Загальний курс фізики

Размещено на http://www.allbest.ru/

1

МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ ДЛЯ ВИКОНАННЯ КОНТРОЛЬНИХ РОБІТ СТУДЕНТАМИ ЗАОЧНОЇ ФОРМИ НАВЧАННЯ

ПЕРЕДМОВА

Метою цих вказівок є надання допомоги студентам-заочникам інженерно-технічних спеціальностей НУВГП у вивченні курсу фізики. Навчальний матеріал розподілений в шести розділах, перші три з яких представлені тут, а наступні - в частині 2 методичних вказівок.

При написанні цих вказівок використано:

1. Методические указания и контрольные задания по физике. Под редакцией А.Чертова.-.: ВШ., 1981, 1983, 1987.

2. Волькенштейн В.С. Сборник задач по общему курсу физики.- С.-П.: «Книжный мир», 2003.

3. Методичні вказівки і контрольні завдання для студентів-заочників.-"Фізика". /Ч.1/, для інженерно-технічних спеціальностей , в т.ч. бакалаврів-будівельників. Никонюк Є.С., Орленко В.Ф., Тучак С.С., Рівне: УДАВГ, 1997, 46 с.

Загальні методичні вказівки

І. Навчальна робота студента-заочника по вивченню курсу фізики містить наступні елементи: самостійне вивчення фізики по рекомендованих посібниках, виконання контрольних і лабораторних робіт, здача заліків та екзаменів.

Курс фізики вивчається протягом двох навчальних років і тому умовно ділиться на дві частини. По І-й частині курсу виконується одна або дві контрольні роботи. Варіант контрольної роботи визначається останньою цифрою номера залікової книжки.

ІІ. При виконанні контрольних робіт необхідно дотримуватись наступних вимог:

1. Титульна сторінка зошита контрольних робіт оформлюється наступним чином:

Міністерство освіти та науки України

НУВГП

КОНТРОЛЬНА РОБОТА

з фізики

Факультет ...., спеціальність....,

курс ..., група...., шифр .....

П.І.П. студента

Домашня адреса …………………….

2. Умови задач переписуються повністю без скорочень. Для зауважень викладача залишаються поля.

3. Записується скорочена умова задачі (див. приклади), всі числові значення виражаються в одиницях СІ.

4. Розв'язок супроводжується рисунками (при потребі) і короткими поясненнями. Задачі розв'язуються спочатку в загальному вигляді, без проміжних розрахунків. Числові значення величин підставляються в кінцеву формулу.

5. Виконані контрольні роботи надсилаються у відповідний деканат або здаються викладачу кафедри, який рецензує роботи, в перший день екзаменаційно-лабораторної сесії.

РОБОЧА ПРОГРАМА

І. Фізичні основи класичної механіки

КІНЕМАТИКА. Системи відліку. Моделі механіки. Опис стану і руху матеріальної точки. Вектор переміщення, траєкторія, шлях, рівняння руху. Швидкість і прискорення; тангенціальне і нормальне прискорення. Поступальний і обертальний рух твердого тіла; кутова швидкість і прискорення. 3в'язок між кутовими і лінійними характеристиками. Класифікація рухів.

ДИНАМІКА МАТЕРІАЛЬНОЇ ТОЧКИ. Закони Ньютона. Маса, сила і імпульс. Система матеріальних точок; закон збереження імпульсу системи. Сили в механіці: тяжіння, гравітації, пружності, тертя.

ДИНАМІКА ТВЕРДОГО ТІЛА. Моменти імпульсу, інерції та сили відносно осі обертання. Основне рівняння динаміки обертального руху тіла навколо нерухомої осі обертання. Закон збереження моменту імпульсу.

РОБОТА І ЕНЕРГІЯ. Робота змінної та постійної сили. Потужність. Кінетична енергія матеріальної точки і твердого тіла. Консервативні і дисипативні системи, потенціальні та непотенціальні сили. Потенціальна енергія тіла (системи тіл). Закон збереження механічної енергії.

СИСТЕМИ ВІДЛІКУ. Інерціальні системи відліку. Перетворення координат Галілея. Механічний принцип відносності. Поняття про сили інерції.

МЕХАНІЧНІ КОЛИВАННЯ І ХВИЛІ. Коливний рух. Гармонічні коливання та їх характеристики. Енергія коливань. Складання гармонічних коливань. Математичний і фізичний маятники. Згасаючі і вимушені коливання. Резонанс. Утворення хвиль. Поперечні та поздовжні хвилі. Рівняння плоскої хвилі; довжина хвилі. Принцип суперпозиції; стоячі хвилі, рівняння стоячої хвилі. Енергія хвиль.

2. Молекулярна фізика і термодинаміка

фізика механіка термодинаміка електростатика

МОЛЕКУЛЯРНО-КІНЕТИЧНА ТЕОРІЯ (МКТ) ГАЗІВ. Термодинамічна система та її опис. Ідеальний газ; ізопроцеси, газові закони. Рівняння стану. Основне рівняння МКТ газів. Число ступенів вільності молекул; закон рівномірного розподілу енергії молекули по ступенях вільності. Розподіл газових молекул по швидкостях (розподіл Максвела). Розподіл газових молекул по енергіях в силовому полі (розподіл Больцмана). Барометрична формула.

ЯВИЩА ПЕРЕНОСУ. Ефективний діаметр молекул. Середня довжина вільного пробігу молекул. Явища переносу (дифузія, теплопровідність, внутрішнє тертя) та їх експериментальні закони. Коефіцієнти явищ переносу для ідеального газу.

ОСНОВИ ТЕРМОДИНАМІКИ. Внутрішня енергія термодинамічної системи. Теплота і робота в термодинаміці. Теплоємності. Перший закон (начало) термодинаміки. Застосування рівняння 1-го закону термодинаміки до ізопроцесів. Адіабатний процес. Внутрішня енергія і теплоємність ідеального газу. Колові процеси; теплові машини; цикл Карно. Другий закон термодинаміки. Приведена теплота. Ентропія. Закон зростання ентропії. Статистичний зміст 2-го закону термодинаміки.

РЕАЛЬНІ ГАЗИ. Взаємодія молекул. Рівняння Ван-дер-Ваальса. Теоретичні та експериментальні ізотерми реального газу. Критичний стан. Внутрішня енергія реального газу.

РІДИНИ. Характер теплового руху в рідинах. Радіус молекулярної дії. Поверхневий натяг рідин; поверхнева енергія. Явище змочування. Капілярні явища.

ТВЕРДІ ТІЛА. Характер теплового руху в твердих тілах. Кристалічні і аморфні тіла. Теплове розширення і теплоємність твердих тіл. Фазові перетворення. Умови рівноваги фаз; діаграма стану.

3. Електростатика і постійний струм

ЕЛЕКТРИЧНЕ ПОЛЕ У ВАКУУМІ. Електричний заряд. Взаємодія зарядів; закон Кулона. Електричне поле. Напруженість поля; принцип суперпозиції. Силові лінії електростатичного поля. Потік вектора напруженості; теорема Остроградського-Гауса. Розрахунок полів неперервно-розподілених зарядів. Робота сил електричного поля під час переміщення зарядів. Циркуляція вектора напруженості, теорема про циркуляцію. Потенціальна енергія та потенціал поля. Зв'язок між напруженістю поля і градієнтом потенціалу.

ЕЛЕКТРИЧНЕ ПОЛЕ В ДІЕЛЕКТРИКАХ. Вільні і зв'язані заряди. Полярні і неполярні молекули. Поляризація діелектриків; вектор поляризації. Поле в діелектрику. Вектор електричного зміщення.

ПРОВІДНИКИ В ЕЛЕКТРИЧНОМУ ПОЛІ. ЕНЕРГІЯ ПОЛЯ. Рівноважний розподіл зарядів і поля в провіднику. Електроємність відокремленого провідника. Конденсатори, електроємність конденсатора. Енергія системи зарядів, зарядженого провідника, конденсатора. Енергія електростатичного поля.

ПОСТІЙНИЙ ЕЛЕКТРИЧНИЙ СТРУМ. Електричний струм та його характеристики. Класична електронна теорія провідності металів. Закон Ома для однорідної ділянки кола в диференціальній та інтегральній формах. Залежність опору металів від температури. Закон Джоуля-Ленца. Електрорушійна сила. Закон Ома для неоднорідної ділянки кола і повного кола. Закони Кірхгофа.

1. ОСНОВНІ ЗАКОНИ ТА СПІВВІДНОШЕННЯ

Механіка

Кінематика

· Миттєві швидкість та прискорення матеріальної точки (м.т.), модуль миттєвої швидкості

; ,

де - радіус-вектор матеріальної точки;

,

де - елементарний шлях, пройдений за час dt.

· Середня швидкість та середнє прискорення за інтервал часу

, ,

де - переміщення, здійснене за час , (, - миттєві швидкості в моменти часу t₂ i t₁, ). У випадку прямолінійного руху

, ,

де - шлях, пройдений за час .

· Прискорення при криволінійному русі

,

де - тангенціальне прискорення, - нормальне прискорення.

· Модулі тангенціального і нормального прискорень

, ,

де R - радіус кривизни траєкторії.

· Модуль повного прискорення

· Обчислення швидкості при прямолінійному русі

,

де - початкова швидкість.

У випадку рівномірного руху

, .

У випадку рівнозмінного руху

, .

· Обчислення шляху

.

У випадку рівномірного руху

.

У випадку рівнозмінного руху

.

· Модуль кутової швидкості та кутового прискорення

; ,

де - кут повороту радіуса вектора за час ;

· Період обертання

.

· Частота обертання

.

· Зв'язок між кутовими та лінійними характеристиками

, , .

· Обчислення кутової швидкості

,

де - початкова кутова швидкість.

У випадку рівномірного обертання

, .

У випадку рівнозмінного обертання

, .

· Обчислення кута повороту

.

У випадку рівномірного обертання

.

У випадку рівнозмінного обертання

.

Динаміка матеріальної точки і поступального руху твердого тіла

· Імпульс матеріальної точки і системи матеріальних точок

, ,

де т - маса матеріальної точки, - її швидкість.

· Другий закон Ньютона для матеріальної точки і поступального руху твердого тіла

, , ,

де - прискорення матеріальної точки або твердого тіла, - рівнодійна сила, - імпульс сили.

· Третій закон Ньютона

,

де та - сили взаємодії матеріальних точок (тіл) - сили дії та протидії.

· Закон збереження імпульсу замкнутої системи матеріальних точок (тіл)

,

,

де , , … - швидкості тіл до взаємодії, , , … - швидкості тіл після взаємодії.

· Швидкості після абсолютно пружного центрального зіткнення двох тіл

, .

· Швидкість після абсолютно непружного зіткнення двох тіл

.

· Сили гравітації, тяжіння, пружності, тертя

· Закон всесвітнього тяжіння

,

де F - модуль сили гравітаційної взаємодії двох матеріальних точок (точкових або кулястих тіл), G - гравітаційна стала, , - маси взаємодіючих тіл, r - відстань між матеріальними точками (центрами кулястих тіл).

,

де F - модуль сили тяжіння, g прискорення вільного падіння.

· Закон Гука

,

де - модуль сили пружності, k - жорсткість пружини (стрижня), х- величина абсолютної деформації.

,

де - максимальна сила тертя спокою або сила тертя ковзання, N - сила нормального тиску, м - коефіцієнт тертя.

Динаміка обертального руху твердого тіла

· Момент інерції твердого тіла відносно нерухомої осі

,

де - момент інерції і-тої матеріальної точки, - радіус кола, яке описує матеріальна точка, - маса матеріальної точки.

· Моменти інерції тіл правильної геометричної форми відносно осі, що проходить через центр мас.

Момент інерції однорідного тонкого кільця (обруча) або порожнистого тонкостінного циліндра радіусом R

.

Момент інерції суцільного циліндра (диска)

.

Момент інерції суцільної кулі

.

Момент інерції тонкого однорідного стрижня довжиною ? відносно осі, що проходить через його центр мас перпендикулярно стрижню

.

· Теорема Штейнера

,

де І - момент інерції тіла відносно довільної осі, - момент інерції відносно осі, що проходить через центр мас тіла паралельно до цієї осі, d - відстань між осями, т - маса тіла.

· Момент імпульсу твердого тіла відносно нерухомої осі обертання

,

де - момент інерції твердого тіла відносно нерухомої осі z, щ - модуль кутової швидкості.

· Момент сили відносно осі обертання

,

де d - плече сили.

· Основний закон динаміки обертального руху твердого тіла відносно нерухомої осі

або ,

де - головний момент зовнішніх сил відносно осі обертання, е - модуль кутового прискорення тіла.

· Закон збереження моменту імпульсу твердого тіла і системи тіл при обертанні навколо нерухомої осі

, якщо .

Робота та енергія

· Робота змінної та сталої сили

, ,

де - проекція сили на напрям вектора елементарного переміщення ; S - пройдений шлях, б - кут між і , - модуль сталої сили.

· Середня та миттєва потужність

, ,

де - елементарна робота, - робота за проміжок часу .

· Зв'язок потужності зі швидкістю

.

де і - миттєві сила і швидкість.

· Формули кінетичної енергії:

поступального руху тіла

.

обертального руху тіла

.

тіла, що котиться

.

· Формули потенціальної енергії для різних взаємодій:

пружно деформованого тіла

,

піднятого над поверхнею Землі на висоту

,

( - радіус Землі, - прискорення вільного падіння)

гравітаційної взаємодії двох матеріальних точок (кулястих тіл), що знаходяться на відстані r

.

· Теорема про зміну кінетичної енергії

,

де А - робота рівнодійної сил над системою, - зміна кінетичної енергії системи.

· Теорема про зміну потенціальної енергії

,

де - робота потенціальних сил системи.

· Повна механічна енергія, закон збереження повної механічної енергії консервативної системи матеріальних точок (тіл)

, .

· Теорема про зміну повної механічної енергії

,

де - робота непотенціальних сил.

Механічні коливання та хвилі

· Кінематичне рівняння вільних гармонічних коливань

або ,

де - зміщення від положення рівноваги, - амплітуда коливань, - власна циклічна частота, - час, - початкова фаза, - фаза коливань.

· Період коливань

,

де ф - час N коливань.

· Частота коливань

.

· Циклічна частота

.

· Швидкість та прискорення матеріальної точки, що здійснює гармонічні коливання



або

,

або

,

· Періоди коливань маятників:

фізичного маятника

,

де L - зведена довжина фізичного маятника

,

де d - відстань від центра мас до осі обертання, - момент інерції маятника відносно осі обертання.

математичного маятника довжиною ?

,

пружинного маятника

,

· Сила, під дією якої матеріальна точка здійснює гармонічні коливання (квазіпружна сила)

,

де k - коефіцієнт квазіпружної сили, х - зміщення матеріальної точки від положення рівноваги.

· Повна енергія гармонічних коливань матеріальної точки

,

де , - кінетична і потенціальна енергія гармонічних коливань, А - амплітуда коливань.

· Амплітуда і початкова фаза результуючого коливання, утвореного додаванням двох коливань однакового напрямку і однакової частоти

,

,

де і - амплітуди коливань, що додаються, і - їх початкові фази, - початкова фаза результуючого коливання. - амплітуда результуючого коливання.

· Рівняння траєкторії результуючого руху при накладанні двох взаємно перпендикулярних коливань однакової частоти



Часткові випадки при накладанні двох взаємно перпендикулярних коливань:

якщо (), то траєкторією є пряма ();

якщо і , то траєкторією є еліпс ;

якщо і , то траєкторією є коло.

· Рівняння плоскої біжучої гармонічної хвилі, що поширюється вздовж осі ОХ

або

,

де - зміщення частинки середовища в точці простору з координатою х в момент часу t, А - амплітуда хвилі, - фаза хвилі, - хвильове число, х - фазова швидкість.

· Довжина хвилі, зв'язок довжини хвилі з частотою і швидкістю її поширення :

, ,

Т - період коливань.

· Зв'язок різниці фаз коливань з відстанню між точками середовища (різницею ходу променів):

.

Молекулярна фізика та термодинаміка

· Кількість речовини:

, ,

де - маса тіла, - молярна маса речовини, - число молекул у тілі, - число Авогадро.

· Рівняння Мендєлєєва-Клапейрона (три еквівалентні форми запису рівняння стану ідеального газу):

а) , ,

б) ,

в)

де - тиск, - об'єм, - універсальна газова стала, - термодинамічна температура, - густина, n - концентрація молекул, k - стала Больцмана.

об'єднаний газовий закон (рівняння Клапейрона) для М = cоnst

,

· Ізопроцеси в ідеальному газі

а) ізотермічний процес (закон Бойля-Маріотта)

(, ),

б) ізобарний процес (закон Гей-Люссака)

(, ), ,

в) ізохорний процес (закон Шарля)

(, ), .

· Основне рівняння молекулярно-кінетичної теорії ідеального газу

, , ,

де - концентрація молекул газу, - маса молекули газу, - густина газу, - середня кінетична енергія поступального руху однієї молекули газу, - середня квадратична швидкість руху однієї молекули газу, - стала Больцмана.

· Середня кінетична енергія теплового руху молекули ідеального газу

,

де - число ступенів вільності молекули ( для одноатомної, для двохатомної, для трьох та більше атомної молекули).

· Характерні швидкості теплового руху молекул:

а) середня квадратична

,

б) середня арифметична

,

в) найбільш імовірна

.

· Середня довжина вільного пробігу молекул газу та середнє число їх зіткнень за одиницю часу .

, ,

де - ефективний діаметр молекули, - концентрація молекул.

· Закон Дальтона

,

де - тиск суміші газів, - парціальні тиски компонентів суміші.

· Перший закон (начало) термодинаміки в інтегральній формі

,

де - кількість теплоти, надана системі, - зміна внутрішньої енергії системи, - робота системи проти зовнішніх сил.

· Внутрішня енергія ідеального газу

.

· Робота в термодинаміці:

,

· Робота в ізопроцесах:

а) ізобарний процес

,

б) ізотермічний процес

,

в) ізохорний процес

.

· Теплоємність тіла

.

· Питома теплоємність речовини

,

· Молярна теплоємність

.

· Зв'язок між молярною і питомою теплоємностями

.

· Молярна теплоємність ідеального газу в ізохорному та ізобарному процесах:

а) ізохорний процес ()

.

б) ізобарний процес ()

.

· Рівняння Майєра

.

· Коефіцієнт Пуасона (показник адіабати)

.

· Три еквівалентні форми запису рівняння адіабати

(рівняння Пуасона); ; .

· Робота в адіабатному процесі

· Коефіцієнт корисної дії (ККД) теплової машини

, ,

де - робота, виконана за цикл, - кількість теплоти, одержана за цикл робочим тілом від нагрівника, - кількість теплоти, віддана холодильнику.

· ККД ідеального циклу Карно

,

де і - термодинамічні температури нагрівника і холодильника.

Електростатика. Постійний електричній струм

· Закон Кулона

,

де - модуль сили взаємодії точкових зарядів і , що знаходяться на відстані r один від одного в середовищі з діелектричною проникністю е, - електрична стала.

· Напруженість і потенціал електричного поля

, ,

де потенціальна енергія позитивного точкового заряду, вміщеного в дану точку поля.

· Сила, що діє на точковий заряд в електричному полі і потенціальна енергія цього заряду

, .

· Напруженість і потенціал поля, створеного системою N точкових зарядів (принцип суперпозиції електричних полів)

, ,

де та - напруженість і потенціал поля, створеного точковим зарядом у певній точці поля.

· Зв'язок між потенціалом і напруженістю

а) у загальному вигляді

або ;

б)для однорідного поля (зокрема, всередині плоского конденсатора із відстанню між пластинами d)

;

в) для поля, що володіє центральною або осьовою симетрією

.

· Модуль напруженості і потенціал поля точкового заряду

, ,

де r відстань від заряду до точки, в якій визначається напруженість і потенціал.

· Модуль напруженості і потенціал поля, створеного зарядженою провідною сферою радіусом R на відстані r від її центру

· Модуль напруженості поля, створеного нескінченно довгою прямолінійною рівномірно зарядженою ниткою (тонким циліндром)

,

де r - відстань від нитки або від осі циліндра до точки, в якій визначається напруженість, - лінійна густина заряду.

· Модуль напруженості поля, створеного нескінченною рівномірно зарядженою площиною

,

де - поверхнева густина заряду.

· Модуль напруженості поля всередині плоского конденсатора

.

· Електричний момент точкового диполя

,

де q - заряд диполя, l - відстань між точковими зарядами диполя.

· Потенціал поля диполя

,

де - кут між віссю диполя і напрямком на точку спостереження, r - відстань від центра диполя до точки спостереження.

· Робота сил поля по переміщенню заряду q з точки поля з потенціалом в точку з потенціалом

,

де - електрична напруга.

· Електроємність відокремленого провідника

,

де q - заряд провідника, - його потенціал.

· Електроємність провідної сфери радіусом R

· Електроємність конденсатора

,

де q - заряд конденсатора, U - напруга на пластинах.

· Електроємність плоского конденсатора

,

де S - площа пластини, d - відстань між пластинами.

· Електроємність батареї конденсаторів:

а) у випадку послідовного з'єднання

;

б) у випадку паралельного з'єднання

,

де N - кількість конденсаторів, - ємність окремого конденсатора.

· Енергія зарядженого конденсатора

, .

· Сила струму

а) у загальному випадку

;

б) у випадку постійного струму або середнє значення сили змінного струму

· Модуль густини струму

,

де S - площа поперечного перерізу провідника.

· Зв'язок густини струму з середньою швидкістю напрямленого руху носіїв струму

,

де е - заряд носія струму, n - концентрація носіїв струму.

· Закон Ома

а) для однорідної ділянки кола

,

де - напруга на однорідній ділянці кола, R - її опір;

б) для ділянки кола, що містить джерело струму

,

де - ЕРС джерела, R - повний опір ділянки;

в) для повного кола

,

де R - опір зовнішнього кола, r - опір джерела струму.

· Правила (закони) Кірхгофа

а) перше правило

де - алгебраїчна сума сил струмів, що сходяться у вузлі;

б) друге правило

,

де - алгебраїчна сума спадів напруг на ділянках замкнутого контура включно внутрішні опори джерел; - алгебраїчна сума ЕРС джерел, що діють в контурі.

· Опір провідника циліндричної форми

,

де - питомий опір матеріалу провідника, ? - довжина, S - площа поперечного перерізу.

· Залежність питомого опору металу від температури

,

де - питомий опір за температури , - питомий опір за температури , - температурний коефіцієнт опору.

· Залежність опору металевого провідника від температури

,

де - опір за температури , - опір за температури .

· Опір системи провідників

а) у випадку послідовного з'єднання N провідників

,

б) у випадку паралельного з'єднання N провідників

,

де - опір окремого провідника.

· Робота струму за час

а) для будь-якої ділянки кола

;

б) для однорідної ділянки кола, що не містить інших споживачів енергії, окрім провідників опором

, .

· Потужність струму

.

· Закон Джоуля-Ленца

.

2. Приклади розв'язування задач

Приклад 1. Рівняння руху матеріальної точки вздовж осі X має вигляд

,

де м, м/с, м/с³. Знайти координату X, швидкість х і прискорення а точки в момент часу с.

Розв'язання

Дано:

м

м/с

м/с³

с

X, х, а ?

Координату Х знайдемо, якщо підставимо в рівняння руху числові значення коефіцієнтів А, В, С і часу t:

(м).

Миттєва швидкість є перша похідна від координати за часом:

.

Прискорення точки знайдемо, якщо візьмемо першу похідну від швидкості за часом:

.

Зробимо числовий розрахунок

У момент часу с: (м/с), (м/с²).

Відповідь: , м/с, м/с².

Приклад 2. Ящик масою т₁ = 20кг зісковзує по ідеально гладенькому жолобі довжиною ? = 2м на нерухомий візок з піском і застряє у ньому. Візок з піском масою т₂ = 80кг може вільно (без тертя) переміщатися по рейках у горизонтальному напрямку. Визначити швидкість візка з ящиком, якщо жолоб нахилений під кутом б=30? до рейок.

Розв'язання

Дано:

т₁ = 20 кг

? = 2 м

т₂ = 80 кг

б = 30?

u ?



Візок і ящик можна розглянути як систему двох непружньо взаємодіючих тіл. Ця система не замкнена, сума зовнішніх сил, які діють на систему, не дорівнює нулю. Тому застосовувати закон збереження імпульсу до системи "ящик-візок" не можна. Але, оскільки проекція суми вказаних сил на напрям осі ОX, яка співпадає з напрямком рейок, дорівнює нулю, то проекція імпульсу системи на цей напрямок є сталою, тобто:

, (1)

де і - проекції імпульсу ящика і візка з піском у момент падіння ящика на візок; і - ті ж величини після падіння ящика.

Виразимо в рівнянні (1) імпульси тіл через маси і швидкості, враховуючи, що (візок до взаємодії з ящиком був нерухомий), а також, що після взаємодії обидва тіла системи рухаються з однією і тією ж швидкістю u.

або ,

де х₁ - швидкість ящика перед падінням на візок; - проекція цієї швидкості на вісь Х. Звідси

. (2)

Швидкість визначимо із закону збереження енергії:

, де , звідки .

Підставивши вираз у формулу (2) отримаємо

.

Числовий розрахунок:

Відповідь: м/с.

Приклад 3. При пострілі з пружинного пістолета вертикально вгору куля масою m = 20 г піднялася на висоту h = 5м. Визначити жорсткість k пружини пістолета, якщо вона була стиснута на х = 10 см. Масою пружини знехтувати.

Розв'язання

Дано:

m=20г=2·10-² кг

h = 5 м

х = 10 см = 0,1 м k ?

Система «куля - Земля» (разом з пістолетом) є замкненою системою, в якій діють потенціальні сили: сили пружності і сили тяжіння. Тому можна скористатися законом збереження механічної енергії:

, (1)

де , , , - кінетичні і потенціальні енергії системи в початковому і кінцевому станах. Оскільки кінетична енергія кулі в початковому та кінцевому станах дорівнює нулю, то рівняння (1) набере вигляду:

. (2)

Якщо потенціальну енергію в полі сил тяжіння Землі на її поверхні прийняти рівною нулю, то енергія системи в початковому стані буде дорівнювати потенціальній енергії стиснутої пружини, тобто

,

а в кінцевому стані - потенціальній енергії кулі на висоті h, тобто:

.

Підставивши вирази , у формулу (2), знайдемо, що

.

Звідки:

.

Зробимо обчислення: ; ;

.

Відповідь: k = 196 Н/м.

Приклад 4. Через блок, що має масу 80 г, перекинутий канат, до кінців якого підвішені тягарці з масами 100 г і 200 г. 3 яким прискоренням будуть рухатися тягарці, якщо їх залишити самі на себе? Тертям і масою каната знехтувати.

Розв'язання

Дано:

m = 80 г = 0,08 кг

m₁=100 г = 0,1 кг

m₂=200 г = 0,2 кг

а ?

Розв'язок



Застосуємо для розв'язання задачі основні закони поступального і обертального руху. До кожного з тягарців, що рухаються, прикладені дві сили: сила тяжіння , яка направлена униз, і сила натягу каната , яка направлена вгору.

Оскільки прискорення тягарця масою m₁ направлене вгору, то:

.

1). Запишемо другий закон Ньютона для поступального руху тягарців m₁ і m₂ у векторному вигляді:

2). Спроектуємо цю систему рівнянь на вісь , як показано на рисунку,

врахувавши, що , що є наслідком нерозтяжності канату:

(1)

Згідно з основним законом динаміки обертального руху обертальний момент М, що прикладений до диска, дорівнює добутку момента інерції І диска на його кутове прискорення е:

. (2)

Визначимо обертальний момент. Сили натягу діють не тільки на тягарці, а й на диск. За третім законом Ньютона сили і , що прикладені до ободу диска, однакові за величиною силам і відповідно, але за напрямком їм протилежні: і . При русі тягарців диск обертається з кутовим прискоренням за годинниковою стрілкою, тому що . Обертальний момент, що прикладений до диска, дорівнює добутку різниці цих сил на плече, яке дорівнює радіусу диска r, тобто

.

Моменті інерції диска ; кутове прискорення зв'язане з лінійним прискоренням тягарців співвідношенням . Підставивши у формулу (2) вирази для М, І та е, отримаємо:

,

звідки

. (3)

Після підстановки (1) в (3) одержимо:

,

звідки

. (4)

Підставимо числові значення: m = 0,08 кг; m₁ = 0,1 кг; m₂ = 0,2 кг.

Отримаємо:

.

Відповідь: a = 2,88 м/с?.

Приклад 5. Маховик у вигляді суцільного диска радіусом R = 0,2 м і масою m = 50 кг розкручено до частоти н = 480 хв^-1 і залишено сам на себе. Під дією сил тертя маховик зупинився через t = 50с. Знайти момент М сил тертя.

Розв'язання

Дано:

R = 0,2 м

m = 50 кг

н₁ = 480 хв-¹ = 8 с-¹

н₂ = 0

t = 50 с

М ?

Скористаємося основним рівнянням динаміки обертального руху у вигляді

, (1)

де dL_z - зміна моменту імпульса маховика за час dt; M_z - момент сил тертя відносно осі обертання маховика, що співпадає з його геометричною віссю. Момент сили тертя можна вважати сталим, тому інтегрування рівняння (1) призводить до виразу

. (2)

Під час обертання твердого тіла відносно нерухомої осі зміна моменту імпульса дорівнює

, (3)

де І _z - момент інерції маховика відносно осі z; Дщ - зміна кутової швидкості маховика.

Прирівнявши праві частини рівняння (2) і (3) отримаємо

,

звідки

. (4)

Момент інерції маховика у вигляді суцільного диска визначається за формулою

Зміну кутової швидкості виразимо через кінцеву н₂ і початкову н₁ частоти обертання:

.

Підставивши у формулу (4) вирази І _z і Дщ, отримаємо

. (5)

Зробимо обчислення:

Знак «-» показує, що сили тертя чинять на маховик гальмівну дію.

Відповідь: М_z = - 1 Н·м.

Приклад 6. Платформа у вигляді суцільного диска радіусом R=1,5м і масою m₁=180кг обертається за інерцією навколо вертикальної осі з частотою н = 10 хв-¹. В центрі платформи стоїть людина масою m₂ = 60 кг. Яку лінійну швидкість х відносно підлоги приміщення буде мати людина, якщо вона перейде на край платформи.

Розв'язання

Дано:

R = 1,5 м

m₁ = 180 кг

н = 10 хв-¹ = 1/6 с-¹

m₂ = 60 кг

х ?

Платформа обертається за інерцією. Отже, момент зовнішніх сил відносно осі обертання z, що співпадає з геометричною віссю платформи, дорівнює нулю. За таких умов момент імпульсу L_z системи „платформа - людина” залишається сталим:

, (1)

де І_z - момент інерції платформи з людиною відносно осі z; щ - кутова швидкість платформи.

Момент інерції системи дорівнює сумі моментів інерції тіл, що входять до складу системи, тому , де І₁ і І₂ - моменти інерції платформи і людини. З врахуванням цього, рівняння (1) набере вигляду

або , (2)

де значення моментів інерції та відносяться до початкового стану системи; та - до кінцевого.

Момент інерції платформи відносно осі z під час переходу людини не змінюється: .

Момент інерції людини відносно тієї ж осі буде змінюватися. Якщо людину розглядати як матеріальну точку, то її момент інерції І₂ в початковому положенні дорівнює нулю. В кінцевому положенні (на краю платформи) момент інерції людини . Підставимо у формулу (2) вирази моментів інерції, початкової кутової швидкості обертання платформи з людиною () і кінцевої кутової швидкості (), де х - швидкість людини відносно підлоги. Звідки отримаємо:

.

Після скорочення на R² і простих перетворень знаходимо формулу швидкості

.

Числовий розрахунок:

(м/с).

Відповідь: х = 1 м/с.

Приклад 7. Частинка масою m=0,01кг здійснює гармонічні коливання з періодом Т=2с. Повна енергія частинки, що коливається, E=0,1мДж. Визначити амплітуду А коливань і найбільше значення сили F_max, що діє на частинку.

Розв'язання

Дано:

m = 0,01 кг

Т = 2 с

Е = 0,1 мДж = 1?10-⁴ Дж

А, F_max ?

Скористаємося виразом повної енергії коливання частинки:

, де .

Звідси амплітуда дорівнює

. (1).

Згідно другого закону Ньютона

,

де - максимальне прискорення частинки, яке дорівнює

.

Із двох останніх виразів, враховуючи формулу (1), отримаємо

.

Підставимо числові значення:

Е = 1?10^-4 Дж;

m = 1?10^-2 кг.

Виконаємо обчислення:

(м),

(Н).

Відповідь: А = 0,045 м, F_max = 4,44·10-³ Н.

Приклад 8. Матеріальна точка бере участь одночасно у двох взаємно перпендикулярних гармонічних коливаннях, рівняння яких: (1); (2), де см, с-¹, см, с-¹. Знайти рівняння траєкторії точки.

Розв'язання

Дано:

см

с-¹,

см

с-¹

?

Щоб визначити траєкторію точки, виключимо час із рівняння (1) і (2). Зауваживши, що , застосуємо формулу косинуса половинного кута: . Використавши це співвідношення і підставивши значення амплітуд у рівняння (1) та (2), отримаємо:

.

Звідки

або .

Відповідь: .

Приклад 9. Плоска хвиля поширюється вздовж прямої зі швидкістю х = 20 м/с. Дві точки, що знаходяться на цій прямій на відстанях х₁ = 12 м і х₂ = 15 м від джерела хвилі, коливаються з різницею фаз Дц = 0,75р. Знайти довжину хвилі л, написати рівняння хвилі і знайти зміщення вказаних точок у момент t = 1,2 с, якщо амплітуда коливань А = 0,1 м.

Розв'язання

Дано:

х = 20 м/с

х₁ = 12 м

х₂ = 15 м

Дц = 0,75р

t = 1,2 с

А = 0,1 м

л ? у(х,t) ? у₁ ? у₂ ?

Різниця фаз коливань двох точок пов'язана з різницею ходу променів співвідношенням:

.

Розв'язавши це рівняння відносно л, отримаємо

. (1)

Підставивши числові значення величин, що входять у вираз (1) і виконавши арифметичні дії, отримаємо:

(м).

Щоб написати рівняння плоскої хвилі, знайдемо спочатку циклічну частоту щ. Оскільки ( - період коливання), то

.

Проведемо обчислення:

(с-¹).

Рівняння плоскої хвилі у цьому випадку запишеться так

. (2)

Щоб знайти зміщення для вказаних точок, достатньо у рівняння (2) підставити значення t та х:

(м);

(м).

Відповідь: м, , м, м.

Приклад 10. Визначити кількість молекул N в 1мм³ води і масу однієї молекули.

Розв'язання

Дано:

V = 1 мм³ = 1·10-⁹ м³

м = 18·10-³ кг/моль

с = 1·10³ кг/м³

N ? m₀ ?

Шукану кількість молекул знайдемо за формулою

,

де - кількість речовини, м - молярна маса води; N_А = 6,02·10²³ моль-¹ - число Авогадро.

Масу води знайдемо через її густину с:

.

Об'єднуючи приведені формули, отримаємо

.

Маса однієї молекули m₀ знаходиться за формулою:

.

Підставимо числові значення: .

Проведемо обчислення: ,

(кг)

Відповідь: молекул, кг.

Приклад 11. В балоні знаходиться 80 г кисню і 320 г аргону. Тиск суміші 1 МПа, температура 27?С. Вважаючи газову суміш ідеальним газом, визначити об'єм балону.

Розв'язання

Дано:

М₁ = 80 г = 8·10-² кг

М₂ = 320 г = 3,2·10-¹ кг

м₁ = 32·10-³ кг/моль

м₂ = 40·10-³ кг/моль

р = 1 МПа = 1·10⁶ Па

R =8,31 Дж/моль

t? = 27?С, Т = 300 К

V ?

Згідно рівняння Мендєлєєва-Клайперона парціальні тиски компонентів суміші дорівнюють

, ,

де R - універсальна газова стала.

Згідно закону Дальтона тиск суміші газів дорівнює сумі їх парціальних тисків:

.

Звідки об'єм балона дорівнює

.

Проведемо обчислення:

(м³).

Відповідь: м³.

Приклад 12. Знайти середню кінетичну енергію обертального руху однієї молекули кисню за температури 350 К, а також кінетичну енергію обертального руху всіх молекул кисню масою 4 г.

Розв'язання

Дано:

і_об = 2

м = 32·10-³ кг/моль

Т = 350 К

М = 4 г = 4·10-³ кг

k = 1,38·10-²³ Дж/К

? ?

На один ступінь вільності молекули припадає середня кінетична енергія

,

де k - стала Больцмана. Тоді на обертальний рух молекули з числом обертальних ступенів вільності і_об припадає середня кінетична енергія

.

Кінетична енергія обертального руху всіх N молекул дорівнює

.

Якщо врахувати, що , то отримаємо:

,

де Дж/(моль·К), - універсальна газова стала.

Проведемо обчислення, врахувавши, що для двоатомної молекули кисню

і_об=2;Дж/К;; .

(Дж); (Дж).

Відповідь: =4,83·10-²¹ Дж, =364 Дж.

Приклад 13. Визначити питомі теплоємності за сталого об'єму с_V і сталого тиску с_Р неону та водню, вважаючи ці гази ідеальними.

Розв'язання

Дано:

і₁ = 3

і₂ = 5

м₁ = 20·10-³ кг/моль

м₂ = 2·10-³ кг/моль

с_V1 ? с_Р1 ?

с_V2 ? с_Р2 ?

Питомі теплоємності ідеальних газів визначаються формулами

і ,

де і - число ступенів вільності молекули. Врахувавши, що для одноатомного газу (неон) і=3, а для двоатомного газу (водень) і=5, , проведемо обчислення:

,

,

,

.

Відповідь: с_V1 =6,24·10² Дж/(кг·К), с_Р1=1,04·10³ Дж/(кг·К);

с_V2 =1,04·10⁴ Дж/(кг·К), с_Р2=1,46·10⁴ Дж/(кг·К).

Приклад 14. Знайти середню довжину вільного пробігу молекул водню при 133мПа, якщо середня арифметична швидкість молекул х_с=1,03·10³м/с.

Розв'язання

Дано:

м = 2·10-³ кг/моль

р = 133 мПа = 0,133 Па

у = 2,3·10-¹⁰ м

х_с = 1,03·10³ м/с

N_A =6,02·10²³ моль-¹

?

Середня довжина вільного пробігу молекул знаходиться за формулою

.

З рівняння стану ідеального газу: .

Отже

, (1)

де Т - температура, k - стала Больцмана, у - ефективний діаметр молекули. Для знаходження температури врахуємо, що середня арифметична швидкість руху молекул дорівнює

.Звідси

,

- універсальна газова стала. Підставляючи у формулу (1) вираз для температури, отримаємо

.

Числовий розрахунок:

(м).

Відповідь: 4,4·10-² м.

Приклад 15. В циліндрі під поршнем знаходиться водень масою 0,02кг при температурі 300К. Водень спочатку розширився адіабатно, збільшивши свій об'єм у 5 разів, а потім був стиснутий ізотермічно до попереднього об'єму. Знайти температуру в кінці адіабатного процесу і роботу, виконану газом під час цих процесів. Зобразити процеси графічно.

Розв'язання

Дано:

М = 0,02 кг

м = 2·10-³ кг/моль

і = 5

V₂ = 5V₁

V₃ = V₁

Т₁ = 300К

Т₂ ? А_1-2 ? А_2-3 ?

Температура і об'єм газу в адіабатному процесі пов'язані рівнянням адіабати

, (1)

де - показник адіабати.

Для водню показник адіабати дорівнює

.

Згідно формули (1),

.

Роботу в адіабатному та ізотермічному процесах знайдемо, скориставшись відповідними формулами

;

де - універсальна газова стала.

Проведемо обчислення:

(К),

(Дж),

(Дж)

Відповідь: Т = 158 К, А_1-2 = 2,98·10⁴ Дж, А_2-3 = -2,1·10⁴ Дж. Графік процесів показано на малюнку.

Приклад 16. Теплова машина працює за циклом Карно. Температура нагрівника 500К. Визначити термічний ККД циклу і температуру охолоджувача, якщо за рахунок кожного кілоджоуля теплоти, отриманої від нагрівника, машина виконує роботу 350 Дж.

Розв'язання

Дано:

Т₁ = 500 К

Q₁ = 1?10³ Дж

А = 350 Дж

з ? Т₂ ?

Термічний коефіцієнт корисної дії машини дорівнює

.

де А - робота, виконана за цикл; Q₁ - теплота, отримана за цикл від нагрівника.

З іншого боку, для циклу Карно має місце рівняння

,

де Т₁ і Т₂ - температури нагрівника і охолоджувача, відповідно. Звідси

.

Проведемо обчислення:

, (К)

Відповідь: 35 %, Т₂ = 325 К.

Приклад 17. Три точкових заряди q₁=q₂=q₃=1нКл розміщені у вершинах рівностороннього трикутника. Який заряд q₄ потрібно розмістити в центрі трикутника, щоб вказана система зарядів знаходилась у рівновазі.

Розв'язання

Дано:

q₁ = q₂ = q₃ = 10-⁹ Кл

q₄ ?

Всі три заряди знаходяться в однакових умовах. Тому достатньо знайти умову рівноваги для одного з них, наприклад для q₁. Заряд q₁ буде у рівновазі, якщо векторна сума діючих на нього сил дорівнює нулю.

.(1)

де , , - сили, з якими відповідно діють на заряд q₁, заряди q₂, q₃, q_4, - рівнодійна сил , (див. рис.).



Сили і направлені вздовж однієї прямої в протилежні сторони, тому векторне рівняння (1) можна замінити скалярним:

або .

Виразимо в останньому рівнянні F через F₂, застосувавши теорему косинусів і врахувавши, що =:

.

Перепишемо останній вираз згідно закону Кулона, врахувавши, що - відстань від до (між вершиною і центром трикутника), - відстань між зарядами , , (сторона трикутника):

.

Звідки

. (2)

З геометричної побудови в рівносторонньому трикутнику випливає, що:

.

Тепер формула (2) прийме вигляд:

.

В останньому виразі враховано, що

Проведемо обчислення:

(Кл)

Відповідь: 5,77·10-¹⁰ Кл.

Приклад 18. Два точкових електричних заряди q₁=1нКл і q₂=-2нКл знаходяться в повітрі на віддалі d=10см один від одного. Визначити напруженість і потенціал ц поля, створеного цими зарядами в точці А, яка віддалена від q₁ на віддаль r₁=9cм і від q₂ на віддалі r₂=7cм.

Розв'язання

Дано:

q₁ = 1 нКл = 10-⁹ Кл

q₂ = - 2 нКл = - 2·10-⁹ Кл

d = 10 см = 0,1 м

r₁ = 9 cм = 9·10-² м

r₂ = 7 cм = 7·10-² м

е₀ = 8,85·10-¹² Ф/м

Е, ц ?

Згідно принципу суперпозиції електричних полів напруженість електричного поля в заданій точці А може бути знайдена як геометрична сума напруженостей полів і , створених кожним зарядом окремо:

.

Модулі напруженостей електричних полів, створених точковими зарядами, дорівнюють (див. рис.):

, (1)

Як видно з трикутника векторів напруженостей модуль вектора можна виразити згідно теореми косинусів так:

. (2)

Знайдемо значення косинуса в останньому виразі із трикутника відстаней:

.

Підставивши (1) у (2), отримаємо:

У відповідності з принципом суперпозиції електричних полів потенціал ц результуючого поля, створеного двома зарядами, дорівнює алгебраїчній сумі потенціалів окремих полів, тобто

. (3).

Потенціал поля, створеного у вакуумі точковим зарядом, задається формулою:

. (4)

У нашому випадку, врахувавши (3) і (4), отримаємо:

або .

Обчислимо результат.



(В)

Відповідь: Е=3,56 В/м, 157 В.

Приклад 19. Точковий заряд q =25 нКл знаходиться у полі, створеному прямим нескінченним циліндром радіусом R = 10-² м, рівномірно зарядженим з поверхневою густиною у = 0,2 нКл/см² . Визначити модуль і напрямок сили F, що діє на заряд, якщо віддаль від заряду до осі циліндра r = 10-¹ м.

Розв'язання

Дано:

q =25 нКл = 2,5·10-⁸ Кл

у = 0,2 нКл/см² = 2·10-⁶ Кл/м²

R = 1?10-² м

r = 1?10-¹ м

F ?

Модуль сили, яка діє на точковий заряд q, визначається за формулою

, (1)

де Е - модуль напруженості поля.

Напруженість електричного поля нескінченного циліндра

,

де ф - лінійна густина заряду. Знайдемо зв'язок між лінійною і поверхневою густиною заряду:

.

Тоді

(2)

Після підстановки (2) в (1) одержимо:

.

- електрична стала, - діелектрична проникність повітря.

Проведемо обчислення:

(Н)

Відповідь: 5,65·10-⁴ Н. Сила направлена вздовж вектора напруженості , який напрямлений, як показано на малюнку.

Приклад 20. На пластинках плоского конденсатора міститься заряд q=10нКл. Площа S кожної пластинки конденсатора 100см², діелектрик - повітря. Визначити модуль сили F, з якою притягуються пластинки. Поле між пластинками вважати однорідним.

Розв'язання

Дано:

q=10нКл=1?10^-8Кл

S=100см²=1?10^-2м²

F ?

Заряд q однієї пластинки перебуває в полі, створеному зарядом другої пластинки конденсатора. Оскільки це поле однорідне, то на заряд першої пластинки діє сила, модуль якої

. (1)

Напруженість поля зарядженої пластинки дорівнює

, (2)

де - поверхнева густина заряду пластини.

Підставивши (2) в (1). Отримаємо:

.

.

Проведемо обчислення:

(Н)

...