (убедитесь в этом самостоятельно).

2.3. МЕТОД «РЕШЕТКИ»

Выдающийся арабский математик и астроном Абу Абдалах Мухаммед Бен Мусса аль - Хорезми жил и работал в Багдаде. Учёный работал в Доме мудрости, где были библиотека и обсерватория, здесь работали почти все крупные арабские учёные.

Сведений о жизни и деятельности Мухаммеда аль - Хорезми очень мало. Сохранились лишь две его работы - по алгебре и по арифметике. В последний из этих книг даны четыре правила арифметических действий, почти такие же, что используются в наше время.

	2	5
1	1 2	3 0	6
5	0 6	1 5	3
	7	5

В своей «Книге об индийском счете» учёный описал способ, придуманный в Древней Индии, а позже названный «МЕТОДОМ РЕШЁТКИ». Этот метод даже проще, чем применяемый сегодня.

Пример: умножим 25 и 63.

Начертим таблицу, в которой две клетки по длине и две по ширине запишем одно число по длине другое по ширине. В клетках запишем результат умножения данных цифр, на их пересечении отделим десятки и единицы диагональю. Полученные цифры сложим по диагонали, и полученный результат можно прочитать по стрелке (вниз и вправо).

Мною рассмотрен простой пример, однако, этим способом можно умножать любые многозначные числа.

Рассмотрю еще один пример: перемножим 987 и 12:

· рисуем прямоугольник 3 на 2 (по количеству десятичных знаков у каждого множителя);

· затем квадратные клетки делим по диагонали;

· вверху таблицы записываем число 987;

· слева таблицы число 12;

· теперь в каждый квадратик впишем произведение цифр, расположенных в одной строчке и в одном столбце с этим квадратиком, десятки ниже диагонали, единицы выше;

· после заполнения всех треугольников, цифры в них складывают вдоль каждой диагонали справой стороны;

· результат читаем по стрелке.

Этот алгоритм умножения двух натуральных чисел был распространен в средние века на Востоке и Италии.

Неудобство этого способа мне хотелось бы отметить в трудоемкости подготовки прямоугольной таблицы, хотя сам процесс вычисления интересен и заполнение таблицы напоминает игру.

2.4. УМНОЖЕНИЕ НА ПАЛЬЦАХ

Древние египтяне были очень религиозны и считали, что душу умершего в загробном мире подвергают экзамену по счёту на пальцах. Уже это говорит о том значении, которое придавали древние этому способу выполнения умножения натуральных чисел (он получил название ПАЛЬЦЕВОГО СЧЕТА).

Умножали на пальцах однозначные числа от 6 до 9. Для этого на одной руке вытягивали столько пальцев, насколько первый множитель превосходил число 5, а на второй делали то же самое для второго множителя. Остальные пальцы загибали. После этого брали столько десятков, сколько вытянуто пальцев на обеих руках, и прибавляли к этому числу произведение загнутых пальцев на первой и второй руке.

Пример: 8 • 9 = 72

Позже пальцевой счёт усовершенствовали - научились показывать с помощь пальцев числа до 10000.

Итак, рассмотренные нами старинные способы умножения показывают, что используемый в школе алгоритм умножения натуральных чисел - не единственный и известен он был не всегда.

Однако, он достаточно быстр и наиболее удобен.

Глава III. УСТНЫЙ СЧЕТ - ГИМНАСТИКА УМА

3.1. РАЗЛИЧНЫЕ СПОСОБЫ СЛОЖЕНИЯ И ВЫЧИТАНИЯ

СЛОЖЕНИЕ

Основное правило для выполнения сложения в уме звучит так:

Чтобы прибавить к числу 9, прибавьте к нему 10 и отнимите 1;чтобы прибавить 8, прибавьте 10 и отнимите 2; чтобы прибавить 7, прибавьте10 и отнимите 3 и т.д. Например:

56+8=56+10-2=64;

65+9=65+10-1=74.

СЛОЖЕНИЕ В УМЕ ДВУЗНАЧНЫХ ЧИСЕЛ

Если цифра единиц в прибавляемом числе больше 5, то число необходимо округлить в сторону увеличения, а затем вычесть ошибку округления из полученной суммы. Если же цифра единиц меньше, то прибавляем сначала десятки, а потом единицы. Например:

...