Признаки делимости чисел

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

VI ГОРОДСКАЯ МЕЖШКОЛЬНАЯ КОНФЕРЕНЦИЯ

«Я - исследователь»

Тема: «Признаки делимости чисел»

Секция "Математика"

Выполнил:

Жулябин Дмитрий Алексеевич

Научный руководитель:

Климанова Наталья Николаевна

учитель математики

Самара, 2015 г.

Содержание

Введение

Делимость чисел

1. Понятие делимости чисел

2. Свойства делимости

3. Признаки делимости чисел, изучаемые в школе на 2, 3, 5, 9, 10

4. Признаки делимости чисел, не изучаемые в школе (на 4, 11, 25, 6, 12, 15, 13

Задачи для самостоятельного решения

Заключение

Приложение. Таблица «Признаки делимости чисел

Список литературы

Введение

Жалок тот ученик, который

не превосходит своего учителя.

Леонардо да Винчи

Математика - самая древняя наука, она была и остаётся необходимой людям. Слово математика греческого происхождения. Оно означает «наука», «размышление». делимость число урок математика

Вопросами делимости чисел люди интересовались очень и очень давно. Благодаря многолетнему труду математиков над проблемами делимости чисел были разгаданы многие ее тайны, но и сейчас в этом разделе математики остается еще много неясного.

Решая задачи и выполняя действия на деления, не всегда удается число разделить нацело. Возникает необходимость предсказать - делится число нацело или нет. Поэтому в математике исследуются условия делимости, выводятся определенные правила и признаки, по которым можно определить делится ли натуральное число на другое натуральное число или нет.

Чтобы ответить на вопрос о том, делится ли целое число a на целое число b, можно произвести деление этих чисел. Но при решении некоторых задач это может оказаться очень трудоёмким делом. Поэтому удобно знать некоторые признаки, которые позволяют без выполнения деления определять, делится одно целое число на другое или нет.

Изучая в курсе математики признаки делимости натуральных чисел на 2, на 3, на 5, на 9, на 10, у меня возник вопрос: «Нельзя ли, не прибегая к непосредственному делению числа, установить его делимость на другое натуральное число?». Именно поэтому для творческой работы мной выбрана тема «Признаки делимости чисел».

Актуальность выбранной темы заключается в том, что знание признаков делимости чисел поможет учащимся более быстро выполнять сокращения дробей, нахождения и вынесения общего множителя за скобки, при упрощении выражений.

Цель исследовательской работы: осветить признаки делимости чисел на 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 11, 12, 13, 15, 25.

В связи с этим, при написании данной работы я ставлю перед собой следующие задачи:

· Изучить научную литературу по теме «Признаки делимости чисел», расширить и углубить свои знания по этой теме.

· Овладеть в совершенстве признаками делимости чисел, изучаемых на уроках математики и вне школьной программы.

· Рассмотреть решения задач на применение признаков делимости чисел, подобрать серию задач, связанных с признаками делимости чисел для самостоятельного решения.

· Разработать мини-справочник «Признаки делимости чисел».

Объект исследования: признаки делимости чисел.

Предмет исследования: изучение правил и методов делимости чисел.

Делимость чисел

Признак делимости - это правило, позволяющее сравнительно быстро определить, является ли число кратным заранее заданному числу без необходимости выполнять фактическое деление.

Признаки делимости на 2, 5, 10, 3 и 9 были известны с давних времен. Так, например, признак делимости на 2 знали древние египтяне за две тысячи лет до нашей эры, а признаки делимости на 2, 3, и 5 были обстоятельно изложены итальянским математиком Леонардо Фибоначчи (1170-1228).

Мы знаем, что в результате сложения, вычитания или умножения целых чисел всегда получается число целое. А вот деление натуральных чисел нацело не всегда возможно. Для того чтобы узнать, делится ли натуральное число а на натуральное число b нацело, надо предварительно выяснить некоторые общие свойства делимости чисел.

1. Понятие делимости чисел.

Разделить число а на число b - это значит найти такое число q, при умножении которого на b получается а, т.е. b•q = а. Если для целых чисел а и b такое число q существует, то говорят, что а делится на b.

Целое число а делится на целое число b, не равное нулю, если существует целое число q, такое, что а = b•q.

В том случае, когда а делится нацело на b, число а называется кратным числу b, а число b называется делителем числа а.

Например, число 45 делится нацело на число 9, так как существует натуральное число 5, такое, что выполняется равенство 9 • 5 = 45. Число 73 не делится на 9, так как не существует такое целое число q, при котором выполняется равенство 9 • q = 73.

При определении делимости мы исключили случай, когда b = 0. В том случае, когда а = 0 и b = 0, любое число может выступать в роли частного, т.е. частное становится неопределенным. Если а ? 0 и b = 0, то равенство а = 0•q не будет верным ни при каком значении q.

2. Свойства делимости.

Чтобы узнать, делится ли одно число на другое нацело, можно просто разделить первое число на второе. Если при делении остатка не будет, значит, числа делятся нацело. Если же при делении получится остаток, не равный нулю, значит, эти числа нацело не делятся. Можно ли, не производя самого деления, установить, делится ли одно число на другое нацело?

Можно, так как делимость одних чисел связана с делимостью других. Поэтому надо найти такие свойства делимости, при помощи которых было бы возможно, не производя деления, установить, является ли данное число кратным другому.

Делимость суммы.

Если каждое слагаемое суммы делится на одно и то же число, то и сумма делится на это число.

Например, числа 180 и 210 делятся на 3. Разделится ли сумма этих чисел на 3?

180 + 210 = 10•18 + 10 •21 = 10• (18 + 21) = 10•39

39 делится на 3. А это значит, что сумма чисел 180 и 210 делится на 3.

Делимость разности.

Если уменьшаемое и вычитаемое делятся на одно и то же число, то и разность делится на это число.

Например, числа 180 и 210 делятся на 3. Разделится ли разность этих чисел на 3?

210 - 180 = 10•21 - 10 •18 = 10• (21 -18) = 10•3

Значит, разность 210 и 180 делится на 3.

Делимость произведения.

Если в произведении нескольких натуральных чисел хотя бы один из сомножителей делится на какое-то число, то и всё произведение делится на это число.

Например, известно, что число 147 делится на 49. А 49 делится на 7. Делится ли 147 на 7?

147 = 49•3 = (7•7) •3 = 7•(7•3) = 7 • 21

Полученное равенство показывает, что число 147 делится на 7.

3. Признаки делимости чисел, изучаемые в школе

Рассмотрим сначала признаки делимости чисел на 2, 3, 5, 9, 10.

Признак делимости на 2: если число оканчивается одной из цифр 0, 2, 4, 6, 8, то оно делится на 2.

Оканчи-вается	Пример	Представили в виде суммы слагаемых	Вывод
0	2210	1000•2 + 100•2 + 10•1 + 0	Каждое из слагаемых делится на 2, значит и число делится на 2
2	2212	1000•2 + 100•2 + 10•1 + 2	Каждое из слагаемых делится на 2, значит и число делится на 2
4	2214	1000•2 + 100•2 + 10•1 + 4	Каждое из слагаемых делится на 2, значит и число делится на 2
6	2216	1000•2 + 100•2 + 10•1 + 6	Каждое из слагаемых делится на 2, значит и число делится на 2
8	2218	1000•2 + 100•2 + 10•1 + 8	Каждое из слагаемых делится на 2, значит и число делится на 2

Например, число 2472 делится на 2, т.к. 2472 = 1000•2 + 100•4 + 10•7 + 2. Все четыре слагаемых делятся на 2. Значит, число 2472 делится на 2.

Число 2477 не делится на 2, т.к. 2477 = 1000•2 + 100•4 + 10•7 +7. Первые три слагаемых делятся на 2, а четвёртое слагаемое не делится на 2. Значит, число 2477 не делится на 2.

Числа, делящиеся на 2, называют чётными. Числа, не делящиеся на 2, называют нечётными.

Признак делимости на 3: если сумма цифр числа делится на 3, то и само число делится на 3.

Делится ли число на 3	Сумма цифр	Вывод
270	2 + 7 + 0 = 9.	число 9 делится на 3. Значит 270 делится на 3
541	5+4 +1 = 10.	число 10 не делится на 3. Значит 541 не делится на 3

Признак делимости на 5: если число оканчивается одной из цифр 0 или 5, то оно делится на 5.

Делится ли число на 5	Представим в виде	Вывод
2570	2570 = 257 • 10.	Второй множитель 10 делится на 5, значит, число 2570 делится на 5.
645	645= 100•6 + 10•4 + 5.	Все слагаемые делятся на 5, значит, число 645 делится на 5.
643	643= 100•6 + 10•4 + 3.	Первое и второе слагаемые делятся на 5, третье слагаемое не делится на 5. Значит число 643 не делится на 5.

Признак делимости на 9: если сумма цифр числа делится на 9, то и само число делится на 9.

Делится ли число на 9	Сумма цифр	Вывод
576	5 + 7 + 6 = 18.	число 18 делится на 9. Значит 576 делится на 9
535	5+3 +5 = 13.	число 13 на 9 не делится. Значит 535 не делится на 9

Признак делимости на 10: если число оканчивается цифрой 0, то оно делится на 10.

Делится ли число на 10	Представим в виде	Вывод
4370	4370 = 437 • 10.	Один из множителей делится на 10, значит, число 4370 делится на 10.
2378	2378= 1000 •2 + 100 •3+ +10•7 +8.	Первое, второе, третье слагаемые делятся на 10, а четвертое слагаемое не делится на 10. Значит число 2378 не делится на 10.

4. Признаки делимости чисел, не изучаемые в школе

Признак делимости на 4: число делится на 4 тогда, когда две последние цифры этого числа представляют собой число, делящееся на 4.

Делится ли число на 4	Представим в виде	Вывод
664	664 = 600 + 60 + 4 = =100•6 + 10•6 + 4 = =100•6 + (10•6 + 4)	(10•6 + 4) представляет собой число 64, а это число делится на 4. Значит, и число 664 делится на 4.
433	433= 100•4 + (10•3 + 3).	(10•3 + 3) представляет собой число 33, а это число не делится на 4. Значит, число 433 не делится на 4.

Признак делимости на 11: число делится на 11 тогда, когда разность между суммой цифр, стоящих на чётных местах, и суммой цифр, стоящих на нечётных местах, делится на 11.

Делится ли число на 11	Запишем по правилу	Вывод
4939.	(9 +9) - (4 + 3) = 18-7=11.	Полученное число11 делится на 11, значит, число 4939 делится на 11.
1534	(5 +4) - (1 +3) =9 - 4= 5.	Полученное число 6 не делится на 11, значит, число 1534 не делится на 11.

Признак делимости на 25: число делится на 25 тогда, когда две последние цифры этого числа представляют собой число, делящееся на 25.

Делится ли число на 25	Запишем по правилу	Вывод
875	875= 800 + 70 + 5 = = 100•8 + 10•7 + 5 = =100•8 + (10•7 + 5)	(10•7 + 5) представляет собой число 75, а это число делится на 25. Значит, и число 875 делится на 25.
427	427 = 100•4 + (10•2 + 7).	(10•2 + 7) представляет собой число 27, а это число не делится на 25. Значит, число 427 не делится на 25.

Сформулируем ещё несколько признаков делимости чисел.

Признак делимости на 6: для того чтобы число делилось на 6, необходимо и достаточно, чтобы оно делилось на 2 и на 3, т.е. чтобы его последняя цифра была четной и, кроме того, сумма его цифр делилась на 3.

234:2=117 2+3+4=9:3, значит 234 делится на 6

Признак делимости на 12: для того чтобы число делилось на 12, необходимо и достаточно, чтобы оно делилось на 4 и на 3.

108:4=27 108:3= 1+0+8= 9:3, значит 108:12=9

Признак делимости на 15: для того чтобы число делилось на 15, необходимо и достаточно, чтобы оно делилось на 5 и на 3, т.е. чтобы оно оканчивалось нулем или пятеркой и, кроме того, сумма его цифр делилась на 3.

Признак делимости на 13: число делится на 13 тогда и только тогда, когда результат вычитания последней цифры умноженной на 9 из этого числа без последней цифры делится на 13.

858 делится на 13, так как 85 - 9·8 = 13 делится на 13.

Задачи для самостоятельного решения

1. Делится ли на 9 тридцатизначное число, у которого первая цифра 8, последняя 1, а остальные цифры равны нулю?

РЕШЕНИЕ: 8000….1. Найдем сумму цифр 8+0+0+…+0+1=9, сумма цифр делится на 9, значит и само число делится на 9

2. Делится ли на 81 число, записанное 81 единицей?

РЕШЕНИЕ:

3. При делении на 2 число дает в остатке 1, а при делении на 3 - остаток 2. Какой остаток дает число при делении на 6?

РЕШЕНИЕ:

4. Цифры трехзначного числа записали в обратном порядке и из большего вычли меньшее. Докажите, что разность делится на 9 и на 11.

РЕШЕНИЕ:

5. Выписали подряд все цифры от 1 до 9 включительно, а затем от 9 до 1. Будет ли полученное число делиться на 9?

РЕШЕНИЕ:

6. Выписали подряд натуральные числа, начиная с 1 и заканчивая числом 11. будет ли полученное число кратно 9?

РЕШЕНИЕ:

7. К числу 43 припишите справа и слева по одной цифре так, чтобы полученное число делилось на 45.

РЕШЕНИЕ:

8. Какие из данных чисел 384123, 108675, 138963, 903150 делятся на: 3; на 4; на 9; на 25?

РЕШЕНИЕ:

9. Сократите дробь:

РЕШЕНИЕ:

10. Вместо звёздочек поставьте некоторые числа так, чтобы число 5*4* делилось на 9 и на 4. Найдите все возможные решения.

РЕШЕНИЕ:

11. Какие из данных чисел 7194, 18456, 36735, 17214, 781120 делятся: на 6; на 15; на 12?

РЕШЕНИЕ:

Заключение

В данной работе мной рассмотрено понятие делимости чисел, некоторых его свойств, признаков делимости и задачи, решение которых связано с ними.

При написании данной творческой работы я изучил большое количество дополнительной научной литературы по теме «Признаки делимости», расширил и углубил свои знания по данному вопросу, овладел простейшими и более сложными признаками делимости чисел.

Рассмотрев различные признаки делимости чисел, я убедился, что знание этих признаков существенно поможет при вынесении общего множителя за скобки, упрощении выражений, сокращении дробей, а так же значительно сэкономит время в получении ответа на вопрос, об определении делимости числа, не прибегая к самому действию деления.

Работа имеет практическое применение. Ее могут использовать учителя, как при проведении уроков по математике, так и на факультативных курсах и дополнительных занятиях на повторение. Данная работа будет полезна и для учащихся при самостоятельной подготовке к экзаменам по математике и для учеников, целью которых стали высокие места на олимпиадах.

Приложение. Таблица «Признаки делимости чисел»

на 2	На 2 делятся те, и только те натуральные числа, запись которых оканчивается на четные цифры (0,2,4, 6,8)
на 3	На 3 делятся те, и только те натуральные числа, сумма цифр которых делится на 3
на 4	На 4 делятся те, и только те натуральные числа, в записи которых последние две цифры образуют число, делящееся на 4
на 5	На 5 делятся те, и только те натуральные числа, запись которых оканчивается на 0 или на 5.
на 6	На 6 делятся те, и только те натуральные числа, которые оканчиваются чётной цифрой, и сумма цифр делится на 3
на 8	На 8 делятся те, и только те натуральные числа, в записи которых три последние цифры образуют число, делящееся на 8
на 9	На 9 делятся те, и только те натуральные числа, сумма цифр которых делится на 9
на 10	На 10 делятся те, и только те натуральные числа, запись которых оканчивается на 0
на 11	На 11 делится то число, когда разность между суммой цифр, стоящих на чётных местах, и суммой цифр, стоящих на нечётных местах, делится на 11.
на 12	На 12 делятся те, и только те натуральные числа, в записи которых две последние цифры образуют число, делящееся на 4 и сумма цифр числа делится на 3.
на 13	Число делится на 13 тогда и только тогда, когда результат вычитания последней цифры умноженной на 9 из этого числа без последней цифры делится на 13.
на 15	На 15 делятся те, и только те натуральные числа, запись которых оканчивается на 0 или на 5 и сумма цифр делится на 3
на 25.	Для того чтобы натуральное число содержащее не менее трёх цифр, делилось на 25 необходимо и достаточно, чтобы делилось на 25 число, образованное двумя последними

Список литературы

1. Виленкин Н.Я. и др. Математика. 6 класс: учебник для общеобразовательных учреждений. - М.: Мнемозина, 2008.

2. Воробьев Н.Н. Признаки делимости.- 4-е изд., испр.- М.: Наука, 2008.

3. Депман И.Я., Виленкин Н.Я. За страницами учебника математики. - М.: Просвещение, 2006.

4. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. Алгебра: дополнительные главы к школьному учебнику 8 класс. Учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики. - М.: Просвещение, 2007.

5. Никольский С.М. Арифметика 5 класс: учебник для общеобразовательных школ. - М.: издат. отдел УНЦ ДО МГУ, 2003.

6. Фридман Л.М. Изучаем математику. Кн. для учащихся 5-6 кл. - М.: Просвещение, 2005.

Размещено на Allbest.ru

...