Основы физической кинетики

Молекулы газа, находясь в тепловом движении, непрерывно сталкиваются друг с другом. Термин “столкновение” применительно к молекулам не следует понимать буквально и представлять себе этот процесс подобным соударению твёрдых шаров. Под столкновением молекул подразумевают процесс взаимодействия между молекулами, в результате которого молекулы изменяют направление своего движения.

На рисунке показана кривая, изображающая взаимную потенциальную энергию двух молекул как функцию расстояния r между их центрами. Рассмотрим с помощью этой кривой процесс сближения (соударения) молекул. Поместим мысленно центр одной из молекул в начало координат, а центр второй молекулы представим перемещающимся по оси r. Пусть вторая молекула летит по направлению к первой из бесконечности, имея начальный запас кинетической энергии _к=₁. Приближаясь к первой молекуле, вторая молекула под действием силы притяжения движется со всёвозрастающей скоростью. В результате кинетическая энергия _к молекулы растёт, а потенциальная _п одновременно уменьшается, но их сумма  = _к+_п = const остаётся неизменной. При прохождении молекулой точки с координатой r_o силы притяжения сменяются силами отталкивания, вследствие чего молекула начнёт быстро терять скорость (в области отталкивания кривая _п идёт круто вверх). В момент, когда потенциальная энергия _п становится равной полной энергии системы ₁, скорость молекулы обращается в нуль. В этот момент имеет место наибольшее сближение молекул друг с другом. После остановки молекулы все явления протекают в обратной последовательности.

Минимальное расстояние, на которое сближаются центры двух молекул, называется эффективным диаметром молекулы d. Величина

 = d²

называется эффективным сечением молекулы. Как видно из рисунка, эффективный диаметр молекул зависит от их энергии, а следовательно, и от температуры. С повышением температуры эффективный диаметр молекул уменьшается.

Длина свободного пробега молекулы - это путь l, который молекула проходит между двумя последовательными соударениями. Длина свободного пробега - случайная величина. Иной раз молекуле удаётся пролететь между соударениями довольно большой путь, в другой раз этот путь может оказаться весьма малым. Поэтому вводится понятие среднего значения длины свободного пробега = < l >.

За секунду молекула проходит в среднем путь, равный средней скорости < >. Если за секунду она претерпевает в среднем z столкновений, то средняя длина свободного пробега будет равна

.

Для того чтобы подсчитать среднее число столкновений z, предположим вначале, что все молекулы, кроме данной, застыли неподвижно на своих местах. Проследим за движением выделенной нами молекулы. Ударившись об одну из неподвижных молекул, она будет лететь прямолинейно до тех пор, пока не столкнётся с какой-либо другой неподвижной молекулой. Это соударение произойдёт в том случае, если центр неподвижной молекулы окажется от прямой, вдоль которой летит молекула, на расстоянии, меньшем эффективного диаметра молекулы d. В результате столкновения молекула изменит направление своего движения, после чего некоторое время опять будет двигаться прямолинейно, пока на её пути снова не встретится молекула, центр которой будет находиться в пределах показанного не рисунке цилиндра радиуса d.

За секунду молекула проходит путь, равный < >. Число происходящих за это время соударений с неподвижными молекулами равно количеству молекул, центры которых попадают внутрь коленчатого цилиндра длины <> и радиуса d.

,

где n - число молекул в единице объёма.

В действительности все молекулы движутся, вследствие чего число соударений определяется средней скоростью движения молекул по отношению друг к другу, а не средней скоростью < > молекул относительно стенок сосуда. Относительная скорость движения двух произвольно взятых молекул равна

.

Возведя в квадрат это выражение, получим

.

Средние значения суммы нескольких величин равно сумме средних значений складываемых величин. Поэтому

.

События, заключающиеся в том, что первая молекула имеет скорость , а вторая - скорость являются статистически независимыми, поэтому . Для газа, находящегося в равновесии, каждый из сомножителей равен нулю. Таким образом

.

Полученный результат означает, что

.

Средне квадратичные скорости пропорциональны средним арифметическим. Следовательно

.

Тогда, для среднего числа столкновений за секунду получим выражение

,

а для средней длины свободного пробега следующую формулу

.

Если концентрацию газа определить из соотношения P = nkT, получим другую формулу для средней длины свободного пробега

.

Для оценки порядка величины и z, рассмотрим следующий пример:

О₂ - кислород, Т=300 К, Р=10⁵ Па, эффективный диаметр молекулы кислорода возьмём из таблицы, d=0,3610^-9 м. Тогда, для средней длины свободного пробега получим значение порядка ~10^-7 м, а число столкновений за секунду z~10¹⁰ c^-1.

Вакуум

Сила трения между двумя слоями жидкости может быть вычислена по формуле:

,

где - коэффициент вязкости, - градиент скорости, т.е. величина, показывающая, как быстро изменяется скорость жидкости или газа в направлении х, перпендикулярном к направлению движения слоёв, S - величина поверхности, по которой действует сила F. Это уравнение и есть эмпирическое уравнение вязкости.

Согласно второму закону Ньютона, взаимодействие двух слоёв с силой F можно рассматривать как процесс, в ходе которого от одного слоя к другому передаётся в единицу времени импульс, по величине равный F. Поэтому уравнение вязкости можно представить в виде

,

где К- импульс, передаваемый за секунду от слоя к слою через поверхность S. Следовательно, величину К можно рассматривать как поток импульса через поверхность S. Знак минус в этой формуле обусловлен тем обстоятельством, что импульс “течёт” в направлении убывания скорости u. Чтобы понять происхождение силы внутреннего трения, рассмотрим два соприкасающихся слоя газа некоторой толщины х. Предположим, что слои движутся с различными скоростями u₁ и u₂. Каждая молекула газа участвует в двух перемещениях: хаотическом тепловом, средняя скорость которого равна < >, и упорядоченном движении со скоростью u, которая много меньше < >.

Пусть в какой-то момент времени слои обладают импульсами К₁ и К₂. Эти импульсы не могут оставаться неизменными, т.к. вследствие теплового движения происходит непрерывный переход молекул из одного слоя в другой. Попав в другой слой, молекулы претерпевают соударения с молекулами этого слоя, в результате чего она либо отдаёт избыток своего импульса другим молекулам (если она прилетела из слоя, движущегося с большей скоростью), либо увеличивает свой импульс за счёт других молекул (если она прилетела из слоя, движущегося с меньшей скоростью). В итоге импульс более быстро движущегося слоя убывает, а более медленно движущегося - возрастает.

Скорость u не может изменяться скачком на границе двух слоёв, а изменяется непрерывно в направлении х, перпендикулярном к слоям u = u(x) (см. рис.).

Среднее значение импульса молекул, летящих в положительном направлении оси х равно:

,

а среднее значение импульса молекул, летящих в отрицательном направлении оси х, равно

.

Теперь поток импульса можно вычислить по формуле

.

Сравнивая полученное выражение с уравнением вязкости

,

и учитывая, что nm = , получим выражение для коэффициента вязкости

_.

Подставляя сюда выражения для , < > и , получим, что коэффициент вязкости должен расти с температурой пропорционально .

Размещено на Allbest.ru