Элементы механики абсолютно твёрдого тела

Размещено на http://www.allbest.ru/

Реферат по теме:

Элементы механики абсолютно твёрдого тела

Составил:

Бабичев С.А.

Рассмотрим твёрдое тело, которое может вращаться вокруг оси вращения и двигаться поступательно. Его движение в общем случае определяется двумя векторными уравнениями:

- уравнение движения центра масс:

- уравнение моментов в Ц-системе:

Зная законы действующих внешних сил, точки их приложения и начальные условия, можно с помощью этих уравнений найти как скорость, так и положение каждой точки твердого тела в любой момент времени, т. е. полностью решить задачу о движении тела.

Условия равновесия твёрдого тела. Тело будет оставаться в состоянии покоя, если нет причин, вызывающих его движение. Для этого необходимо и достаточно выполнение двух условий:

1. равнодействующая всех внешних сил, приложенных к телу, должна быть равной нулю:

2. суммарный момент внешних сил относительно любой точки тоже должен быть равен нулю:

Эти условия должны быть выполнены в той системе отсчета, где тело покоится. Если система отсчета неинерциальная, то кроме внешних сил взаимодействия надо учитывать и силы инерции. Это же относится и к моментам сил.

Вращение тела вокруг неподвижной оси.

Пусть твёрдое тело вращается вокруг неподвижной оси. Определим выражение для момента импульса твёрдого тела относительно оси вращения ОО'. Момент импульса тела может быть представлен следующим образом:

Где:

и - масса и расстояние от оси вращения i-й частицы твердого тела,

- его угловая скорость.

Величина в скобках представляет момент инерции твёрдого тела относительно оси ОО':

Из последней формулы следует, что момент инерции твердого тела зависит от распределения масс относительно интересующей нас оси и является величиной аддитивной. Вычисление момента инерции тела проводится по формуле:

Где:

dm и dV - масса и объем элемента тела, находящегося на расстоянии г от интересующей нас оси Z, - плотность тела в данной точке.

Если задан момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс, момент инерции относительно любой оси, параллельной данной и отстоящей от неё на расстоянии а, определяется по теореме Штейнера: Момент инерции относительно произвольной оси Z равен моменту инерции I_c относительно оси Z_c, параллельной данной и проходящей через центр масс С тела, плюс произведение массы m тела на квадрат расстояния а между осями:

Уравнение динамики вращения твёрдого тела.

Пусть твёрдое тело вращается вокруг неподвижной оси. Проекция момента импульса в этом случае определяется по формуле:

Продифференцируем последнее уравнение по времени:

Из последнего уравнения видно, что момент инерции определяет инерционные свойства твёрдого тела при вращении: при одном и том же значении момента сил тело с большим моментом инерции приобретает меньшее угловое ускорение.

Интегрирование полученного уравнения с учетом начальных условий позволяет полностью решить задачу о вращении твердого тела вокруг неподвижной оси, т.е. найти зависимости угловой скорости и угла поворота от времени. Пусть = const. Тогда:

В итоге уравнение зависимости проекции угловой скорости от времени имеет вид:

Из формулы угловой скорости следует:

После интегрирования получаем уравнение вращательного движения твёрдого тела:

Работа внешних сил при вращении твёрдого тела вокруг неподвижной оси.

При вращении твёрдого тела вокруг неподвижной оси вращения потенциальная энергия остаётся постоянной, поэтому работа всех внешних сил равна изменению только кинетической энергии тела: . Т.к. после подстановки получаем:

, так как ось Z совпадает с угловой скоростью). Тогда:

В соответствии с основным уравнение динамики вращательного движения твёрдого тела:

Подставляя последнюю формулу в выражение для механической работы и учитывая, что:

Получаем:

Работа внешних сил при повороте на конечный угол равна:

В случае, если последняя формула упрощается:

Работа внешних сил при вращении твердого тела вокруг неподвижной оси определяется действием момента этих сил относительно данной оси. Если силы таковы, что их момент , то работы они не производят.

Плоское движение твердого тела.

При плоском движении центр масс С твердого тела движется в определенной плоскости, неподвижной в данной К-системе отсчета, а вектор его угловой скорости все время остается перпендикулярным этой плоскости. Последнее означает, что в Ц-системе твердое тело совершает чисто вращательное движение вокруг неподвижной в этой системе оси, проходящей через центр масс тела. Вращательное движение твердого тела определяется уравнением , которое справедливо в любой системе отсчета. Таким образом, плоское движение твердого тела может быть описанным следующими двумя уравнениями:

Где:

m - масса тела,

F - равнодействующая всех внешних сил,

и - момент инерции и суммарный момент всех внешних сил - оба относительно оси, проходящей через центр масс тела.

Интегрируя полученные уравнения с учетом начальных условий, можно найти зависимости и , определяющие положение твердого тела в любой момент t.

Кинетическая энергия при плоском движении твёрдого тела.

Кинетическая энергия при плоском движении твёрдого тела складывается из энергии вращения в Ц-системе и энергии, связанной с движением центра масс:

Свободные оси. Главные оси тела.

Если твердое тело привести во вращение и затем предоставить самому себе, то направление оси вращения в пространстве будет меняться. Для того чтобы произвольная ось вращения тела сохраняла свое направление неизменным, к ней необходимо приложить определенные силы.

Пусть середина С однородного стержня жестко скреплена с осью вращения так, что угол между стержнем и осью равен . Найдем момент М внешних сил, которые необходимо приложить к оси вращения, чтобы при вращении стержня с угловой скоростью ее направление не менялось. Так как:

То чтобы определить М, сначала надо найти момент импульса стержня L, а затем его производную по времени.

Мысленно выделим элемент стержня массы dm, находящейся на расстоянии г от точки С. Его момент импульса относительно этой точки:

Где:

v - скорость элемента.

Легко видеть, что вектор направлен перпендикулярно стержню, причем его направление не зависит от выбора элемента . Поэтому суммарный момент импульса стержня совпадает по направлению с вектором и не совпадает с вектором . При вращении стержня вектор М будет также вращаться с угловой скоростью . Таким образом, действительно, для удержания оси вращения в неизменном направлении к ней необходимо в данном случае приложить момент некоторых внешних сил. Однако, если:

= / 2

То вектор совпадает по направлению с вектором .

В этом случае , т. е. направление оси вращения будет оставаться неизменным без внешнего воздействия.

Ось вращения, направление которой в пространстве остается неизменным без действия на нее каких-либо сил извне, называют свободной осью тела.

В общей теории доказывается, что для любого твердого тела существуют три взаимно перпендикулярные оси, проходящие через его центр масс, которые могут служить свободными осями. Их называют главными осями тела. Особенностью главных осей является то, что при вращении тела вокруг любой из них его момент импульса совпадает по направлению с угловой скоростью и определяется как:

векторный равновесие вращение

Причем не зависит от выбора точки, относительно которой его определяют.

Размещено на Allbest.ru