Оптимізація температурних режимів нагрівання та термонапруженого стану неоднорідних і термочутливих тіл

Размещено на http://www.allbest.ru

Размещено на http://www.allbest.ru

Вступ

Актуальність роботи. Оптимізація технологічних процесів нагрівання елементів конструкцій і вузлів при їх виготовленні та експлуатації пов'язана з визначенням функцій керування - внутрішніх чи зовнішніх джерела тепла та забезпеченням при цьому відповідних критеріїв оптимізації - мінімуму часу нагрівання, мінімальні затрати енергії, заданий розподіл температури або термонапружень в кінці режиму нагрівання. Крім того, технологічні процеси нагрівання часто накладають необхідність виконання додаткових обмежень на параметри температурного режиму - максимальну чи мінімальну температуру тіла, максимальний перепад температур, максимальний градієнт температурного поля, середньо інтегральну температуру в тілі, а також на параметри напружено-деформованого стану - температурні переміщення, компоненти тензора напружень чи деформацій, приведені напруження, які випливають з відповідного критерію міцності.

Теоретичні дослідження з питань постановки та розв'язування задач оптимального нагрівання твердих тіл виконані в працях Ю.Н. Андрєєва, Я.Й. Бурака, А.Г. Бутковського, В.М. Вігака, Є.І. Григолюка, Г. Дюво, Ю.В. Єгорова, Ж.Л. Ліонса, Я.С. Підстригача, В.П. Путятіна, Е.Я. Рапопорта, Т.К. Сіразетдінова, Ю.Г. Стояна, Е.П. Чубарова та ін. Переважна більшість досліджень задач оптимального керування нестаціонарними температурними режимами твердих тіл проводилась у припущенні однорідності їх матеріалів. Задачі оптимального керування нагріванням однорідних тіл при обмеженнях на фазові координати (параметри температурного режиму та термонапруження), критерієм оптимізації в яких виступає мінімізація часу нагрівання тіла, розглядались у роботах Б.М. Бублика, Л.Д.Величка, А.Х. Вирка, О.Р. Гачкевича, В.Я. Данілова, Є.А. Клестова, В.С. Колєсова, А.В. Костенка, С.О. Малого, А.С. Матвєєва, В.В. Мелюкова, М.Г. Огульника, Ю.С. Постольника, Б.М. Распопова, А.А. Углова, І.І. Федика, О.М. Шаблія, А.В. Ясінського, E.D. Eymana, U. Mackenrotha, T. Tsacheva та ін. Аналогічні задачі оптимізації нагрівання неоднорідних тіл розглядались В.М. Вігаком, М.Б. Вітером, В.С. Колєсовим, А.В. Костенком, О.Н. Шаблієм та ін.

У зв'язку з тим, що в останні роки в машинобудуванні набули поширення неоднорідні матеріали та матеріали, фізико-механічні характеристики яких залежать від температури, актуальними є задачі оптимального за швидкодією керування нестаціонарними температурними режимами в неоднорідних та термочутливих тілах. Ефективним методом розв'язування таких задач оптимізації є запропонований і розроблений Я.С. Підстригачем та В.М. Вігаком метод зведення задач оптимального за швидкодією керування нагріванням тіла до обернених задач теплопровідності та термопружності з класичними або некласичними граничними умовами, що випливають з додаткових умов, які накладаються на фазові координати. Суть даного методу полягає в тому, що нагрівання тіла виконується по границі обмежень, заданих на функцію керування та фазові координати. Важливо, що внаслідок нелінійності обмежень на напруження, нелінійності критеріїв для допустимих напружень, залежності фізико-механічних характеристик матеріалу тіла від температури задачі оптимального керування і, відповідно, обернені задачі термопружності є суттєво нелінійними.

Достатні умови оптимальності за швидкодією керування нагріванням однорідних та неоднорідних термопружних тіл при обмеженнях на параметри температурного режиму й напружено-деформованого стану, які дозволяють звести розв'язування задачі оптимізації до розв'язування обернених задач теплопровідності та термопружності, були отримані Л.Д. Величком, В.М. Вігаком, М.Б. Вітером і А.В. Костенком.

Зв'язок з науковими темами. Теоретичні і практичні результати, які склали основу роботи, отримані здобувачем як виконавцем державних бюджетних тем Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України, а саме: “Розвиток методу оберненої задачі теплопровідності і термопружності стосовно до оптимізації термонапруженого стану і температурних режимів елементів конструкцій” (№ д.р.01.87.0067376), “Оптимізація керування термопружнопластичним напруженим станом та температурними режимами в неоднорідних тілах на основі методу оберненої задачі термомеханіки” (№ д.р.01.93.U009588).

Мета дослідження. Метою роботи є обґрунтування і розвиток методу обернених задач теплопровідності та термопружності для побудови оптимального за швидкодією керування нестаціонарними температурними режимами в неоднорідних та термочутливих (фізико-механічні характеристики яких залежать від температури) твердих тілах за допомогою внутрішніх і зовнішніх джерел тепла при обмеженнях на керування і параметри теплового режиму та термонапруженого стану; розробка на цій основі алгоритмів і чисельних методик визначення оптимального керування та температурних режимів; побудова і дослідження розв'язків низки нових одновимірних задач оптимізації нагрівання таких тіл при обмеженнях на термонапруження.

Наукова новизна одержаних у дисертації результатів.

? Узагальнено стосовно термочутливих тіл теорему про достатні умови оптимального за швидкодією керування нестаціонарним температурним режимом неоднорідних тіл. На цій основі розв'язання задачі оптимального керування зведено до оберненої задачі теплопровідності та термопружності і розроблено методику побудови оптимального за швидкодією керування нестаціонарним режимом нагрівання термочутливих тіл для різного типу обмежень на фазові координати.

? Розвинуто метод оберненої задачі теплопровідності і термопружності стосовно розв'язування задач оптимального за швидкодією керування нестаціонарними температурними режимами термочутливих тіл при обмеженнях на керування та параметри температурних режимів і термонапруженого стану. Для реалізації розв'язків вказаних нелінійних задач оптимізації розроблена чисельна методика.

? З використанням чисельного методу скінченних різниць розроблено методику розв'язування нелінійних задач оптимального керування за допомогою внутрішніх джерел тепла в однорідних та неоднорідних тілах. При цьому розвинуто: метод правої прогонки для чисельного розв'язування крайової задачі теплопровідності з граничними умовами третього роду, в яких похідні апроксимуються трьохточковими несиметричними різницями; метод прогонки для складних систем стосовно розв'язування різницевих схем обернених задач теплопровідності і термопружності у випадку вказаної апроксимації похідних в граничних умовах. Запропоновано також модифікацію методу розв'язування різницевої схеми оберненої задачі термопружності для випадку, коли в поставленій задачі оптимізації має місце нелінійне обмеження на рівень напружень, що дає змогу розв'язувати системи різницевих рівнянь, в яких одне з рівнянь є нелінійним.

? На основі розроблених алгоритмів і чисельної методики побудовано розв'язки низки нових нелінійних задач оптимального за швидкодією керування одновимірними температурними режимами нагрівання неоднорідних і термочутливих тіл (шару, циліндра та кулі) при обмеженнях на керування та квазістатичні термонапруження.

Обґрунтованість і достовірність отриманих у дисертаційній роботі результатів забезпечується: строгим обґрунтуванням зведення розв'язування задач оптимального за швидкодією керування нагріванням пружних неоднорідних і термочутливих тіл до коректних прямих і обернених задач теплопровідності та термопружності; використанням апробованих методик та стійких, збіжних числових методів розв'язування прямих і обернених задач теплопровідності та термопружності; узгодженням отриманих чисельних розв'язків задач оптимізації для деяких частинних випадків з відомими, в тому числі отриманими аналітичним методом.

Практичне значення отриманих результатів полягає в можливості їх застосування при автоматизації та підвищенні продуктивності технологічних процесів керування нестаціонарними температурними режимами виготовлення сучасних елементів конструкцій та перехідними тепловими режимами певних вузлів енергетичного устаткування. Розроблені числові методики розв'язування поставлених задач оптимізації придатні для дослідження прямих та обернених одновимірних задач теплопровідності та термопружності для неоднорідних та термочутливих тіл. При цьому методика визначення одновимірного нестаціонарного температурного режиму за заданими напруженнями може знайти пряме використання для задач відтворення реальних температурного режиму й термонапруженого стану певних елементів конструкцій за допомогою експериментально заміряних температури і деформацій на доступній для вимірювання поверхні тіла.

1. Математична постановка задачі оптимального за швидкодією керування тривимірними нестаціонарними температурними режимами термочутливих пружних тіл при обмеженнях на керування та фазові координати

При умові, що розглядуваний процес нагрівання тіла керований, установлено достатні умови оптимальності за швидкодією керування. На цій основі сформульована нелінійна задача оптимального керування зведена до розв'язування зв'язаної нелінійної оберненої задачі теплопровідності й термопружності.

Розглянуто термочутливе пружне тіло, яке займає зв'язну область D з границею тривимірного евклідового простору R 3. Температурне поле тіла описується розв'язком крайової задачі теплопровідності

, ; (1)

, ; (2)

, . (3)

Тут:

,

параболічний оператор; - точка області ; ; - час; g - неперервна функція, яка монотонно не спадає від Т і монотонно спадає по u2;; ; - внутрішня конормальна похідна; - внутрішня нормаль до граничної поверхні тіла.

Напружено-деформований стан в розглядуваному тілі у випадку відсутності об'ємних сил в декартовій системі координат описується системою рівнянь квазістатичної незв'язаної задачі термопружності, яка складається з рівнянь рівноваги для напружень, геометричних співвідношень між деформаціями і переміщеннями, фізичних співвідношень між деформаціями і напруженнями.

Процес керування температурним режимом тіла відбувається за допомогою об'ємних (внутрішніх)і поверхневих (зовнішніх) джерел тепла. Поставлено задачу визначення таких функцій керування , які при обмеженнях на параметри температурного поля чи термонапруженого стану нагріють тіло за найкоротший час:

, (4)

від початкового розподілу температури (3) до кінцевого стану, який визначається рівністю:

, (5)

де - деякий функціонал, що діє із ; ; Т* - задана температура; C - простір неперервних функцій по координатах і часу . При цьому функції керування не можуть перевищувати деяких гранично допустимих неперервних функцій та , тобто:

; (6)

. (7)

Основні обмеження при інтенсивному нагріванні тіл накладаються на параметри температурного поля або термонапруження. Для математичного формулювання цих обмежень припускається, що їх можливо подати нерівностями вигляду:

(8)

де - лінійний інтегральний або інтегродиференціальний оператор.

Отже, потрібно знайти функції керування , які при обмеженнях (6)(8) за мінімальний час (4) змінять температурне поле тіла, що описується крайовою задачею (1) - (3), від початкового стану (3) до кінцевого (5).

Нехай - розв'язок задачі (1)(3) при , а - множина допустимих керувань.

Означення. Вектор-функція належить множині допустимих керувань , якщо на множині при задовольняється обмеження (6) і на множині при задовольняється обмеження (7), а відповідний температурний режим задовольняє обмеження .

Сформульовано додаткові умови (у дисертації умови 1-7), які накладаються на оператори і функції, що моделюють задачу оптимізації (1)(8) і узагальнено достатні умови оптимальності за швидкодією керування нагріванням термочутливих тіл у вигляді теореми 1.

Теорема 1. Нехай виконуються умови 1-7. Тоді, якщо існує векторфункція , для якої при виконуються рівності:

; (9)

, (10)

то p - оптимальне за швидкодією керування для задачі (1)-(8).

Доведена єдиність розв'язку задачі оптимального керування нагріванням тіла у вигляді теореми 2.

Теорема 2. Нехай виконуються умови 1-7. Тоді існує не більше ніж одна векторфункція , яка задовольняє рівності (9), (10) при .

Таким чином, теореми 1 і 2 дозволяють поетапно, опираючись на методи прямих і обернених задач теплопровідності й термопружності, будувати оптимальне за швидкодією керування нагріванням термочутливих пружних тіл. Методика розв'язування задачі оптимізації передбачає нагрівання термопружних тіл по одній з границь обмежень, що накладаються на функцію керування та фазові кординати. При виконанні умов (6), (7) і теореми 1 у випадку задача оптимального керування зводиться до прямих задач теплопровідності й термопружності, а у випадку хоча б однієї із умов - до нелінійної оберненої задачі теплопровідності й термопружності.

У наступних трьох розділах запропонована математична постановка і побудовано розв'язки задач оптимального за швидкодією керування одновимірними нестаціонарними температурними режимами однорідних, неоднорідних та термочутливих шару, циліндра і кулі з використанням запропонованої вище методики. У цьому випадку конкретизується вигляд операторів , , функцій , , в задачі оптимізації (1)-(8).

Нехай температурний режим у тілі задовольняє рівняння теплопровідності:

, , , , , (11)

граничні умови конвективного теплообміну:

; (12)

, (13)

та початкову умову (3). Тут для необмеженого шару (), суцільних циліндра () і кулі (); для порожнистих циліндра і кулі з внутрішнім та зовнішнім радіусами та відповідно. Крайова задача (3), (11)-(13) записана в безрозмірному вигляді. Якщо нагрівання тіла виконується внутрішніми джерелами тепла з питомою відносною потужністю , то припускається, що вона може бути подана у вигляді добутку двох функцій , де розподіл внутрішніх джерел тепла за координатою заданий і в процесі нагрівання не змінюється. Керування процесом нагрівання тіла здійснюється за допомогою зміни в часі питомої потужності теплових джерел , температури зовнішнього середовища чи або теплового потоку з інтенсивністю , на поверхні х=0 чи х=1. В останньому випадку одна з граничних умов (12), (13) або обидві будуть умовами другого роду.

Функція керування в загальному випадку позначається через і вибирається з множини функцій . Кінцева мета нагрівання задана однією з таких рівностей:

. (14)

Оператори обмежень на параметри теплового процесу , записані у вигляді максимальної температури тіла, максимального градієнта температурного поля і максимального перепаду температур в тілі. Оператори обмежень термонапруженого стану , мають наступний вигляд:

, (15)

при обмеженнях на одну із складових тензора термонапружень;

, (16)

при обмеженнях на найбільші за абсолютним значенням компоненти тензора термонапружень;

. (17)

при обмеженнях на приведені напруження, які визначаються нелінійним виразом енергетичного критерію міцності. Тут , j=1,2,3 - головні напруження термонапруженого стану тіла.

2. Клас задач оптимального керування нестаціонарним температурним режимом однорідних тіл () простої форми (шару, циліндра і кулі), яке здійснюється за допомогою внутрішніх джерел тепла.

При цьому накладені обмеження на функцію керування та одну з компонент тензора напружень:

, (18)

де - допустиме значення екстремальних напружень. Умову (18) можна замінити двома:

; ; (19)

. . (20)

Тут і - допустимі напруження розтягу і стиску відповідно.

Метою процесу нагрівання є досягнення максимальної температури (14) за мінімально можливий проміжок часу (4) при обмеженнях (6) () і (18).

Для однорідних шару, порожнистих циліндра та кулі розв'язки квазістатичних задач термопружності для напружень відомі і записуються у вигляді замкнутих формул.

Особливістю задач нагрівання тіл за допомогою потужності внутрішніх джерел тепла є ситуації, коли точка досягнення екстремальних термонапружень є внутрі тіла і змінюється в процесі нагрівання, внаслідок чого її місце знаходження наперед невідоме і обернена зв'язана задача термопружності, до розв'язування якої зводиться розв'язування задачі оптимізації, на одному з етапів нагрівання є слабо нелінійною і знаходження її розв'язку в аналітичному вигляді пов'язане з відповідними труднощами.

Згідно з теоремою 1 оптимальне керування для задачі оптимізації (4), (6), (11)-(14), (18) приймається рівним максимально можливій величині , якщо виконується умова (18), або забезпечує рівність обмежуваних напружень їх гранично допустимій величині . Остання рівність є додатковою умовою для знаходження невідомої функції керування при здійсненні нагрівання тіла по границі обмежень на напруження.

Описана методика зведення розв'язування задачі оптимізації до розв'язування прямих і обернених задач термопружності; наведено алгоритм розв'язування слабо нелінійної задачі оптимізації. Для чисельного розв'язування прямої задачі теплопровідності з використанням методу скінченних різниць запропоновано видозмінений варіант методу правої прогонки. Видозміна методу пов'язана із заміною похідних першого порядку в граничних умовах (12), (13) несиметричними трьохточковими різницями з похибкою О(h2), де h позначає віддалі між вузлами рівномірної сітки просторової координати.

Розглянуто три задачі побудови оптимального керування нагріванням термопружних тіл за допомогою розподілу внутрішніх джерел тепла у вигляді ступінчатої функції:

(21)

Згідно із запропонованим підходом побудовано і проілюстровано графічно: оптимальне керування нагріванням необмеженого шару при обмеженнях на напруження стиску (20) і розтягу (19), оптимальне керування нагріванням порожнистого циліндра при обмеженнях на максимальні за абсолютною величиною осьові напруження і оптимальне керування нагріванням порожнистої кулі при обмеженнях на максимальні за абсолютною величиною колові термонапруження.

3. Математична постановка й методика розв'язування задачі оптимального за швидкодією керування нагріванням неоднорідних термопружних тіл - шару, циліндра й кулі - при обмеженнях на керування і термонапруження

Неоднорідність розглядуваних тіл характеризується залежністю від координати х теплофізичних параметрів та термопружних характеристик .

Сформульована постановка задачі оптимізації. Наведено розв'язок задачі термопружності для необмеженого шару і записано ключові рівняння задач термопружності в напруженнях для порожнистих та суцільних циліндра і кулі. Викладена методика та алгоритми розв'язування слабо нелінійної задачі оптимізації керування нагріванням неоднорідних тіл, чисельне розв'язування прямих та обернених задач термопружності для різного типу обмежень, накладених на термонапруження, зокрема для обмежень (18) з операторами (16), (17). При розв'язуванні задачі оптимізації з обмеженням на приведені напруження запропоновано видозміну методу прогонки для складних систем у випадку, коли в системі різницевих рівнянь оберненої задачі термопружності одне з рівнянь є нелінійним. Наведено побудову запропонованим вище методом оптимального керування нагріванням порожнистого циліндра внутрішніми тепловими джерелами при обмеженнях на керування та перепад температур, максимальні за абсолютним значенням напруження та приведені напруження.

Розглянуто задачу нагрівання порожнистого кусково-однорідного циліндра, в якому керування нагріванням виконується за допомогою температури зовнішнього середовища при обмеженнях на термонапруження розтягу (19) і стиску (20).

Зауважено, що задача оптимального керування термонапруженнями в тілі передбачає обмеження напружень у нестаціонарному режимі. Такий характер поведінки напружень залежить від розподілу потужності теплових джерел і від вигляду граничних умов (12), (13). Знайдено розподіл джерел в неоднорідних циліндрі й кулі, при якому термонапруження можуть обмежувати інтенсивність їх нагрівання.

4. Формулювання на основі встановлених достатніх умов оптимальності, нелінійної задачі оптимального за швидкодією керування нестаціонарним температурним режимом термочутливих тіл при обмеженнях на керування й термонапруження

Врахування залежності теплофізичних та фізико-механічних характеристик матеріалів від температури значно ускладнює розв'язування прямих та обернених зв'язаних задач теплопровідності та термопружності у зв'язку з їх суттєвою нелінійністю, а в обернених задачах - ще додатковою зміною координати точки досягнення екстремальних значень обмежуваних напружень. Методики чисельного розв'язування задач оптимізації, нелінійних прямих та обернених задач термопружності. При цьому для розв'язування прямих та обернених задач теплопровідності та термопружності використовувався метод Ньютона в комбінації з модифікованими варіантами методів прогонки та прогонки для складних систем.

Розроблена на основі методу оберненої задачі методика чисельного розв'язування задач оптимального за швидкодією керування нестаціонарним температурним режимом термочутливих тіл ілюструється в підрозділі 4.3 побудовою розв'язків низки задач оптимального керування температурними режимами в шарі та циліндрі, виготовлених із сталі.

Підкреслено, що розв'язування нелінійних задач оптимального за швидкодією керування нагріванням термочутливих тіл з використанням методу обернених задач теплопровідності та термопружності виконується вперше.

Висновки

Дисертаційна робота присвячена вирішенню наукового завдання - розвитку методу оберненої задачі теплопровідності і термопружності для побудови розв'язків нелінійних задач оптимального за швидкодією керування нестаціонарними температурними режимами неоднорідних і термочутливих деформівних твердих тіл при обмеженнях на керування, параметри температурного режиму й термонапруження, а також розробці чисельної методики розв'язування нелінійних прямих і обернених задач теплопровідності й термопружності та розв'язуванню на цій основі низки нових задач оптимального керування нагріванням тіл у випадку одновимірного температурного поля при лінійних і нелінійних обмеженнях на термонапруження.

У роботі отримані такі основні результати.

Сформульована постановка суттєво нелінійної задачі оптимального за швидкодією керування нестаціонарним температурним режимом термочутливих тіл при обмеженнях на керування (внутрішні і зовнішні джерела тепла), параметри температурного режиму й напруження. Узагальнено теорему про достатні умови оптимальності за швидкодією керування нагріванням таких тіл. На цій основі нелінійна задача оптимального керування нагріванням термочутливих тіл зведена до розв'язання нелінійних прямих і обернених задач теплопровідності й термопружності.

Розроблено алгоритм та чисельні методики розв'язування нелінійних задач оптимального за швидкодією керування одновимірним нестаціонарним температурним режимом неоднорідних і термочутливих шару, порожнистих циліндра й кулі при обмеженнях на керування та лінійних і нелінійних (у вигляді критерію міцності) обмеженнях на температурні напруження.

На основі розвинутого методу обернених задач теплопровідності й термопружності розв'язано цілий ряд нових нелінійних задач оптимального за швидкодією керування одновимірними нестаціонарними температурними режимами однорідних, неоднорідних і термочутливих шару, порожнистих циліндра й кулі за допомогою внутрішніх і зовнішніх (конвективного теплообміну з навколишнім середовищем) джерел тепла при обмеженнях на керування та лінійних і нелінійних обмеженнях на температурні напруження.

Досліджено поведінку оптимального керування, одновимірного температурного режиму й температурних напружень в однорідних, неоднорідних і термочутливих простих тілах (шарі, циліндрі та кулі) при їх нагріванні внутрішніми та зовнішніми джерелами тепла для різного типу лінійних і нелінійних обмежень на напруження.

Розроблено модифікації методів прогонки для розв'язування систем лінійних різницевих рівнянь та систем рівнянь, одне з яких є нелінійним.

Знайдено розподіл внутрішніх джерел тепла, який в неоднорідних простих тілах забезпечує близький до нульового термонапружений стан у випадку одновимірного стаціонарного температурного режиму.

Розроблені методики чисельного розв'язування задач оптимального керування можуть знайти безпосереднє використання для розв'язування і дослідження одновимірних прямих задач теплопровідності й термопружності в неоднорідних і термочутливих тілах. Запропонована методика побудови розв'язків зв'язаної нелінійної оберненої задачі теплопровідності й термопружності, яка є ключовою для задачі оптимізації, може успішно бути використана для задачі відтворення нестаціонарних температурних режимів й термонапруженого стану в простих тілах на основі експериментально заміряних температури й деформацій на одній з граничних поверхонь цих тіл. В цьому випадку гранично допустимі температурні напруження слід замінити експериментально заміряними.

неоднорідний теплопровідність одновимірний

Література

Вигак В.М., Костенко А.В., Засадна Х.Е. Оптимальное управление нагревом простых термоупругих тел с помощью источников тепла // Прикладная механика. - 1989. - № 3. - т. 25. - С. 65-69.

Вигак В.М., Костенко А.В., Засадна Х.Е. Оптимальное управление нагревом неоднородных тел при ограничении на прочность // Прикладная механика. - 1991. - № 9. - т. 27. - С. 34-39.

Костенко А.В., Засадна Х.Е. Конечно-разностное решение задачи оптимизации по быстродействию нагрева неоднородных термоупругих тел внутренними источниками тепла // Мат. методы и физ.-мех. поля. - Вып. 34. - 1991. - С. 61-65.

Вигак В.М., Костенко А.В., Засадна Х.Е. Управление нагревом неоднородного твердого тела при ограничениях на температурные напряжения // Мат. физика и нелинейная механика. - 1993. - вып. 18(52). - С. 78-83.

Вігак В.М., Засадна Х.О. Нелінійна задача оптимального керування нестаціонарними температурними режимами шару при обмеженнях на термонапруження // Мат. методи і фіз.-мех. поля. - Вип. 38. - 1995. - С. 133-137.

Засадна Х.Е. Оптимальное по быстродействию управление нагревом неоднородных тел внутренними источниками тепла при ограничениях на параметры теплового процесса // Мат. методы и физ.-мех. поля. - Вып. 39. - № 1. - 1996. - С. 110-114.

Засадна Х.Е. Численное решение задачи оптимального управления нагревом термоупругой пластины внутренними источниками тепла // Мат. методы и физ.-мех. поля. - Вып. 28. - 1988. - С. 62-66.

Размещено на Allbest.ru