Візуалізація об’єктів високої вимірності у шкільній та вищій математиці

Размещено на http://www.Allbest.Ru/

Дрогобицький державний педагогічний університет імені Івана Франка

Національний університет «Львівська Політехніка»

Візуалізація об'єктів високої вимірності у шкільній та вищій математиці

Матурін Ю.П., к. ф.-м. н., доцент

Дільний В.М., д. ф.-м. н., професор

Комарницька Л.І., к. ф.-м. н., доцент

м.м. Львів, Дрогобич

Анотація

Більшу частину шкільної математики становить вивчення об'єктів розмірності один і два. В останніх двох класах в курсі стереометрії вивчаються тривимірні об'єкти. Натомість об'єкти вищої розмірності в школі не розглядаються.

У ВНЗ вивчаються об'єкти вищої розмірності, але засобами алгебри, без візуалізації. Зумовлено таке обмеження насамперед особливостями людської інтуїції, що не може осягнути об'єкти вимірності чотири і вище у класичному розумінні візуалізації. Такий стан речей істотно ускладнює вивчення математики. Інший чинник - технічні обмеження, що були актуальними ще два десятиліття тому: способи нанесення кольорового зображення з допомогою систем комп'ютерної математики та перенесення їх на папір з допомогою принтера.

Відзначено також, що сучасні технічні засоби дозволяють порівняно легко сприймати і створювати геометричні об'єкти в М3. Першим із цих способів є створення 3D об'єктів засобами пакетів комп'ютерної математики, наприклад, MathLab, Wolfram Alpha чи GeoGebra. Такі об'єкти можна оглядати з різних боків, крутити і обертати так, як це робимо, наприклад, з дерев'яними моделями. Другим - використання 3D принтерів. Наразі їх використання у навчальному процесі стримує висока вартість процесу друку та його тривалість.

Метою нашої статті є пропозиція нових методів візуалізації, що дозволяють уявити об'єкти високої вимірності та цим відкрити шлях до їх вивчення з набагато меншими зусиллями.

Запропоновано використання чотирьох способів підвищення вимірності зображуваних об'єктів без зміни геометричної вимірності. Фактично, кожен із запропонованих нами чотирьох способів збільшення вимірності може комбінуватися з іншими. Тобто теоретично ми можемо візуалізувати семивимірну поверхню вказаними методами. Зрозуміло, що сприймання його учнями чи студентами вимагатиме належної підготовки. Впровадження цих методів вимагатиме відповідного технічного і програмного оснащення.

Візуалізація математичних об'єктів вимірності від 4 до 7 може бути здійснена наявними технічними засобами за умови належної підготовки до сприймання учнів чи студентів. Вона може бути корисною як і у школі, так і при вивченні вищої математики, зокрема комплексного аналізу.

Ключові слова: вимірність, графік функції, візуалізація, кольорування.

Abstract

Visualization of high-dimensional objects in school and higher mathematics

Maturin Yu.P., Komarnytska L.I., C. Sci. Physics and Mathematics, Docent, Ivan Franko Drohobych State Pedagogical University, Drohobych,

Dilnyi V.M., Dr Sci. in Physics and Mathematics, Professor, Professor, Lviv Politechnic University, Lviv

A large part of school mathematics is the study of objects of one and two dimensions. In the last of school classes three-dimensional objects are studied in the course of geometry. Instead, objects of higher dimensions are not considered in the school.

Higher dimensional objects are studied in universities, but by means of algebra, without visualization. This limitation is due primarily to the peculiarities of human intuition, which cannot comprehend objects of dimensions four and higher in the classical sense of visualization. This state of affairs significantly complicates the study of mathematics. Another factor is the technical limitations that were relevant even two decades ago: methods of drawing a color image using computer mathematics systems and transferring them to paper using a printer. It was also noted that modern technical means make it relatively easy to perceive and create geometric objects in RA3.

The first of these methods is to create 3D objects using computer mathematics packages, such as MathLab, Wolfram Alpha, or GeoGebra. Theese objects can be viewed from different sides, twisted and rotated as we do, for example, with wooden models. The second is the use of 3D printers. Currently, their use in the educational process is restrained by the high cost of the printing process and its duration.

The goals of our article are to propose new visualization methods that allow us to visualize high-dimensional objects and thus open the way to their study with much less effort. It is proposed to use four methods of increasing the dimensionality of the depicted objects without changing the geometric dimensionality. In fact, each of the four ways we have proposed to increase dimensionality can be combined with others. That is, theoretically, we can visualize a seven-dimensional surface using the specified methods. It is clear that its acceptance by pupils or students will require proper preparation.

Implementation of these methods will require appropriate technical and software equipment. Visualization of mathematical objects of dimensions from 4 to 7 can be done with available technical means, provided that pupils or students are properly prepared for perception. It can be useful both at school and when studying higher mathematics, in particular complex analysis.

Keywords: dimension, function graph, visualization, coloring.

Постановка проблеми

Вивчення шкільної математики зводиться до вивчення одновимірних (відрізки, дійсні числа) та двовимірних об'єктів (плоскі фігури, графіки функцій однієї змінної). При цьому вони візуалізуються як підмножини прямої та площини відповідно. Тривимірні об'єкти (призми, піраміди, кулі) вивчаються систематично тільки у курсі стереометрії.

У курсі вищої математики досліджуються об'єкти вищої вимірності, але без візуалізації. Наприклад, студенти легко шукають частинні похідні функцій багатьох змінних аналітично, але питання візуалізації цих понять практично завжди оминається, на відміну від випадку функції однієї змінної.

Людська природа не дозволяє уявляти об'єкти вимірності 4 і вище у класичний спосіб. Проте потреба у таких способах візуалізації зумовлюється прикладними застосуваннями. Наприклад, класичним об'єктом комплексного аналізу є голоморфна функція. Зображення її графіка потребує чотирьох вимірів: два з них описують область визначення, ще два - множину значень.

Аналіз останніх досліджень і публікацій. Знаходження нетрадиційних форм ілюстрації математичних об'єктів останнім часом зацікавило багатьох дослідників. Зокрема, цьому присвячена книга Ларрі Гоніка [1].

Мета статті - пропозиція впровадження нового підходу до візуалізації об'єктів високої вимірності.

Виклад основного матеріалу

Найпоширенішим способом візуалізації об'єктів шкільної математики є зображення їх на площині. Метод, запропонований ще Р. Декартом, дозволяє зображати двовимірні об'єкти як підмножини площини М2 = {(х,у): х Є М,у Є М). Такий спосіб дієвий і для тривимірних об'єктів, які можна візуалізувати як підмножини простору М3 = {(х, у, z): х Є М, у Є М, z Є М). Проте останній випадок вже істотно складніший для реалізації в умовах шкільного чи університетського навчання. Насамперед, проблемою є збереження і передача таких об'єктів. Традиційні паперові носії не завжди задовільно передають форму об'єкта. Виготовлення тривимірних об'єктів практикується і є корисним, але такі моделі (піраміди, призми, диски) потребують багато місця для зберігання, не трансформуються в інші об'єкти. До того ж вони можуть використовуватися тільки для сприймання інформації, а не для творення: практичне виготовлення таких об'єктів є дуже часозатратним і порівняно складним технологічно. Об'єкти в М4 в традиційному декартівському сенсі взагалі зобразити і сприйняти візуально неможливо. комп'ютерний математика візуалізація геометричний вимірність

Насамперед зазначимо, що сучасні технічні засоби дозволяють порівняно легко сприймати і створювати об'єкти в М3. Першим із цих способів є створення 3D об'єктів засобами пакетів комп'ютерної математики, наприклад, MathLab, Wolfram Alpha чи GeoGebra. Такі об'єкти можна оглядати з різних боків, крутити і обертати так, як це робимо, наприклад, з дерев'яними моделями. Другим - використання 3D принтерів. Наразі їх використання у навчальному процесі стримує висока вартість процесу друку та його тривалість. Проте кожен з цих показників поступово покращується з часом, що дозволяє сподіватися на їх активне застосування в освіті вже в найближче десятиліття.

Ми пропонуємо ряд відомих прийомів, що використовувалися переважно для зображення об'єктів вимірності 3 на площині у вузьких прикладних застосуваннях. Із розвитком комп'ютерної техніки їх використання у навчанні та викладанні істотно спростилося останнім часом. І, що найважливіше, їх можна поєднувати для отримання візуалізації об'єктів вимірності 5 і вище.

1. Створення «топографічних карт» тривимірного об'єкта.

Фактично зображається серія ліній рівня поверхні із зазначенням, якої «висоти» є конкретна лінія. Це один з найпростіших способів візуального збільшення вимірності зображуваного об'єкта. Проте він вимагає деяких навиків для сприйняття.

2. Створення кольорових зображень, у яких певному числовому проміжку ставиться у відповідність якась частина видимого спектру. Це спосіб з успіхом використовується для створення фізичних географічних карт, у яких традиційно низинам відповідає зелений колір, височинам - жовтий, а горам - коричневий.

Прикладом такого методу є створений за допомогою Wolfram Alpha графік функції z = sin х cos у. Тут малим значенням функції відповідає світлий жовтий колір, більшим - темніший, аж до коричневого. Зазначимо, що тут використано також елементи першого зі згаданих нами способів - контури, які відповідають лініям рівня. У випадку розглядуваного графіку ці контури фактично не надають якоїсь додаткової інформації і не полегшують сприйняття зображення.

Цей же графік можна зобразити і так:

Очевидно, що при використанні геометричного 3D зображення кольорування не дає додаткової інформації про об'єкт, але набагато полегшує сприймання. Це ж переважно справджується і в загальному випадку: дублювання кількох способів підвищення візуальної вимірності покращує сприймання, вимагає менше навичок і зусиль для роботи з об'єктом.

3. Використання насиченості кольору. Зафіксувавши відповідність кольорової шкали числовій, кожному кольору (тобто точці у просторі кольорів) можна поставити у відповідність шкалу насиченості. Природно меншим значенням приписувати дуже бліді відтінки, а великим - максимально насичені. Одночасне використання кольору і його насиченості вимагає деякого зусилля у того, хто сприймає цей об'єкт. Проте такий підхід доречний, якщо два числові параметри, які ми описуємо кольором і насиченістю, мають подібну природу. Наприклад, у такий спосіб можна зображати графік комплексно значної функції комплексної змінної на площині: дійсній і уявній частинам аргументу функції поставити у відповідність точки на координатній площині, а дійсній і уявній частинам значення функції - колір і насиченість.

Зазначимо, що у вищенаведеному тривимірному геометрично графіку колір і насиченість фактично дублюються.

4. Використання шкали «гладкість-шорсткість». Ідея полягає в тому, щоб згаданій шкалі поставити у відповідність деякий числовий проміжок. Фактично, цей спосіб з успіхом використовується для людей з вадами зору. Цей спосіб добре було б реалізувати на геометричних 3D об'єктах. Реалізація його на 3D принтері не виглядає особливо складною. Сприймання передбачає насамперед дотик до об'єкта для виявлення областей, де поверхня зовсім гладенька, де стає шорсткою, а де шорсткість максимальна. Та зрозуміло, що структура поверхні може бути проаналізована і візуально.

Фактично, кожен із запропонованих нами чотирьох способів збільшення вимірності може комбінуватися з іншими. Тобто теоретично ми можемо візуалізувати семивимірну поверхню вказаними методами. Зрозуміло, що сприймання його учнями чи студентами вимагатиме належної підготовки. Натомість дублюючи вказані способи, можемо отримати інтуїтивно досить зрозумілу модель об'єкта вимірності від 4 до 6. Впровадження цих методів вимагатиме відповідного технічного і програмного оснащення. Ми не стверджуємо, що запропонований нами перелік способів збільшення вимірності зображених об'єктів є вичерпним. Також вибір конкретних способів має розглядатися з огляду на саму задачу, яку потрібно ілюструвати, та на рівень підготовленості аудиторії.

Висновки

Візуалізація математичних об'єктів вимірності від 4 до 7 може бути здійснена наявними технічними засобами за умови належної підготовки до сприймання учнів чи студентів. Вона може бути корисною як і у школі, так і при вивченні вищої математики, зокрема комплексного аналізу.

Література

1. Гонік Л. Наука в коміксах. Матан. Рідна мова, 2020, 239 с.

References

1. Honik, L. (2020) Nauka v komiksakh. Matan [Science in cartoon. Calculus] Kyiv: Ridna mova [in Ukrainian].

Размещено на Allbest.Ru