Размещено на http://allbest.ru

Навоийский Государственный Горный Институт

Химико-металлургический факультет

Кафедра 'Металлургия'

САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА

По предмету: Высшая математика

Выполнил:

Юсупов Р.И.

Проверил:

Рахматов С.Х.

2021 год



План:

Введение

1. Комплекснозначная функция

2. Функция комплексного переменного

3. Основные примеры уравнений математической физики

4. Элементы теории вероятности

5. Математическая статистика



Введение

Термин комплексная функция может относиться к двум видам функций:

1. Комплекснозначная функция

Комплекснозначная функция -- функция вещественного переменного, имеющая комплексные значения:

.

Такая функция может быть представлена в виде

,

где и -- вещественные функции. Функция называется вещественной частью функции , а -- её мнимой частью.

2. Функция комплексного переменного

Это понятие -- обобщение предыдущего варианта:

.

Такими функциями занимается отдельная область математического анализа -- теория функций комплексного переменного, или комплексный анализ.

Функция также может быть представлена в виде

,

однако имеется более глубокая связь между u и v.

Например, для того, чтобы функция f(z) была дифференцируема, должны выполняться условия Коши -- Римана:

;

.

Уравнения математической физики, дифференциальные уравнения с частными производными, а также некоторые родственные уравнения иных типов (интегральные, интегро-дифференциальные и т.д.), к которым приводит математический анализ физических явлений.

Для теории У. м. ф. характерна постановка задач в таком виде, как это необходимо при исследовании физического явления. Круг У. м. ф. с расширением области применения математического анализа также неуклонно расширяется.

При систематизации полученных результатов появляется необходимость включить в теорию У. м. ф. уравнения и задачи более общего вида, чем те, которые появляются при анализе конкретных явлений; однако и для таких уравнений и задач характерно то, что их свойства допускают более или менее наглядное физическое истолкование

Классификация уравнений математической физики. Значительная часть У. м. ф. составляют линейные уравнения с частными производными 2-го порядка общего вида:

, (1)

где все коэффициенты aij (aij = aij), bi, с и правая часть f представляют собой заданные функции независимых переменных x1, x2,..., хп (n і 2), а u - искомая функция тех же аргументов.

Свойства решений уравнения (1) существенно зависят от знаков корней (алгебраического относительно l) уравнения

= 0, (2)

и поэтому классификация уравнений (1) проводится в соответствии с этими знаками.

Если все n корней уравнения (2) имеют одинаковый знак, то говорят, что уравнение (1) принадлежит к эллиптическому типу; если один из корней имеет знак, противоположный знаку остальных n - 1 корней, - к гиперболическому типу; наконец, если уравнение (2) имеет один нулевой корень, а прочие корни одинакового знака, - к параболическому типу.

Если коэффициенты aij постоянны, то уравнение (1) принадлежит к определенному типу независимо от значений аргументов; если же эти коэффициенты зависят от x1,..., хп, то и корни уравнения (2) зависят от x1,..., хп, а потому уравнение (1) может принадлежать к разным типам при различных значениях аргументов.

В последнем случае (уравнение смешанного типа) изучаемая область изменения аргументов состоит из зон, в которых тип уравнения (1) сохраняется.

Если корень уравнения (2), переходя от положительных значений к отрицательным, обращается в нуль, то между зонами эллиптичности и гиперболичности расположены зоны параболичности (надо отметить, что и в ряде др. отношений параболического уравнения занимают промежуточное положение между эллиптическими и гиперболическими).

Для линейных уравнений с частными производными выше 2-го порядка и для систем уравнений с несколькими искомыми функциями классификация более сложна.

Основные примеры уравнений математической физики.

Волновое уравнение:

- простейшее уравнение гиперболического типа, а также соответствующие неоднородные уравнения (в правой части которых добавлены известные функции) - телеграфное уравнение и т.д.

Уравнения и системы этого типа появляются при анализе различных колебаний и волновых процессов.

Свойства уравнений и систем гиперболического типа во многом аналогичны свойствам приведённых простейших таких уравнений.

Лапласа уравнение:

- простейшее уравнение эллиптического типа и соответствующее неоднородное уравнение - Пуассона уравнение.

Уравнения и системы эллиптического типа появляются обычно при анализе стационарных состояний.

Теплопроводности уравнение:

- простейший пример уравнения параболического типа.

Уравнения и системы параболического типа появляются обычно при анализе процессов выравнивания.

Первым примером уравнений смешанного типа явилось т. н. уравнение Трикоми:

Для этого уравнения полуплоскость служит зоной эллиптичности, полуплоскость у < 0 - зоной гиперболичности, а прямая у = 0 - зоной параболичности.

Ряд задач математической физики приводит к интегральным уравнениям различных типов. Так, например, интегральные уравнения Вольтерра возникают в тех задачах физики, в которых существует предпочтительное направление изменения независимого переменного (например, времени, энергии и т.д.).

В задаче о крутильных колебаниях возникает некоторое интегро-дифференциальное уравнение.

Постановка задач и методы решения уравнений математической физики. На первом этапе развития теории У. м. ф. много усилий было затрачено на отыскание их общего решения. Уже Ж. Д'Аламбер (1747) получил общее решение волнового уравнения.

Основываясь на подстановках, применявшихся Л. Эйлером (1770), П. Лаплас предложил (1773) «каскадный метод», дающий общее решение некоторых др. линейных однородных гиперболических уравнений 2-го порядка с двумя аргументами.

Однако такое общее решение удалось найти в весьма редких случаях; в отличие от обыкновенных дифференциальных уравнений, для уравнений с частными производными не выделено ни одного сколько-нибудь значительного класса уравнений, для которых общее решение может быть получено в виде достаточно простой формулы.

Кроме того, оказалось что при анализе физических процессов У. м. ф. обычно появляются вместе с дополнительными условиями, характер которых коренным образом влияет на направление исследования решения

Широкое распространение получили методы приближённого решения краевых задач, в которых задача сводится к решению системы алгебраических (обычно линейных) уравнений.

При этом за счёт увеличения числа неизвестных в системе можно достичь любой степени точности приближения.

Формулировка краевой задачи

В математической физике струной называют гибкую упругую нить. Пусть струна в начальный момент времени расположена на отрезке 0?x?l оси

Ox. Предположим, что ее концы закреплены в точках x=0 и x=l. Если струну отклонить от первоначального положения, а потом предоставить самой себе или придать ее точкам некоторую скорость, то точки струны будут совершать движение. Задача заключается в определении формы струны в любой момент времени и в определении закона движения каждой точки струны в зависимости от времени.

Если предположить, что движение точек струны происходит перпендикулярно оси Ox и в одной плоскости, то процесс колебания струны описывается одной функцией u(x,t), которая определяет величину перемещения точки струны с абсциссой x в момент t.

Доказано, что при отсутствии внешней силы функция u(x,t) должна удовлетворять дифференциальному уравнению в частных производных второго порядка

.

Для полного определения движения струны одного уравнения недостаточно. Искомая функция u(x,t) должна удовлетворять граничным условиям, указывающим, что делается на концах струны (при x=0 и x=l), и начальным условиям, описывающим состояние струны в начальный момент (t=0).

Совокупность граничных и начальных условий называется краевыми условиями.

Пусть, например, концы струны при x=0 и x=l неподвижны. Тогда при любом t должны выполняться равенства

u(0,t)=0, u(l, t)=0.

Это - граничные условия для рассматриваемой задачи. В начальный момент t=0 струна имеет определенную форму, которую мы ей придали. Пусть эта форма определяется функцией f(x), т. е.

u(x,0)=f(x).

Далее в начальный момент должна быть задана скорость в каждой точке струны, которая определяется функцией ц(x), т. е.

.

Эти два условия называются начальными условиями.

Колебания бесконечной струны.

Формула Даламбера решения задачи Коши для волнового уравнения

Прежде чем решать задачу о колебаниях закрепленной струны, рассмотрим более простую задачу - о колебаниях бесконечной струны.

Если представить очень длинную струну, то ясно, что на колебания, возникающие в ее средней части, концы струны не будут оказывать заметного влияния.

Рассматривая свободные колебания, мы должны решить однородное уравнение

при начальных условиях

, ,

где функции f(x) и g(x) заданы на всей числовой оси. Такая задача называется задачей с начальными условиями или задачей Коши.

Преобразуем волновое уравнение к каноническому виду, содержащему смешанную производную. Уравнение характеристик

распадается на два уравнения:

dx - adt=0 и dx + adt=0,

интегралами которых служат прямые

x - at=C1, x + at=C2.

Введем новые переменные о=x - at, з=x + at и запишем волновое уравнение для переменных о и з.

Вычисляя производные

, ,

,

,

и подставляя их в исходное уравнение, видим, что уравнение колебания струны в новых координатах будет

.

Размещено на http://allbest.ru

ИнтегрируяРазмещено на http://allbest.ru

полученное равенство по з при фиксированном о, придем к равенству . Интегрируя это равенство по о при фиксированном з, получим

,

где ц и ш являются функциями только переменных о и з соответственно. Следовательно, общим решением исходного уравнения является функция

. (8)

Найдем функции ц и ш так, чтобы удовлетворялись начальные условия:

.

,

.

Интегрируя последнее равенство, получим:

,

где х0 и С - постоянные. Из системы уравнений

Находим

Таким образом, мы определили функции ц и ш через заданные функции f и g, причем полученные равенства должны иметь место для любого значения аргумента.

Подставляя в (8) найденные значения ц и ш, будем иметь

или

.

Найденное решение называется формулой Даламбера решения задачи Коши для волнового уравнения

Пример. Решить уравнение при начальных условиях , .

Используя формулу Даламбера, сразу получаем

.



Решение волнового уравнения методом разделения переменных (метод Фурье)

Метод разделения переменных применяется для решения многих задач математической физики. Пусть требуется найти решение волнового уравнения

, (9)

удовлетворяющее краевым условиям

u(0,t)=0, u(l, t)=0, (10), (11)

u(x,0)=f(x), (12),

. (13)

Частное решение уравнения (9), удовлетворяющее граничным условиям (10) и (11), ищут в виде произведения двух функций:

u(x, t)=X(x)·T(t).

Подставляя функцию u(x,t) в уравнение (9) и преобразовывая его, получим

.

В левой части этого уравнения стоит функция, которая не зависит от x, а в правой - функция, не зависящая от t. Равенство возможно только в том случае, когда левая и правая части не зависят ни от x, ни от t, т. е. равны постоянному числу. Обозначим

, где л>0. (14)

Из этих уравнений получаем два однородных дифференциальных уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

и . (15)

Общее решение этих уравнений

,

,

где A, B, C, D - произвольные постоянные.

Постоянные A и B подбирают так, чтобы выполнялись условия (10) и (11), из которых следует, что X(0)=X(l)=0, так как T(t)?0 (в противном случае u(x,t)=0). Учитывая полученные равенства, находим

А=0 и .

Так как B?0 (иначе, было бы X=0 и u=0, что противоречит условию), то должно выполняться равенство

,

откуда,

.

Найденные значения л называют собственными значениями для данной краевой задачи. Соответствующие им функции X(x) называются собственными функциями.

Заметим, что, если в равенстве (14) вместо - л взять число л (л>0), то первое из уравнений (15) будет иметь решение в виде

.

Отличное от нуля решение в такой форме не может удовлетворять граничным условиям (10) и (11).

Зная , можем записать

.

Для каждого n получаем решение уравнения (9)

.

Так как исходное уравнение (9) линейное и однородное, то сумма решений также является решением, и потому функция

(16)

будет решением дифференциального уравнения (9), удовлетворяющим граничным условиям (10) и (11).

Найденное частное решение должно еще удовлетворять начальным условиям (12) и (13). Из условия (12) получим

.

Далее, дифференцируя члены ряда (16) по переменной t, из условия (13) будем иметь

.

Правые части двух последних равенств есть ряды Фурье для функций f(x) и ц(x), разложенных по синусам на интервале (0, l). Поэтому

. (17)

Итак, ряд (16), для которого коэффициенты Cn и Dn определяются по выписанным формулам, если он допускает двукратное почленное дифференцирование, представляет решение уравнения (9), удовлетворяющее граничным и начальным условиям.

Пример. Найти решение краевой задачи для волнового уравнения

, 0<x<1, 0<t<?,

удовлетворяющее начальным условиям u(x,0)=x(x-1),

и граничным условиям u(0,t)=0, u(1,t)=0.

Так как , то согласно формуле (16) решение заданного уравнения ищем в виде

.

Коэффициенты Cn и Dn найдем по формулам (17). При вычислении интегралов используем формулу интегрирования по частям.

.

Итак, искомое решение уравнения имеет вид

.

Уравнение распространения тепла в стержне

Рассмотрим однородный стержень длины l. Предположим, что боковая поверхность стержня теплонепроницаема и во всех точках поперечного сечения стержня температура одинакова.

Если стержень предоставить самому себе, то заключенное в нем тепло будет протекать от более нагретых мест к менее нагретым, и температура стержня с течением времени станет выравниваться.

На этот процесс будет влиять также режим, который поддерживается на концах стержня. Задача состоит в том, чтобы, зная этот режим и распределение температуры в начальный момент времени t=0, найти это распределение в последующие моменты.

Ось Ox располагают так, что один конец стержня совпадает с точкой x=0, а другой - с точкой x=l. Обозначим через u(x,t) температуру в сечении стержня с абсциссой х в момент времени t.

Функция u(x,t) должна удовлетворять дифференциальному уравнению

.

Это уравнение и называется уравнением распространения тепла (уравнением теплопроводности) в однородном стержне.:

Чтобы решение уравнения было определенно, функция u(x,t) должна удовлетворять краевым условиям, соответствующим физическим условиям задачи. Так называемая первая краевая задача для 0?t<?, 0<x<l заключается в следующем

u(x,0)=ц(x), u(0,t)=ш1(t), u(l,t)=ш2(t). (18), (19), (20)

Начальное условие (18) соответствует тому, что при t=0 в различных сечениях стержня задана температура, равная ц(x). Граничные условия (19) и (20) соответствуют тому, что на концах стержня при x=0 и x=l поддерживается температура, равная ш1(t) и ш2(t) соответственно.



Решения уравнения теплопроводности

Пусть в начальный момент времени задана температура в различных сечениях стержня. Концы стержня погружены в тающий лед, т. е. в них поддерживается постоянная температура равная нулю.

Требуется определить распределение температуры в стержне в последующие моменты времени. Таким образом, нужно найти решение дифференциального уравнения

,

удовлетворяющее краевым условиям

u(x,0)=ц(x), u(0,t)=u(l,t)=0.

Применяя к решению поставленной задачи метод разделения переменных можно получить решение уравнения, удовлетворяющее граничным условиям, в виде

. (21)

Коэффициенты Аn выбираются так, чтобы удовлетворялось начальное условие, согласно которому будем иметь

.

Заметим, что из равенства (21) следует, что при t>+? функция u(x,t)>0. Физический смысл этого соотношения ясен: с течением времени в стержне установится температура льда, в который погружены его концы.

Если стержень очень длинный, то на процессы, протекающие в его средней части, главное влияние оказывает начальное распределение температуры. В задачах такого типа стержень считается бесконечным.

Краевые условия при этом не учитываются, и на искомую функцию u(x,t) накладывают только начальное условие

u(x,0)=ц(x), (22)

где функция ц(x) определена на всей числовой оси. Задача решения уравнения теплопроводности при условии (22) называется задачей Коши.

Метод разделения переменных позволяет найти решение уравнения в следующем виде

.

Функции А(л) и В(л) выбирают так, чтобы выписанное решение удовлетворяло начальному условию (22). Полагая в последнем равенстве t=0, получим

.

Сравнивая интеграл в правой части равенства с интегралом Фурье для функции ц(x):

,

видим, что

,

.

Подставляя найденные выражения А(л) и В(л) в функцию u(x,t) и преобразовывая ее, окончательно получим

.

Элементы теории вероятности. Математическая статистика

Основные понятия и определения

Специфика технологии в приборостроении такова, что одни и те же механические, радиоэлектронные части могут применяться в производстве изделий нс только одной, но и других серий.

Поэтому эти части разрабатываются и выпускаются унифицированно, то есть не в расчете на какое-нибудь конкретное изделие; остальное зависит уже от конструктора, конструкторского коллектива, от каждого специалиста, принимавшего участие в проектировании создаваемых на основе этих частей изделий.

Какой узел (серийный) и в каких целях использовать -- этот вопрос решается еще в процессе проектирования изделий.

Потому фактор взаимозаменяемости имеет чрезвычайно важное значение.

Но взаимозаменяемость предполагает наличие определенных границ допуска параметров в изготовлении прибора: длина, высота, радиус, угол и т. п.

Для наиболее точной реализации этих требований -- взаимозаменяемость и допуск -- без прикладного применения теории вероятности не обойтись.

С ознакомления с этой дисциплиной и начинается данная книга. Роль теории вероятности в истории, науке и производстве велика.

Наиболее важные закономерности в тех или других прерывных и непрерывных процессах удается выделить благодаря этой теории.

Теория вероятности -- наука, которая, изучая массовые случайные события (явления), описывает их, выявляя закономерности в этих процессах

Что есть событие?

Восход или заход солнца нельзя считать случайным событием. А вот дождь или ветер можно считать событием случайным.

Следовательно, случайное событие может произойти при наличии определенных условий, но может не произойти, если даже эти условия налицо.

В приборостроении, например, если при изготовлении одних и тех же деталей в пределах допустимых параметров все же происходит появление в одной из деталей серии других параметров, которые нс входят в предельно допустимые границы (ПДГ), то это случайное событие: такое случайное событие в производстве разрешается.

Наука, которая, изучая и описывая совокупность явлений, составляющих одно целое, но по одному (или нескольким) видам признаков (или свойств) разбивающая эти явления на группы, подгруппы, даже на единицы, называется математической статистикой.

Математическая статистика является важнейшим инструментом в теории вероятности.

Пример: изделия, составляющие одно целое подлине, весу, плотности, могут быть разбиты на подгруппы, например, по радиусу.

Количественная оценка колебания признака в совокупности называется случайной величиной.

Обнаруженное значение случайной величины называют статистической переменной (или вариантой). Наблюдаемые явления выделяют в разные разряды или классы, то есть группы.

Количество таких групп называется частотой. Частоту выражают, как правило, в процентах от общего числа явлений. Частота в таком конкретизированном виде называется частостью.

Принято говорить о частоте и частости типичного представителя разряда (класса группы) х, параметры которого находятся на границах [x'z, х" ], то есть

x;.<x<x”z. (1)</x<x”

Обычно говорят о срединном значении переменной х, которое определяется формулой:

Параметр х, определяется, как и частота, и частость, эмпирически либо опытным путем.

Для того, чтобы получить сведения о всей массе или партии изделий, требуется отобрать их часть; эту отображенную часть называют выборкой.

Объемом выборки называют количество изделий в выборке (или число испытаний). Выборку деталей осуществляют в разных целях, чтобы определить соответствие требованиям взаимозаменяемости, оценить точность изготовления и т. д.

Пусть имеем случайные события в количестве jV, которые по определенному признаку формируют определенный класс. И пусть эти события отвечают следующим требованиям:

1) все они равновероятны;

2) несовместимы, то есть если произошло одно событие, то исключено появление любого другого;

3) единственно возможны, то есть могут произойти события только из числа 7Vсобытий, никакое другое произойти не может. Вероятностью Р события А при этих условиях будем считать отношение числа случаев тч в пределах которого происходит событие А, к числу N равновозможных событий.

^р(я)=^-. (3)

Рассмотрим следующие случаи.

1. т = N. тогда Р(А) = 1. В таком случае событие считают достоверным.

2. т = 0, то есть Р(А) = 0. Не произошло ни одного события, оно является невозможным.

Очевидно, что о < Р(А) < 1,

4. где Р(А) -- вероятность появления события А. По мере увеличения количества испытаний (или количества событий)

5. то есть вероятность появления событий А возрастает и наоборот.

Над вероятностью можно производить сложение и умножение, как и над числами. Например, для того, чтобы определить вероятность появления одного из трех событий, слагают вероятность каждого из них.

Пусть этими событиями будут события Л, В и С. Тогда вероятность того, что произойдет событие А или В, или С, определяется следующей формулой:

P(^v5vC)=/'(/l)+P(5)+P(C), (6)

где v -- логический знак «или», Р(А),Р(В),Р(С) -- вероятность каждого из событий Л, В или С.

Различают события противоположные: если некоторое событие Д может произойти при непоявлении события Л, то события Л и Д являются противоположными.

Если сложить их вероятности РА И Рд , то

Л( + Л7=1. (7)

то есть в любом случае произойдет событие Л или событие Д.

Событие называется независимым, если его появление не зависит от появления любого другого события. Иначе событие называется зависимым.

Условная вероятность -- такая вероятность события Л, которая вычислена при предположении, что событие Д произошло: при этом события Л и В являются зависимыми, они обозначаются как Р(Л /В) или Р(Л)В.

Совместное (одновременное или последовательное) появление нескольких независимых событий Л, В. С, F называется сложным событием.

Вероятность сложного события определяется путем умножения вероятностей составляющих его событий.

P(AuBuCu...uF)= Р(А)х Р(в)а х Р(с)ав х ... х P(F)abc . (8)

В случае независимости событий (8) выглядит следующим образом.

Р(АиВиСи...иҐ)= P(a)xP(b)xP(C)x...xP(F). (9)

Формула (6), которую привели выше, справедлива, если события А или В или С несовместимы. В случае их совместимости формула (6) выглядит следующим образом:

...