Производная функции. Правила производных. Примеры

Размещено на http://www.allbest.ru

Тема 1. Производная функции. Правила производных. Примеры



План - задание к лекции

Предмет: Высшая математика

Учебное время: 2 ч. (лекция);

Тип учебного занятия: лекция; изучения и закрепления новых знаний.

План лекции:

Производная функции

Основные правила дифференцирования

Основные формулы дифференцирования

Цель учебного занятия:

дать целостное представление об учебном предмете, высшей математики, его задачи, цели и роли материалов в дальнейшей профессиональной деятельности.

Задачи учебного занятия:

обучающая: организовать деятельность учащихся по восприятию, осмыслению и запоминанию нового материала; повторить термины и понятия, характеризующие элементы высшей математики; развитие математического мышления студентов; прививать навыки решения проблемных задач; ознакомить с особенностями математической символики для решения математических задач;

развивающая: умение работать с текстом учебника - выбирать главное, анализировать; составлять предложения, делать выводы, критически переосмысливать материал; стимулировать поисковую деятельность студентов; проводить исследование способом от частного к общему; развивать умение анализировать и обобщать результаты исследовательской работы; применять логическое мышления; формировать творческие способности студентов;

воспитывающая: привлечь к самостоятельной работе; уметь соблюдать правила работы в группах; развитие познавательного интереса к предмету; дать представление о высшей математики, как части математически-коммуникативного курса, а также общечеловеческой культуры; воспитывать чувства ответственности, аккуратности, трудолюбия, сочетать индивидуальную работу с коллективной; способствовать дисциплинированности.

Технология обучения:

методы обучения: инструктаж; лекция, мозговой штурм, техника «Инсерт»;

формы обучения: фронтальная; коллективная; индивидуальная;

средства обучения: текст лекций; компьютер, проектор;

условия обучения: аудитория с техническим оснащением;

мониторинг и оценка: устный контроль; блиц-опрос; фронтальный опрос.

Педагогические задачи:

ознакомить с назначением и задачами предмета, его ролью, местом в системе учебных дисциплин;

дать обзор структуры лекции учебного предмета и рекомендуемой учебно-методической литературы;

раскрыть методические и организационные особенности работы в рамках лекции предмета, формы оценки;

охарактеризовать общую схему и сформулировать основные этапы организации процесса обучения на лекции предмета;

охарактеризовать перспективы развития технологии обучения.

Результаты учебной деятельности:

формулируют название, цель и задачи лекции предмета;

освещают достижения в области высшей математики;

раскрывают методические и организационные особенности работы в рамках лекции предмета, формы оценки;

дают развернутую характеристику общей схемы организации процесса обучения на лекции предмета;

дают основные определения предмета: высшая математика, основные направления лекции предмета;

полнота, системность, действенность теоретических знаний;

умение пользоваться изученными понятиями при выполнении практических заданий;

овладение навыками оперирования ими по основным содержательным линиям курса.

Хронологическая карта лекции

1 этап. Введение в учебное занятие (10 мин.):

деятельность преподавателя: проверка готовности (наличие конспекта; собранность, уверенность и четкость; посещаемость); выдача необходимых материалов (конспект, раздаточные материалы); сообщение темы и цели лекции; ознакомление с планом учебного занятия; ключевые категории, понятия и слова; список литературы и интернет сайты; сообщение о планируемых учебных результатах;

деятельность студентов: подготовка учебного места (наличие учащихся; внешний вид; учебные материалы и пособия); знакомства с темой и целью лекции; подготовка к восприятию учебного материала;

методы, формы, приемы: инструктаж; фронтальный опрос; закрепительный опрос.

2 этап. Основная часть (60 мин.):

деятельность преподавателя: вводит в тему; предлагает вспомнить материалы темы прошлых предметов или занятий, связанные с новым материалом; раздача текста лекции, предлагает ознакомиться, сделать пометки методом «Инсерт»; чтение лекции по первому вопросу; задиктовывать и дать пояснения дополнительных учебных материалов; демонстрация и комментирования натуральных объектов; выяснение непонятных вопросов и разъяснение их; обзор по первому вопросу (и так по всем вопросам темы);

деятельность студентов: закрепляют знания, полученные на предыдущих предметах и занятиях, связанные с новым материалом; слушают, записывают, конспектируют и называют каждое ключевое понятие и термины; уточняют, задают вопросы и обсуждают; читают и делают пометки по методу «Инсерт»;

методы, формы, приемы: фронтальный опрос и блиц-опрос; мозговой штурм, техника «Инсерт».

3 этап. Заключительная часть (10 мин.)

деятельность преподавателя: делать заключение по теме; концентрировать внимание студентов на главном; сообщать о важности проделанной работы; оценивать деятельности отдельных студентов; подводить итоги взаимооценки; анализировать и оценивать степень достижения цели учебного занятия; задание для самостоятельной работы; показатели и критерии оценки;

деятельность студентов: анализ работы; получение результата; применение технологических знаний; проводить взаимооценку; уточнение и анализ допущенных ошибок; записать задание самостоятельной работы;

методы, формы, приемы: работа в группах; карточки задания.

Учебно-методические материалы

План лекции:

Производная функции

Основные правила дифференцирования

Основные формулы дифференцирования

Ключевые слова: Производная, дифференцирование, непрерывность, геометрический смысл, механический смысл, правила дифференцирования, формулы дифференцирования.



Текст лекции

Производная функции

Определение 1.1 Производной функции в точке называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при стремлении последнего к нулю, если этот предел существует и конечен:

или .

Для обозначения производной могут использоваться следующие эквивалентные символы:

.

Операция отыскания производной называется дифференцированием функции. Числовое значение производной функции в точке обозначается .

Теорема 1.1 Если: функция имеет производную в точке , то она непрерывна в этой точке.

Обратное утверждение не всегда верно (исключение составляют угловые точки, а также точки возврата и перегиба с вертикальной касательный).

Геометрический смысл производной: производная в точке равна угловому коэффициенту касательной к кривой в точке (рис. 12.1.):



.

Механический смысл производной: производная есть скорость изменения функции в точке .

Пусть - постоянные; - некоторые дифференцируемые функции, причем - сложная функция по независимому аргументу , а является промежуточной функцией.

Рис. 12.1

Основные правила дифференцирования

Основные формулы дифференцирования

Если функция задана неявно, т.е. уравнение не разрешено относительно , обе части этого уравнения дифференцируют по , а затем находят .

Если функция задана параметрически в виде

то

Производной -го порядка от функции называется производная от производной -го порядка:

.

Эта производная может обозначаться так

.

Для параметрически заданной функции производная _го порядка находится как

.

Задача 1.1. Найти производную функции , исходя из ее определения.

Решение

По определению .

Поэтому дадим аргументу приращение , вычислим приращение функции и найдем предел отношения :

.

Задача 12.2. Найти производные функций:

а)

б)

в)

г)

д) .

Решение

а)

б)

в)

г) По определению модуля

.

Тогда

.

д) Предварительно прологарифмируем обе части равенства, а затем продифференцируем их и домножим на :

Задача 1.3. Найти вторую производную неявно заданной функции

Решение

Введем новую переменную . Тогда уравнение имеет вид:

производная функция уравнение

Дифференцируем обе части уравнения:

Отсюда .

Но

Тогда

Так как то

Задача 1.4. Найти производную -го порядка от параметрически заданной функции:

Решение

Для определения производной -го порядка надо последовательно найти -1 предыдущую производную.

Очевидно, что

1.3.2-а. Вопросы для фронтального опроса

Определение производной функции.

Что называется дифференцированием функции?

Производна -го порядка.

1.3.2-б. Вопросы для блиц-опроса.

Правила дифференцирования

Формулы дифференцирования

1.3.2-в. Вопросы для устного контроля

Теорема непрерывности

Геометрический смысл производной

Механический смысл производной

1.3.3. Задания для самостоятельной работы

повторение и упражнение: повторение, самопроверка, анализ, отработка, закрепление, углубление, запоминание;

самостоятельное освоение новых материалов: новые литературные и интернет материалы, дополнение конспекта, составление самостоятельных фраз;

работы научного характера: проблемные ситуации, составление тестов, вопросов, выполнение заданий.

1.3.4. Тесты для карточки задания

1.3.5. Вывод на экран опорные материалы (слайды)

1.Презентация

1.4. Правили методов обучения

1.4.1. Правила мозгового штурма

никакой взаимной оценки и критики;

воздержись от оценки предлагаемых идей, если даже фантастичны и невероятны - все дозволено;

не критикуй - все высказываемые идеи равносильно ценные;

не прерывай выступающего;

воздержись от замечаний;

целью является количество;

чем больше будет высказано идей, тем лучше: больше вероятности для появления новой и ценной идеи;

не огорчайся и не возмущайся, если идеи повторяются;

разреши воображению «бушевать»;

не отбрасывай возникающие у тебя идеи, даже если они, на твой взгляд, не соответствуют принятым схемам;

не думай, что эта проблема может быть решена только известными способами.

1.4.2. Правила техники «Инсерт»

читая текст, отметить на полях специальными пометками те места, которые подтверждают или опровергают достоверность того, что они знают, места, которые кажутся им неожиданными или которые вызывают у них вопросы;

составить таблицу «Инсерт» со следующими пометками:

«!» - если то, что Вы читаете, соответствуют тому, что Вы знаете, или думаете, что знаете;

«-» - если то, что Вы читаете, противоречит тому, что Вы уже знали, или думаете, что знаете;

«+» - если то, что Вы читаете, является для Вас новым;

«?» - если то, что Вы читаете, непонятно, или Вы хотели бы получить более подробные сведения по данному вопросу.

1.4.3. Правила работы в группах

каждый должен слушать своих товарищей, проявляя вежливость и доброжелательность;

каждый должен работать активно, совместно, ответственно, относительно порученному заданию;

каждый должен просить о помощи, когда она ему нужна;

каждый должен оказать помощь, если его об этом попросят;

каждый должен принимать участие в оценке результатов работы группы;

каждый должен четко понимать: помогая другим, учится сам; мы в одной лодке (или выплывем вместе, или утонем вместе).

Размещено на Allbest.ru

...