Определение сил, действующих на балку, стальной вал и брус

Размещено на http://www.allbest.ru/

Задача 1. Определить реакции стержней, удерживающих грузы F₁ = 0,6 кН и F₂ = 0,4кН (рис.1 а). Массой стержней пренебречь

Решение

1. Рассматриваем равновесие шарнира В (рис. 1,а).

2. Освобождаем шарнир В от связей и изображаем действующие на него активные силы и реакции связей (рис. 1, б).

3. Выбираем систему координат, совместив ось у по направлению с реакцией R₁ (рис .1, б) и составляем уравнения равновесия для системы сил, действующих на шарнир В:

(1)

(2)

4. Определяем реакции стержней R₁ и R₂ решая уравнения (1), (2). Из уравнения (1)

Подставляя найденное значение R₂ в уравнение (2), получаем

Знак минус перед значением R₂ указывает на то, что первоначально выбранное направление реакции неверное - следует направить реакцию R₂ в противоположную сторону, то есть к шарниру В (на рис. 1, б истинное направление реакции R₂ показано штриховым вектором).

5. Проверяем правильность полученных результатов, выбрав новое расположение осей координат Х и У (рис. 1, в). Относительно этих осей составляем уравнения равновесия:

(3)

(4)

Из уравнения (3) находим

Подставляя найденное значение R₂ в уравнение (4), получаем

Значение реакции R₁ и R₂, полученные при решении уравнений (1) и (2), совпадают по величине и направлению со значениями, найденными из уравнений (3) и (4), следовательно, задача решена правильно.

Задача 2. Определить реакции двухопорной балки (рис. 2).

Дано: q = 10 H/м, F = 16 H, M = 14 Hм

Решение:

1. Изобразим балку с действующими на неё нагрузками (рис. 2)

2. Изобразим оси координат Х и У.

3. Силу F заменяем её составляющими F_х=Fсos=13,86 кН и F_у=Fsin=8 кН.

Равнодействующая Q=q·CD=60 кН равномерно распределенной нагрузки приложена в середине участка CD, в точке К (рис. 2).

4. Освобождаем балку от опор, заменив их опорными реакциями (рис 2).

Рис. 2

5. Составляем уравнения равновесия статики и определяем неизвестные реакции опор.

Из уравнения суммы моментов всех действующих на балку сил, составленного относительно одной из точек опор, сразу определяем одну из неизвестных вертикальных реакций:

Определяем другую вертикальную реакцию:

Определяем горизонтальную реакцию

6. Проверяем правильность найденных результатов:

Условие равновесия выполняется, следовательно, реакции опор найдены, верно.

Задача 3. На вал (рис.3,а) жестко насажаны шкив и колесо, нагруженные как показано на рис.3. Определить силы F₂ ; F_r2=0,4F₂, а также реакции опор А и В, если F₁=567 Н

Решение

1. Изображаем вал со всеми действующими на него силами, а также оси координат (рис.3, б)

2. Определяем F₂ и F_r2. Из условия равновесия вала, имеющего неподвижную ось:

Рис.3

3. Составляем шесть уравнений равновесия:

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

4. Решаем Уравнения (1), (2), (3), (4) и определяем реакции опор:

Из (1)

Из (2)

Из (3)

Из (4)

5. Проверяем правильность найденных реакций опор.

Используем уравнение (5):

следовательно, реакции и определены верно.

Используем уравнение (6):

следовательно, реакции и определены верно.

Задача 4. Двухступенчатый стальной брус (рис. 4, а) нагружен силами F₁, F₂, F₃. Построить эпюры продольных сил и нормальных напряжений по длине бруса. Определить перемещение l свободного конца бруса, если Е= 2·10⁵ МПа.

Дано: F₁ = 16 кН, F₂ = 25 кН, F₃ = 28 кН, A₁=1,5 см², A₂ = 3 см²

Решение

1. Отмечаем участки, как показано на рис. 4, а.

Рис. 4

стержень опора брус вал

2. Определяем значения продольной силы N на участках бруса:

N₁ = 0;

N_II =F₁ = 16 кН;

N_III= F₁ - F₂ =16-25=-9 кН;

N _IV = F₁ - F₂=16-25=-9 кН;

N_V=F₁ - F₂ + F3=16-25+28=19 кH

Строим эпюру продольных сил (рис.4,б).

3. Вычисляем значения нормальных напряжений:

Строим эпюру нормальных напряжений (рис. 4, в).

4. Определяем перемещение свободного конца:

?l =?l_I +?l_II +?l_III +?l_IV +?l_V

?l = 0,373-0,09- 0,03 +0,063 = 0,316 мм

Брус удлиняется на 0,316 мм.

Задача 5. Для стального вала (рис. 5, а) постоянного поперечного сечения требуется:

1) определить значения моментов М₁, М₃ и М₄;

2) построить эпюру крутящих моментов;

3) определить требуемый диаметр вала из расчетов на прочность и жесткость, полагая по варианту поперечное сечение вала - круг;

Принять: [ ф_к ] = 30 МПа;

[ц₀]=0,02 рад/м; Р₁=15 кВт; Р₃=10 кВт; Р₄=35 кВт; щ=16 рад/с;

G = 8·10⁴ МПа

Окончательное значение диаметра округлить до ближайшего четного (или оканчивающегося на пять) числа.

Рис.5

Решение

1. Определяем внешние скручивающие моменты:

2. Определяем уравновешивающий момент М₂:

? М_i =0; М₂ - М₁ - М₃ - М₄ = 0; М₂ = 3750Нм

3. Определяем крутящий момент по участкам вала:

Строим эпюру крутящих моментов М_z (рис. 5, б).

4. Определяем диаметр вала из условий прочности и жесткости

М_zmax=3750 Н·м (рис. 5,б).

Сечение вала -- круг.

Из условия прочности:

Принимаем d=86 мм

Из условия жесткости:

Принимаем d=70 мм

Требуемый диаметр получился больше из расчета на прочность, поэтому его принимаем как окончательный d=86 мм.

Задача 6. Для заданной двух опорной балки (рис.6) определить реакции опор, построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов. Подобрав из условия прочности размеры поперечного сечения прямоугольника, приняв h/b = 2. Считать [у] = 150 МПа.

Дано: F1 = 12 кН, F2 = 16 кН, M=5 кНм.

Рис.6

Решение

1. Определяем опорные реакции и проверяем их найденные значения:

Проверка:

Условие статики УY₁ = 0 выполняется, следовательно, реакции опор определены верно.

2. Делим балку на участки по характерным сечениям А,B,C,D (рис. 6,б).

3. Определяем в характерных сечениях значения поперечной силы Q_y и строим эпюру слева направо (рис. 6, в):

4. Вычисляем в характерных сечениях значения изгибающего момента М_х и строим эпюру (рис. 6, г):

5. Вычисляем размеры сечения данной балки из условий прочности на изгиб по заданному условию: сечение - прямоугольник с заданным соотношением сторон (рис. 6, д);

Вычисление размеров прямоугольного сечения:

Используя формулу и учитывая, что h =2b, находим

Задача 7. Для стального вала постоянного поперечного сечения с двумя зубчатыми колесами (рис.7, а), передающего мощность Р=20 кВт при угловой скорости щ = 15 рад/с, определить диаметр вала по двум вариантам : а) используя третью гипотезу ; б) используя пятую гипотезу прочности.

Рис.7

Принять: [у] = 60 МПа;

Решение

1. Составляем расчетную схему вала, приводя действующие на вал нагрузки к оси (рис.7,б). При равномерном вращении вала М₁ = М₂ , где М₁ и М₂ - скручивающие пары, которые добавляются при переносе сил F₁ и F₂ на ось вала .

2. Определяем вращающий момент , действующий на вал:

3. Вычислим нагрузки, приложенные к валу :

4. Определяем реакции опор в вертикальной плоскости (рис.7, б):

?Y=0, следовательно, R_Aу и R_Bу, найдены правильно.

Определяем реакции опор в горизонтальной плоскости (рис.7, б):

Знак минус указывает ,на то, что истинное направление реакции противоположно выбранному.

следовательно , R_Ax и R_Bх найдены верно.

5. Строим эпюру крутящих моментов М_z (рис.7, в).

6. Определяем в характерных сечениях значениях изгибающих моментов М_х в вертикальной плоскости и М_у в горизонтальной плоскости и строим эпюры (рис.7, г, д):

7. Вычисляем наибольшее значение эквивалентного момента по заданным гипотезам прочности . Так как в данном примере значение суммарного изгибающего момента в сечении С больше , чем в сечении D ,

то сечение С и является опасным . Определяем эквивалентный момент в сечении С.

8. Определяем требуемые размеры вала.

Принимаем d_вала = 70 мм.

Размещено на Allbest.ru