Расчет цепей постоянного тока. Законы Кирхгофа

Размещено на http://www.allbest.ru/

Кафедра: теоретическая электротехника

Дисциплина: Теоретические основы электротехники

КУРСОВАЯ РАБОТА

1. Исследование и расчет цепей постоянного тока

1.1 Теоретические сведения

1.1.1 Законы Кирхгофа

Законы Кирхгофа являются фундаментальными законами электротехники.

Первый закон Кирхгофа формулируется для узла электрической цепи: алгебраическая сумма токов ветвей, сходящихся в узле электрической цепи, равна нулю. При этом подходящие к узлу токи записываются с одним знаком, отходящие - с другим.

Например, для узла, изображенного на рис. 1.1.1, можно записать первый закон Кирхгофа:

Рисунок 1.1 - узел линейной цепи.

Число линейно независимых уравнений, составляемых по первому закону Кирхгофа, на единицу меньше числа узлов схемы.

Второй закон Кирхгофа формулируется для контура электрической цепи: алгебраическая сумма падений напряжений на участках контура равна алгебраической сумме ЭДС того же контура. При этом, если направление ЭДС совпадает с направлением обхода контура, то она берется со знаком „плюс", если не совпадает - со знаком „минус”. Падение напряжения на элементе берется со знаком „плюс", если направление тока в элементе совпадает с направлением обхода, если не совпадает - со знаком „минус".

Например, для контура, показанного на рис. 1.2, можно записать:

Рисунок 1.2 - независимый контур

Уравнения по второму закону Кирхгофа составляются для независимых контуров - контуров, отличающихся друг от друга хотя бы одной новой ветвью.

Последовательность определения токов ветвей по законам Кирхгофа:

1) Выбирается направления токов ветвей. Число токов равно числу ветвей схемы. Токи ветвей с источниками тока известны.

2) Записываются уравнения по первому закону Кирхгофа, их число на единицу меньше числа узлов схемы.

3) Выбираются независимые контуры и направления их обхода.

4) Записываются уравнения по второму закону Кирхгофа для независимых контуров, при этом уравнения для контуров, включающих источники тока, не составляются.

5) В результате совместного решения уравнений, составленных по первому и второму законам Кирхгофа, определяются токи ветвей.

1.1.2 Метод контурных токов (МКТ)

В этом методе за неизвестные принимают токи независимых контуров (контурные токи), а токи ветвей выражают через контурные.

Рассмотрим правила формирования уравнений на примере схемы, приведенной на рис. 1.1.3, в которой известны величины ЭДС и ток источника тока, а также все сопротивления.

Рисунок 1.3 - Цепь исследуемая МКТ

Выберем независимые контуры и направления их обхода. Допустим, что в каждом контуре протекает свой контурный ток, совпадающий с направлением обхода - I₁₁ , I₂₂ , I₃₃ .Выберем направления токов ветвей и составим уравнения по второму закону Кирхгофа для выбранных контуров (для контура с источником тока уравнение не составляется, так как I₃₃ = J):

R₁I₁ + (R₂ + R₃)I₂ = E₁

-(R₂ + R₃)I₂ - R₄I₃ + R₅I₄ = -E₂ (1.1)

Выразим токи ветвей через контурные:

I₁ = I₁₁ ; I₂ = I₁₁ - I₂₂ ; I₆ = I₃ = -I₂₂ ; I₄ = I₂₂ + I₃₃ ; I₅ = I₃₃ ; I₃₃ = J ; I₅ = J

и подставим в систему (1.1):

R₁I₁₁ + (R₂ + R₃)(I₁₁ - I₂₂) = E₁

-(R₂ + R₃) (I₁₁ - I₂₂) - R₄(-I₂₂) + R₅(I₂₂ + I₃₃) = -E₂

После группировки получим:

(R₁ + R₂ + R₃)I₁₁ - (R₂ + R₃) I₂₂ = E₁

-(R₂ + R₃) I₁₁ + -(R₂ + R₃ + R₄ + R₅ )I₂₂ + R₅I₃₃ = -E₂

В общем виде для трехконтурной схемы с одним источником тока:

R₁₁I₁₁ + R₁₂I₂₂ + R₁₃I₃₃ = E₁₁

R₂₁I₁₁ + R₂₂I₂₂ + R₂₃I₂₃ = E_22,

где R₁₁ , R₂₂ - собственные сопротивления контуров I₁₁ и I₂₂, каждое из которых равно сумме сопротивлении, входящих в данный контур;

R₁₂ = R₂₁ , R₁₃ ,R₂₃ - общие сопротивления контуров. Общее сопротивление равно сопротивлению ветви, общей для рассматриваемых контуров, Общие сопротивления берутся со знаком “плюс”, если контурные токи в них направлены одинаково и со знаком “минус”, если контурные токи в них направлены встречно.

Если контуры не имеют общей ветви, то их общее сопротивление равно нулю. В рассматриваемом примере R₁₃ = 0;

Е₁₁ , Е₂₂ - контурные ЭДС, каждая из которых равна алгебраической сумме ЭДС данного контура. ЭДС берется со знаком ”плюс”, если ее направление совпадает с направлением контурного тока, если не совпадает - со знаком “минус”.

Последовательность определения токов ветвей методом контурных токов:

1) Выбираются независимые контуры и направления контурных токов.

2) Записывается система уравнений в общем виде. Число уравнений равно числу независимых контуров схемы минус число контуров, содержащих источники тока. Количество слагаемых в левой части уравнения равно числу независимых контуров.

3) Определяются коэффициенты при неизвестных - собственные и общие сопротивления контуров, а также контурные ЭДС. Если общей ветвью контуров является источник ЭДС без сопротивления, то общее сопротивление этих контуров равно нулю.

4) Рассчитываются контурные токи.

5) Выбираются направления токов ветвей.

6) Определяются токи ветвей.

1.1.3 Метод узловых потенциалов (МУП)

В этом методе за неизвестные принимают потенциалы узлов схемы, а токи ветвей находят по закону Ома.

Рассмотрим правила формирования уравнений на примере схемы, приведенной на рис. 4, в которой известны величины ЭДС и ток источника тока, а также все сопротивления.

Рисунок 1.4 - цепь исследуемая МУП

В этой схеме два неизвестных потенциала: и , поскольку =, =, =, а потенциал одного из узлов, в данном случае , принимается равным нулю, что на схеме обозначается заземлением узла 3.

Запишем уравнения по первому закону Кирхгофа, предварительно выбрав направления токов в ветвях:

узел 1: -I₁ + I₃ + I₄ + I₅ -I₇ = 0

узел 2: I₂ - I₃ - I₄ + I₆ + I₇ = 0 (*)

Выразим токи ветвей через потенциалы узлов:

;

;

;

;

; ;

и подставим в систему (*):

После группировки получим:



В общем виде:

где , - собственные (узловые) проводимости узлов 1 и 2, каждая из которых равна сумме проводимостей ветвей, сходящихся в данном узле;

, - общая проводимость - взятая со знаком “минус” сумма проводимостей ветвей, соединяющих узлы 1 и 2 (проводимость ветви, содержащей источник тока, равна нулю);

, - задающие (узловые) токи узлов 1 и 2, каждый из которых равен алгебраической сумме произведений ЭДС на проводимость ветвей, в которых они находятся (рассматриваются ветви, подключенные к данному узлу), и алгебраической сумме токов источников тока, подключенных к данному узлу. Знаки слагаемых: “плюс” - если направление ЭДС (источника тока) к узлу, “минус” - если направление ЭДС (источника тока) от узла.

Последовательность определения токов ветвей методом узловых потенциалов

1) Записывается система уравнений в общем виде. Число уравнений системы на единицу меньше числа узлов схемы. Если в схеме содержится ветвь с источником ЭДС без сопротивлений, то ₂ = ₁ + E₁. Приняв ₁ = 0, получим ₂ = E₁.

2) Определяются коэффициенты при неизвестных - собственные и общие проводимости, также задающие токи узлов.

3) Рассчитывается потенциалы узлов.

4) Выбираются направления токов ветвей.

5) Определяются токи ветвей.

1.1.4 Метод эквивалентного генератора

При расчетах линейных электрических цепей возможна замена части цепи, содержащей источник ЭДС и тока, относительно зажимов выделенной ветви ab (рис. 1.5,а) активным двухполюсником, состоящим из последовательно соединенных ЭДС и сопротивления. В этом случае указанную ветвь можно рассматривать как нагрузку эквивалентного генератора с ЭДС Е_Г и сопротивлением R_Г.

Рисунок 1.5 - схемы для определения параметров генератора

Эквивалентная ЭДС Е_Г равна напряжению на зажимах ab при разомкнутой ветви R_H, т.е. напряжению холостого хода U_х.х.

Сопротивление R_Г равно входному сопротивлению цепи относительно зажимов ab при разомкнутой ветви R_H. Источники при этом исключаются из схемы. Эквивалентные параметры Е_Г и R_Г могут быть определены опытным путем из режимов холостого хода (рис. 1.5,б) и короткого замыкания (рис. 1.5,в):

Е_Г = U_х.х ;

1.1.5 Сравнение методов

Наиболее эффективным методом при расчете цепи постоянного тока является тот метод, который приводит к наименьшему числу уравнений, составляющих систему решения. Поэтому выбор способа решения напрямую зависит от исследуемой схемы. Если в этой схеме малое количество узлов, то решение удобнее проводить методом узловых потенциалов, если же в схеме небольшое количество независимых контуров, то удобней решать методом контурных токов. Метод эквивалентного генератора можно применять в очень сложных цепях, когда требуется найти один какой-либо параметр. При использовании этого метода число ветвей в схеме для анализа уменьшается на одну, что упрощает расчет.

1.2 Цель работы

1. Освоение методики измерения токов, напряжений, потенциалов.

2. Опытная проверка законов Кирхгофа и принципа наложения.

3. Расчёт токов в ветвях заданной электрической цепи методами контурных токов, узловых потенциалов, эквивалентного генератора.

4. Построение потенциальной диаграммы.

5. Составление баланса мощностей.

6. Сравнение результатов опыта и расчёта.

постоянный ток цепь напряжение

1.2.1 Опытная часть

1) Измеряем Е1 и Е2 , показания заносим в таблицу 1.1.

Таблица 1.1 - Параметры исследуемой цепи

Значения ЭДС, В	Сопротивления резисторов , Ом	Сопротивления амперметров, Ом
Е1	Е2	R1	R2	R3	R4	R5	R6	RA1	RA2	RA3
9	9.4	79	82	54	40	40	60	1	1	1

При замкнутом ключе S измеряем токи от действия обеих ЭДС, полученные значения заносим в таблицу 1.2 и 1.4 .

Таблица 1.2 - Сравнение значений токов, полученных расчётами и в опыте

Токи в ветвях, мА	Способ определения
I1	I2	I3	I4	I5
45	40	85			Опытным путём
40	40	85	129	195	Методом контурных токов
40	40	85	156	195	Методом узловых потенциалов
		85			Методом эквивалентного генератора

2) Принимаем потенциал одного из узлов схемы (узла номер 3) равным нулю, измеряем потенциалы указанных точек, заносим их в таблицу 1.3

Таблица 1.3 - Сравнение значений потенциалов, полученных расчетом и в опыте

Потенциалы точек цепи, В	Способ определения
ц1	ц2	ц3	ц4	ц5	ц6
9.4	6.1	1.6	0	0.6	9.6	Опытным путём
9.4	6.0	1.8	0			Методом узловых потенциалов

3) Измеряем и заносим в таблицу 1.4 значения токов от действия Е₁, Е₂ .

Таблица 1.4 - Проверка принципа наложения

Включены ЭДС, В	Токи, мА
	опыт	Расчёт
Е1	I'1	I'2	I'3	преобразованием цепи
				I'1	I'2	I'3
	65	-22	48	56	-20	43
Е2	I''1	I''2	I''3	преобразованием цепи
				I''1	I''2	I''3
	-22	62	40	-16	60	42
Е1, Е2	I1	I2	I3	методом наложения
				I1	I2	I3
	43	40	88	40	42	85

4) Включаем в схему Е₁ и Е₂, измеряем ток I₃ при R3=0, затем размыкаем ключ S и измеряем напряжение между точками 2 и 3. полученные значения заносим в таблицу 1.5

Таблица 1.5 - Параметры эквивалентного генератора

Напряжение холостого хода Eг=U23Х,X, В	Ток короткого замыкания IЗ К.З, мА	Сопротивление RГ , Ом	Способ определения
8.9	170		Опыт
4.5		69,3	Расчёт

1.2.2 Расчётная часть

Рисунок 1.6 - Эквивалентная схема, используемая для проведения расчетов.

Составим уравнения по законам Кирхгофа:

-по первому закону Кирхгофа:

Размещено на http://www.allbest.ru/

I₁+I₂=I₃ 45+40=85 мА

-по второму закону Кирхгофа:

Размещено на http://www.allbest.ru/

1.2.3 Потенциальная диаграмма

Потенциалы всех узлов, обозначенных на схеме:

ц1=9.4 B ц2=6.1 B

ц3=1.6 B ц4=0 B

ц5=0.6 B ц6=9.6 B

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рисунок 1.7 - Потенциальная диаграмма для внешнего контура схемы (узлы 3-5-6-2-1-4-3)

1.2.4 Метод контурных токов

Выберем три независимых контура. Обозначим контурные токи: I₁₁, I₂₂, I₃₃, выбрав направление обхода произвольно.

Рисунок 1.8 - схема исследуемая МКТ

Составим систему уравнений для определения контурных токов:

Для данной схемы при выбранных направлениях обхода контуров их параметры выражаются следующим образом:



Решив полученную систему уравнений, найдем контурные токи:

Выразим токи ветвей через контурные:

1.2.5 Метод узловых потенциалов

Рисунок 1.9 - Метод узловых потенциалов

Т. к. ц4=0, а ц1= ц4+Е2=10 В, запишем систему уравнений для потенциалов узлов 2 и 3:

Размещено на http://www.allbest.ru/

По исходным данным вычислим значения задающих токов и проводимостей ветвей:

Решив полученную систему уравнений, получим потенциалы узлов:

ц2=6.1 В

ц3=1,6 В

Исходя из потенциалов узлов и 2-го закона Кирхгофа, найдем токи ветвей:



1.2.6 Расчет токов методом наложения

Метод основан на предположении о линейности цепи, т.е. о том, что все источники в схеме действуют независимо и токи в ветвях схемы можно представить как алгебраическую сумму токов каждого из источников.

Преобразуем исходную схему, исключив второй источник напряжения.

Рисунок 1.10 - Преобразование схемы для метода наложения

Рассчитаем вспомогательные сопротивления (между узлами схемы):



Теперь рассчитаем токи в ветвях схемы с учетом принятых для них направлений.

Проведем аналогичный расчет, исключив первый источник.

Рисунок 1.11 - Преобразование схемы для метода наложения

Токи и межузловые сопротивления в данной схеме находятся следующим образом:

Найдем теперь токи I₁, I₂, I₃.

1.2.7 Метод эквивалентного генератора

Принцип рассматриваемого нами метода эквивалентного генератора заключается в замене части цепи, содержащей источник ЭДС и тока, относительно зажимов a и b выделенной ветви (смотри рисунок 1.22,а) активным двухполюсником, состоящим из последовательно соединенных ЭДС и сопротивления. В этом случае указанную ветвь можно рассматривать как нагрузку эквивалентного генератора с ЭДС и сопротивлением .



Рисунок 1.12

Эквивалентная ЭДС равна напряжению на зажимах a,b при разомкнутой ветви R_H, т.е. напряжению холостого хода U_х.х.

Сопротивление равно входному сопротивлению цепи относительно зажимов ab при разомкнутой ветви R_H. Источники при этом исключаются из схемы.

Эквивалентные параметры и могут быть определены опытным путем из режимов холостого хода (смотри рисунок 1.2,б) и короткого замыкания (смотри рисунок 1.2,в): ,

Применение данного метода целесообразно для определения только одного тока. В нашем случае этим током будет .

Для определения тока I₃ методом эквивалентного генератора, преобразуем исходную схему. Получаем: рисунок 1.3



Рисунок 1.13

Рисунок 11.4

где , (13)

; (14)

После подстановки известных значений в формулу (14) получаем:

 = 60,74 Ом ;

;

(смотри рисунок 1.4).

После преобразования схемы теоретически ток равен 0 :

,( )=

так как соответствует ,а соответствует ,а ()= и соответственно ()===

Теперь мы можем найти неизвестный ток по формуле (13):

1.2.8 Проверка баланса мощностей в схеме

Баланс мощностей в схеме определяется следующими выражениями:

Погрешность вычислений найдем по формуле:

Для заданной схемы баланс мощностей запишется в виде:

Таблица 1.6 - Проверка баланса мощностей в схеме

Способ определения	Мощность источников, Вт	Мощность потребителей, Вт	Относительная погрешность, %
Метод узловых потенциалов	1,479	1,481	0,14
Метод контурных токов	1,452	1,452	0

1.2.9 Вывод

В данной работе расчеты производились четырьмя различными методами, дающими схожую погрешность. Наиболее сложным из них, на мой взгляд, оказался метод эквивалентного генератора, намного проще - МУП и МКТ, они дают наиболее простые уравнения при решении, судя по балансу мощностей, МКТ дает наиболее точные результаты.

Размещено на Allbest.ru

...