главнаяреклама на сайтезаработоксотрудничество Библиотека Revolution
 
 
Сколько стоит заказать работу?   Искать с помощью Google и Яндекса
 



Кинематика материальной точки

Понятие и характерные свойства геометрического вектора. Правило сложения векторов по треугольнику. Сущность и методика исследования траектории движения. Скорость и ускорение движения, их оценка и относительность. Система координат и точки в ней.

Рубрика: Физика и энергетика
Вид: реферат
Язык: русский
Дата добавления: 24.12.2010
Размер файла: 141,3 K

Полная информация о работе Полная информация о работе
Скачать работу можно здесь Скачать работу можно здесь

рекомендуем


Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже.

Название работы:
E-mail (не обязательно):
Ваше имя или ник:
Файл:


Cтуденты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны

Подобные работы


1. Кинематика материальной точки
Относительность движения, его постулаты. Системы отсчета, их виды. Понятие и примеры материальной точки. Численное значение вектора (модуль). Скалярное произведение векторов. Траектория и путь. Мгновенная скорость, ее компоненты. Круговое движение.
презентация [265,9 K], добавлена 29.09.2013

2. Кинематика точки
Характеристика движения объекта в пространстве. Анализ естественного, векторного и координатного способов задания движения точки. Закон движения точки по траектории. Годограф скорости. Определение уравнения движения и траектории точки колеса электровоза.
презентация [391,9 K], добавлена 08.12.2013

3. Интегрирование уравнений движения материальной точки, находящейся под действием переменных сил
Закон движения груза для сил тяжести и сопротивления. Определение скорости и ускорения, траектории точки по заданным уравнениям ее движения. Координатные проекции моментов сил и дифференциальные уравнения движения и реакции механизма шарового шарнира.
контрольная работа [257,2 K], добавлена 23.11.2009

4. Основы кинематики
Кинематика точки. Способы задания движения. Определение понятия скорости точки и методы ее нахождения. Выявление ее значения при естественном способе задания равномерного движения. Способ графического представления скорости в декартовой системе координат.
презентация [2,3 M], добавлена 24.10.2013

5. Основы кинематики
Понятие кинематики как раздела механики, в котором изучается движения точки или тела без учета причин, вызывающих или изменяющих его, т.е. без учета действующих на них сил. Способы задания движения и ускорения материальной точки, направления осей.
презентация [1,5 M], добавлена 30.04.2014

6. Кинематика
Характеристика движения простейшего тела и способы его задания. Определение скорости и ускорение точки при векторном, координатном, естественном способе задания движения. Простейшие движения твердого тела, теоремы о схождении скоростей и ускорений.
курс лекций [5,1 M], добавлена 23.05.2010

7. Статистика, динамика и кинематика
Составление расчетной схемы установки. Нахождение уравнения траектории движения точки. Построение траектории движения в соответствующих координатах и участка ее в интервале времени. Линейные скорости звеньев и передаточные числа зубчатых зацеплений.
задача [1020,9 K], добавлена 27.12.2010

8. Основные понятия кинематики
История развития кинематики как науки. Основные понятия этого раздела физики. Сущность материальной точки, способы задания ее движения. Описание частных случаев движения в зависимости от ускорения. Формулы равномерного и равноускоренного движения.
презентация [1,4 M], добавлена 03.04.2014

9. Кинематика точки и вращательное движение тела
Вычисление скорости, ускорения, радиуса кривизны траектории по уравнениям движения точки. Расчет передаточных чисел передач, угловых скоростей и ускорений звеньев вала электродвигателя. Кинематический анализ внецентренного кривошипно-ползунного механизма.
контрольная работа [995,0 K], добавлена 30.06.2012

10. Динамика материальной точки
Общие рекомендации по решению задач по динамике прямолинейного движения материальной точки, а также движения нескольких тел. Основные формулы и понятия. Применение теорем динамики к исследованию движения материальной точки. Примеры решения типовых задач.
реферат [366,6 K], добавлена 17.12.2010


Другие документы, подобные Кинематика материальной точки


5

РЕФЕРАТ

На тему:

"Кинематика материальной точки"

Москва, 2010

Введение

Кинематика это раздел физики, посвящённый математическому описанию движения без анализа причин, приводящих к его возникновению или изменению. Причиной изменения или возникновения движения является сила, а сила по II-у закону Ньютона связана с массой. Поэтому для того, чтобы исключить из рассмотрения силу достаточно не рассматривать массу. При этом кроме силы из рассмотрения выпадают многие механические понятия: импульс, энергия, момент импульса. А что остаётся, то и рассматривается в кинематике. Таким образом, кинематику можно было бы назвать механикой без массы.

Самый простой объект, способный двигаться это материальная точка: тело, размеры которого пренебрежимо малы в условиях данной физической задачи. Движением материальной точки называется смена её положения с течением времени. Поэтому первое кинематическое понятие, с которым мы сталкиваемся это положение.

1. Вектор положения

Положение чего угодно невозможно задать само по себе. Всё находится относительно чего-то. Значит, мы должны сначала установить начало отсчёта (точку О), а это невозможно сделать по-другому, кроме как поставив туда какое-либо материальное тело (тело отсчёта). И от этого «главного» тела уже можно проводить геометрические векторы, соединяющие начало отсчёта с тем или иным положением материальной точки.

Геометрическим вектором называется направленный отрезок, соединяющий положения двух материальных точек.

Геометрический вектор, соединяющий тело отсчёта с материальной точкой, называется вектором положения материальной точки.

При задании положения материальной точки относительно тела отсчёта последнее по определению считается неподвижным. Поэтому все возможные векторы положений начинаются из одной точки и называются радиус-векторами .

5

Совокупность всех возможных радиус-векторов образует пространство.

Смена начала отсчёта приводит к изменению всех радиус-векторов. Каким образом? Ответ зависит от системы постулатов, которыми мы собираемся пользоваться. Классическая механика, которую мы в основном и изучаем, использует постулаты Галилея-Ньютона.

Если положение материальной точки М относительно тела отсчёта в точке О обозначить , относительно другого тела отсчёта в точке О' обозначить , а геометрический вектор, соединяющий точки О и О', обозначить , то наблюдатель в точке О будет видеть три геометрических вектора: , и .

5

Пусть другому наблюдателю в точке О' нет дела ни до чего, кроме материальной точки М. В дальнейшем системе отсчёта с нелюбопытным наблюдателем будет отводиться «второстепенная» роль. В противовес этому система с наблюдателем, который видит всё, будет считаться «основной». В общем, наблюдатель О' видит только один вектор . Как соотносится геометрический вектор , видимый в пространстве О' с геометрическим вектором , видимым в пространстве О? Ответ на этот вопрос даёт первый постулат Галилея: геометрические векторы в разных системах отсчёта одинаковы. Т.е. . Тогда предыдущий рисунок можно переделать так:

5

И правило сложения векторов по треугольнику позволяет записать соотношение между тремя векторами:

.

В соответствии с этим соотношением можно находить положения в «основной» системе отсчёта, зная их во «второстепенной». Такое преобразование радиус-векторов будем называть обратным преобразованием Галилея. Соответственно, прямое преобразование позволяет находить положения во «второстепенной» системе отсчёта, зная их в «основной»:

В дальнейшем какая-либо величина в «основном» пространстве будет называться «абсолютной», во «второстепенном» пространстве «относительной», а та, через которую они связаны, переносной. Значит

· «абсолютный» радиус-вектор;

· «относительный» радиус-вектор;

· переносный радиус-вектор.

Итак, в соответствие с первым постулатом Галилея смена начала отсчета приводит к изменению пространства, которое описывается преобразованием Галилея. Это означает, что пространство относительно.

2. Траектория движения

Используя понятие радиус-вектора, движение можно описать функциональной зависимостью , где t время. Поскольку положение относительно, то и движение относительно. Относительны и все понятия, связанные с ним. Первым из таких понятий мы рассмотрим траекторию.

Траекторией называется совокупность положений, пройденных телом в процессе движения.

Тело не может в один и тот же момент времени находиться в разных положениях. Поэтому траектория представляет собой линию, и при этом линию непрерывную. В зависимости от формы траектории различают прямолинейное и криволинейное движение. Если криволинейная траектория лежит в одной плоскости, то движение называется плоским.

Если траектория представляет собой пространственную кривую, то в каждой точке траектории можно ввести понятие соприкасающейся плоскости.

Соприкасающейся плоскостью в какой-либо точке траектории М называется предельное положение плоскости, проходящей через три точки N, M, P этой траектории, когда точки N и P неограниченно приближаются (стремятся) к точке М.

5

Через три точки, не лежащие на одной прямой можно прости окружность и при том единственную. Поэтому для любой точки криволинейной траектории можно ввести понятие соприкасающейся окружности.

Соприкасающейся окружностью в какой-либо точке траектории М называется предельная окружность, проходящая через три точки N, M, P этой траектории, когда точки N и P неограниченно приближаются (стремятся) к точке М.

5

Центром и радиусом кривизны траектории в точке М называется центр и радиус кривизны окружности, соприкасающейся с траекторией в точке М. Очевидно, что в случае пространственной траектории соприкасающаяся окружность лежит в соприкасающейся плоскости. Прямолинейную траекторию можно считать траекторией с бесконечным радиусом кривизны.

Орт это вектор, не обладающий физической размерностью (безразмерный), модуль которого равен единице. Любой вектор можно представить как произведение модуля на орт. Например, радиус-вектор:

Значит, орт любого вектора равен частному от деления вектора на его орт:

.

Нормалью траектории в точке М называется орт, направленный из точки М в центр кривизны траектории в точке М.

Ортом касательной в точке М называется орт, касательный к соприкасающейся окружности в точке М и направленный по движению.

5

Ясно, что .

Перемещением называется вектор изменения положения или вектор разности между последующим положением и предыдущим:

В случае, если ни один отрезок траектории не проходился материальной точкой дважды, то путь или путевая координата S(t) это длина траектории от точки начала движения к данному моменту времени.

Отметим две точки на траектории: M с радиусом-вектором и N с радиусом-вектором .

5

Тогда для перемещения и приращения пути S всегда справедливо:

(равенство выполняется в случае прямолинейной траектории). При этом

В случае криволинейной траектории элементарным перемещением и приращением пути dS называются такие, для которых с заданной наперёд точностью выполняется

Очевидно, что

,

5

т.е. .

Итак, мы имеем связь между элементарными перемещением и приращением пути:

3. Скорость и ускорение движения

Средней скоростью движения называется отношение перемещения к промежутку времени, в течение которого произошло перемещение:

.

Средней путевой скоростью называется отношение приращения пути к промежутку времени, в течение которого было пройдено это приращение:

.

Т.к. , то .

Мгновенной скоростью движения называется предел средней скорости при стремлении промежутка времени к 0:

.

Мгновенной путевой скоростью называется предел средней путевой скорости при стремлении промежутка времени к 0:

.

Элементарным промежутком времени dt называется промежуток времени, для которого с заданной наперёд точностью и средняя, и средняя путевая скорость совпадают с соответствующими мгновенными скоростями.

Элементарным перемещением в произвольном случае назовём перемещение, произошедшее за элементарный промежуток времени dt. Элементарным приращением пути dS в произвольном случае назовём приращение, пройденное за элементарный промежуток времени dt.

Пользуясь языком высшей математики, мы можем сказать, что мгновенная скорость движения или просто скорость движения является первой производной радиус-вектора по времени, а путевая скорость является первой производной по времени путевой координаты.

; .

Для того чтобы элементарное перемещение в произвольном случае совпадало с элементарным перемещением для криволинейной траектории нужно, чтобы точности вычисления соотношений

; и

совпадали. Об этом всегда можно условиться. Поэтому мы всегда будем считать, что для элементарного промежутка времени , следовательно, , т.е.

.

Итак,

.

Т.е. модуль скорости движения совпадает с путевой скоростью. Конечное приращение пути по определению

.

По определению ускорением материальной точки называется первая производная по времени скорости движения, т.е. вторая производная по времени радиус-вектора:

.

Итак,

Первое слагаемое связано только со скоростью изменения величины скорости движения. Т.к. эта часть полного ускорения направлена по касательной, то она называется касательным ускорением .

Второе слагаемое связано только с изменением направления скорости движения. Изобразим два положения материальной точки на траектории, разделённые элементарным приращением пути dS, и соответствующие орты касательной и . Соединим положения с центром кривизны траектории в точке dS.

5

Малый угол d между радиусами совпадает с углом между ортами касательной как острые углы с взаимно перпендикулярными сторонами. Из второго рисунка видно, что направлен перпендикулярно , т.е. по орту нормали, а его величина

,

следовательно,

.

Угол d связан с элементарным приращением пути dS=R d, где R - радиус кривизны траектории. Отсюда . Подставим:

.

Тогда вторая часть полного ускорения имеет вид:

.

Т.к. эта часть ускорения направлена по нормали, то она называется нормальным ускорением.

Сведём все формулы вместе:

4. Относительность скорости движения

Мы уже пользовались понятием системы отсчёта, хотя делать этого не имели права. Из всех атрибутов системы отсчёта был введён только один: начало отсчёта. Другой атрибут - часы, находящиеся в начале отсчёта. Пусть двое часов находились в одной системе отсчёта, а потом «разошлись» по разным. Находясь в одном месте, они были синхронизованы. Как повлияет на их показания относительная скорость? Ответ на это опять зависит от выбора системы постулатов. В механике Ньютона-Галилея «работает» второй постулат Галилея: об абсолютности промежутков времени. Согласно этому постулату, если часы были синхронизованы, то их относительная скорость не влияет на их показания. Вспомним обратное преобразование Галилея для радиус-векторов: . Возьмём элементарные изменения (дифференциалы) от обеих частей этого равенства.

.

Поделим это равенство на элементарный промежуток времени по часам «основного» наблюдателя, в течение которого произошли элементарные перемещения, равенство останется верным:

.

В соответствие со вторым постулатом Галилея dt=dt', где dt' - промежуток времени по часам «второстепенного» наблюдателя, в течение которого материальная точка переместилась относительно него на . Значит, можно записать:

.

Это обратное преобразование скорости по Галилею:

.

Прямое преобразование скорости:

5. Система координат

Для количественного описания движения в пространстве необходимо введение координат точки, т.е. совокупности чисел, однозначно определяющей положение материальной точки относительно начала отсчёта. Это возможно только в случае введения третьего атрибута системы отсчёта: системы координат. Теперь можно дать определение системы отсчёта: системой отсчёта называется система координат, в начале которой находится тело отсчёта, снабжённое часами.

В одномерном пространстве для задания «адреса» материальной точки достаточно одного числа, в двумерном пространстве - двух чисел, в трёхмерном - трёх чисел. Способов введения адресации - не один. Например, на плоскости можно задать полярную систему координат (угол, длина радиус-вектора), в пространстве сферическую (длина радиус-вектора, азимутальный угол и угол горизонта). Мы остановимся на подробном рассмотрении системы координат, связанной с разложением радиус-вектора.

5

Известно, что любой вектор может быть представлен как сумма трёх векторов, направленных по трём наперёд заданным направлениям, не лежащим в одной плоскости.

.

Здесь - совокупность ортов, задающих направления. Она называется базисом системы отсчёта. - совокупность координат радиус-вектора в этом базисе. Т.к. вектор по трём избранным направлениям раскладывается однозначно, то однозначно и определение координат точки пространства.

Рассмотрим операцию скалярного умножения двух векторов и (например, радиус-векторов точек пространства А и В):

=

Всего девять слагаемых. Т.к. , то сумма диагональных элементов совсем проста: . Все остальные (перекрёстные члены) кроме произведения координат содержат множители типа

.

Выражение скалярного произведения можно существенно упростить, если выбрать углы . В этом случае говорят, что базис системы координат ортогональный. Только в ортогональном базисе

,

т.к. и все перекрёстные члены равны 0. Именно в силу простоты записи скалярного произведения ортогональный базис является предпочтительным.

Впервые ортогональную систему координат (СК) ввёл Р. Декарт, и она называется декартовой. Только в декартовой СК

· координаты вектора являются его проекциями на соответствующую ось:

;

докажем это для первой координаты:

· координаты вектора связаны с его модулем соотношением Пифагора:

,

т.к. в соответствие с выражением скалярного произведения в декартовой системе.

Существуют традиционные обозначения декартовой СК.

Ось

Обозначение координаты

Обозначение орта

1

r1=х

2

r2=у

3

r3=z

Таким образом, разложение радиус-вектора в декартовой СК будет иметь вид:

.

Векторную функцию движения можно заменить тремя скалярными зависимостями, которые называются законами движения: x(t), y(t), z(t). Законы движения содержат всю информацию о движении. Т.е. если известны законы движения, то можно ответить на любой вопрос, касающийся движения материальной точки.

· Скорость.

Таким образом, проекции вектора скорости равны производным соответствующих законов движения.

· Ускорение.

.

Таким образом, проекции вектора ускорения равны вторым производным законов движения.

А как найти касательное и нормальное ускорения? Они являются результатом разложения вектора полного ускорения по направлениям касательной и нормали:

.

Касательный орт и орт нормали являются осями двумерного ортогонального базиса. Т.е. алгебраическое значение касательного ускорения представляет собой проекцию полного ускорения на орт :

.

Но касательный орт можно выразить через вектор скорости:

.

Следовательно,

.

Тогда легко получить:

.

А найдя нормальное ускорение, легко найти радиус кривизны:

Заключение

Подведем некоторые итоги. Материальная точка представляет собой ключевую физическую модель. На примере этой модели рассматриваются очень многие физические явления. Описав движение материальной точки, можно затем перейти и к описанию движения твердого тела, но не наоборот.

Основными понятиями кинематики материальной точки являются понятия положения точки, ее скорости и ускорения. Но все эти понятия не имеют смысла вне системы отсчета, включающей в себя систему координат и часы.

Важнейшую роль в кинематике материальной точки играют векторная алгебра и принцип относительности движения.

Сложное движение материальной точки всегда можно разложить на составляющие, причем не однозначно: по координатам, на касательное и нормальное движение, прямолинейное и вращательное.

Литература

1. Мякишев Г.Я. Физика - 10. Механика. - М.: Дрофа. 2002.

2. Мякишев Г.Я., Синяков А.З. Физика - 10. Молекулярная физика. Термодинамика. - М.: Дрофа. 2002.

3. Мякишев Г.Я., Синяков А.З., Слободков Б.А. Физика - 10-11. Электродинамика. - М.: Дрофа. 2002.

4. Мякишев Г.Я., Синяков А.З. Физик - 11. Колебания и волны. - М.: Дрофа. 2002.

5. Демков В.П., Третьякова О.Н. В помощь поступающим в ВУЗы. Физика. Механика. - М.: Издательство МАИ, 1996.

6. Калашников Н.П., Смондырев М.А. Основы физики. Т.1. М.: Дрофа, 2003

7. Калашников Н.П., Смондырев М.А. Основы физики. Упражнения и задачи. М.: Дрофа, 2004.

8. Касаткина И.Л. Репетитор по физике. Т.1. Ростов н/Д: Феникс, 2002.

9. Новодворская Е.М., Дмитриев Э.М. Сборник задач по физике с решениями для втузов. М.: ООО Издательство «Мир и Образование», 2003.

... читать дальше >>>

Поcмотреть текст работы Поcмотреть полный текст
Скачать работу можно здесь Скачать работу "Кинематика материальной точки" можно здесь
Сколько стоит?

Рекомендуем!

база знанийглобальная сеть рефератов