Підвищення точності аналізу електричних кіл узагальненим методом модифікацій

Размещено на http://www.allbest.ru/

НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

ІНСТИТУТ ЕЛЕКТРОДИНАМІКИ

УДК 621.372.061:621.011.71

ПІДВИЩЕННЯ ТОЧНОСТІ АНАЛІЗУ ЕЛЕКТРИЧНИХ КІЛ УЗАГАЛЬНЕНИМ МЕТОДОМ МОДИФІКАЦІЙ

Спеціальність 05.09.05 -- Теоретична електротехніка

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

доктора технічних наук

РИБІН Олександр Іванович

Київ -- 2002

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана на кафедрі теоретичних основ радіотехніки Національного технічного університету України “Київський політехнічний інститут” Міністерства освіти і науки України, м.Київ.

Науковий консультант -- доктор технічних наук, професор Трохименко Ярослав Карпович, професор кафедри теоретичних основ радіотехніки Національного технічного університету України “Київський політехнічний інститут”

Офіційні опоненти: -- доктор технічних наук, професор, член-кореспондент НАН України Волков Ігор Володимирович, завідувач відділу систем стабілізованого струму Інституту електродинаміки НАН України; електричний рівновага матриця похибка

-- доктор технічних наук, професор Стахів Петро Григорович, завідувач кафедри теоретичної та загальної електротехніки Національного університету України “Львівська політехніка”;

-- доктор технічних наук, професор Костін Микола Олександрович, завідувач кафедри теоретичних основ електротехніки Дніпропетровського державного технічного університету залізничного транспорту.

Провідна установа -- Інститут електрозварювання ім. Є.О.Патона НАН

України (відділ електротермії), м.Київ.

Захист відбудеться “10” грудня 2002р. о 14 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.187.01 в Інституті електродинаміки НАН України, за адресою: 03680, м.Київ-57, проспект Перемоги, 56, тел.446-91-15.

З дисертацією можна ознайомитись в бібліотеці Інституту електродинаміки НАН України за вищевказаною адресою.

Автореферат розіслано “17” жовтня 2002р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради В.С.Федій

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Вступ. Розв'язання задач проектування електричних кіл має велике значення внаслідок широкого їх впровадження в усі сфери сучасної науки і техніки. Основною ланкою проектування (в послідовності -- аналіз, синтез, оптимізація) є задача аналізу, від точності та швидкодії розв'язання якої вирішальним чином залежить як сама можливість забезпечення вимог технічного завдання, так і надійність, серійноспроможність, собівартість та масогабаритні показники апаратури.

Дослідженням в області аналізу лінійних кіл присвячені численні фундаментальні розробки наукових шкіл, створених такими відомими вітчизняними та зарубіжними вченими, як Ю.Т. Величко, В.П. Сигорський, Я.К. Трохименко, А.І. Петренко, Г.Є. Пухов, Ю.М. Калніболотський, Н.Г. Максимович, В.І.Анісімов, С. Беллерт, Г. Возняцкі, Ч. Дезоер, А.А. Ланне, А.К.Шидловський, І.В.Волков, В.І.Сенько, І.Влах, Л.Чуа, Г. Боде, С. Сешу, Н. Балабанян і багато інших.

Основними задачами схемотехнічного проектування електричних кіл зі слабкими сигналами, призначеними для обробки інформації є обчислення з необхідною точністю частотних та часових характеристик таких кіл, а також оцінка стійкості кіл з активними компонентами.

Сучасному інженеру-електрику доступні високопродуктивні компўютери з достатньо досконалим математичним забезпеченням, яке грунтується на останніх досягненнях обчислювальної математики. Проте, результати аналізу селективних лінійних кіл з високою добротністю (характерних для пристроїв обробки інформації) і в цьому випадку можуть виявитися частково або повністю помилковими. Причина полягає в тому,що математичне забезпечення проектування лінійних кіл засновано, як правило, на використанні чисельних методів розвўязання систем лінійних алгебраїчних рівнянь, що моделюють властивості аналізованого кола. Однак, деякі елементи подібних матриць взаємозалежні, бо до їх складу входять параметри певних елементів схем заміщення кола. Це призводить до методичних похибок в результатах чисельного аналізу, які при поганій зумовленості системи рівнять можуть привести до катастрофічної втрати точності. Використання режиму кратної точностї компўютера (збільшення розрядності операндів) зменшує похибки результатів аналізу, але збільшує витрати машинного часу. Разом з тим в деяких випадках цей режим також не забезпечує повного усунення похибок результатів. Використання методів розвўязання некоректних задач також повўязано зі значним збільшенням витрат машинного часу і не може усунути повністю методичну складову похибки результатів аналізу в звўязку зі взаємозалежністю елементів матриці коефіціентів систем лінійних рівнять кола, яка породжує цю методичну похибку.

Таким чином, виникає складна проблема усунення методичноі похибки результатів аналізу високодобротних лінійних кіл (зокрема, фільтрів), які є основними в електричних та інших колах обробки інформації.

Методична похибка результатів аналізу таких кіл може бути усунута при використанні вихідної моделі лінійного кола в вигляді його схеми заміщення. В цьому разі усунення методичної похибки результатів аналізу досягається застосуванням символьних методів аналізу (зокрема, теоретико-множинних методів, які зручні для програмної реалізації), проте витрати машинного часу на формування точних розрахункових формул є відносно великими. Крім того, символьні методи безпосередньо непридатні для розвўязання таких нелінійних задач аналізу лінійних кіл, як обчислення коренів алгебраїчних многочленів, знання яких потрібно для розвязання як задач аналізу (зокрема, обчислення часових характеристик та аналізу стійкості), так і синтезу кіл.

Компроміс між відносно малими витратами машинного часу з великими похибками результатів при застосуванні чисельних методів аналізу та відносно великими витратами машинного часу при застосуванні символьних методів можна досягти при використанні символьно-чисельних методів аналізу. В таких методах проміжні результати символьного аналізу, що відповідають добре зумовленим частинам моделі, знаходять чисельними методами. Це, зокрема, дозволяє знайти оптимальний час розв'язання задачі аналізу з необхідною точністю результатів.

Тому важливого значення набуває розробка нових чисельно-символьних методів аналізу, які на базі апріорної інформації про структуру аналізованого кола дозволяли б суттєво підвищити точність аналізу за рахунок зменшення впливів методичної похибки.

Актуальність теми. Розвиток техніки за останні двадцять років, що призвів до значного ускладнення електричних кіл (зростання порядку систем рівнянь рівноваги), появи нових класів кіл (джерела вторинного електроживлення, кола на ємностях, що перемикаються, багатофункціональні універсальні фільтри), нових класів розв'язуваних задач (урахування впливів паразитних параметрів, обчислення запасу стійкості, задачі імпедансної томографії, аналіз параметричних кіл тощо) та нової елементної бази, викликав значне підвищення вимог до точності аналізу.

До джерел методичної похибки, в першу чергу, слід віднести дублікації, еквівалентні перетворення компонентів, а також саму стандартну процедуру складання системи рівнянь рівноваги кола і подальшого розв'язання цієї системи. Існуючі методи аналізу в значній мірі не враховують вказані джерела.

Так, символьно-чисельний метод головних елементів схеми заміщення, запропонований Я. К. Трохименко, заснований на обчисленні чисельника і знаменника функції кола, заданої схемою заміщення. Виділяючи всі “незаземлені” (не зўєднані з загальним вузлом) елементи схеми заміщення, які породжують методичні похибки результатів аналізу, можно отримати результат, в якому відсутні методичні похибки. Виділяючи в першу чергу “незаземлені” елементи з найбішим модулем провідності, можно визначити оптимальне число таких елементів (і оптимальні втрати часу на обчислення), що забезпечує задану точність. Недоліком цього методу є його безпосередня непридатність для обчисленння нулів і полюсів функцій кола та необхідніть обчислення коєффиціентів дробово-раціональних функцій і їх частотних характеристик для кожної функції окремо.

Запропонований автором дисертації символьно-чисельний метод модифікацій базується на оберненні матриці провідностей вихідної підсхеми з усуненими (розімкнутими) елементами схеми заміщення кола , що забезпечує простоту і точність оберенення матриці провідностей такої підсхеми, з наступним послідовним “випрощуванням” усунутих елементів і відповідним перетворенням (модифікацією) зворотної матриці. Цей метод дозволяє також формувати елементи зворотної матриці (функції вхідних і передаточних опорів кола) в вигляді відношення множників нулів і полюсів елементів зворотної матриці, тобто обчислювати корені алгебраїчних многочленів.

Недоліки методу модифікацій полягають в його призначенні для аналізу лампових та транзисторних лінійних кіл, схеми заміщення яких складаються з елементів, що керуються напругою. Між тим, в сучасних електричних колах широке застосування знаходять активні компоненти, схеми заміщення яких складаються з ідеальних джерел струму та напруги, які керуються струмом, а не напругою, і для аналізу таких кіл метод модифікацій безпосередньо непридатний. Алгоритми методу модифікацій, повязані з обчисленням нулів і полюсів, не були оптимальними, а оцінка точності обчислення нулів та полюсів не була підтверджена. Головним же недоліком методу модифікацій можна вважати ту обставину, що хоча точність результів аналізу за цим методом і підвищується, він безпосередньо не призначався для усунення методичних похибок результатів аналізу. Тому для розв'язання проблеми підвищення точності аналізу (усуненням впливів методичної похибки з урахуванням нерегулярних для базису вузлових напруг елементів) та зменшення впливів операційної похибки великого значення набуває розробка нового чисельно-символьного методу. Метод повинен також забеспечувати підвищену швидкодію (за рахунок інформації про структуру схеми), можливість аналізу багатьох функцій та характеристик кола, єдиний підхід та можливість використання в інших областях знань. При цьому оцінка точності одержаних результатів повина бути прив'язана до зрозумілих (наприклад, технологічних) показників точності виготовлення компонентів та вимірювання їх параметрів. Все це й визначає актуальність теми.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертаційна робота виконана у Національному технічному університеті “Київський політехнічний інститут” при виконанні ряду госпдоговірних робіт з автоматизації проектування електричних кіл: №2066 -- “Дослідження принципів побудови томографа прикладених потенціалів” (1997 р., № ДР 0196U009073), №2160 -- “Розробка методів та устаткування ранньої діагностики порушень водно-біологічного балансу біологічних органів шляхом визначення їх електричного імпедансу” (1998 р., № ДР 0197U00666). Крім того, основні положення дисертації були одержані і використовувалися при виконанні ряду проектів технічного університету м. Брно (Чехія), де автор приймав участь як співвиконавець: №102/93/1266 -- “Синтез електронних кіл на функціональних блоках” (1993 -- 1994 р.р., Грант Грантової агенції Чеської республіки); № 1-0053/94 -- “Нетрадиційні методи обробки аналогових сигналів” (1994р., Грант розвитку вищих навчальних закладів Міністерства освіти Чеської республіки); № 027 -- “Аналіз дуже складних кіл діакоптичними методами” (1995р., Грант факультету FET VUT Брно); № 102/95/0055 -- “Моделювання та проектування електронних кіл з перетворювальними блоками” (1993 -- 1994р.р., Грант Грантової агенції Чеської республіки); № FU450064 -- “Синтез фільтрів у струмовому базисі” (1995 -- 1996р.р., Грант Фонду VUT для науки та мистецтва); № 102/96/0994 -- “Сучасні методи аналізу та синтезу спеціальних аналогових кіл” (1996 -- 1998р.р., Грант Грантової агенції Чеської республіки); №102/98/0130 -- “Кола із нетрадиційними елементами у струмовому базисі” (1998 -- 2000р.р., Грант Грантової агенції Чеської республіки) та № 102/01/0228 -- “Електронні кола, що працюють у неоднорідних базисах і їх застосування” (2001р., Грант Грантової агенції Чеської республіки).

Особистий внесок автора в роботу №2066 полягає у створенні моделі фантома для імпедансної томографії і розв'язанні прямої та зворотної задачі. В роботі №2160 автором був розроблений метод “променів провідностей”, проведені оцінки потенційної роздільної здатності та залежності кількості розрізнюваних неоднорідностей від кількості вимірювальних електродів. В роботі №102/93/1266 автор використовував алгоритми узагальненого методу модифікацій для аналізу впливів паразитних параметрів для різних схем багатофункціональних фільтрів, одержаних за єдиним прототипом. В роботах №1-0053/94 та №027 були використані розроблені автором алгоритми “вирощування” компонентів, нерегулярних для базису вузлових напруг, та методи реставрації образів. В роботі №102/95/0055 були використані розроблені автором модифікований метод припасовування та метод синтезу SC-фільтрів без спотворення головної карти нулів та полюсів відносно ARC-прототипу. В роботах №FU450064, №102/96/0994, №102/98/0130 та №102/01/0228 автором були розроблені алгоритми “вирощування” універсальних активних n-брамників, використовувався узагальнений метод модифікацій для аналізу кіл в частотній області та методи пошуку полюсів функцій кола для аналізу у часовій області.

Мета та задачі дослідження. Метою дослідження є підвищення точності аналізу електричних кіл з погано зумовленими матрицями коефіцієнтів системи рівнянь рівноваги за рахунок усунення впливів методичної та зменшення впливів операційної похибки, для чого розроблено новий узагальнений метод модифікацій.

Для досягнення поставленої мети в дисертації вирішувались такі основні задачі:

аналіз складних лінійних та лінійно-параметричних кіл в зворотному базисі з використанням нерегулярних для базису вузлових напруг компонентів без їх еквівалентних перетворень, таких як: джерела струму, керовані струмом; джерела напруги, керовані напругою; джерела напруги, керовані струмом; гіратори; трансформатори (без урахування та з урахуванням втрат); універсальні активні n-брамники (у загальному вигляді та при їх перетворенні у конвеєри струму та напруги); блоки, описані матрицями S-параметрів (виміряними при взаємно нормованих і денормованих хвильових опорах);

оцінка точності та швидкості узагальненого методу модифікацій при зменшенні впливу дублікацій (в разі обчислень з кінцевою розрядністю операндів) за рахунок “вирощування” на останньому кроці модифікації підсхеми “незаземлених” гілки, контура, блока;

введення параметричного критерію оцінки точності обчислень за “вирощуваним” параметром при обчисленнях матриць розв'язків, лишків, координат полюсів функцій кола;

аналіз кіл з великою кількістю вузлів (256 ... 4096) для формулювання в поняттях теорії кіл і розв'язання прямої задачі імпедансної томографії та для виявлення потенційної геометричної та за інтенсивністю роздільної здатності;

розв'язання зворотної задачі імпедансної томографії (відновлення розподілення питомих опорів елементів фантома за зовнішніми вимірюваннями напруги) та оцінки кількості відновлюваних неоднорідностей;

аналіз лінійних та лінійно-параметричних кіл у часовій області, який би мав велику швидкість і задовільну (контролюєму) точність для розв'язання задач аналізу джерел вторинного електроживлення та кіл на ємностях, що перемикаються (SC), з оцінкою стійкості таких кіл;

синтез SC-фільтрів за ARC-прототипами без спотворень, зумовлених використовуваними на практиці апроксимаціями Z-перетворення;

обчислення нулів та полюсів функції кола при її представленні у вигляді дробово-раціональної функції оператора р, розкладу на прості множники та прості дроби за алгоритмами прогнозу та корекції з контролем похибки та її мінімізацією і з максимальним використанням інформації про структуру схеми;

забезпечення єдності математичного апарату, критеріїв і оцінок точності.

Об'єктом дослідження є електричні лінійні та лінійно-параметричні кола, які утворюють окремий підклас частотно-селективних електричних кіл з активними компонентами, яким притаманні погано зумовлені системи рівнянь рівноваги (внаслідок близькості частот, на яких проводиться аналіз, до значень полюсів та великої асиметрії матриць коефіцієнтів), що при обчисленнях з кінцевою розрядністю (враховуючи наявність дублікацій) призводить до великих похибок.

Предметом досліджень є підвищення точності аналізу за рахунок усунення впливу методичних та зменшення операційних похибок.

Методи досліджень. Наукові результати досліджень одержані на основі математичного апарату теорії кіл, зокрема на перетвореннях Фур'є та Лапласа, методах сумарних алгебраїчних доповнень, взаємних похідних та методі припасовування.

Наукова новизна одержаних результатів дисертаційної роботи полягає в наступному:

1. Розроблено новий узагальнений метод модифікацій, суть якого полягає у покроковому формуванні (“вирощуванні”) матриці розв'язків системи рівнянь рівноваги кола без попереднього формування матриці коефіцієнтів (у базисі вузлових напруг або у змішаному). При цьому спочатку формується матриця розв'язків для дерева (або піддерев) елементарних блоків, після чого “вирощуються” незаземлені (“плаваючі”) блоки та елементи. Таке формування матриці розв'язків дозволяє “вирощувати” окремий елемент (чим виключається методична похибка, пов'язана з приведенням подібних) і одночасно оцінювати (і коригувати) точність обчислень.

2.Вперше на основі аналізу властивостей узагальненого методу модифікацій проведена оцінка точності обчислень з використанням алгоритму формування матриць розв'язків з вибором оптимального порядку формування (що дозволяє зменшити впливи на точність обчислень дублікацій, утворених “незаземленими” підсхемами) з використанням параметричного критерію оцінки точності. Розроблено алгоритми методу модифікацій для “вирощування” “плаваючих” блоків схеми, заміни загального вузла, “вирощування” нерегулярних для базису вузлових напруг компонентів та блоків без їх еквівалентних перетворень, що зменшує похибки за рахунок таких еквівалентних перетворень.

3.Розроблено раніше невідомий метод розв'язання прямої задачі імпедансної томографії на базі узагальнених модифікацій, зручний і для розв'язання зворотної задачі в ітераційній процедурі. Метод дозволяє обчислювати розподіл потенціалів на кінцевих елементах при відомому розподілі питомих провідностей усередині фантома, а також при зміні цих провідностей.

4.Розроблено новий метод “променів провідності” для реконструкції картини розташування питомих опорів у середині фантома за зовнішніми виміряними потенціалами, і алгоритм реставрації реконструйованого образу, що дозволяє значно зменшити кількість трудомістких операцій реконструкції та проводити порівняння властивостей імпедансних томографів в оптичних термінах, притаманних іншим видам томографії.

5.Запропоновано та обгрунтовано модифікований метод припасовування, зручний для аналізу перехідних та сталих процесів в лінійно-параметричних колах та в лінійних колах із сталими параметрами при їх підімкненні під періодичну дію складної форми, що на відміну від методів, які використовують суперпозицію вхідних сигналів пробними функціями, забезпечує підвищену точність обчислень.

6.Розроблено новий метод синтезу SC-кіл за ARC-прототипами, який на відміну від відомих методів, що базуються на апроксимації Z-перетворення різноманітними наближеннями, дозволяє одержувати SC-аналоги без спотворення карти головних нулів, полюсів відносно ARC-прототипу, а також запропоновано критерій оцінки стійкості лінійних параметричних кіл з ємнісною накачкою енергії.

7.Запропоновано та обгрунтовано метод модифікацій пошуку полюсів функцій кола на базі прогнозу їх траєкторій за рядом Тейлора і корекції за точною формулою корекції для випадку однократних та розщеплення двократних коренів при усіх відомих автору представленнях функцій кола. Одержано також варіант методу для пошуку коренів поліномів при відсутності інформації про структуру кола.

8.Розроблено єдиний підхід узагальнених модифікацій для аналізу лінійних та лінійно-параметричних кіл у частотній та часовій областях, розв'язання задач імпедансної томографії, пошуку нулів та полюсів функцій кола з оцінкою точності обчислень за єдиним, зручним у практиці, параметричним критерієм.

Практичне значення одержаних результатів роботи полягає в тому, що:

1. Розроблено алгоритми формування матриці розв'язків з використанням елементів, моделі яких є нерегулярними для базису вузлових напруг, без їх попередніх еквівалентних перетворень. Ці алгоритми використовувалися при проектуванні кіл на нерегулярних елементах, зокрема, універсальних фільтрів, малочутливих до розкиду та змін параметрів.

2. Показані позитивні властивості методу при реалізації алгоритму вибору оптимальної ієрархії “вирощувань” параметрів для кіл, що мають погано зумовлені матриці провідностей, при використанні параметричного критерію оцінки точності, привўязаного до технологічних показників виготовлення і точності вимірювання параметрів.

3. Реалізація прямої та зворотної задачі імпедансної томографії дозволила (на фантомах, відповідних до біологічних структур) встановити границі потенційної геометричної роздільної здатності і роздільної здатності за інтенсивністю та сформулювати вимоги до похибок вимірювань.

4. Розроблений метод “променів провідності” для розвўязання зворотної задачі дозволив значно скоротити час і зменшити операційні похибки (порівняно до існуючих алгоритмів). Метод дозволяє порівнювати одержані результати імпедансної томографії з результатами інших видів томографії в притаманних цим методам оптичних термінах. Реалізація методу дозволила оцінити кількість розрізнюваних неоднорідностей різничної моделі фантома.

5. Розроблений модифікований метод припасовування дозволяє одержувати результати в замкненій формі (рекурентні та точні матричні співвідношення для часу t = Ґ), швидко і точно обчислювати (за матрицею прирощень) лишкі простих дробів (тобто перейти до “головних оригіналів” елементів матриць розвўязків) та оцінити стійкість аналізованих кіл.

6. Модифікований метод припасовування дозволяє враховувати паразитні “малі” опори замкнених і кінцеві опори розімкнених ключів, що не призводить до втрат точності за рахунок поганої зумовленості матриць провідностей, а урахування таких параметрів має практичне значення при оцінці показників якості проектованих кіл (наприклад, у джерелах вторинного електроживлення).

7. Розроблений метод синтезу фільтрів на ємностях, що перемикаються (SC), на базі ARC-прототипів дозволяє одержувати SC-кола з головною картою нулів-полюсів без спотворень (які виникають в інших методах синтезу для різних типів апроксимації Z-перетворення) по відношенню до прототипів. Це відкриває нові можливості проектування таких фільтрів.

8. Розроблені алгоритми методу модифікацій для пошуку полюсів функцій кола дозволяють обчислювати їх координати для складних кіл без накопичення (в сенсі параметричного критерію точності) похибок з можливістю оцінки запасу стійкості.

9. Розроблені методи і алгоритми реалізовані для обчислень на ЕОМ, а відносно нескладні кола (схеми яких мають до 15…20 вузлів) зручно обчислювати і “вручну”. Усі методи і алгоритми мають зрозумілу схемотехнічну і фізичну інтерпретацію та враховують досвід проектування, що робить їх зручними та зрозумілими для інженерів-проектувальників.

Реалізація результатів дисертації: всі результати, одержані в дисертаційній работі, впроваджені в науково-дослідних роботах кафедри ТОР НТУУ “КПІ”, використовувались при проектуванні вторинних джерел електроживлення на кафедрі звукотехніки і реєстрації інформації НТУУ “КПІ”, у технопарку “Перспектива” (м. Київ), а також при виконанні Грантів Чеської республіки в НТУ (м. Брно). Акти, що підтверджують практичне впровадження отриманих результатів, наведені в додатках до дисертації.

Крім того, на протязі останніх 10 років результати дисертації були впроваджені в учбовий процес в дисципліни “Основи теорії кіл” та “ Методи компўютерної томографії”, які автор викладає на РТФ НТУУ “КПІ” (зокрема, результати дисертації відбиті в дев'яти навчальних посібниках, електронному підручнику з курсу “Основи теорії кіл” та навчальному посібнику “Томографічні системи відображення”).

Особистий внесок здобувача у розробку наукових результатів, які виносяться на захист.

Усі методи, алгоритми, висновки і рекомендації, наведені в дисертації і авторефераті, належать особисто автору.

Шість робіт автором написані одноосібно [5--10].

Основний зміст навчального посібника [1] (розділи 4--8) належить виключно здобувачеві; у навчальному посібнику [2] здобувачеві належать розділи 3, 4, 5; у навчальному посібнику [3] здобувачеві належать розділи 3, 5, а розділи 2,4 -- у співавторстві, в навчальному посібнику [4] -- розділи 4, 5 у співавторстві та додатки 1 -- 4.

В роботах [11--16] автором одержані алгоритми “вирощування” незаземлених блоків, гіраторів, трансформаторів, джерел струму, керованих струмом, джерел напруги, керованих струмом та напругою, конвеєрів струму, універсальних активних n-брамників та блоків, описаних коефіцієнтами відбиття (S-параметрами).

В роботах [28--34] автору належать результати аналізу впливів паразитних параметрів, що надало можливість одержати оптимальні реалізації фільтрів на новій елементній базі.

Основна ідея розв'язання прямої [17--18] та зворотної задачі [19,35] (метод променів провідностей) належать автору. В роботах [3,4,20] автором розроблено алгоритм модифікованого методу припасовування для лінійно-параметричних кіл та лінійних кіл із сталими коефіцієнтами, а в роботі [21] метод синтезу SC-фільтрів без спотворень за рахунок апроксимації Z-перетворення. В роботах [22--27] автором запропонований та реалізований узагальнений метод модифікацій для пошуку нулів та полюсів функцій кола.

Апробація результатів дисертації. Результати досліджень доповідалися і обговорювалися на наступних конференціях і семінарах: Міжнародному Вроцлавському симпозиумі з електромагнітної сумісності у 1990, 1992, 1996, 2000 р.р.; XXII Міжнародній асамблеї з радіотехніки в Торонто (Канада) у 1999 р.; Міжнародних конференціях з питань радіоелектроніки: в м. Жиліна (Словаччина) в 1995 р., м. Брно (Чехія) в 1994, 1995, 1996, 1998, 1999, 2001 р.р., м. Братіслава (Словаччина) в 1997, 2000 р.р.; конференціях і семінарах з проблем електромагнітної сумісності в Україні та Росії: в Києві у 1987, 1989 р.р.; в Санкт-Петербурзі у 1987, 1993 р.р.; в Москві у 1988, 1989, 1990, 1991 р.р.; в Ужгороді в 1989 р., в Севастополі у 1989 р., в Суздалі у 1991 р.; конференціях і семінарах з обробки та реконструкції медичних образів у м. Києві в 1996, 1997, 1998 р.р.

Публікації. За темою дисертації опубліковано 98 наукових робіт, з яких 9 навчальних посібників, 59 статей (з них 40 у фахових наукових виданнях, 6 -- написані одноосібно, 2 депоновані роботи) та 30 тез доповідей на українських та міжнародних конференціях і семінарах.

Обсяг та структура дисертаційної роботи. Дисертаційна робота складається зі вступу, 5 розділів, висновків та 2 додатків. Загальний обсяг дисертації становить 317 сторінок, у тому числі основного тексту 255 сторінок, 70 рисунків, що займають 25 сторінок, 3 таблиць та 9 сторінок додатків. Список використаних літературних джерел складає 185 найменувань і займає 17 сторінок тексту роботи.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі розкрито сутність і стан наукової проблеми, показані значущість та актульність її розвўязання для проектування електричних кіл, а також представлено загальну характеристику роботи.

Перший розділ присвячено огляду проблеми та методів розвўязання задачі аналізу лінійних кіл як базової для проектування електричних пристроїв та систем. Головною проблемою, з якою зустрічаються при розвўязанні задачі аналізу кіл, є наявність операційної похибки за рахунок кінцевої розрядності операндів. При цьому алгебраїчна сума (як і добуток) може сильно змінюватися при перестановці місць доданків (множників), що при наявності дублікацій може призводити до значних (часто катастрофічних) похибок. Можливості виникнення дублікацій (таких членів виразів при оберненні матриці та розкритті визначників, які б знищувалися при приведенні подібних в разі символьного представлення операндів) можна оцінити за структурою аналізованого кола.

Крім того, матриці провідностей електричних кіл є сильно розрідженими (граф схеми завжди є дуже неповним), тобто мають велику кількість нульових елементів. У середньому, в електричних колах вузол схеми поєднаний з іншими її вузлами лише 3…7 гілками. Тому в матриці коефіцієнтів (вузлових провідностей) лише 4…8 елементів рядка є ненульовими. Щоб запобігти операціям над нулями і скоротити час обчисленнь, слід ці структурні властивості електричних кіл враховувати. Досліджувані в роботі кола є такими частковими випадками електричних кіл, яким притаманні особливості, що викликають погану зумовленість матриць коефіцієнтів систем рівнянь рівноваги. Погана зумовленість таких матриць, в першу чергу, визначається частотно-вибірковим характером багатьох кіл (великою добротністю полюсів функцій кола), а також наявністю перемикачів (в лінійно-параметричних колах), опори яких мають значення у замкненому стані близько долей…одиниць Ом, а у розімкненому -- сотень кОм…десятків МОм. Ідеалізація ключів при цьому ще більше ускладнює задачу, оскільки при нульових і нескінченних опорах ключів виникають або невизначеності матриці коефіціентів, або змінюється їх порядок і нумерація вузлів (схеми із змінною структурою). Наявність великої кількості активних компонентів (джерел струму, керованих напругою, із великими відносно провідностей двополюсних компонентів передаточними провідностями) з одного боку дає систематичні похибки за рахунок заокруглень при підсумуванні доданків у відповідних клітинах матриці провідностей, а з іншого боку, при обчисленнях з кінцевою розрядністю за рахунок дублікацій, призводить до зростання операційної похибки. До цього слід додати наявність великої кількості поширених у практиці компонентів кола, моделі яких є нерегулярними (тобто невідповідними) для обраного базису рівнянь рівноваги (для базису вузлових напруг -- це трансформатори, джерела напруги, керовані струмом, джерела струму, керовані струмом, джерела напруги, керовані напругою, конвеєри струму та напруги, універсальні активні n-брамники, блоки описані в базисі S-параметрів тощо). Еквівалентні перетворення таких нерегулярних елементів призводять до нових вироджень систем рівнянь, що можна обійти використанням додаткової апріорної інформації (в першу чергу -- про структуру схеми).

Методи аналізу електричних кіл можна (за кількістю використовуваної апріорної інформації та способом представлення результатів аналізу) умовно розбити на три основні класи: чисельні, символьні, чисельно-символьні.

Чисельні методи -- це методи обчислення розвўязку рівнянь рівноваги (приведення матриці розвўязків до трапецевидного вигляду, LU -- розклад, обернення матриці за Гаусом та спорідненими методами). Головною перевагою цих абстрактно-математичних методів є їх простота та відносно велика швидкодія. Але обмежена розрядність операндів (особливо при поганій зумовленості матриці провідностей) часто призводить до великої похибки обчислень. Збільшення розрядності таку похибку зменшує, але призводить до великих додаткових витрат часу на обчислення.

Символьні методи дозволяють одержати символьні вирази для функцій кола в залежності від параметрів його компонентів. Але такі символьні вирази мають велику кількість доданків у виглядів добутків параметрів компонентів n-го порядку (n -- порядок матриці), що робить ці вирази громіздкими. Необхідність одержання чисельних оцінок результату при обчисленнях з кінцевою розрядністю за такою аналітичною формулою також часто призводить до накопичення операційних похибок. До того ж, при сучасних вимогах до проектування кіл необхідно обчислювати і контролювати багато функцій кіл, які можуть бути обчислені лише послідовно у вигляді великої кількості громіздких виразів.

Чисельно-символьні методи використовують додаткову інформацію про структуру аналізованої схеми, що дозволяє одержувати чисельно-символьний результат. При цьому використовуються явні символьні залежності чисельних значень визначників (алгебраїчних доповнень) і елементів оберненої матриці від символів деяких параметрів компонентів кола. До цієї групи методів в роботі віднесені метод сумарних алгебраїчних доповнень, метод взаємних похідних, та метод модифікацій обернення матриці. Метод модифікацій для обернення матриць складається в попередньому розбитті вихідної схеми на підсхеми “розриванням” віток між цими підсхемами (нульова модифікація схеми). Внаслідок цього матриця провідностей стає блочно-діагональною і зворотна до неї утворюється оберненням кожного елементу діагоналі окремо (нульова модифікація зворотної матриці). В залежності від способу утворення нульової модифікації схеми завжди можна одержати добре зумовлені матриці окремих підсхем, що гарантує відносно точне обчислення нульової модифікації зворотної матриці. Далі послідовним покроковим “вирощуванням” розірваних провідностей схема приводиться до своєї m-ої модифікації, а зворотна матриця -- до свого дійсного значення: де wm - провідність “вирощуваної” вітки, Zm-1 - обчислена на попередньому кроці (m-1)-ша модифікація матриці; , де (a,b) - вузли, до яких підімкнена керуюча гілка (потенціал вузла а вище ніж b) джерела струму, підімкненого до вузлів (c,d) (струм тече від вузла с до вузла d) з передаточною провідністю

S=wm; Am=xzoxoz, де

xzo=[(z1c-z1d)( z2c-z2d)…( znc-znd)]t; xoz=[(za1-zb1)( za2-zb2)…( zan-zbn)]; n - порядок матриці; усі елементи zij взяті з матриці Zm-1.

В розділі також окремо розглянуті питання оцінки за методом модифікацій впливу змін параметрів лінійного кола та показана зручність запропонованого підходу. Крім того розглянуте питання апроксимації полюсів функцій кола багатовимірним рядом Тейлора як функції змінюваних (в межах допусків) параметрів компонентів, для чого зручно обчислювати похідні з використанням методу взаємних похідних.

Наявні суттєві недоліки методу модифікацій (неможливість урахування нерегулярних для базису вузлових напруг елементів, неоптимальність алгоритмів обчислення нулів та полюсів функцій кола, неможливість оперувати з незаземленими блоками складної схеми, відсутність формального визначення параметричного критерію оцінки точності, нерозробленість методу для аналізу лінійно-параметричних кіл і.т.ін) не дозволяють використовувати його для проектування сучасних складних лінійних та лінійно-параметричних кіл, підвищення швидкості та точності аналізу.

В другому розділі розроблено новий узагальнений метод модифікацій, суть якого полягає у покроковому формуванні (“вирощуванні”) матриці розв'язків системи рівнянь рівноваги кола без попереднього формування матриці коефіцієнтів (у базисі вузлових напруг або у змішаному). Для такої матриці, формованої у зворотному базисі, елементами є обернені матриці окремих блоків, описаних підсистемами рівнянь вузлових напруг, які покроково об'єднуються “вирощуванням” зв'язків у вигляді провідностей та елементів, нерегулярних для цього базису (джерел, керованих струмом, трансформаторів, універсальних активних n-брамників тощо). При цьому спочатку формується матриця розв'язків для дерева (або піддерев) елементарних блоків, після чого “вирощуються” незаземлені (“плаваючі”) блоки та елементи. Таке формування матриці розв'язків дозволяє “вирощувати” окремий елемент (чим виключається методична похибка, пов'язана з приведенням подібних) і одночасно оцінювати (і коригувати) точність обчислень.

Розглянуті варіанти методу із згортанням та без згортання підсхем, приведені приклади обчислення матриць розв'язків для погано зумовлених матриць провідностей, надана наочна геометрична інтерпретація можливості підвищення точності розв'язання системи лінійних рівнянь за методом. В розділі введено параметричний критерій оцінки точності матриці розв'язків на кожному кроці модифікацій, за яким обчислюється зміна “вирощуваного” параметра, для якої норма вектора-нев'язки дорівнюватиме нулю. Саме таке відносне прирощення (найбільше з обчислених для кожного кроку) визначає параметричну похибку обчислень. В розділі також розглянуті питання “вирощування” елементів кола, представлених моделями, нерегулярними для системи рівнянь вузлових напруг, без їх додаткового еквівалентного перетворення (що необхідно для формування матриці розв'язків у зворотному базисі без попереднього складання систем рівнянь рівноваги кола). До таких моделей, в першу чергу, відносяться джерела напруги, керовані напругою (рис. 1а), джерела струму, керовані струмом (рис. 1б) та джерела напруги, керовані струмом (рис. 1в)

При “вирощуванні” джерела напруги, керованого напругою для правої частини формули (1) одержимо а у практично важливому випадку моделювання операційних підсилювачів джерелами напруги, керованими напругою, з коефіцієнтом m®Ґ наведені вирази приводяться до вигляду

У випадку джерела струму, керованого струмом (рис. 1,б) а у випадку джерела напруги, керованого струмом, “вирощування” розбивається на два кроки за формулами обчислюються за матрицею Z(0), а -- за елементами матриці Z(1).

Такі “вирощування” нерегулярних керованих джерел не змінюють порядку матриці Z. У випадку, коли нерегулярні вітки джерел перетворюються у дуальні за допомогою гіраторів, велике значення має “вирощування” гіратора (рис.1,г) не по окремих його гілках, а в цілому. Для цього: 1) в схемі А на брамі (а, в) слід “виростити” коротке замикання; 2) доповнити одержану матрицю a-ми рядком і стовпцем, які мають нульові елементи; 3) у відповідні клітини a-го рядка (крім a,a) записати елементи а-го рядка матриці ZА і відняти від неї елементи вектора , а у клітини a-го стовпця (крім a,a) записати відповідні елементи а-го стовпця матриці ZА і додати до них елементи вектора (G1, G2 - передаточні провідності гіратора); 4) у клітину a,a нової матриці записати де всі елементи Zij взяті з матриці ZА без гіратора. У подальшому на брамі (a, в) можна “вирощувати” вітки, дуальні до їх еквівалентних значень на брамі (а, в).

Останнім часом широкого розповсюдження набули універсальні активні n-брамники, описувані системами рівнянь

При їх “вирощуванні” одержані формули однокрокової модифікації. Якщо в трибрамнику а2 = 0, а а1, в1, в2 = 1, він перетворюється до конвейєра CCI+, якщо тепер в2 = -1, одержимо CCI-. При а1 = в2 = 1; а2 = в1 = 0 одержимо CCII+, а при зміні знаку в2 = -1 -- CCII-. При а1 = 1; а2 = 0; в1 = -1; в2 = 1 одержимо CCIII+ і т. д. Одержані співвідношення для “вирощування” n-брамників та конвейєрів використовувалися при розрахунках і виборі оптимальних схем багатофункціональних фільтрів [28 -- 34].

Окрему важливу задачу становить “вирощування” трансформаторів, описаних в базисі контурних струмів. В роботі одержано алгоритм з урахуванням перетворення індуктивностей до еквівалентних ємностей, що важливо для реалізації модифікованого методу припасовування -- розд.4. При цьому модель двообмоткового трансформатора (рис. 2,а) має вигляд рис. 2,бЗворотна матриця для схеми рис. 2,б не існує, але за узагальненим методом модифікацій одержана відповідна формула “вирощування” трансформатора де Z(0) - матриця розв'язків кола без урахування трансформатора із додатніми k-ми та l-ми рядками і стовпціми, що відповідають вузлам, до яких підімкнені еквівалентні ємності, що імітують індуктивні вітки трансформатора ( наявність таких віток зручна при аналізі перехідних процесів). Інші елементи k-х та l-х рядків і стовпців дорівнюють відповідним елементам b-х та d-х рядків і стовпців матриці Zo. Прямокутна матриця XZ0 розміру (m+2)ґ2 утворена елементами стовпців та якщо і№k, l.

При аналізі в частотній області, коли нема потреби у інформації про початкові умови на реактивних вітках трансформатора, додаткові рядки і стовпці з номерами k, l, не формуються (як вони у наведеному алгоритмі не формувалися для фіктивних вузлів a, b, h, d).

Особливий випадок узагальненого методу модифікацій становить його використання для аналізу кіл, окремі підсхеми еквівалентної схеми яких представлені матрицями розсіяння (S-параметрами). Для таких моделей вірні співвідношення де Е - одинична матриця; -- нормовані матриці провідностей та розсіяння кола. Матриці розсіяння окремих підсхем можна вважати нульовими модифікаціями обернених матриць ZЕ, об'єднання яких є зручним саме за методом модифікацій де усі елементи виразу мають той самий сенс, що й в (1). Після об'єднання на k-му кроці входів аk та вk двох блоків матриці S(k) з'являються ідентичні аk та вk рядки та стовпці і, наприклад, вk-ті рядок і стовпець слід викреслити з матриці . Крім того при об'єднанні входів їх одиничні нормуючі опори підсумовуються, що призводить до денормування матриці на а-й сумарній брамі. Тому слід виконати додаткове нормування

Крім того в розділі розглянуті питання “вирощування” незаземлених блоків (або контурів), урахування яких на кінцевому кроці об'єднання підсхем дозволяє у значній мірі зменшити вплив дублікацій на операційну похибку. Оскільки обернена матриця для “незаземленого” блока не існує, а за методом модифікацій слід враховувати саме її, то такий алгоритм “вирощування” має практичне значення.

Нехай (рис. 3,а) до блоку А, з'єднаного із загальним вузлом, слід “виростити” блок В, з загальним вузлом не з'єднаний (тобто одержати матрицю розв'язків системи при закорочуванні вузлів а та а`, b та b'). При вже об'єднаних вузлах а, а` в схемі рис. 3 подальше “вирощування” нескінченної провідності між вузлами b, b` не становить проблеми. Алгоритм об'єднання вузлів а та а` (рис. 3,б,в) має наступний вигляд: 1) Знайти матрицю розв'язків підсхеми А. 2) Якщо першим з відновлюваних зв'язків -- є замкнення вузлів (а, а`), тоді знайти матрицю розв'язків підсхеми В із заземленим вузлом а`. 3) Утворити з обох матриць розв'язків блочно-діагональну матрицю схеми рис. 3,б (для визначенності нехай першим блоком діагоналі буде матриця ZA). 4) Стовпець з номером а матриці ZА записати в усі нульові стовпці підматриці, що знаходиться над матрицею Zв. 5) Рядок з номером а записати усі нульові рядки ліворуч від матриці Zв. 6) Значення елемента Zаа додати до усіх елементів матриці Zв. Крім того в розділі одержаний алгоритм обчислення матриці лишків зворотної матриці у випадку одно та двократного полюса. Усі ці результати є базою для подальшого розвитку методу в наступних розділах дисертації.

В третьому розділі розроблено методику розв'язання прямої та зворотної задачі імпедансної томографії на базі узагальненого методу модифікацій. Математична проблема імпедансної томографії (відновлення розподілення питомих опорів тканини томографічного шару по результатам вимірювання напруг по зовнішньому периметру) складається з двох етапів -- обчислення напруг на вимірювальних електродах за наданим розподіленням опорів томографічного шару (пряма задача, або задача аналізу) та з реконструкції наданого розподілення за різницями між обчисленими та виміряними на електродах напругами (зворотна задача, або задача синтезу) в ітераційній процедурі. В роботі розроблена модель (фантом) розтину у вигляді сукупності кінцевих елементів, представлених у вигляді трикутників або квадратів, які у подальшому апроксимовані трикутниками або квадратами (з діагоналями) опорів, інформація про які зберігається у вигляді зворотних матриць таких моделей кінцевих елементів. Одержання матриці розв'язків фантома (розв'язання прямої задачі) далі виконується обчисленнями по елементарним зворотним матрицям, для чого, враховуючи велику розрідженість моделі фантома, зручним є узагальнений метод модифікацій. При розв'язанні прямої задачі порядки обернених матриць становлять 256…300 (груба модель), 1000…1500 (тонка модель) та 2000…8000, причому зручність використання методу зумовлена застосуванням алгоритмів “вирощування” незаземлених блоків, зміни загального вузла та зменшення порядку матриці розв'язків.

Для розв'язання зворотної задачі томографії слід в ітераційній процедурі за методом Ньютона-Рафсона знайти розподілення опорів, де формула однієї ітерації має вигляд де -- матриця перших похідних від передаточних опорів між сигнальними та вимірювальними електродами) порядку N; N -- кількість шуканих питомих провідностей Dsі кожного кінцевого елемента (в грубій моделі N=250…300, в тонкій -- 1000…8000); [Dsі] -- стовпець шуканих прирощень провідностей розміру Nґ1, а DZ(k) - стовпець різниць між виміряними та обчисленими передаточними опорами. Формування матриці похідних за елементами матриці розв'язків проблеми не становить, оскільки ця задача розв'язана в тому числі і автором (в кандидатській дисертації). Проблему становить обернення матриць похідних, враховуючи її порядок (250…8000), а також те, що вона не є розрідженою. Велика кількість операцій на кожній ітерації (так само, як і самих ітерацій) не дозволяє сподіватися на швидкий та точний результат. Тому в роботі (для подолання вказаних складностей) запропоновано метод променів провідностей, суть якого у наступному. Нехай томографічний шар (для визначеності розглянемо круг), наведений на рис. 4,а має неоднорідність (область А із питомою провідністю dх, відмінною від провідності d0 усіх інших елементів фантома)

Розіб'ємо тепер площину фантома на кілька секторів, вершини яких відповідають вимірювальним електродам (у данному прикладі їх 6), а вузол 4 відповідає сигнальному електроду. Будемо тепер вважати, що кожен з трикутників, утворених загальним вузлом та двома послідовними електродами, є однорідним і має деяку середню питому провідність (на рис. 4,б -- це, наприклад, сектор з провідністю dА). Для пошуку провідностей усіх секторів (рис. 4,б) слід розв'язати зворотну задачу для системи порядка n-2, де n -- кількість електродів (на рис. 4,б їх 6). При цьому відносно знайдених провідностей dА фантом рис 4,б можна розглядати як оптичну систему із джерелом випромінювання у загальному вузлі, а самі сектори із знайденими провідностями можна вважати “променями провідностей”. Обертаючи джерело випромінювання навколо круга (тобто на наступному кроці обираючи загальним вузол 1, потім 2 і т. д.) одержимо набір зворотних проекцій (рис. 4,б) променів провідностей (рис. 4,в), підсумування яких дає образ шуканих неоднорідностей. Виграш у швидкодії та точності обумовлений зменшенням порядків матриць похідних від передаточних опорів. Так при кількості кінцевих елементів N=103 замість обертання на одній ітерації матриці порядку 103 (при 12 електродах) одержимо матриці похідних 10-го порядку (і таких матриць для кожного положення джерела буде 12). При оберненні матриць малих порядків кількість ітерацій буде значно меншою (меншою буде і операційна похибка).

Приклади результатів обчислення розподілень опорів за запропонованим методом наведені на рис. 5.

Простота розв'язання прямої та зворотної задачі за методом модифікацій зумовила проведені подальші оцінки потенційної роздільної здатності імпедансної томографії (геометричної та за інтенсивністю), а також впливу на роздільну здатність кількості вимірювальних електродів.

У четвертому розділі розроблено модифікований метод припасовування для аналізу лінійно-параметричних кіл, два класи яких (кола на ємностях, що перемикаються або SC-кола та джерела вторинного електороживлення -- ДВЕЖ) набули значного поширення у сучасній техніці. Такі кола лінійні відносно слабкого вхідного сигналу, але їх параметри змінюються під впливом сильної дії. Таку залежність параметрів від сильного сигналу, що змінюється у часі, моделюють часовими залежностями самих параметрів. Але розв'язання лінійно-параметричних диференційних рівнянь ускладнюється відсутністю аналітичних виразів для реакцій на надану дію (на відміну від лінійних диференційних рівнянь із сталими коефіцієнтами). Найбільш поширеними серед наближених методів розв'язання є чисельне інтегрування таких рівнянь, а також методи, основані на лінеаризації кіл в інтервалах часу (апроксимація зміни параметру сходинковими функціями), які одержали назву методів припасовування. Складність реалізації самих методів з урахуванням наявності великої кількості часових циклів періодичної зміни параметрів, як і ускладнення кіл та необхідність аналізу більш тонких їх властивостей призводять до необхідності подальшої модернізації методу. В розділі запропонований модифікований метод припасовування, який базується на властивостях узагальненого методу модифікацій, для чого були проведені наступні модернізації класичного методу: 1) уніфіковані початкові умови приведенням індуктивностей до еквівалентних ємностей, що навантажують гіратори. Цим усі початкові умови зведені до частотно-незалежних операторних струмів ємностей, що дозволило на базі теореми про лінійність перетворення Лапласа перейти до одноразового обчислення оригіналів матриць розв'язків на інтервалах ліанеризації; 2) одержана матриця розв'язків (яка дозволяє враховувати джерела сигналу у вигляді незалежних джерел струму) на n-му інтервалі у виглядіде -- стовпець коефіцієнтів передачі напруги з брами (1, 0) на усі вузли схеми, --матриця розв'язків аналізованого кола з визначником D11(р) при замкненому на вході джерелі напруги. Це дозволяє розв'язок на n-му інтервалі лінеаризації в операторній формі одержувати у вигляді де - операторний закон для дії на n-му інтервалі; Е - ваговий множник; Un(p) - стовпець шуканих вузлових напруг; 3) обчислення матриць лишків зворотної матриці на n-му інтервалі єдиний раз, для чого використовується алгоритм розкладу на прості дроби, запропонований авторомде [Аі] - матриці лишків полюсів D11(р). Це дозволяє перейти до реакцій на кожному n-му інтервалі в залежності від початкових умов Іпоч