Основы механики

Размещено на http://www.allbest.ru/

Федеральное Агентство Воздушного Транспорта

Федеральное государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

"Московский Государственный Технический Университет Гражданской Авиации"

Кафедра технической механики

Основы механики

Краткие ответы на контрольные вопросы по темам, включенным в "Пособие по изучению дисциплины" (Н.А. Бородин, Д.В. Ильяшенко) и теоретические вопросы экзамена по курсу "Механика"

для студентов II курса

специальности 160903

заочного обучения

Пущино 2012



Тема 1. Основные понятия, определения и аксиомы статики

Факторы определяющие силу. Величина, являющаяся количественной мерой механического взаимодействия материальных тел, называется в механике силой.

Сила является величиной векторной. Ее действие на тело определяется: 1) численной величиной или модулем силы, 2) направлением силы, 3) точкой приложения силы.

Равнодействующая сила - сила, действие которой эквивалентно действию на тело нескольких сил.

Система сил имеет равнодействующую только в том случае, если для нее существует точка, относительно которой главный момент сил системы равен нулю. Равнодействующая сила равна геометрической сумме всех сил системы и приложена в центре приведения.

Система сил называется уравновешенной, если ее приложение к покоящемуся свободному твердому телу не нарушает его состояния покоя. Силы, приложенные к телу во всех точках части поверхности или во всех точках объема тела, называются распределенными. Если же сила приложена в одной точке, то она называется сосредоточенной.

Сходящимися называются силы, линии действия которых пересекаются в одной точке.

1. Геометрический способ сложения сходящихся сил. Так как равнодействующая сходящихся сил определяется как замыкающая сторона силового многоугольника, построенного из этих сил, то может обратиться в нуль тогда и только тогда, когда конец последней силы в многоугольнике совпадает с началом первой, т. е. когда многоугольник замкнется. Следовательно, для равновесия системы, сходящихся сил необходимо и достаточно, чтобы силовой многоугольник, построенный из этих сил, был замкнут.



2. Аналитический способ сложения исходя из условия равновесия. Аналитически равнодействующая системы сходящихся сил определяется формулой:

.

Аксиома 1. Если на свободное абсолютно твердое тело действуют две силы, то тело может находиться в равновесии тогда и только тогда, когда эти силы равны по модулю (F₁ = F₂) и направлены вдоль одной прямой в противоположные стороны.

Аксиома 2. Действие данной системы, сил на абсолютно твердое тело не изменится, если к ней прибавить или от нее отнять уравновешенную систему сил.

Эта аксиома устанавливает, что две системы сил, отличающиеся на уравновешенную систему, эквивалентны друг другу.

Следствие из 1-й и 2-й аксиом. Действие силы на абсолютно твердое тело не изменится, если перенести точку приложения силы вдоль ее линии действия в любую другую точку тела.

Аксиома 3. (аксиома параллелограмма сил). Две силы, приложенные к телу в одной точке, имеют равнодействующую, приложенную в той же точке и изображаемую диагональю параллелограмма, построенного на этих силах, как на сторонах. Величина равнодействующей:

Аксиома 4. При всяком действии одного материального тела на другое имеет место такое же по величине, но противоположное по направлению противодействие.

Аксиома 5. (принцип отвердевания). Равновесие изменяемого (деформируемого) тела, находящегося под действием данной системы сил, не нарушится, если тело считать отвердевшим (абсолютно твердым).

Высказанное в этой аксиоме утверждение очевидно. Например, ясно, что равновесие цепи не нарушится, если ее звенья считать сваренными друг с другом и т. д.

Сила, с которой данная связь действует на тело, препятствуя тем ила иным его перемещениям, называется силой реакции (противодействия) связи или просто реакцией связи. Виды связей:

1. Гладкая плоскость (поверхность) или опора. Такая поверхность не дает телу перемещаться только по направлению общего перпендикуляра (нормали) к поверхностям соприкасающихся тел в точке их касания.

2. Нить. Связь, осуществленная в виде гибкой нерастяжимой нити не дает телу М удаляться от точки подвеса нити по направлению AM. Поэтому реакция Т натянутой нити направлена вдоль нити от тела к точке ее подвеса.

3. Цилиндрический шарнир (подшипник). Если два тела соединены болтом, проходящим через отверстия в этих телах, то такое соединение называется шарнирным или просто шарниром; осевая линия болта называется осью шарнира.

4. Шаровой шарнир и подпятник. Этот вид связи закрепляет какую-нибудь точку тела так, что она не может совершать никаких перемещений в пространстве.

5. Стержень.

6. Подвижная шарнирная опора препятствует движению тела только в направлении перпендикулярном плоскости скольжения опоры.

7. Неподвижная шарнирная опора. Реакция такой опоры проходит через ось шарнира и может иметь любое направление в плоскости чертежа.

8. Неподвижная защемляющая опора или жесткая заделка. В этом случае на заделанный конец балки со стороны опорных плоскостей действует система распределенных сил реакций.

1. Геометрическое условие равновесия. Так как равнодействующая сходящихся сил определяется как замыкающая сторона силового многоугольника, построенного из этих сил, то может обратиться в нуль тогда и только тогда, когда конец последней силы в многоугольнике совпадает с началом первой, т. е. когда многоугольник замкнется.

2. Аналитические условия равновесия. Аналитически равнодействующая системы сходящихся сил определяется формулой

.

Равенства выражают условия равновесия в аналитической форме: для равновесия пространственной системы сходящихся сил необходимо и достаточно, чтобы суммы проекций этих сил на каждую из трех координатных осей были равны нулю.

Тема 2. Момент силы. Теория пар сил

Момент силы относительно точки О - это вектор, модуль которого равен произведению модуля силы на плечо - кратчайшее расстояние от точки О до линии действия силы. Направление вектора момента силы перпендикулярно плоскости, проходящей через точку и линию действия силы, так, что глядя по направлению вектора момента, вращение, совершаемое силой вокруг точки О, происходит по часовой стрелке. Если известен радиус-вектор r? точки приложения силы F? относительно точки О, то момент этой силы относительно О выражается следующим образом:



M? O(F?)=r? ЧF?

Пара сил - две приложенные к твёрдому телу силы, равные, но противоположные и направленные по разным параллельным прямым. Кратчайшее расстояние между параллельными прямыми, по которым направлены силы, называется плечом пары. Момент пары имеет одну и ту же величину вокруг любой точки и равен произведению одной из сил пары на длину плеча пары.

Момент пары представляет собой вектор, перпендикулярный плоскости пары, равный по модулю произведению модуля одной из сил пары на плечо пары (т. е. на кратчайшее расстояние между линиями действия сил, составляющих пару) и направленный в ту сторону, откуда «вращение» пары видно происходящим против хода часовой стрелки. Если h - плечо пары, то М(F,F')=hF.

Две пары сил считаются эквивалентными в том случае, если после замены одной пары другой парой механическое состояние тела не изменяется, т. е. не изменяется движение тела или не нарушается его равновесие.

Теорема 1 Не нарушая состояния тела, можно как угодно изменять модули сил и плечо пары, только бы момент пары оставался неизменным.

Теорема 2 Если, изменив значения сил и плечо новой пары, мы сохраним равенство их моментов M1=M2 или F1a=F2b, то состояние тела от такой замены не нарушится.

Сложение пар производится алгебраическим суммированием их моментов, т. е. момент результирующей пары равен алгебраической сумме моментов составляющих пар. Это применимо к любому количеству пар, лежащих в одной плоскости.

Для равновесия системы пар необходимо и достаточно, чтобы момент результирующей пары равнялся нулю или чтобы алгебраическая сумма моментов пар равнялась нулю: т. е. для равновесия плоской системы сил необходимо и достаточно, чтобы алгебраические суммы проекций всех сил на две координатные оси и алгебраическая сумма моментов всех сил относительно произвольной точки равнялись нулю. Второй формой уравнения равновесия является равенство нулю алгебраических сумм моментов всех сил относительно любых трех точек, не лежащих на одной прямой.

Тема 3. Приведение системы сил к центру. Условия равновесия

Теорема о параллельном переносе сил. Сила, приложенная в какой-либо точке твердого тела, эквивалентна такой же силе, приложенной в любой другой точке этого тела, и паре сил, момент которой равен моменту данной силы относительно новой точки приложения.



Главный вектор- сила , заменяющая собой систему сил, приведенная к данной точке. В общем случае плоская система сил в результате приведения к данной точке О заменяется эквивалентной ей системой, состоящей из одной силы (главного вектора) и одной пары (главного момента). Главный векторявляется равнодействующей данной системы сил, так как эта система не эквивалентна одной силе Только в частном случае, когда главный момент обращается в нуль, главный вектор будет равнодействующей данной системы сил. Так как главный вектор равен геометрической сумме сил заданной системы, то ни модуль, ни направление его не зависят от выбора центра приведения.

Главным моментом системы сил относительно центра O называется вектор L_O, равный сумме векторных моментов этих сил относительно точки О:

L_O = M_O(F₁) + M_O(F₂) +... + M_O(F_n) = M_O(F_i).

Алгебраическим главным моментом L_O плоской системы сил относительно центра О, лежащего в плоскости действия сил, называют сумму алгебраических моментов этих сил относительно центра О.

Главный вектор и главный момент плоской системы сил обычно вычисляется аналитическими методами.

Условие равновесия плоской системы сил. Для равновесия произвольной плоской системы сил, необходимо и достаточно, чтобы суммы проекций всех сил на каждую из двух координатных осей и сумма их моментов относительно любого центра, лежащего в плоскости действия сил, были равны нулю.

где

Теорема Вариньона. Если рассматриваемая плоская система сил приводится к равнодействующей, то момент этой равнодействующей относительно какой-либо точки равен алгебраической сумме моментов всех сил данной системы относительно той же самой точки.

Тема 4. Законы трения и скольжения. Равновесие при наличии трения

Сила, возникающая в месте соприкосновения тел и препятствующая их относительному перемещению, называется силой трения. Направление силы трения противоположно направлению движения. Различают силу трения покоя и силу трения скольжения.

Если тело скользит по какой-либо поверхности, его движению препятствует сила трения скольжения.

_,

где N - сила реакции опоры, a м - коэффициент трения скольжения.

Силой трения скольжения (или просто силой трения) называется составляющая силы реакции связи, которая лежит в касательной плоскости к поверхностям соприкасающихся тел.

Предел, до которого может увеличиваться статическая сила трения, называется предельной силой трения скольжения покоя. Она равна произведению нормального давления на статический коэффициент трения скольжения:

T=N*k

Предельная сила трения скольжения при прочих равных условиях не зависит от площади соприкосновения трущихся поверхностей.

Реакция реальной (шероховатой) связи слагается из двух составляющих: нормальной реакции и перпендикулярной ей силы трения. Следовательно, реакция связи отклоняется от нормали к поверхности на некоторый угол. При изменении силы трения от нуля до максимальной, сила реакции меняется от нуля до, а ее угол с нормалью растет от нуля до некоторого предельного значения j.

Углом трения называется наибольший угол между предельной силой реакции шероховатой связи и нормальной реакцией. Угол трения зависит от коэффициента трения. Конусом трения называют конус, описанный предельной силой реакции шероховатой связи вокруг направления нормальной реакции.



б - угол трения

Условия равновесия. Для равновесия твёрдого тела на шероховатой поверхности необходимо и достаточно, чтобы линия действия равнодействующей активных сил, действующих на твёрдое тело, проходила внутри конуса трения или по его образующей через его вершину. Тело нельзя вывести из равновесия любой по модулю активной силой, если её линия действия проходит внутри конуса трения. Изучение равновесия тел с учетом трения сводится обычно к рассмотрению предельного положения равновесия, когда сила трения достигает своего наибольшего значения .

Тема 5. Система сил, произвольно расположенная в пространстве

Моментом силы относительно оси называется момент проекции силы на плоскость, перпендикулярную оси, относительно точки пересечения оси с этой плоскостью. Момент силы относительно оси характеризует вращательный эффект, создаваемый силой, стремящейся повернуть тело вокруг данной оси M_z = [r·F]_z.

Теорема Вариньона. Если пространственная система. сил приводится к равнодействующей, то момент равнодействующей относительно произвольной точки равен геометрической сумме моментов всех сил относительно той же точки.

Главным вектором системы сил называется вектор R, равный векторной сумме этих сил:

R = F₁ + F₂ +... + F_n = F_i.

Главным моментом системы сил относительно центра O называется вектор L_O, равный сумме векторных моментов этих сил относительно точки О:

L_O = M_O(F₁) + M_O(F₂) +... + M_O(F_n) = M_O(F_i).

Вектор R не зависит от выбора центра О, а вектор L_O при изменении положения центра О может в общем случае изменяться. Главный вектор и главный момент системы сил обычно вычисляется аналитическими методами.

Приведём систему сил к (рис.14):

- результирующая сила через начало координат;

- результирующая пара, причём, через точку О.

То есть привели к и - две силы, одна из которых проходит через заданную точку О.

Равновесие, если и на одной прямой, равны, направлены противоположно (аксиома 2).

Тогда проходит через точку О, то есть .

Далее: , так как остаётся только эта сила.

Итак, общие условия равновесия твёрдого тела:, .

Тема 6. Центр параллельных сил и центр тяжести

Центр тяжести тела - точка твердого тела, через которую проходит равнодействующая всех сил тяжести, действующих на частицы этого тела при любом его положении в пространстве. Центр тяжести тела совпадает с центром масс.

Координаты центра тяжести тела могут быть определены по формулам:

; ; .

Здесь , , , - вес и координаты - й частицы тела; - вес тела.

Способы определения центра тяжести тела : Метод симметрии. Если однородное тело имеет плоскость, ось или центр симметрии, то центр тяжести тела лежит соответственно в этой плоскости, на этой оси или в этом центре. Метод группировки. Если тело можно разбить на конечное число таких частей, для каждой из которых положение центра тяжести известно, то координаты центра тяжести тела могут быть определены, и притом точно, непосредственно по общим формулам

; ; ,

если рассматривать в них (или , , ) и , , как соответственно вес (или объем, площадь, длину) и координаты центров тяжести частей тела.



Тема 7. Кинематика точки

При естественном способе задания движения дается траектория, т. е. линия, по которой движется точка (рис.2.1).

На этой траектории выбирается некоторая точка О, принимаемая за начало отсчета. Выбираются положительное и отрицательное направления отсчета дуговой координаты S, определяющей положение точки на траектории. При движении точки расстояние S будет изменяться. Поэтому, чтобы определить положение точки в любой момент времени, достаточно задать дуговую координату S как функцию времени: . Это равенство называется уравнением движения точки по данной траектории.

Величину скорости можно определить как предел ( - длина хорды ):

где - длина дуги . Первый предел равен единице, второй предел - производная Следовательно, скорость точки есть первая производная по времени от закона движения:

При естественном способе задания движения вектор определяют по его проекциям на оси , имеющие начало в точке М и движущиеся вместе с нею (рис.8). Вектор ускорения точки изображается диагональю параллелограмма, построенного на составляющих и . Так как эти составляющие взаимно перпендикулярны, то по модулю:

Координатный способ. положение точки в пространстве определяется тремя координатами, изменения которых определяют закон движения точки: x=f_x(t), y=f_y(t), z=f_z(t).

Если движение в плоскости, то два уравнения движения. Уравнения движения описывают уравнение траектории в параметрической форме. Исключив из уравнений параметр t, получаем уравнение траектории в обычном виде: f(x,y)=0 (для плоск-ти).

Скорость:

, , ; ;

, , .

Ускорение:

, , ; ;

, , ,

где , , - углы, образуемые вектором ускорения с координатными осями.

Векторный способ. Положение точки определяется ее радиус-вектором, проведенным из какого-либо центра. Кривая, которая вычерчивается концом какого-либо вектора, называется годографом этого вектора. Т.е. траектория - годограф радиус-вектора. Положение точки в любой момент времени можно определить, задав ее радиус-вектор r, проведенный из начала координат в эту точку. При движении точки вектор r будет изменяться с течением времени t по модулю, и по направлению. Следовательно, r является переменным вектором (вектором-функцией), зависящим от аргумента t: r = r(t). Эта векторная функция определяет закон движения точки в векторной форме, так как она позволяет в любой момент времени построить вектор r и найти положение движущейся точки.

Скоростью точки в данный момент времени называется вектор v, равный первой производной от ее радиуса-вектора r по времени:

v = dr/dt = .

Вектор скорости, характеризующий изменение с течением времени модуля и направления радиуса-вектора точки, направлен по касательной к траектории точки в сторону ее движения. Ускорением точки в данный момент времени называется вектор a, равный первой производной от вектора скорости v или второй производной от ее радиуса-вектора r по времени:

a = dv/dt = dr²/dt² ; или a = = .

Ускорение точки, как векторная величина, характеризует изменение с течением времени модуля и направления вектора скорости точки.

Частные случаи движения точки: 1) Прямолинейное движение. Так как в данном случае скорость изменяется только численно, то отсюда заключаем, что касательное ускорение характеризует изменение скорости по численной величине. 2) Равномерное криволинейное движение. Равномерным называется такое криволинейное движение точки, в котором численная величина скорости все время остается постоянной: . 3) Равномерное прямолинейное движение. В этом случае , а значит и . Единственным движением, в котором ускорение точки все время равно нулю, является равномерное прямолинейное движение. 4) Равнопеременное криволинейное движение. Равнопеременным называется такое криволинейное движение точки, при котором касательное ускорение остается все время величиною постоянной: .

Тема 8. Поступательное и вращательное движение твердого тела

Поступательным движением твердого тела называется такое его движение, при котором любая прямая, проведенная в теле, остается параллельной своему первоначальному положению во все время движения.

При поступательном движении тела все его точки описывают одинаковые траектории и в любой момент времени имеют равные по модулю и параллельно направленные скорости и ускорения.



, , .

Тогда величина скорости

.

Тангенциальное ускорение направлено по касательной к траектории; направление совпадает с направлением вектора скорости при ускоренном движении и противоположно ему при замедленном. Нормальное ускорение перпендикулярно и направлено в сторону вогнутости траектории (рис.2). Т.к. векторы и перпендикулярны, то величина полного ускорения

.

Вращательным движением твердого тела вокруг неподвижной оси называется такое его движение, при котором какие-нибудь две точки, принадлежащие телу (или неизменно с ним связанные), остаются во все время движения неподвижными.

Уравнение выражает закон вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси, т.е. чтобы знать положение тела в любой момент времени, надо знать зависимость угла от времени t.

Основными кинематическими характеристиками вращательного движения твердого тела являются его угловая скорость и угловое ускорение .

Угловой скоростью называется векторная величина, равная первой производной угла поворота тела по времени:

.

Угловым ускорением называется векторная величина, равная первой производной угловой скорости по времени:

Равномерным прямолинейным движением называют такое происходящее по прямолинейной траектории движение, при котором тело (материальная точка) за любые равные промежутки времени совершает одинаковые перемещения

Такое прямолинейное движение, при котором скорость тела за любые равные промежутки времени изменяется одинаково (либо нарастает, либо убывает), называют ускоренным (либо замедленным) прямолинейным движением.

Равнопеременным вращательным движением называется такое движение при котором угловое ускорение е=const, Уравнение равнопеременного вращения (1)

ц = ц₀ + щ₀t + еt²/2

и уравнение, выражающее угловую скорость тела в любой момент времени, (2)

щ = щ₀ + еt.

График перемещения равнопеременного поступательного движения является криволинейным - параболическим, так как он соответствует уравнению параболы (рис. а, б).

Скорость при вращательном движении:

.

Ускорение при вращательном движении:

.

Направление вектора полного ускорения точки вращающегося тела можно определить по углу ?, образованному этим вектором с радиусом:

Тема 9. Плоскопараллельное движение твердого тела

Плоскопараллельным (или плоским) называется такое движение твердого тела, при, котором все его точки перемещаются параллельно некоторой фиксированной плоскости П (рис.28).

При движении фигуры величины и и будут изменяться. Чтобы знать закон движения, т. е. положение фигуры в плоскости Оху в любой момент времени, надо знать зависимости . Основными кинематическими характеристиками рассматриваемого движения являются скорость и ускорение поступательного движения, равные скорости и ускорению полюса , , а также угловая скорость и угловое ускорение вращательного движения вокруг полюса.

Скорость любой точки М плоской фигуры геометрически складывается из скорости какой-нибудь другой точки А, принятой за полюс, и скорости, которую точка М получает при вращении фигуры вокруг этого полюса

. ,

где - угловая скорость фигуры. Модуль и направление скорости находятся построением соответствующего параллелограмма.

Теорема. Проекции скоростей точек плоской фигуры на ось, проходящую через эти точки, равны (рис. 2.19).



Доказательство. Пусть и - скорости соответственно точек и (рис. 2.19). Принимаем точку за полюс. Учитывая, что вектор перпендикулярен к , находим

Мгновенным центром скоростей называется расположенная в плоскости сечения точка, абсолютная скорость которой в данный момент равняется нулю.

Для определения скорости любой точки плоской фигуры необходимо принять МЦС за полюс, где скорости всех точек тела равны нулю и абсолютная скорость любой точки определяется по формуле v = щс, где щ - угловая скорость плоского сечения, которая не зависит от выбора полюса; с - расстояние от мгновенного центра скоростей С до данной точки (рис. 223).

Ускорение любой точки тела при плоском движении равно геометрической сумме ускорения полюса и ускорения во вращении точки относительно полюса.

Тема 10. Сложное движение точки

Движение точки по отношению к неподвижной системе координат называется абсолютным или сложным. Скорость и ускорение точки в этом движении называют абсолютной скоростью и абсолютным ускорением и обозначают и . Движение точки по отношению к подвижной системе координат называется относительным движением точки. Скорость и ускорение этого движения называют относительной скоростью и относительным ускорением и обозначают и . Движение точки, обусловленное движением подвижной системы координат, называется переносным движением точки.

Переносной скоростью и переносным ускорением точки называют скорость и ускорение той, жестко связанной с подвижной системой координат точки, с которой совпадает в данный момент времени движущаяся точка, и обозначают и .

Равенство выражает теорему о сложении скоростей: абсолютная скорость точки равна геометрической сумме переносной и относительной скоростей.

Формула выражает теорему Кориолиса(сложение ускорений): в случае непоступательного переносного движения абсолютное ускорение точки равно векторной сумме переносного, относительного и поворотного ускорений.

Ускорение Кориолиса. Ускорение Кориолиса равно удвоенному векторному произведению мгновенной угловой скорости подвижной системы координат на вектор относительной скорости.

По общему правилу определения направления, векторного произведения имеем: ускорение Кориолиса направлено перпендикулярно плоскости, проходящей через вектора и в ту сторону, откуда поворот вектора к вектору на меньший угол виден против хода часовой стрелки (рис. 2.28).

Из формулы (2.80) вытекает также, что величина ускорения Кориолиса

Тема 11. Динамика материальной точки

Первый закон Ньютона открытый Галилеем, гласит: изолированная от внешних воздействий материальная точка сохраняет свое состояние покоя или равномерного прямолинейного движения до тех пор, пока приложенные силы не заставят ее изменить это состояние. Движение, совершаемое точкой при отсутствии сил, называется движением по инерции. Второй закон Ньютона утверждает, что причина ускорения тела ? взаимодействие тел, характеристикой которого является сила. Этот закон дает основное уравнение динамики, позволяющее, в принципе, находить закон движения тела, если известны силы, действующие на него. Этот закон может быть сформулирован следующим образом: ускорение точечного тела (материальной точки) прямо пропорционально сумме сил, действующих на тело, и обратно пропорционально массе тела:

.

Третий закон Ньютона подчеркивает, что причиной ускорения является взаимное действие тел друг на друга. Поэтому силы, действующие на взаимодействующие тела, являются характеристиками одного и того же взаимодействия. С этой точки зрения нет ничего удивительного в третьем законе Ньютона: точечные тела (материальные точки) взаимодействуют с силами, равными по величине и противоположными по направлению и направленными вдоль прямой, соединяющей эти тела:



.

Четвертый закон (закон независимого действия сил). При одновременном действии на материальную точку нескольких сил ускорение точки относительно инерционной системы отсчета от действия каждой отдельной силы не зависит от наличия других, приложенных к точке, сил и полное ускорение равно векторной сумме ускорений от действия отдельных сил.

;

Уравнения в декартовых координатах.

Из кинематики известно, что движение точки в прямоугольных декартовых координатах задается уравнениями:

Задачи динамики точки состоят в том, чтобы, зная движение точки, т. е. уравнения, определить действующую на точку силу или, наоборот, зная действующие на точку силы, определить закон ее движения, т.е. уравнения. Следовательно, для решения задач динамики точки надо иметь уравнения, связывающие координаты х, у,zг этой точки и действующую на нее силу (или силы). Эти уравнения и дает второй закон динамики. Из 2-го закона Ньютона:

, ,

2-ой закон Ньютона - для количества движения.

2) Умножим на (векторно) :

Для свободной материальной точки задачами динамики являются следующие: 1) зная закон движения точки, определить действующую на нее силу (первая задача динамики); 2) зная действующие на точку силы, определить закон движения точки (вторая или основная задача динамики).

Решаются обе эти задачи с помощью уравнений, выражающих основной закон динамики, так как эти уравнения связывают ускорение т.е. величину, характеризующую движение точки, и действующие на нее силы.

В технике часто приходится сталкиваться с изучением несвободного движения точки, т.е. со случаями, когда точка, благодаря наложенным на нее связям, вынуждена двигаться по заданной неподвижной поверхности или кривой.

Несвободной материальной точкой называется точка, свобода движения которой ограничена.

Тела, ограничивающие свободу движения точки, называются связями.

Пусть связь представляет собой поверхность какого-либо тела, по которой движется точка. Тогда координаты точки должны удовлетворять уравнению этой поверхности, которое называется уравнением связи.

Если точка вынуждена двигаться по некоторой линии, то уравнениями связи являются уравнения этой лини.

,



Постоянные интегрирования определяются с помощью начальных условий, путем подстановки их в полученные дифференциальные уравнения движения материальной точки исходя из 2-го закона Ньютона.

Принцип Даламбера. При движении материальной точки активные силы и силы реакции связей вместе с силой инерции точки образуют равновесную систему сил. Принцип Даламбера устанавливает единый подход к исследованию движения любой механической системы вне зависимости от характера налагаемых на это движение условий. При этом динамическим дифференциальным уравнениям движения придается вид уравнений равновесия.

Тема 12. Динамика системы материальных точек

Механической системой материальных точек или тел называется такая их совокупность, в которой положение или движение каждой точки (или тела) зависит от положения и движения всех остальных.

Внешними называются силы, действующие на точки системы со стороны точек или тел, не входящих в состав данной системы .Внутренними называются силы, действующие на точки системы со стороны других точек или тел этой же системы. Как внешние, так и внутренние силы могут быть в свою очередь или активными, или реакциями связей.

Центр масс системы- геометрическая точка С, координаты которой определяются формулами:

, , .

Положение центра масс определяется его радиус-вектором



,

где - радиус-векторы точек, образующих систему.

Моментом инерции тела (системы) относительно данной оси Oz (или осевым моментом инерции) называется скалярная величина, равная сумме произведений масс всех точек тела (системы) на квадраты их расстояний от этой оси

.

Момент инерции тела относительно данной оси равен моменту инерции относительно оси, ей параллельной, проходящей через центр масс тела, сложенному с произведением массы всего тела на квадрат расстояния между осями

(Теорема Гюйгенса).

Тема 13. Общие теоремы динамики

Количеством движения материальной точки называется вектор, равный произведению массы точки на ее скорость .



.

Действие силы на материальную точку в течении времени можно охарактеризовать элементарным импульсом силы

.

Полный импульс силы за время , или импульс силы , определяется по формуле

.

Кинетической энергией материальной точки (или ее живой силой) называют половину произведения массы точки на квадрат ее скорости.

.

Элементарная работа силы скалярная величина равная произведению элементарного перемещения на проекцию силы на это перемещение.

. ,



Единицей измерения работы в СИ является - .

Мощностью силы называется величина, определяющая работу, совершаемую силой в единицу времени. В общем случае мощность равна первой производной по времени от работы.

,

Пусть пара сил приложена к вращающемуся вокруг неподвижной оси телу. Элементарная работа пары сил равна

.

Полная работа пары сил равна

- угол поворота тела, - момент пары сил.

Мощность пары сил равна

.

Теорема об изменении количества движения материальной точки:

(в дифференциальной форме): Производная за временем от количества движения материальной точки равняется геометрической сумме действующих на точки сил.

(в интегральной форме): Изменение количества движения материальной точки за некоторый промежуток времени равняется геометрической сумме импульсов сил, приложенных к точке за тот же промежуток времени.

Теорема об изменении количества движения механической системы:

(в дифференциальной форме): Производная по времени от количества движения системы равняется геометрической сумме всех действующих на систему внешних сил.

(в интегральной форме): Изменение количества движения системы за некоторый промежуток времени равняется геометрической сумме импульсов, действующих на систему внешних сил, за тот же промежуток времени. Теорема позволяет исключить из рассмотрения заведомо неизвестные внутренние силы.

Теорема об изменении момента количества движения точки. Производная по времени от момента количества движения точки, взятого относительно какого-нибудь центра, равна моменту действующей на точку силы относительно того же центра:

Теорема изменении момента количества движения системы. Производная по времени от момента количества движения точки, взятого относительно какой-либо оси, равна моменту действующей на точку силы относительно той же оси.

Теорема об изменении кинетической энергии точки. Дифференциал кинетической энергии точки равен элементарной работе силы, действующей на точку:

Принцип Даламбера. При движении материальной точки активные силы и силы реакции связей вместе с силой инерции точки образуют равновесную систему сил.

Тема 14. Введение в сопромат

Модель материала наделяется свойствами упругости, пластичности и ползучести.

Упругостью называется свойство тела восстанавливать свою форму после снятия внешних нагрузок.

Пластичностью называется свойство тела сохранять после прекращения действия нагрузки, или частично полученную при нагружении, деформацию.

Ползучестью называется свойство тела увеличивать деформацию при постоянных внешних нагрузках.

Брус - тело, продольные размеры которого значительно превышают его поперечные размеры. Оболочка - тело, ограниченное криволинейными поверхностями, расположенными на близком расстоянии друг от друга. Пластинка - тело, ограниченное прямолинейными поверхностями расположенными на близком расстоянии друг от друга. Массив - тело, у которого все три размера одного порядка.

По характеру изменения во времени нагрузки подразделяют на статические и переменные. Статической называют нагрузку, которая медленно возрастает от нуля до своего номинального значения и остается постоянной в процессе работы детали. Переменной называют нагрузку, периодически меняющуюся во времени. Она характеризуется: амплитудой силы F_m, средней силой F_m, частотой нагружения f и формой цикла. Силы прикладываемые при этих нагружениях бывают внутренними и внешними. При схематизации условий работы силы подразделяют на сосредоточенные, распределенные и объемные (массовые). Сосредоточенной силой называют силу, действующую на небольшую часть поверхности детали. Распределенными называют силы, действующие на участках поверхности, соизмеримых с полной поверхностью детали, например давление жидкости в сосуде.

Внутренние силы представляют собой силы межатомного взаимодействия, возникающие внутри детали при воздействии на него внешних нагрузок. Для нахождения внутренних сил используют метод сечений. Рассмотрим тело произвольной формы, находящееся в равновесии под действием внешних сил F1, F2,..., Fn. Мысленно рассечем это тело на две части плоскостью П и рассмотрим одну из частей, например левую. Так как связи между частями устранены, то действие одной из них на другую следует заменить системой внутренних сил в сечении. В соответствии с основным законом механики действие равно противодействию и противоположно по направлению. Внутренние силы распределены по сечению сложным образом. Однако если привести систему внутренних сил к центру О тяжести сечения, то для рассматриваемой части тела можно определить главный вектор внутренних сил, действующих по сечению.

Нормальное механическое напряжение - приложено на единичную площадку сечения, по нормали к сечению (обозначается ). Касательное механическое напряжение - приложено на единичную площадку сечения, в плоскости сечения по касательной (обозначается ). В системе СИ механическое напряжение измеряется в паскалях.

Линейная деформация характеризует изменение размеров тела. Различают абсолютную деформацию ДL и относительную деформацию

е = ДL/L.

Угловая деформация характеризует изменение формы тела и чаще всего называется углом сдвига. Угол сдвига - это изменение первоначально прямого угла.

г = б + в.

Полная деформация - это сумма линейной и угловой деформации.

Расчет на прочность элемента конструкции подразумевает разработку расчетной схемы; определение нагрузок, действующих на данный элемент; расчет напряжений; подбор характеристик элемента из условия его прочности.

Тема 15. Растяжение и сжатие

статика трение динамика сопротивление деталь

Растяжение-сжатие - в сопротивлении материалов - вид продольной деформации стержня или бруса, возникающий в том случае, если нагрузка к нему прикладывается по его продольной оси (равнодействующая сил, воздействующих на него, нормальна поперечному сечению стержня и проходит через его центр масс).

Гука закон, основной закон, выражающий связь между напряжённым состоянием и деформацией упругого тела. Установлен англ. физиком Р. Гуком в 1660 для простейшего случая растяжения или сжатия стержня в форме: абсолютное удлинение (укорочение) Dl цилиндрического стержня прямо пропорционально растягивающей (сжимающей) силе N, т. е.



Dl = kN,

где k = l/ES /l - длина стержня, S - площадь его поперечного сечения, Е - модуль продольной упругости, являющийся механической характеристикой (константой) материала]. Гука закон удобно представлять также в форме s= Еe, где s= N/S - нормальное напряжение в поперечном сечении, e = Dl/l - относительное удлинение (укорочение) стержня.

Пуассона коэффициент, одна из физических характеристик материала упругого тела, равная отношению абсолютных значений относительной поперечной деформации элемента тела к его относительной продольной деформации.

Деформация - изменение относительного положения частиц тела, связанное с их перемещением. Д. представляет собой результат изменения междуатомных расстояний и перегруппировки блоков атомов. Деформация связана с перемещением точек тела под действием внешних сил относительно первоначального положения.

Характеристики прочности материалов: Предел прочности (временное сопротивление) - напряжение, отвечающее наибольшей нагрузке, предшествующей разрушению образца.

Условный предел текучести - напряжение, при котором остаточная деформация достигает 0,2% от начальной длины образца. Предел длительной прочности - наибольшее напряжение, которое вызывает за определенное время при данной температуре разрушение образца.

Условный предел ползучести - напряжение, которое вызывает за определенное время при данной температуре заданное удлинение образца или скорость ползучести.

Предел выносливости - наибольшее значение максимального напряжения цикла, при действии которого не происходит усталостного разрушения образца после произвольно большого или заданного числа циклов нагружения. Цикл нагружения - совокупность переменных значений напряжений за один период их изменения. 108,107.

Условный предел пропорциональности - отступление от линейной зависимости между напряжениями и деформациями достигает такой величины, что тангенс угла наклона, образованного касательной к кривой деформации с осью напряжений, увеличивается на 50% от своего значения на линейном (упругом) участке.

Условный предел упругости - напряжение, при котором остаточная деформация достигает 0,05% от начальной длины образца.

Предельное напряжение - Максимальное условное напряжение, возникающее в образце до разрыва. Расчетное напряжение- напряжение при котором образец не испытывает предельных напряжений.

Допускаемое (допустимое) напряжение - это значение напряжения, которое считается предельно приемлемым при вычислении размеров поперечного сечения элемента, рассчитываемого на заданную нагрузку.

Коэффициент запаса прочности какого-либо элемента конструкции равен отношению предельной нагрузки, вызывающей потерю прочности элемента, к нагрузке, создающей допускаемое напряжение. При этом под потерей прочности понимается не только разрушение элемента, но и появление в нем остаточных деформаций. Поэтому для элемента конструкции, выполненного из пластичного материала, предельным напряжением является предел текучести. В большинстве случаев рабочие напряжения в элементах конструкции пропорциональны нагрузкам, а поэтому коэффициент запаса определяется как отношение предела прочности к допускаемому напряжению (коэффициент запаса по пределу прочности). Так, если предел прочности конструкционной стали равен 540 МПа, а допускаемое напряжение - 180 МПа, то коэффициент запаса равен 3.

Согласно условию прочности максимальные действительные напряжения, возникающие вследствие действия внешних сил, не должны превышать допускаемых. По условию жесткости должны быть ограничены величины деформаций: абсолютная или относительная действительная деформация не должна превышать допускаемую.

Условия прочности по нормальным и касательным напряжениям имеют соответственно вид

у_max ? у_adm;ф_max ? ф_adm,

Условием прочности при растяжении (сжатии) будет выражение

у = N/ A ? у_adm

Тема 16. Напряженное и деформированное состояние в точке

Напряженным состоянием тела в точке называют совокупность нормальных и касательных напряжений, действующих по всем площадкам (сечениям), содержащим данную точку.

Основные виды напряжённо-деформированного состояния (НДС): растяжение - сжатие, плоский чистый сдвиг и их комбинацию

Площадки, по которым касательные напряжения равны нулю, называются главными, а действующие по этим площадкам нормальные напряжения - главными напряжениями.

Значения главных напряжений при плоском напряженном состоянии:

,

где е1, е2 - деформации по осям; м - коэффициент Пуассона; Е - модуль продольной упругости.

Обобщённый Гука закон - для тела произвольной формы - утверждает, что 6 величин, определяющих напряжённое состояние в точке, выражаются линейно через 6 величин, определяющих деформацию в окрестности рассматриваемой точки. Коэффициент пропорциональности в этих соотношениях называются модулями упругости.

Для пластичного материала предельным обычно считается, напряженное состояние, которое соответствует возникновению заметных остаточных деформаций, а для хрупкого - такое, при котором начинается разрушение материала.

Равноопасными называются такие напряженные состояния, для которых коэффициенты запаса прочности равны. Напряженное состояние в какой-либо точке одного тела можно сравнивать с напряженным состоянием в точке другого тела только в том случае, если напряженные состояния в точках подобны друг другу.

Эквивалентным напряжением называется напряжение, которое следует создать в растянутом образце, чтобы его напряженное состояние стало равноопасным заданному напряженному состоянию.

Гипотезы (теории) прочности

Установлено, что в каждой точке нагруженного тела, в общем случае действует три главных напряжения.

Опыт показывает, что поведение материалов, т.е. начало стадии пластических деформаций и характер разрушения (хрупкий, вязкий), зависят от величины, знака и соотношения главных напряжений.

Предельными напряжениями считаются такие, при которых хрупкий материал разрушается, а пластичный материал получает недопустимо большие пластические деформации.

При сложном напряженном состоянии решение этой задачи значительно сложнее, т. к. число различных сочетаний из главных напряжений неограниченно велико, а опыт технически очень сложен.

Вследствие этого при составлении условий прочности материала при сложном напряженном состоянии мы можем располагать только допускаемыми напряжениями, установленными по результатам испытаний на простое растяжение или сжатие.

Критерии разрушения или гипотезы прочности представляют собой предположения о преимущественном влиянии на прочность материалов того или иного фактора, сопутствующего процессу деформации и разрушения материалов.

Наиболее важными факторами, связанными с возникновением опасного состояния материала, являются: нормальные и касательные напряжения, линейные деформации и потенциальная энергия деформации.

Который из этих факторов является главной причиной разрушения установить не удается, т.к. невозможно наблюдать действие какого-нибудь одного фактора изолированно от остальных.

...