Інститут кібернетики імені В.М. Глушкова НАН

України, відділ математичних систем моделювання проблем екології та енергетики, м. Київ

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Сучасний стан розвитку математичного моделювання, обчислювальної техніки й чисельних методів дає змогу проводити наукові дослідження у рамках єдиної технології - обчислювального експерименту, що охоплює побудову й вивчення математичних моделей досліджуваного об'єкта за допомогою обчислювальних засобів. Завдяки обчислювальному експерименту можна замінити або суттєво зменшити об'єм дорогих і довготривалих фізичних експериментів. Значний внесок у розвиток математичного моделювання зробили Я. Й. Бурак, А. Ф. Верлань, М. М. Войтович, Д. І. Воскресєнський, Ф. Г. Гаращенко, А. В. Гладкий, Я. М. Григоренко, В. С. Дейнека, Є. В. Захаров, А. С. Ільїнський, І. М. Ляшенко, С. І. Ляшко, В. Л. Макаров, В. Л. Рвачов, Я. Г. Cавула, О. А. Самарський, І. В. Сергієнко, В. В. Скопецький, В. А. Стоян, Г. А. Шинкаренко та ін.

Дана робота присвячена побудові, дослідженню та обґрунтуванню математичних моделей і чисельних методів розв'язування нелінійних обернених задач, що виникають у теорії синтезу різних типів антенних решіток (АР). Під час математичної постановки прямих (задач аналізу) та обернених задач (задач синтезу), антенна решітка описується деякою математичною моделлю, яка повинна адекватно враховувати всі особливості конструкції випромінюючої системи. Математичні моделі синтезу АР, які ґрунтуються на розв'язках задачі аналізу в строгих математичних та електродинамічних формулюваннях, дають змогу враховувати взаємний вплив випромінювачів та інших конструктивних елементів АР. В основу таких постановок задач аналізу покладена система рівнянь Максвелла (або хвильове рівняння) з відповідними граничними умовами, а їх розв'язування у більшості випадків ґрунтується на застосуванні методів граничних інтеґральних або інтеґро-диференціальних рівнянь (розроблених, зокрема, у працях Г. М. Вайнікко, А. Ф. Верланя, П. П. Забрейка, М. А. Красносєльського). Уточнені математичні моделі деяких типів антенних решіток досліджували В. В. Воронін, В. І. Дмитрієв, А. С. Ільїнський, К. Мей, С. Л. Просвірнін, П. П. Середа, В. А. Цецохо, А. Ф. Чаплін.

Найбільш повно розроблені методи розв'язування задач синтезу АР за заданими вимогами до комплексної діаграми напрямленості з використанням спрощених математичних моделей АР, які не враховують або враховують лише у першому наближенні взаємний вплив елементів решітки.

Актуальними для практики є задачі синтезу АР за неповними вхідними даними, такими як амплітудна діаграма напрямленості (ДН), оскільки у багатьох практичних застосуваннях фазова ДН не має значення під час передавання інформації за допомогою радіосигналу. Такі постановки породжують клас нелінійних суттєво некоректних задач. Теорію некоректно поставлених задач розвивали А. Н. Тихонов, М. М. Лаврентьєв, В. К. Іванов, А. Н. Ягола. У їхніх працях розроблено методи регуляризації для знаходження наближених стійких, відносно збурення вхідних даних, розв'язків задач (квазірозв'язків). Математичні постановки нелінійних задач синтезу і методи їх розв'язування для деяких типів АР досліджувались у працях М. І. Андрійчука, Л. Д. Бахраха, Н. І. Березіної, М. М. Войтовича, В. І. Дмитрієва, С. Д. Кремєнецького, П. О. Савенка, А. В. Чєчкіна, Ю. І. Чоні. При цьому використовуються спрощені математичні моделі випромінюючих систем, у яких не враховується взаємний вплив елементів (або враховується лише у першому наближенні).

Отже, актуальною є проблема розробки та обґрунтування математичних моделей і чисельно-аналітичних методів розв'язування нелінійних задач синтезу різних типів АР за заданими вимогами до амплітудної діаграми напрямленості, які б враховували взаємний вплив випромінювачів та конструктивних елементів АР, а також векторний характер випромінюваних електромагнітних полів.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертаційна робота виконана в рамках держбюджетних науково-дослідних тем Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я. С. Підстригача НАН України: “Розвиток чисельних методів розв'язування одного класу нелінійних інтеґральних рівнянь та обернених задач математичної фізики” (1994-1996 рр., проект 11.3/114 Державного фонду фундаментальних досліджень); “Розробка чисельно-аналітичних методів дослідження нелінійних суттєво некоректних задач синтезу антенних систем із застосуванням енергетичного критерію” (2002-2004 рр., номер державної реєстрації 0102U001614); “Розробити наближені методи розв'язування нелінійних інтеґральних рівнянь типу Гаммерштейна з розділеними модулем та аргументом невідомої комплексної функції, а також певних класів нелінійних та двопараметричних задач на власні значення” (2002-2005 рр., номер державної реєстрації 0102U000449).

Мета і задачі дослідження. Мета роботи - розробити та обґрунтувати математичні моделі й чисельно-аналітичні методи розв'язування нелінійних задач синтезу різних типів антенних решіток за заданою амплітудною ДН із застосуванням уточнених математичних постановок, які враховують взаємний вплив випромінювачів і векторний характер електромагнітних полів. Досягнення цієї мети передбачає розв'язування таких задач:

1. Дослідження математичних моделей аналізу АР з різних типів ідеально провідних випромінювачів, які враховують взаємний вплив елементів у системі та векторний характер електромагнітних полів; обґрунтування існування стійких розв'язків задач аналізу.

2. Постановка й дослідження варіаційних обернених задач (задач синтезу) АР за заданими вимогами до амплітудної ДН для різних типів антенних решіток, доведення теорем існування квазірозвґязків поставлених задач у відповідних гільбертових просторах.

3. Дослідження залежності кількості та якісних характеристик розв'язків нелінійних задач синтезу АР від властивостей заданої амплітудної ДН і фізичних параметрів антенної решітки на основі методів нелінійного аналізу.

4. Побудова та обґрунтування чисельно-аналітичних методів розв'язування нелінійних суттєво некоректних задач синтезу АР, застосовних до різних типів математичних моделей, які враховують взаємовплив випромінювачів і векторний характер електромагнітних полів. Розробка програмного комплексу для розв'язування сформульованих задач синтезу, проведення числових експериментів.

Об'єктом дослідження є нелінійні суттєво некоректні задачі синтезу антенних решіток.

Предметом дослідження є уточнені математичні моделі та чисельно-аналітичні методи розв'язування задач синтезу різних типів антенних решіток з ідеально провідних випромінювачів за заданими вимогами до ампулітудної діаграми напрямленості.

Методи дослідження. Для побудови й дослідження математичних моделей і чисельних методів розв'язування нелінійних задач синтезу різних типів АР застосовано методи математичного моделювання, методи математичної фізики, електродинаміки, варіаційні методи, методи лінійного та нелінійного аналізу, методи теорії галуження розв'язків нелінійних інтеґральних рівнянь.

Наукова новизна:

§ сформульовано й обґрунтовано математичні моделі синтезу АР за заданими вимогами до амплітудної ДН у вигляді варіаційно-поставлених обернених задач, які ґрунтуються на задачах аналізу, що враховують взаємний вплив випромінювачів і векторний характер електромагнітного поля;

§ доведено теореми існування квазірозв'язків задач синтезу АР для випадку, коли лінійний оператор, який описує ДН решітки, є цілком неперервним і діє у гільбертових просторах інтеґровних з квадратом функцій;

§ показано, що для задачі синтезу лінійних антенних решіток з циліндричних випромінювачів за заданою амплітудною ДН з урахуванням взаємного впливу елементів характерні неєдиність і галуження розв'язків. Проведено дослідження кількості та якісних характеристик існуючих розв'язків залежно від властивостей заданої амплітудної ДН і величин фізичних параметрів АР. Одержано (у першому наближенні) аналітичне зображення та визначено властивості малих розв'язків, відгалужених від первинного розв'язку першого типу;

§ розроблено та обґрунтовано чисельний метод розв'язування нелінійних скалярних і векторних задач синтезу різних типів АР за заданою амплітудною ДН та задачі синтезу лінійної нееквідистантної АР з одночасною оптимізацією амплітудно-фазового розподілу джерел збудження й координат розміщення випромінювачів, який ґрунтується на уточнених математичних моделях АР. Доведено релаксаційність ітераційного процесу розв'язування нелінійних рівнянь синтезу, побудованого за неявною схемою методу послідовних наближень;

§ побудовано й обґрунтовано чисельний алгоритм розв'язування задачі фазового синтезу АР з тонких циліндричних випромінювачів, який враховує їх взаємовплив;

§ виконано числову та програмну реалізацію розроблених методів синтезу АР, проведено низку числових експериментів, які підтверджують збіг числових результатів із результатами, що отримані аналітичними дослідженнями, та ефективність запропонованих методів.

Практичне значення отриманих результатів. Побудовані та обґрунтовані на операторному рівні математичні моделі й чисельні методи синтезу АР, що враховують взаємовплив елементів і векторний характер електромагнітного поля, які апробовані у роботі на двох типах випромінювачів, можуть застосовуватися для розв'язування задач синтезу АР різних типів. Одержана за допомогою методів теорії галуження залежність кількості й властивостей існуючих розв'язків задачі синтезу лінійної АР від величини фізичних параметрів решітки та властивостей заданої амплітудної ДН, дає змогу локалізувати розв'язки і далі знаходити їх за допомогою запропонованих ітераційних методів.

Спільність у математичних формулюваннях прямих та обернених задач електродинамічних, акустичних, гідроакустичних, оптичних та інших випромінюючих систем дає змогу застосовувати розроблені методи, чисельні алгоритми, комплекси програм для дослідження аналогічних нелінійних задач синтезу вищезазначених типів випромінюючих систем.

Вірогідність отриманих результатів підтверджується використанням сучасних математичних засобів і методів у дослідженнях, строгим доведенням теорем, обґрунтуванням чисельних алгоритмів, апробацією розроблених числових схем на конкретних задачах синтезу, узгодженням отриманих числових результатів із аналітичними.

Особистий внесок здобувача. Основні результати дисертації одержані автором самостійно і опубліковані у працях [1-22]. Праці [7, 10, 18, 21] опубліковані одноосібно. В опублікованих із співавторами працях здобувачеві належать одержання основних рівнянь і співвідношень [1-22], доведення теорем [5-7, 20], розробка числових алгоритмів [3-5, 8, 17], програмна реалізація, участь у формулюванні задач та аналізі результатів [1-22]. Науковому керівнику належать формулювання задач, ідеї методів їх розв'язування, участь у аналізі основних результатів. У праці [19] співавтору М. Д. Ткач належить участь у проведенні числових експериментів.

Апробація результатів дисертації. Результати дисертаційної роботи доповідались та обговорювались на: VI Міжнародній конференції MMET'96 (Львів, 1996); 2-й та 3-й Міжнародних конференціях “Antenna Theory and Techniques” (Київ, 1997; Севастопіль, 1999); Міжнародній науковій конференції “Сучасні проблеми механіки і математики” (Львів, 1998); Міжнародній конференції “Millennium Conference on Antennas & Propagation” (Davos (Switzerland), 2000); Міжнародних семінарах DIPED (Львів, 1995, 1997, 1998, 1999, 2003); Міжнародній математичній конференції ім. В. Я. Скоробогатька (Дрогобич, 2004); Всеукраїнських наукових конференціях “Застосування обчислювальної техніки, математичного моделювання і математичних методів в наукових дослідженнях” (Львів, 1994, 1995, 1996, 2003).

Публікації. За матеріалами дисертації опубліковано 22 наукові праці [1-22], з яких [1-3, 5-7] - статті у фахових виданнях із переліків ВАК України, [4] - стаття в іноземному фаховому журналі.

Структура і обсяг дисертації. Дисертація складається зі вступу, чотирьох розділів, висновків і списку використаних джерел. Обсяг основного тексту дисертації - 142 сторінок. Робота містить 27 рисунків на 24 сторінках і список літератури з 220 найменувань на 19 сторінках.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обґрунтовано актуальність теми дисертаційної роботи, сформульовано мету і задачі дослідження, висвітлено наукову новизну й практичне значення отриманих результатів.

У першому розділі на основі вивчення літературних джерел проведено аналіз основних етапів розвитку математичних моделей і чисельних методів розв'язування різних класів задач синтезу АР, визначено нерозв'язані задачі синтезу АР з ідеально провідних випромінювачів.

У другому розділі розглянуто уточнені математичні моделі аналізу й синтезу АР з ідеально провідних випромінювачів, які враховують взаємний вплив елементів і векторний характер електромагнітного поля. Досліджуються антенні решітки, розміщені в однорідному та ізотропному просторі зі сталими значеннями діелектричної та магнітної проникностей, які збуджуються деякими сторонніми електричними полями. Залежність електромагнітних процесів від часу має вигляд ( - частота коливань). Математична модель АР, у зазначених умовах, ґрунтується на системі рівнянь Максвелла з відповідними граничними умовами. У підрозділі 2.1 наведено основні співвідношення для характеристик напрямленості (діаграми напрямленості) електромагнітного поля АР в дальній зоні, яке породжується сторонніми струмами.

У підрозділі 2.2 розглянуто основні типи інтеґральних рівнянь, які лежать в основі задач аналізу АР з ідеально провідних випромінювачів. У процесі виведення граничних рівнянь беруться до уваги припущення теорії антенних решіток з тонких циліндричних і криволінійних випромінювачів: випромінювачі вважаються дуже тонкими порівняно з розмірами решітки і довжиною хвилі, а поперечними струмами у кожному випромінювачі та зміною повздовжнього струму по периметру поперечного перерізу нехтують.

Для розв'язування задачі аналізу у випадку лінійної АР з тонких циліндричних випромінювачів використовуємо систему інтеґральних рівнянь Поклінгтона відносно невідомих електричних струмів. Тут - функція Гріна вільного простору; - вектор амплітудно-фазового розподілу напруг на випромінювачах; константи визначаються з умов відсутності струмів на кінцях випромінювачів.

У випадку АР з тонких криволінійних випромінювачів, для знаходження розв'язків задачі аналізу використовуємо систему узагальнених рівнянь Харінгтона

У підрозділі 2.3 задача синтезу АР за заданою амплітудною ДН сформульована як задача знаходження вектора стороннього електричного поля, щоб створювана ним ДН у середньоквадратичній метриці простору як можна краще наближалась покомпонентно до необхідної (- дійсні неперервні невід'ємні на функції). За критерій оптимізації використано згладжуючий функціонал типу Тихонова

Нехай лінійний неперервний оператор переводить деяку компактну множину в компактну множину. Тоді справедлива

Лема 2.1. Нехай існує лінійний неперервний оператор, а лінійний оператор є цілком неперервний і задана амплітудна ДН - інтеґровна з квадратом на області функція. Тоді функціонал - слабко напівнеперервний знизу на множині .

Із леми 2.1. і першої узагальненої теореми Вейєрштраса випливає

Наслідок 2.1. Оскільки функціонал є слабко напівнеперервний знизу на обмеженій слабко замкненій множині рефлексивного банахового простору , то він обмежений знизу і досягає на своєї нижньої грані.

Нехай розв'язок задачі аналізу подається через лінійний обмежений оператор:. Зокрема, це можливо у тих випадках, коли оператор відповідає системі інтеґральних рівнянь Фредгольма ІІ роду, або коли для задачі аналізу існує така регуляризована система, розв'язок якої подається через обмежений оператор:. Тоді справедлива

Теорема 2.1. Нехай існує лінійний обмежений оператор , а лінійний оператор є цілком неперервний і задана амплітудна ДН - інтеґровна з квадратом на області функція. Тоді функціонал у деякій точці досягає абсолютного мінімуму і з будь-якої мінімізуючої послідовності можна виділити підпослідовність, яка слабко збігається до однієї з точок абсолютного мінімуму.

Із необхідної умови мінімуму функціонала - рівності нулю його диференціала Гато, отримано рівняння Ейлера функціонала (7) у просторі

В умовах теореми 2.1 справедливий

Наслідок 2.3. Оскільки функціонал (7) диференційовний на за Гато і має -властивість, то існування хоч би одного розв'язку рівняння (9) у просторі і рівняння (10) у просторі випливає з необхідної умови мінімуму функціонала .

Для випадку скалярної задачі синтезу (8) доведено лему, аналогічну до леми 2.1. Відповідні функціоналу (8) основні рівняння синтезу набувають вигляду у просторі .

Задача синтезу лінійних нееквідистантних АР з одночасною оптимізацією амплітудно-фазового розподілу напруг і координат розміщення випромінювачів зведена до мінімізації функціонала у просторі. ДН визначимо так:. Для цієї задачі доведена

Теорема 2.2. Нехай існує обмежений і неперервно залежний від вектора оператор , а оператор - цілком неперервний і задана амплітудна ДН неперервна на функція. Тоді у просторі існує принаймні одна точка абсолютного мінімуму функціонала і з будь-якої мінімізуючої послідовності можна виділити підпослідовність, яка слабко збігається до однієї з точок абсолютного мінімуму.

У третьому розділі розроблено, програмно реалізовано й протестовано чисельні алгоритми розв'язування задач аналізу та синтезу лінійних АР з ідеально провідних тонких циліндричних випромінювачів, які враховують взаємовплив елементів. В основу уточнених математичних постановок задач аналізу АР з циліндричних випромінювачів покладено системи інтеґральних рівнянь Поклінгтона (1) та Халлена (2).

У підрозділі 3.1. доведена

Лема 3.1. Систему інтеґральних рівнянь (1) можна подати в операторному вигляді:

Лема 3.1 є узагальненням теореми, доведеної С. І. Еміновим для одного лінійного інтеґрального рівняння типу Поклінгтона, на випадок системи інтеґральних рівнянь цього типу. Для чисельного розв'язування системи (1) застосовано метод Гальоркіна. Доведена лема забезпечує збіжність методу Гальоркіна розв'язування системи рівнянь Поклінгтона (1) та стійкість отриманого наближеного розв'язку.

На підставі розв'язування задачі аналізу діаграма напрямленості АР з тонких циліндричних випромінювачів визначається так:

У підрозділі 3.2 задача синтезу АР із циліндричних випромінювачів за заданою амплітудною ДН (визначеною в області ) зведена до мінімізації функціонала (8), розгорнута форма якого у просторі набуває такого вигляду:

Тут - комплексний скінченновимірний простір, якому належать вектори ; . Розгорнута форма рівняння Ейлера (11) є системою нелінійних рівнянь відносно вектора :

, (17)

Розгорнута форма рівняння (12) є системою нелінійних інтеґральних рівнянь типу Гаммерштейна відносно оптимальної ДН :

На підставі методів теорії галуження визначено, що для задачі синтезу АР з лінійних циліндричних випромінювачів з урахуванням взаємного впливу елементів є характерні неєдиність і галуження розв'язків. Одержано системи трансцендентних рівнянь для знаходження точок галуження та виконано аналіз галуження первинного (дійсного) розв'язку першого типу. Визначено якісні властивості існуючих розв'язків залежно від властивостей заданої амплітудної ДН та величини параметра с, який характеризує електричні розміри решітки. синтез ітераційний випромінювання магніт

У підрозділі 3.3 числовими експериментами підтверджено існування різних типів розв'язків, їх галуження та ефективність відгалужених розв'язків. Як приклад, на рис. 1 наведено мінімальні значення функціонала (16), яких він набуває в результаті синтезу еквідистантної АР з 9 тонких циліндричних випромінювачів на різних типах розв'язків, залежно від величини параметра . Крива 1 відповідає первинному розв'язку першого типу, крива 2 - відгалуженому в точці розв'язку з непарною фазовою ДН, крива 3 - відгалуженому в точці розв'язку з парною фазовою ДН.

Із аналізу рисунка 1 та інших числових результатів випливає, що відгалужені комплексні розв'язки є більш ефективними (в розумінні зменшення значення функціонала (16)) порівняно з дійсними розв'язками у межах 20-45%. Це залежить від величини параметра та властивостей заданої амплітудної ДН.

У підрозділі 3.4 узагальнено метод на синтез лінійних АР, розміщених над безмежним ідеально провідним плоским екраном. У цьому випадку діаграма напрямленості АР визначається аналогічною до (15) формулою

У підрозділі 3.5 розроблений метод узагальнено на задачу синтезу лінійних нееквідистантних АР з тонких циліндричних випромінювачів при одночасній оптимізації амплітудно-фазового розподілу напруг і координат розміщення випромінювачів . Діаграма напрямленості такої АР визначається так:

За критерій оптимізації використано функціонал (13). Одержано основні рівняння синтезу відносно вектора :

, (21)

, (22)

де В основу алгоритму чисельної мінімізації функціонала (13) покладено ідею мінімізації функцій від двох змінних методом покоординатного спуску. У результаті з системи (21), (22), за деяким початковим наближенням , отримано послідовність , на елементах якої значення функціонала (13) зменшується. Числові приклади підтверджують, що оптимальний вибір розміщення випромінювачів поліпшує якість синтезу (в розумінні зменшення значень функціонала) у межах 20%.

У четвертому розділі розроблений метод узагальнено на випадок задач синтезу АР, математичні моделі яких враховують векторний характер електромагнітних полів і взаємний вплив випромінювачів. Застосовність методу проілюстровано на прикладі задачі синтезу АР з двозахідних конічних спіральних випромінювачів (підрозділ 4.1).

Векторна постановка задачі синтезу за заданою амплітудною ДН зведена до мінімізації функціонала (7). Розгорнута форма рівняння Ейлера (9) відносно вектора напруг набуває такого вигляду:

. (24)

У підрозділі 4.2 доведено узагальнену теорему про релаксаційні властивості ітераційного процесу (25) на випадок задачі синтезу, математична модель якої враховує векторний характер електромагнітних полів і взаємовплив випромінювачів:

Теорема 4.1. Послідовність , що генерується ітераційним процесом (25), є релаксаційною для функціонала , тобто

(р=0,1,2…).

У підрозділі 4.3 побудовано й програмно реалізовано чисельний алгоритм розв'язування задачі фазового синтезу лінійних АР з циліндричних випромінювачів, який враховує взаємовплив елементів. За заданою амплітудною ДН й амплітудним розподілом напруг на випромінювачах задача зведена до максимізації функціонала

За деяким початковим наближенням вектора фаз напруг на випромінювачах побудовано ітераційний процес максимізації функціонала (26):

ОСНОВНІ РЕЗУЛЬТАТИ ТА ВИСНОВКИ

Дисертаційна робота присвячена вирішенню актуального наукового завдання - розробці та обґрунтованню математичних моделей і чисельно-аналітичних методів розв'язування нелінійних задач синтезу різних типів антенних решіток за заданою амплітудною діаграмою напрямленості із застосуванням в задачах аналізу уточнених математичних постановок, які враховують взаємний вплив випромінювачів.

У роботі отримано такі основні результати:

1. Сформульовано та обґрунтовано математичні моделі синтезу АР з ідеально провідних випромінювачів за заданими вимогами до амплітудної ДН у вигляді варіаційно-поставлених обернених задач, які ґрунтуються на задачах аналізу, що враховують взаємний вплив випромінювачів. Доведено теореми існування розв'язків задач синтезу АР для випадку, коли лінійний оператор, який описує діаграму напрямленості решітки, є цілком неперервним і діє у гільбертових просторах інтеґровних з квадратом функцій.

2. Запропоновано й обґрунтовано метод розв'язування скалярних і векторних задач синтезу АР за заданою амплітудною ДН із використанням уточнених математичних моделей, який базується на: зведенні задач мінімізації функціоналів до розв'язування нелінійних рівнянь типу Гаммерштейна; теоретичному дослідженні розв'язків методами теорії галуження; чисельному розв'язуванні рівнянь ітераційними методами. Доведено релаксаційність ітераційного процесу, побудованого за неявною схемою методу послідовних наближень з урахуванням векторного характеру електромагнітних полів.

3. Показано, що для задачі синтезу лінійної АР із тонких циліндричних випромінювачів за заданою амплітудною ДН з урахуванням взаємного впливу випромінювачів є характерними неєдиність і галуження розв'язків. Одержано системи трансцендентних рівнянь для знаходження точок галуження, виконано (у першому наближенні) аналіз галуження первинного розв'язку першого типу та визначено якісні властивості відгалужених розв'язків. Числовими експериментами підтверджено існування визначених типів розв'язків, їх галуження, а також ефективність відгалужених комплексних розв'язків у порівнянні з первинними.

4. Запропонований метод поширено на розв'язування конкретних нелінійних обернених задач:

синтез лінійної нееквідистантної АР з тонких циліндричних випромінювачів з одночасною оптимізацією амплітудно-фазового розподілу джерел збудження та координат розміщення випромінювачів;

синтез АР, розміщених над ідеально провідним плоским екраном;

синтез АР із двозахідних конічних спіральних випромінювачів, математична модель якої враховує векторний характер електромагнітних полів.

5. Побудовано й обґрунтовано чисельний алгоритм розв'язування задачі фазового синтезу лінійних АР з циліндричних випромінювачів, який базуєються на уточнених математичних моделях.

6. Розроблено проблемно-орієнтований комплекс програм, що реалізує описані числові алгоритми. Проведено низку числових експериментів, які підтверджують ефективність запропонованих математичних моделей синтезу АР та чисельних методів.

На підставі одержаних результатів можна зробити такі висновки:

задачі синтезу АР за заданими вимогами до амплітудної ДН належать до класу нелінійних суттєво некоректних задач синтезу, яким властива неєдиність розв'язків;

кількість та якісні характеристики розв'язків залежать від електричних розмірів АР і властивостей заданої амплітудної ДН;

свобода вибору фазової ДН (яка визначається потребами практики) в задачах синтезу АР використовується для покращення апроксимації амплітуд заданої й синтезованої ДН;

результати числових експериментів підтверджують ефективність відгалужених комплексних розв'язків відносно дійсних (в розумінні зменшення значення функціонала) у межах 20-45%.

Побудовані та обґрунтовані на операторному рівні математичні моделі й чисельні методи синтезу АР, що враховують взаємовплив елементів і векторний характер електромагнітного поля, які апробовані у роботі на двох типах випромінювачів, можуть застосовуватися для дослідження та розв'язування задач синтезу антенних решіток різних типів. Спільність у математичних формулюваннях прямих та обернених задач електродинамічних, акустичних, гідроакустичних, оптичних та інших випромінюючих систем дає змогу використовувати розроблені методи, чисельні алгоритми, комплекси програм для дослідження аналогічних нелінійних задач синтезу вищезазначених типів випромінюючих систем.