Частота гармонических колебаний

Размещено на http://www.allbest.ru

Решение этого уравнения имеет вид

x(t) = A sin (t+)

x(t) = A cos (t+),

где - частота гармонических колебаний.

Тогда - период колебаний пружинного маятника.

Таким образом, период собственных колебаний пружинного маятника прямо пропорционален корню квадратному из отношения массы груза к коэффициенту жесткости пружины.

Анализируя движение математического и пружинного маятников, можно видеть, что гармонические колебания вызываются силами, обладающими двумя важными свойствами:

- величина силы прямо пропорциональна смещению шарика от положения равновесия;

- направление силы противоположно направлению смещения.

Этими свойствами обладает упругая сила и ряд других сил, которые по своей природе не являются упругими. Они называются квазиупругими силами. Отсюда можно дать следующее определение гармонических колебаний.

Колебания, происходящие под действием упругой или квазиупругой силы называются гармоническими.

Физический маятник

Твердое тело, способное совершать колебания вокруг неподвижной точки, не совпадающей с его центром инерции называется физическим маятником (рис.6.3).

Покажем, что и физический маятник будет совершать гармо-нические колебания.

В положении равновесия центр инерции маятника (С) находится под точкой подвеса (О) на одной с ней вертикали.

При отклонении маятника от положения равновесия на угол возникает вращательный момент, стремящийся вернуть маятник в положение равновесия. Этот момент равен произведению силы тяжести на плечо силы (d):

M = mgd

, (6.7)

В случае малых колебаний sin и, приравнивая (6.7) и (6.8), получим уравнение колебаний физического маятника:

или . (6.9)

Обозначим

и перепишем уравнение (6.9) в виде

. (6.10)

Уравнение колебаний физического маятника представляет собой однородное линейное дифференциальное уравнение второго порядка.

Из теории дифференциальных уравнений известно, что решением уравнения (6.10) будет функция вида

(t) = 0 cos (t+),

т.е. при малых отклонениях от положения равновесия физический маятник совершает гармонические колебания, частота и период которых определяются из следующих соотношений:

;

.

Сопоставляя эту формулу с периодом колебаний математического маятника

,

можно видеть, что математический маятник длиной будет иметь такой же период колебаний, как и данный физический маятник.

Величину называют приведенной длиной физического маятника.

Таким образом, приведенная длина физического маятника - это длина такого математического маятника, период колебаний которого совпадает с периодом данного физического маятника.

Введя понятие приведенной длины физического маятника, выраженное для периода колебаний можно записать в виде

.

Скорость и ускорение точки, колеблющейся по гармоническому закону

Пусть колебания точки происходят по гармоническому закону

x = A cos (t+). (6.11)

Скорость колеблющейся точки определяется первой производной по времени от смещения:

или = A sin (t+). (6.12)

Ускорение колеблющейся точки определяется первой производной по времени от скорости:

или . (6.13)

Из уравнений (6.12) и (6.13) следует, что скорость и ускорение колеблющейся точки изменяются по гармоническому закону. При этом амплитуда скорости равна А, ускорение А2. Для определения сдвига фаз преобразуем выражения (6.12) и (6.13). Исходя из формул преобразования

cos (900+) = sin,

cos (1800+) = cos,

получим

(6.14)

Сравнивая выражения (6.11) и (6.14) можно сделать вывод, что скорость сдвинута по фазе относительно смещения на =/2, а ускорение на =.

Таким образом, при гармонических колебаниях смещение, скорость и ускорение пропорциональны друг другу и изменяются со временем по одинаковому гармоническому закону. Это является специальным свойством гармонических колебаний.

Для графического изображения x=f(t), =f(t) и положим

x = 2 cost,

тогда

,

.

Значения x,, в зависимости от t занесем в табл.6.1, учитывая, что

Построим графики x(t), (t), и (рис.6.4)

Форму кривой, выражающей зависимость изменения колеблющейся величины от времени называют формой колебания. В случае гармонических колебаний формой колебания является синусоида или косинусоида. Форму колебаний может вычертить само колеблющееся тело. Например, колеблющийся маятник с песочницей «вычерчивает» синусоиду на равномерно движущейся под ним доске.

Таблица 6.1

t	0				T
	0				2
x	2	0	-2	0	2
	0	-2	0	2	0
	-2	0	2	0	-2

x

Рис. 6.4

Энергия гармонических колебаний

Положим, система совершает собственные гармонические колебания. При отсутствии сил трения гармонические колебания продолжаются неограниченно долго, т.к. полная энергия замкнутой системы постоянна.

Полная энергия механической системы складывается из энергии кинетической (Ек) и потенциальной (Еп):

Е = Ек + Еп. (6.15)

Найдем кинетическую энергию системы, колеблющейся по закону

x = A cos t , (6.16)

положив начальную фазу =0. Скорость равна первой производной по времени от смещения, т.е.

Кинетическая энергия может быть записана в виде

(6.17)

или . (6.18)

Известно, что

. (6.19)

Поэтому выражение (6.18) для кинетической энергии можно переписать в виде

. (6.20)

Таким образом, кинетическая энергия меняется со временем также по гармоническому закону, но по сравнению с координатой x (6.16) с удвоенной частотой.

При вычислении потенциальной энергии квазиупругих и упругих сил условимся отсчитывать её от положения равновесия, т.е. положим, что при x=0, Eп=0. Тогда потенциальная энергия в точке x будет численно равна работе квазиупругой силы, совершенной при перемещении из положения равновесия в данную точку и взятой с обратным знаком

.

Подставляя вместо x его значение (6.16) и k=m2 получим

. (6.21)

Используя формулу преобразования (6.19), получим следующее выражение для потенциальной энергии:

. (6.22)

Следовательно, потенциальная энергия также меняется со временем по гармоническому закону, но по сравнению с координатой x (6.16) с удвоенной частотой и со сдвигом фазы относительно кинетической энергии Ек (6.20) на . Составим таблицу 6.2 значений x(t), Ек(t) и Eп(t), исходя из уравнений (6.16), (6.20), (6.22).

Таблица 6.2

t		x	Ек	Eп
0	0	A	0
		0		0
		-A	0
		0		0
T	2	A	0

Построим графики изменения со временем смещения, потенциальной и кинетической энергии (рис.6.5)

Из графиков видно, что кинетическая энергия за период дважды достигает максимального значения при прохождении точки x=0. Аналогично максимальные значения потенциальной энергии достигается при x=A.

Кроме того, значения кинетической и потенциальной энергии колеблются не около нуля, а около изменяясь от 0 до .

Рис. 6.5

Найдем полную энергию системы, совершающей гармоническое колебательное движение с частотой и амплитудой А, подставив в формулу (6.15) выражение для кинетической энергии (6.17) и потенциальной энергии (6.21):

;

или ,

так как (sin2t+cos2t)=1.

Таким образом, полная энергия гармонически колеблющейся системы есть величина постоянная и пропорциональная квадрату амплитуды колебаний.

В процессе движения происходит непрерывный переход кинетической энергии в потенциальную и обратно, но сумма их остается постоянной. Когда система проходит через положение равновесия x=0, потенциальная энергия обращается в нуль, а кинетическая энергия максимальна и равна полной энергии.

Когда колеблющаяся система доходит до одного из крайних положений x=A, то =0 и кинетическая энергия обращается в нуль, а потенциальная максимальна и равна полной энергии, т.е.

.

частота колебание энергия

Сложение колебаний

Сложение колебаний одного направления и одинаковой частоты

Решение ряда вопросов, в частности, сложение нескольких колебаний одного и того же направления, значительно облегчается, если изобразить колебания графически в виде векторов на плоскости. Полученная таким образом схема (рис.6.6) называется векторной диаграммой. Возьмем ось, которую обозначим осью x. Из точки О, взятой на оси, отложим вектор длины А, образующий с осью угол .

Приведем этот вектор во вращение с угловой скоростью . Проекция конца вектора будет перемещаться по оси в пределах от -А до +А. Координата этой проекции будет изменяться со временем по закону

x = A cos(t+).

Рис. 6.6

Следовательно, проекция конца вектора на ось будет совершать гармоническое колебание. Амплитуда равна длине вектора, круговая частота - угловой скорости вращения, начальная фаза - углу, который образует вектор с осью в начальный момент времени.

Итак, гармоническое колебание может быть задано с помощью вектора, длина которого равна амплитуде колебания, а направление вектора образует с осью x угол, равный начальной фазе колебания.

Тело может участвовать в нескольких колебаниях одновременно. Например, пружинный маятник, находящийся на корабле, совершает, кроме собственных колебаний, колебания вместе с кораблем на морских волнах.

Исходя из принципа суперпозиции, результирующее смещение тела, участвующее в нескольких колебательных движениях, получается как геометрическая сумма независимых смещений, которые тело приобретает, участвуя в каждом из слагающих колебаний:

.

Положим, тело участвует одновременно в двух гармонических колебательных движениях, происходящих в одном направлении при следующих условиях: 1=2= =сonst, 12,, A1A2.

Запишем уравнения этих колебаний

x1 = A1 cos(t+1);

x2 = A2 cos(t+2).

Построим векторные диаграммы этих колебаний (рис.6.7). Результирующее смещение тела, участвующего одновременно в обеих колебаниях, равно сумме проекций x1 и x2 на ось x.

x = x1 + x2

Рис. 6.7

Так как векторы и вращаются с одинаковой угло-вой скоростью, то сдвиг фаз между ними (21) остается постоянным. Изображенный на рис.6.7 треугольник вращается как жесткий, его стороны вращаются с той же угловой скоростью, что и векторы и . Следовательно, и результи-рующий вектор вращается с той же угловой скоростью .

Уравнение результирующего колебания запишется в виде

x = A(t+).

Таким образом, тело, участвуя в двух гармонических колебаниях, происходящих в одном направлении с одинаковой частотой, совершает гармонические колебания в том же направлении и с той же частотой, что и составляющие колебания.

Из рис.6.7 видно, что амплитуда результирующих колебаний А по теореме косинусов будет равна

.

Так как , то

.

А начальная фаза определяется соотношением

.

Величина амплитуды результирующего колебания зависит от сдвига фаз = 2 1 составляющих колебаний:

а) если сдвиг фаз (21)=2n, то (А1+А2)2, а результирующая амплитуда А=А1+А2. Т.е. при сдвиге фаз, равном четному числу , где n=0,1,2,3…, амплитуда результирующего колебания равна сумме амплитуд составляющих колебаний;

б) если сдвиг фаз 21=(2n+1), т.е. нечетному числу , где n=0,1,2,3…, то , . При разности фаз 21=(2n+1), амплитуда результирующего колебания равна абсолютному значению разности амплитуд составляющих колебаний. Колебания ослабляют друг друга. При А1=А2 тело остается в покое, так как А=0;

в) если сдвиг фаз , где n=0,1,2,3…, то , .

Сложение двух гармонических колебаний одного направления, но разного периода

Пусть 12, т.е. рассмотрим случай сложения двух гармонических колебаний одного направления, но разного периода. Положим А1=А2=А0, 1=2=. Тогда уравнения колебаний запишутся в виде

x1 = A0 cos(1t+);

x2 = A0 cos(2t+).

Результирующее смещение x равно

x = x1+x2,

x = A0 cos(1t+) + A0 cos(2t+).

Преобразуем выражение, учитывая, что

.

Получим

.

Если обозначить , то предыдущее уравнение перепишется в виде

. (6.23)

Т.е. результирующее колебание можно рассматривать как гармоническое колебание со средней угловой частотой и медленно изменяющейся амплитудой по закону

. (6.24)

Период изменения амплитуды

.

Период колебания

.

График колебаний, полученный в результате сложения колебаний одного направления, но разного периода представлен на рис.6.8.

x

Рис. 6.8

Пунктирные линии представляют график медленно изменяющейся по уравнению (6.24) амплитуды. Сплошной линией на том же чертеже представлен график результирующего колебания (6.23).

В те моменты, когда

В этот момент колебания происходят с удвоенной амплитудой А=2А0. В те моменты, когда

В этот момент колебания гасят друг друга и амплитуда результирующего колебания равна 0.

В тот момент времени, когда



Амплитуда результирующего колебания оказывается снова равной удвоенной амплитуде А=2А0.

Такое постепенное возрастание и убывание амплитуды результирующего колебания носит название биений. Явлением биений пользуются настройщики музыкальных инструментов, которые судят по исчезновению биений о точном совпадении частоты струн и эталонного источника звука.

Сложение взаимно перпендикулярных колебаний

Рассмотрим движение точки, участвующей одновременно в двух колебаниях, направления которых взаимно перпендикулярны. Этот случай колебания можно наблюдать на электронном осциллографе. Подадим на горизонтально отклоняющие пластины напряжение от первого генератора электрических колебаний, на вертикально отклоняющие пластины переменное напряжение от второго генератора электрических колебаний.

Пока генераторы не включены, электрический луч, проходящий по оси отклоняющих пластин, создает светящуюся точку в центре экрана. В этой точке мы поместим начало координат, а за ось возьмем горизонтальный (ось x) и вертикальный (ось y) диаметры (рис.6.9).

При включении генератора, соединенного с вертикально отк-лоняющими пластинами, светя-щаяся точка смещается по верти-кальной оси, совершая колебания по гармоническому закону:

y = A2 cos(2t+2) , (6.25)

где 2 - частота колебаний напряжения на втором генераторе.

Если отключить этот генератор и включить первый, напряжение которого подано на горизонтально отклоняющие пластины, то светящаяся точка будет смещаться в горизонтальном направлении по закону:

x = A1 cos(1t+1). (6.26)

1. Положим, что частота колебаний обоих генераторов одна и та же: 1=2 и 1=2 - начальные фазы совпадают.

Уравнения (6.25) и (6.26) представляют собой кинематические уравнения движения точки. Они перепишутся в следующем виде:

x = A1 cos t;

y = A2 cos t.

Если из них исключить время, то получим уравнение траектории, по которой движется точка, участвуя одновременно в двух взаимно перпендикулярных колебаниях:

.

Это уравнение есть уравнение прямой линии, т.е. светящаяся точка движется по прямой линии, проходящей через начало координат и составляющей с осью x угол, тангенс которого определяется соотношением

.

Результирующее смещение ,

.

Длина отрезка, пробегаемого точкой, равна удвоенной амплитуде результирующего колебания:

.

образованного отрезками прямых x=A1 и y=A2 (рис.6.10).

2. Положим 2=1+, тогда

cos(t+2)=cos(t+1+)=-cos(t+1).

3. Пусть 2=1+/2, тогда составляющие колебания сдвинуты по фазе на /2. Запишем уравнения колебаний по оси x и y:

x = A1 cos(t+1);

y = A2 cos(t+2).

Преобразуем уравнение колебаний по оси y:

.

Получим систему уравнений

x = A1 cos(t+1);

y = -A2 sin(t+1).

Перенесем А1 и А2 в левую часть уравнений:

.

Возводя в квадрат и складывая почленно, получим:

.

Это выражение есть уравнение эллипса, которое при А1=А2=А превращается в уравнение окружности.

Таким образом, движение точки, участвующей в двух взаимно перпендикулярных колебаниях равной частоты с разными амплитудами и сдвигом фаз в /2, происходит по эллипсу с полуосями А1 и А2, лежащими на направлениях составляющих колебаний.

будет положительным, а y - отрицательным; точка пойдет вниз и сдвинется по часовой стрелке.

4. То же наблюдается при сдвиге фаз, равном 3/2, но точка обегает эллипс в этом случае в противоположном направлении, т.е. против часовой стрелки.

5. В случае, когда 12, имеют место сложные кривые. При этом, если отношение частот не является рациональным числом, то кривая будет незамкнутой, и с течением времени заполнит собой весь прямоугольник.

В случае рационального отношения частот будут иметь место различные кривые, вид которых зависит от отношения частот и сдвига начальных фаз и называются они фигурами Лиссажу, по имени французского ученого, их впервые наблюдавшего.

Например: а) при 2=1+/2, 2=2, уравнения колебаний по оси x и y запишутся в виде

x = A1 cost;

y = A2 cos(2t+/2) = -А2 sin2t.

Уравнение колебаний по оси y преобразуем, используя выражение sin2t=2sint cost.

Получим

y = -2A2 sint cost.

Из уравнения колебаний точки по оси x имеем

, тогда ,

.

Таким образом, уравнение колебаний в рассматриваемом случае будет иметь вид

.

Рис. 6.13

При построении графика y=f(x) получим кривую вида (рис.6.13).

За то время, пока вдоль оси x точка успевает переместиться из одного крайнего положения в другое вдоль оси y, выйдя из нулевого положения, она успевает достигнуть одного крайнего положения, затем другого и вернуться в нулевое;

б) при 1=2+/2, 2=21, 2=0, x=A1cos(t+/2), y=A2cos2t - получим кривую (рис.6.14).

Рис. 6.14

Уравнение траектории можно получить, используя формулу преобразования cos2t=2cos2t-1:

.

Траектория вырождается в незамкнутую кривую, по которой точка движется туда и обратно.

С помощью получаемого изображения кривой (фигуры Лиссажу) задавая колебания электронного луча в электронно-лучевой трубке вдоль оси x с известной частотой и отклоняя его вдоль оси y напряжением, частота которого неизвестна, можно определить неизвестную частоту.

Рассмотренные выше примеры показывают, что различные сложные периодические движения могут быть представлены в виде суммы гармонических колебаний разных направлений, частот, амплитуд и начальных фаз.

Затухающие колебания

Всякое реальное колебание происходит с постепенным расходованием энергии движения на работу против сил трения. При этом амплитуда и скорость колебательного движения убывают. Полная сила, действующая на колеблющуюся точку, будет тогда суммой квазиупругой силы и силы трения:

F = Fупр+Fтр

При малых скоростях движения сопротивление обычно пропорционально первой степени скорости и направлено противоположно ей:

Fтр= r,

где r - коэффициент трения, зависящий от свойств среды, формы и размеров движущегося тела.

Уравнение движения тела в этом случае имеет вид

Fупр+Fтр;

. (6.27)

Введем обозначения

;

и перепишем уравнение (6.27):

, (6.28)

где 0 - собственная частота колебания системы.

Будем искать решение уравнения (6.28) в виде

, (6.29)

где A(t) - некоторая функция времени.

Найдем первую производную от уравнения (6.29):

(6.30)

и вторую производную:

. (6.31)

Подставляя уравнения (6.29), (6.30), (6.31) в (6.28), получим

Сгруппируем члены при cos(t+) и sin(t+):

.

Для того, чтобы данное уравнение удовлетворялось при любых значениях t, необходимо равенство нулю коэффициентов при cos(t+) и sin(t+).

Таким образом, мы приходим к двум уравнениям:

; (6.32)

. (6.33)

Из уравнения (6.32) получим .

Проинтегрируем выражение

;

.

Производя потенцирование найденного соотношения, получим выражение для амплитуды колебаний:

A=A0e-t.

Легко увидеть, что

, а .

Подстановка этих значений в уравнение (6.33) приводит к соотношению

,

из которого после сокращения А получаем

, .

При частота затухающих колебаний будет величиной вещественной, и решением дифференциального уравнения (6.28) является функция вида

. (6.34)

График этой функции дан на рис.6.15.

Сравнивая полученное решение (6.34) решением уравнений гармонических колебаний

x=Acos(t+),

следует заметить, что последние отличаются от чисто гармонических колебаний тел, что амплитуда колебания

является убывающей функцией времени.

На графике (рис.6.15) она показана пунктирной линией.

Величина называется показателем затухания, - частотой колебания. Период колебания определяется из соотношений

Рис. 6.15

;

или .

С увеличением трения период колебаний возрастает, а при =0 период становится бесконечным. При дальнейшем увеличении период становится мнимым, а движение точки или тела - апериодическим (рис.6.16). Вычислим отношение амплитуд, отстоящих друг от друга во времени на один период:

.

Рис. 6.16

Отношение амплитуд зату-хающих колебаний, отстоящих друг от друга на интервал времени, равный периоду, постоянно во все время колебания. Натуральный лога-рифм этого отношения называется логарифмическим декрементом затухания:

; .

Логарифмический декремент затухания характеризующий быстроту убывания амплитуды, прямо пропорционален величине коэффициента сопротивления и обратно пропорционален массе системы. Таким образом, из-за наличия сил трения собственные колебания точки или тела будут затухающими. Вынужденные колебания. Резонанс

Для получения незатухающих колебаний необходимо воздействовать дополнительной переменной внешней силой, которая бы восполняла убыль энергии. Колебания системы, которые совершаются за счет работы периодически меняющейся внешней силы, называются вынужденными.

Размещено на Allbest.ru

...