Типовые расчеты вероятности случайных процессов и событий

Размещено на http://www.Allbest.Ru/

Министерство образования Республики Беларусь

Учреждение образования «Белорусский государственный университет информатики и радиоэлектроники»

Контрольная работа

по дисциплине:

«Теория вероятностей и математическая статистика»

Тема:

Типовые расчеты вероятности случайных процессов и событий

Выполнил: Аксенчик А.В.

Минск 2021



Задача 1

Телефонный номер состоит из шести цифр, каждая из которых равновозможно принимает значения от 0 до 9. Вычислить вероятность того, что все цифры в номере четные.

Решение. Пусть событие А состоит в том, что все цифры в номере четные. Так как номер шестизначный, а цифр всего 10, то общее число исходов опыта:

Так как четных цифр 5, то число благоприятных исходов опыта:

Вероятность события А определяем по классической формуле определения вероятности:

Ответ: p(A) = 0,015625

Задача 2

Дана схема соединения элементов (рис. 1), образующих цепь с одним входом и одним выходом. Предполагается, что отказы элементов являются независимыми в совокупности событиями. Отказ любого из элементов приводит к прерыванию сигнала в той ветви цепи, где находится данный элемент. Вероятность отказа элементов 1, 2, 3, 4, 5, 6 соответственно равны q1 = 0,1; q2 = 0,2; q3 = 0,3; q4 = 0,4; q5 = 0,5; q6 = 0,6. Найти вероятность того, что сигнал пройдет со входа на выход.



Рис. 1

Решение. Пусть событие А₁ состоит в том, что работает элемент 1, событие А₂ - элемент 2, событие А₃ - элемент 3, событие А₄ - элемент 4. Вероятности этих событий запишутся как р(А₁) = р₁, р(А₂) = р₂, р(А₃) = р₃, р(А₄) = р₄. Вероятностями появления противоположных событий являются соответственно q₁, q₂, q₃, q₄. Анализируя заданную цепь, видим, что все элементы соединены параллельно. Событие А состоит в том, что сигнал пройдет со входа на выход. Оно произойдет тогда, когда будет работать любой из элементов и не произойдет лишь в том случае, если одновременно откажут все элементы.

Событие А можно описать следующим образом:

А = А₁+А₂+А₃+А₄.

Вероятность события А найдем по формуле:

р(А) = р(А₁+А₂+А₃+А₄) = 1 - р(В₁·В ₂·В ₃·В ₄) = 1 - q₁·q₂·q₃·q₄ =

= 1 -0,1·0,2·0,3·0,4 = = 0,9976.

Ответ: р(А) = 0,9976

Задача 3

Приборы одного наименования изготавливаются на трех заводах. Первый завод поставляет 45% всех изделий, поступающих на производство, второй - 30% и третий - 25%. Вероятность безотказной работы прибора, изготовленного на первом заводе, равна 0,8, на втором - 0,85 и на третьем - 0,9. Определить вероятность того, что прибор, поступивший на производство, исправен.

Решение. Пусть событие А состоит в том, что прибор исправен. Выдвинем гипотезы: Н₁ - поступивший на производство прибор изготовлен на первом заводе, Н₂ - на втором, Н₃ - на третьем. Вероятности этих гипотез: р(Н₁) = 0,45, р(Н₂) = 0,3, р(Н₃) = 0,25. Гипотезы составляют полную группу: Определим условные вероятности события А при каждой гипотезе:

р(А¦Н₁) = 0,8,

р(А¦Н₂) = 0,85,

р(А¦Н₃) = 0,9.

Полную вероятность события А определим по формуле:

Ответ: р(А) = 0,84.

Задача 4

Вероятность появления события С в каждом из 10 независимых опытов равна 0,2. Определить вероятность появления события С хотя бы восемь раз.

Решение. Вероятность того, что при n = 10 независимых опытах событие С появится не менее (хотя бы) m = 8 раз, вычисляется по формуле:



Выбираем более короткий ряд и подставим свои значения:

Ответ: р(А) = 7,8·10^-5

Задача 5

Дискретная случайная величина Х может принимать одно из пяти фиксированных значений х₁ = 0, х₂ = 1, х₃ = 2, х₄ = 3, х₅ = 4 с вероятностями р₁ = 0,3, р₂ = 0,2, р₃ = 0,1, р₄ = 0,2, р₅ = 0,2 соответственно. Вычислить математическое ожидание и дисперсию величины Х. Рассчитать и построить график функции распределения.

Решение. Представим ряд распределения в виде таблицы:

Таблица 1

xi	0	1	2	3	4
pi	0,3	0,2	0,1	0,2	0,2

1) Вычислим математическое ожидание дискретной случайной величины Х:

2) Определим дисперсию:

3) Рассчитаем значения функции распределения для фиксированных значений Х = х_i, взятых из ряда распределения по формуле:

Построим график функции:



Рис. 2

Задача 6

Случайная величина Х задана плотностью вероятности

Определить константу С, математическое ожидание, дисперсию, функцию распределения величины Х, а также вероятность ее попадания в интервал [б,в].

ц(х,с) = с·cos(x); a = -р/2; b = р/2; б = 0; в = 1.

Решение.

1) Определим значение константы С из условия нормировки:



Плотность вероятности примет вид:

2) Определим математическое ожидание случайной величины Х:

3) Определим дисперсию случайной величины Х:

4) Определим функцию распределения случайной величины Х:

Для x < -р/2:

для -р/2 ? x ? р/2:

для x > р/2:

5) Определим вероятность попадания величины Х в интервал [0;1]:

Ответ: С = 1/2; m_x = 0; D_x ? 0,467; P(0 ? x ? 1) ? 0,42.=

Задача 7

Случайная величина Х распределена равномерно на интервале [a, b]. Построить график случайной величины Y = ц(X) и определить плотность вероятности g(y).

ц(X) = |x⁵|; a = -2; b = 1.

Решение. Построим график случайной величины Y = |x⁵| для x в интервале [- 2; 1]

Рис. 3

Определим диапазон значений Y:

Найдем обратные функции:

В интервале [0; 1] существует две обратные функции:

Модули их производных:

В интервале (1; 32] существует одна обратная функция:

В интервалах [-?; 0] и [32; +?] обратных функций не существует.

В интервале [-2; 1] X распределена равномерно, и ее плотность вероятности равна:

Найдем плотность вероятности величины Y:

Задача 8

Двухмерный случайный вектор (X, Y) равномерно распределен внутри области B, выделенной жирными прямыми линиями на рис. 4. Двухмерная плотность вероятности f(x, y) одинакова для любой точки этой области:

Вычислить коэффициент корреляции между величинами X и Y.

вероятность ожидание событие дисперсия распределение



Рис. 4

x₁ = 0; x₂ = 0; x₃ = 4; x₄ = 4; x₅ = 2; x₆ = 2; y₁ = 1; y₂ = 2.

Решение. Построим область В по данным варианта 10 и согласно рис. 4.

Рис. 5

Запишем в аналитической форме совместную плотность вероятности:



Определим с, используя условие нормировки:

Вычислим математические ожидания и дисперсии X и Y:

Вычислим корреляционный момент по формуле:

Коэффициент корреляции величин X и Y будет равен:

Ответ: R_XY = 0,364.

Задача 9

Вычислить математическое ожидание и дисперсию величин U и V, а также определить их коэффициент корреляции R_UV:

U = a₀ + a₁ X₁ + a₂ X₂ ; V = b₀ + b₁ X₂ + b₂ X₃ .

a₀ = 0; b₀ = - 8; m₁ = 0; D₁ = 4; K₁₂ = 5;

a₁ = 8; b₁ = - 6; m₂ = 4; D₂ = 25; K₂₃ = 2,5;

a₂ = 6; b₂ = - 4; m₃ = 1; D₃ = 1; K₁₃ = 1.

Решение. Вычислим математические ожидания U и V:

m_U = a₀ + a₁m₁ + a₂m₂ = 0 + 8·0 + 6·4 = 24;

m_V = b₀ + b₁m₂ + b₂m₃ = - 8 + (- 6)·4 + (- 4)·1 = - 36.

Вычислим дисперсии:

D_U = a₁²D₁ + a₂²D₂ + 2a₁a₂K₁₂ = 8²·4 +6²·25 + 2·8·6·5 = 1636;

D_V = b₁²D₂ + b₂²D₃ + 2b₁b₂K₂₃ =

= (- 6)²·25 + (- 4)²·1 + 2·(- 6)·(- 4)·2,5 = 1036.

Рассчитаем корреляционный момент K_UV по формуле:

K_UV = M[UV] - m_U m_V.

Для этого определяем математическое ожидание произведения величин U и V:

M[UV] = M[(8X₁ + 6X₂)(-8 - 6X₂ - 4X₃)] =

= - 64X₁ - 48X₁ X₂ - 32X₁ X₃ - 48X₂ - 36X₂² - 24X₂ X₃ =

= -64m₁ -48(m₁m₂ + K₁₂) -32(m₁m₃ + K₁₃) -48m₂ -36(m₂² + D₂) -24(m₂m₃

+ K₂₃) = -64·0 - 48(0·4 + 5) - 32(0·1 + 1) - 48·4 - 36(4² + 25) - 24(4·1 +

+ 2,5) = - 2096.

K_UV = M[UV] - m_U m_V = - 2096 - 24·(-36) = -1232.

Теперь можем определить коэффициент корреляции:

Ответ: m_U = 24; m_V = - 36; D_U = 1636; D_V = 1036; R_UV = - 0,946.

Задача 10

По выборке одномерной случайной величины:

- получить вариационный ряд;

- построить график эмпирической функции распределения F^*(x);

- построить гистограмму равноинтервальным способом;

- построить гистограмму равновероятностным способом;

- вычислить точечные оценки математического ожидания и дисперсии;

- вычислить интервальные оценки математического ожидания и дисперсии (г = 0,95);

- выдвинуть гипотезу о законе распределения случайной величины и проверить ее при помощи критерия согласия ² и критерия Колмогорова (б = 0,05).

График гипотетической функции распределения F₀(x) построить совместно с графиком F^*(x) в той же системе координат и на том же листе.

Одномерная выборка №10:

2,15; 2,40; 0,74; 2,18; 0,14; 1,18; 2,03; 6,04; 0,07; 3,94; 0,94; 0,19; 1,34;

1,67; 2,68; 1,15; 0,87; 1,60; 0,43; 0,10; 0,58; 0,37; 1,66; 1,65; 2,17; 0,63;

1,24; 6,44; 0,50; 2,34; 0,71; 0,73; 6,42; 0,58; 1,77; 0,61; 3,76; 1,22; 0,83;

0,36; 1,61; 0,33; 2,82; 0,01; 7,50; 1,24; 0,42; 0,60; 1,81; 1,87; 0,91; 2,39;

2,12; 1,47; 1,72; 2,27; 0,98; 0,25; 0,44; 3,14; 0,89; 2,28; 0,44; 2,29; 0,34;

0,64; 0,35; 0,67; 0,13; 0,55; 0,36; 0,07; 1,52; 0,31; 0,41; 4,13; 1,29; 0,50;

0,86; 0,30; 0,19; 2,14; 2,05; 1,15; 0,30; 2,03; 0,15; 0,28; 3,32; 0,01; 5,50;

0,16; 0,35; 0,70; 0,34; 3,31; 2,12; 4,55; 0,28; 0,72.

Решение. Вариационный ряд получаем, расположив элементы выборки по возрастанию.

0,01; 0,01; 0,07; 0,07; 0,10; 0,13; 0,14; 0,15; 0,16; 0,19; 0,19; 0,25; 0,28;

0,28; 0,30; 0,30; 0,31; 0,33; 0,34; 0,34; 0,35; 0,35; 0,36; 0,36; 0,37; 0,41;

0,42; 0,43; 0,44; 0,44; 0,50; 0,50; 0,55; 0,58; 0,58; 0,60; 0,61; 0,63; 0,64;

0,67; 0,70; 0,71; 0,72; 0,73; 0,74; 0,83; 0,86; 0,87; 0,89; 0,91; 0,94; 0,98;

1,15; 1,15; 1,18; 1,22; 1,24; 1,24; 1,29; 1,34; 1,47; 1,52; 1,60; 1,61; 1,65;

1,66; 1,67; 1,72; 1,77; 1,81; 1,87; 2,03; 2,03; 2,05; 2,12; 2,12; 2,14; 2,15;

2,17; 2,18; 2,27; 2,28; 2,29; 2,34; 2,39; 2,40; 2,68; 2,82; 3,14; 3,31; 3,32;

3,76; 3,94; 4,13; 4,55; 5,50; 6,04; 6,42; 6,44; 7,50.

Эмпирическая функция распределения случайной величины X равна частоте того, что X примет значение меньшее, чем аргумент функции x, и определяется формулой:

Так как F^*(x) является неубывающей функцией, и все ступеньки графика F^*(x) имеют одинаковую величину 1/n (или кратны ей для одинаковых значений), строим график непосредственно по вариационному ряду начиная с его первого значения.

Рис. 6

Количество интервалов М, необходимое для построения гистограмм, определим по объему выборки:

Для равноинтервальной гистограммы величины h_j, A_j, B_j рассчитаем по формуле и заполним все колонки интервального статистического ряда (табл. 2)

Таблица 2

j	Aj	Bj	hj	vj	pj*	fj*
1	0,01	0,759	0,749	44	0,44	0,5874
2	0,759	1,508	0,749	16	0,16	0,2136
3	1,508	2,257	0,749	19	0,19	0,2537
4	2,257	3,006	0,749	8	0,08	0,1068
5	3,006	3,755	0,749	3	0,03	0,0401
6	3,755	4,504	0,749	3	0,03	0,0401
7	4,504	5,253	0,749	1	0,01	0,0134
8	5,253	6,002	0,749	1	0,01	0,0134
9	6,002	6,751	0,749	3	0,03	0,0401
10	6,751	7,5	0,749	1	0,01	0,0134

Равноинтервальная гистограмма представлена на рис. 7.

Рис. 7

Для равновероятностной гистограммы величины v_j, p^*_j, A_j, B_j рассчитаем по формуле

и заполним все колонки интервального статистического ряда (табл. 3).

Таблица 3

j	Aj	Bj	hj	vj	pj*	fj*
1	0,01	0,19	0,18	10	0,1	0,5556
2	0,19	0,345	0,155	10	0,1	0,6452
3	0,345	0,47	0,125	10	0,1	0,8
4	0,47	0,685	0,215	10	0,1	0,4651
5	0,685	0,925	0,24	10	0,1	0,4167
6	0,925	1,405	0,48	10	0,1	0,2083
7	1,405	1,84	0,435	10	0,1	0,2299
8	1,84	2,225	0,385	10	0,1	0,2597
9	2,225	3,315	1,09	10	0,1	0,0917
10	3,315	7,5	4,185	10	0,1	0,0239

Равновероятностная гистограмма представлена на рис. 8.

Рис. 8

Вычислим точечную оценку математического ожидания:

Вычислим точечную оценку дисперсии:

Построим доверительный интервал для математического ожидания с надежностью г = 0,95 по формуле

Для этого в таблице функции Лапласа [1, стр. 61] найдем значение, равное г/2 = 0,475, и определим значение аргумента, ему соответствующее: z_0,95 = argЦ(0,475) = = 1,96. Затем вычислим и получим доверительный интервал для математического ожидания:

I_0,95(m_X) = [1,184; 1,782].

Построим доверительный интервал для дисперсии с надежностью г = 0,95 по формуле

Вычислим и получим доверительный интервал для дисперсии:

I_0,95(D_X) = [1,675; 2,969].

По виду графика эмпирической функции распределения и гистограмм выдвинем двухальтернативную гипотезу о законе распределения случайной величины:

H₀ - величина X распределена по экспотенциальному закону

H₁ - величина X не распределена по экспотенциальному закону



f(x) ? f₀(x); F(x) ? F₀(x).

Таким образом получаем полностью определенную гипотетическую функцию распределения:

Проверим гипотезу об экспотенциальном законе по критерию Пирсона ². Вычислим значение критерия ² на основе равноинтервального статистического ряда:

Теоретические вероятности попадания в интервалы вычислим по формуле:

Результаты расчета представлены в табл. 4.

Таблица 4

j	Aj	Bj	F0(Aj)	F0(Bj)	pj	pj*
1	0	0,759	0	0,40120611	0,40120611	0,44	0,0037511
2	0,759	1,508	0,40120611	0,63901502	0,2378089	0,16	0,02545836
3	1,508	2,257	0,63901502	0,78237894	0,14336393	0,19	0,01517065
4	2,257	3,006	0,78237894	0,86880639	0,08642744	0,08	0,000478
5	3,006	3,755	0,86880639	0,92090947	0,05210309	0,03	0,00937653
6	3,755	4,504	0,92090947	0,95232	0,03141053	0,03	6,3341·10-5
7	4,504	5,253	0,95232	0,97125595	0,01893595	0,01	0,00421691
8	5,253	6,002	0,97125595	0,98267155	0,0114156	0,01	0,00017554
9	6,002	6,751	0,98267155	0,98955348	0,00688193	0,03	0,07765911
10	6,751	+?	0,98955348	1	0,01044652	0,01	1,9086·10-5
	Сумма:	1	0,99	0,13636863

Проверяем выполнение контрольного соотношения для p_j:

В результате получаем ² = 100·0,13636863 = 13,64.

Вычислим число степеней свободы по формуле k = M - 1 - s = 10 - 1 - 1 = 8.

Выбираем критическое значение критерия Пирсона из таблицы [1, стр. 63] для степени свободы k = 8 и уровня значимости б = 0,05: ²_0,05;8 = 15,51.

Так как ² = 13,64 < ²_0,05;8 = 15,51, то гипотеза H₀ об экспотенциальном законе распределения принимается (нет основания ее отклонить).

Проверим гипотезу об экспотенциальном законе с помощью критерия Колмогорова. Для этого построим график F₀(x) в одной системе координат с графиком эмпирической функции распределения F^*(x) (рис. 6). В качестве опорных точек для графика F₀(x) используем 10 значений F₀(A_j) из табл. 4.

По графику определим максимальное по модулю отклонение между функциями F^*(x) и F₀(x):

Вычислим значение критерия Колмогорова по формуле:

Из таблицы Колмогорова [1, стр. 64] по заданному уровню значимости б = 0,05 выбираем критическое значение л_г = л_1-б = л_0,95 = 1,36.

Так как л = 0,5 ? л_0,95 = 1,36, то гипотезу H₀ об экспотенциальном законе распределения отвергать нет основания.

Задача 11

По выборке двумерной случайной величины:

- вычислить точечную оценку коэффициента корреляции;

- вычислить интервальную оценку коэффициента корреляции (г = 0,95);

- проверить гипотезу об отсутствии корреляционной зависимости;

- вычислить оценки параметров a₀ и a₁ линии регрессии ;

- построить диаграмму рассеивания и линию регрессии.

Двумерная выборка №10:

(1,57; -1,30) (-5,49; -5,47) (-1,75; -1,37) (-9,50; -10,72) (-5,45; -7,07) (-

4,60; -8,39) (-7,22; -8,72) (3,13; -3,25) (-9,89; -8,92) (-3,19; -5,51) (-4,41; -

4,48) (-3,07; -5,85) (-4,50; -5,92) (-8,31; -7,17) (-2,90; -4,37) (-2,50; -1,89)

(-1,24; -4,82) (-3,13; -4,21) (-3,83; -2,09) (-4,52; -5,77) (-5,13; -4,16) (-0,77;

-3,01) (2,44; -4,07) (-1,06; -5,75) (-7,57; -11,34) (-1,56; -2,70) (-8,39; -

10,94) (-2,76; -4,96) (-7,83; -4,58) (-8,54; -9,88) (-2,74; -4,05) (-5,47; -

10,73) (0,42; -2,87) (-5,63; -4,92) (-7,38; -5,65) (-1,05; -2,68) (-12,44; -9,21)

(1,55; 1,94) (-6,45; -8,58) (-9,16; -11,01) (-2,81; -1,81) (0,48; -0,28) (-1,13; -

3,44) (-1,76; -2,84) (-3,50; -3,88) (0,52; -3,21) (-0,54; -1,94) (-7,05; -7,41) (-

1,68; -3,85) (-4,48; -6,36)

Решение. Для удобства данные промежуточных вычислений приведены в табл. 5.

Вычислим оценки математических ожиданий по каждой переменной:

Вычислим оценки начальных моментов второго порядка по каждой переменной:

Вычислим смешанный начальный момент второго порядка:

Таблица 5

	x	y	x2	y2	x·y
1	1,57	-1,3	2,4649	1,69	-2,041
2	-5,49	-5,47	30,1401	29,9209	30,0303
3	-1,75	-1,37	3,0625	1,8769	2,3975
4	-9,5	-10,72	90,25	114,9184	101,84
5	-5,45	-7,07	29,7025	49,9849	38,5315
6	-4,6	-8,39	21,16	70,3921	38,594
7	-7,22	-8,72	52,1284	76,0384	62,9584
8	3,13	-3,25	9,7969	10,5625	-10,1725
9	-9,89	-8,92	97,8121	79,5664	88,2188
10	-3,19	-5,51	10,1761	30,3601	17,5769
11	-4,41	-4,48	19,4481	20,0704	19,7568
12	-3,07	-5,85	9,4249	34,2225	17,9595
13	-4,5	-5,92	20,25	35,0464	26,64
14	-8,31	-7,17	69,0561	51,4089	59,5827
15	-2,9	-4,37	8,41	19,0969	12,673
16	-2,5	-1,87	6,25	3,4969	4,675
17	-1,24	-4,82	1,5376	23,2324	5,9768
18	-3,13	-4,21	9,7969	17,7241	13,1773
19	-3,83	-2,09	14,6689	4,3681	8,0047
20	-4,52	-5,77	20,4304	33,2929	26,0804
21	-5,13	-4,16	26,3169	17,3056	21,3408
22	-0,77	-3,01	0,5929	9,0601	2,3177
23	2,44	-4,07	5,9536	16,5649	-9,9308
24	-1,06	-5,75	1,1236	33,0625	6,095
25	-7,57	-11,34	57,3049	128,5956	85,8438
26	-1,56	-2,7	2,4336	7,29	4,212
27	-8,39	-10,94	70,3921	119,6836	91,7866
28	-2,76	-4,96	7,6176	24,6016	13,6896
29	-7,83	-4,58	61,3089	20,9764	35,8614
30	-8,54	-9,88	72,9316	97,6144	84,3752
31	-2,74	-4,05	7,5076	16,4025	11,097
32	-5,47	-10,73	29,9209	115,1329	58,6931
33	0,42	-2,87	0,1764	8,2369	-1,2054
34	-5,63	-4,92	31,6969	24,2064	27,6996
35	-7,38	-5,65	54,4644	31,9225	41,697
36	-1,05	-2,68	1,1025	7,1824	2,814
37	-12,44	-9,21	154,7536	84,8241	114,5724
38	1,55	1,94	2,4025	3,7636	3,007
39	-6,45	-8,58	41,6025	73,6164	55,341
40	-9,16	-11,01	83,9056	121,2201	100,8516
41	-2,81	-1,81	7,8961	3,2761	5,0861
42	0,48	-0,28	0,2304	0,0784	-0,1344
43	-1,13	-3,44	1,2769	11,8336	3,8872
44	-1,76	-2,84	3,0976	8,0656	4,9984
45	-3,5	-3,88	12,25	15,0544	13,58
46	0,52	-3,21	0,2704	10,3041	-1,6692
47	-0,54	-1,94	0,2916	3,7636	1,0476
48	-7,05	-7,41	49,7025	54,9081	52,2405
49	-1,68	-3,85	2,8224	14,8225	6,468
50	-4,48	-6,36	20,0704	40,4496	28,4928
Средние	-3,8454	-5,2288	26,74767	36,62177	28,53231



На основании этих данных вычисляем оценки дисперсий и оценку корреляционного момента:

Вычислим точечную оценку коэффициента корреляции:

Вычислим интервальную оценку коэффициента корреляции с надежностью г = 0,95. По таблице функции Лапласа [1, стр. 61]:

z_0,95 = argЦ(0,475) = 1,96.

Вычислим вспомогательные значения a, b:

Найдем доверительный интервал для коэффициента корреляции:



Проверим гипотезу об отсутствии корреляционной зависимости:

H₀: R_XY = 0;

H₁: R_XY ? 0.

Так как объем выборки велик (n ? 50), то значение критерия вычислим по формуле:

Значение Z_б определим из таблицы функции Лапласа [1, стр. 61]:

Так как Z > Z_б, то гипотеза H₀ отклоняется, и следовательно, величины X, Y коррелированы.

Вычислим оценки параметров a₀^* и a₁^* линии регрессии по формулам:

Уравнение регрессии имеет вид:

Построим диаграмму рассеивания, изобразив значения исходной двумерной выборки в виде точек с координатами (x_i; y_i) на плоскости в декартовой системе координат и линию регрессии (рис. 9).

Рис. 9



Литература

1. А.И. Волковец, А.Б. Гуринович, А.В. Аксенчик. Теория вероятностей и математическая статистика: метод. указания по типовому расчету. - Минск БГУИР, 2009. - 65 с.: ил.

2. А.И. Волковец, А.Б. Гуринович. Теория вероятностей и математическая статистика: Конспект лекций для студ. всех спец. и форм обучения. - Минск БГУИР, 2003. - 84 л.

Размещено на Allbest.Ru

...