Физические основы механики

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

ВВЕДЕНИЕ

Физика по-гречески «природа». Физика изучает свойства окружающего нас мира, строение и свойства материи, законы взаимодействия и движения материальных тел. Физика - наука о наиболее простых и общих свойствах материи. Она является фундаментом многих естественных наук и техники. В частности, физика является основой химии, так как она объясняет природу периодических свойств химических элементов и механизм возникновения междуатомных сил.

Современная теория электромагнетизма является основой развития промышленной электротехники и радиотехники. Из открытий в области физики атомного ядра возникла ядерная энергетика. Развитие техники и промышленности требуют от физиков разрешения ряда проблем, тесно связанных с дальнейшим техническим прогрессом, дает физике новые, более современные приборы и методы исследования.

При изучении курса физики закладываются основы для изучения общетехнических и специальных дисциплин. Знание физики необходимо для правильного диалектического материалистического представления о явлениях природы.

Физику подразделяют на классическую и квантовую. Начало классической физики было положено Ньютоном, сформулировавшим основные законы механики. Завершено развитие классической механики созданием в 1905 году Эйнштейном специальной теории относительности и релятивистской механики, учитывающей требования этой теории.

Начало квантовой физики было положено в 1900 году М. Планком.

Механика изучает простейшую форму движения - перемещение материальных тел, т.е. изменения их взаимного положения с течением времени. Механика подразделяется на: механику материальной точки, механику твердого тела и механику сплошной среды.

Материальной точкой называют тело, размерами которого можно пренебречь, по сравнению с расстоянием до других тел.

Под твердым телом подразумевают абсолютно твердое тело, т.е. тело, деформациями которого можно пренебречь в условиях данной задачи.

Механика сплошной среды изучает движение и равновесие газов, жидкостей и деформируемых тел. Одним из разделов механики сплошных сред является гидродинамика.

Механика подразделяется на классическую и квантовую. Классическая механика подразделяется на ньютоновскую и релятивистскую. В основе ньютоновской механики лежат законы Ньютона. Эта механика справедлива для макроскопических тел, движущихся со скоростями, малыми по сравнению со скоростью света.

Релятивистской механикой называется механика, учитывающая требования специальной теории относительности. Она справедлива и при скоростях, сравнимых со скоростью света.

Механику подразделяют на кинематику, статику и динамику. Кинематика описывает движение тел, не интересуясь причинами, обуславливающими это движение. Статика рассматривает условия равновесия тел. Динамика изучает движение тел в связи с теми причинами, которые обусловливают тот или иной характер движения.

Движение тел происходит в пространстве и во времени (пространство и время - неотъемлемые формы существования материи). Ньютон считал пространство и время абсолютными, не зависящими друг от друга и от присутствующих в пространстве тел. Согласно теории относительности пространство и время неразрывно связаны друг с другом, образуя единое четырехмерное пространство-время. Из общей теории относительности следует, что присутствие тяготеющих масс искривляет пространство и оказывает влияние на время.



1. Кинематика поступательного и вращательного движения

1.1 Система отсчета. Путь. Вектор перемещения

Для описания движения необходимо условиться, относительно какого другого тела будет отсчитываться перемещение данного тела или материальной точки. Совокупность неподвижных друг относительно друга тел, по отношению к которым рассматривается движение, и отсчитывающих время часов, называется системой отсчета.

Для количественного описания движения с телами, образующими систему отсчета, связывают систему координат. Выберем декартову систему координат. Тогда положение материальной точки в этой системе можно определить заданием трех координат x, y, z или через вектор (рис.1.1)

,

где - орты или единичные векторы координатных осей (рис.1.2).

Линия, которую описывает материальная точка при своем движении, называется траекторией.

В зависимости от формы траектории различают прямолинейное движение, движение по окружности, криволинейное движение и т.д. Пусть материальная точка, двигаясь в одном направлении, переместилась из положения 1 в положение 2 (рис.1.3). Расстояние между точками 1 и 2, отсчитываемое вдоль траектории, называется длиной пройденного материальной точкой пути (s). Отрезок прямой, проведенной из начального положения материальной точки в конечное, называется перемещением , где и - радиус вектора в момент времени t₁ и t₂.



1.2 Скорость. Ускорение при криволинейном движении

Траектория и перемещение являются чисто геометрическими характеристиками движения. Два различных движения, для которых одно и то же перемещение r совершилось за разные промежутки времени геометрически одинаковы, но кинематически различны. Это различие характеризуется скоростью.

Быстрота изменения положения материальной точки называется средней скоростью движения за время t и определяется отношением .

Численное значение вектора средней скорости - есть скорость такого равномерного прямолинейного движения, при котором точка М перешла бы из положения М₁ в положение М₂ за тот же промежуток времени t, за который произошло её истинное криволинейное движение по дуге М₁М₂ (рис.1.4).

М₁ Вектор скорости направлен также как и вектор , т.е. по секущей М₁М₂.

М₂ Предел отношения при называется мгновенной скоростью

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис.

, (1.1)

т.е. вектор мгновенной скорости равен



. (1.2)

Поскольку секущая в пределе совпадает с касательной, то мгновенная скорость направлена по касательной к траектории. Тогда, согласно равенству (1.1)

.

Модуль мгновенной скорости () равен производной пройден-ного пути по времени

.

, где - постоянные векторы, получим уравнения для вектора скорости

, (1.3)

и .

Компоненты скорости по осям x,y,z соответственно равны

; ; .

Вектор скорости может быть выражен также через орт скорости

Быстрота изменения величины скорости в единицу времени в прямолинейном движении характеризуется ускорением



.

Принимая во внимание соотношение (1.2), ускорение можно записать в виде

.

Следовательно, ускорение можно определить как первую производную скорости по времени, либо как вторую производную радиус-вектора - по времени. Продифференцировав по времени соотношение (1.3), получим для ускорения выражение

.

Вместе с тем, ускорение, как любой другой вектор можно выразить через компоненты по координатным осям:

,

где ; ; - компоненты ускорения, равные вторым производным соответствующих координат по времени.



1.3 Нормальное, тангенциальное и полное ускорения

При произвольном криволинейном движении вектор скорости может изменяться как по величине, так и по направлению. В этом случае существует ускорение, характеризующее быстроту изменения скорости по величине, и ускорение, характеризующее быстроту изменения скорости по направлению.

Рассмотрим три частных случая.

При движении по прямолинейной траектории - орт скорости остается постоянным, т.е. =сonst, поэтому . Если 0, то ускорение направлено так же, как и скорость. Если 0, направление ускорения противоположно направлению скорости. Модуль ускорения равен .

При равномерном движении по окружности =сonst, изменяется (рис.1.6,а), поэтому:

. (1.4)

Найдем производную орта скорости .

Из рис.1.6 видно, что за время t орт скорости поворачивается на угол

и получает приращение . По определению

.

При и . Тогда , - еди-ничный вектор, имеющий такое же направление, как и .

При произвольном переходе единичный вектор превращается в -орт нормали к траектории в той точке, в которой частица была в момент t. Таким образом,

. (1.5)

Подставив (1.5) в (1.4), получим - нормальное уско-рение.

При равномерном движении по окружности ускорение направлено по нормали к скорости. Поэтому называют его нормальным ускорением и в обозначении ставят индекс n.

При неравномерном движении частицы по криволинейной траектории оба множителя в формуле изменяются со временем. Применив правило дифференцирования произведения функций, найдем выражение для ускорения

.

Видно, что в общем случае ускорение распадается на два слагаемых. Одно из них коллинеарно скорости и, следовательно, направлено по касательной к траектории. Поэтому его называют тангенциальным (т.е. касательным) ускорением и обозначают .

Второе слагаемое совпадает с , т.е. определяется формулой и является нормальным ускорением. Первое слагаемое характеризует быстроту изменения модуля скорости, второе быстроту изменения направления скорости. Составляющие и перпендикулярны друг другу (рис.1.7). Поэтому квадрат модуля ускорения равен сумме квадратов модулей составляющих .



1.4 Движение точки по окружности. Угловая скорость. Угловое ускорение

При вращении твердого тела все его точки движутся по окружности, центры которых лежат на единой прямой, называемой осью вращения. Окружности, по которым движутся точки тела, лежат в плоскости, перпендикулярной к этой оси.

Радиус-вектор каждой точки - есть вектор, проведенный из центра окружности в данную точку. Он поворачивается за время t на один и тот же угол .

Векторная величина называется угловой скоростью, где t - время, за которое совершается поворот на угол . Из определения видно, что вращение точки по окружности описывается угловой скоростью .

При равномерном вращении угловая скорость , а угол поворота .

Единицей угловой скорости в системе СИ является радиан в секунду .

Угловая скорость - есть величина постоянная, она указывает, на какой угол поворачивается тело за единицу времени. В этом случае она называется круговой или циклической частотой.

Равномерное движение можно охарактеризовать также периодом обращения. Периодом называется время, за которое тело делает один оборот, т.е. поворачивается на угол 2. Поскольку за время, равное Т совершается угол поворота 2, то

; .



Число оборотов за единицу времени (частоту) обозначим и выразим период и циклическую частоту через эту величину

; ; .

Угол поворота за время t можно записать через частоту и полное число оборотов N

; .

При неравномерном вращении величина изменяется со временем и за промежуток времени t получает приращение .

Величина, характеризующая изменение вектора угловой скорости со временем, называется угловым ускорением

.

Таким образом, изменение угловой скорости по времени характеризуется угловым ускорением , которое определяется как производная угловой скорости по времени

.

Единица измерения углового ускорения . При неподвижной оси вращения векторы и коллинеарны и направлены вдоль оси вращения. Если угловая скорость увеличивается , то векторы и одинаково направлены, если угловая скорость уменьшается , то векторы и противоположно направлены.

При неравномерном вращении для угла поворота, угловой скорости и ускорения справедливо соотношение

,

где ₀ - начальная угловая скорость.

Найдем соотношение между (рис.1.9).

Подставляя значение s из предыдущего равенства, получим

,

т.е. линейная скорость точки прямо пропорциональна радиусу и угловой скорости

.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

(1.6)

Выясним соотношение между и . Нормальное ускорение точек прямо пропорционально квадрату линейной скорости и обратно пропорционально радиусу

. (1.7)

Подставляя в уравнение (1.7) уравнение (1.6), получим следующее выражение для нормального ускорения: .

Модуль тангенциального ускорения равен модулю первой производной от линейной скорости

. (1.8)

Подставляя (1.6) в уравнение (1.8) найдем, что

.

Но так как , то . Для нахождения соотношения между векторами и сделаем чертеж (рис.1.10). Пусть тело вращается вокруг оси z с угловой скоростью . Выберем точку О на оси и проведем радиус-вектор из этой точки к точке С. Из треугольника ОАС видно, что . Умножим обе части равенства на и получим cледующее выражение: .

Так как - модуль скорости, - модуль векторного произведения , то

.

Откуда следует, что вектор скорости равен векторному произведению вектора угловой скорости на радиус-вектор :

.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

(1.9)

Формуле (1.9) можно придать иной вид. Для этого представим

. (1.10)

Выведем соотношение для тангенциального и углового ускорения. По определению тангенциальное ускорение есть первая производная от вектора скорости по времени (1.8). Подставляя (1.10) в (1.8), получим

,

т. е. .



2. ДИНАМИКА ПОСТУПАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ

2.1 Законы Ньютона

Раздел механики, изучающий движение материальных тел совместно с физическими причинами, вызывающими это движение, называется динамикой. Основные представления и количественные закономерности динамики возникли и развиваются на базе многовекового человеческого опыта: наблюдений за движением земных и небесных тел, производственной практики и специально поставленных экспериментов.

Великий итальянский физик Галилео Галилей экспериментально установил, что материальная точка (тело) достаточно удаленная от всех других тел (т.е. не взаимодействующая с ними) будет сохранять свое состояние покоя или равномерного прямолинейного движения. Это положение Галилея было подтверждено всеми последующими опытами и составляет содержание первого основного закона динамики, так называемого закона инерции. При этом покой следует рассматривать как частный случай равномерного и прямолинейного движения, когда .

Этот закон одинаково справедлив как для движения гигантских небесных тел, так и для движения мельчайших частиц. Свойство материальных тел сохранять состояние равномерного и прямолинейного движения называется инерцией.

Равномерное и прямолинейное движение тела при отсутствии внешних воздействий называется движением по инерции.

Система отсчета, по отношению к которой выполняется закон инерции, носит название инерциальной системой отсчета. Инерциальной системой отсчета практически точно является гелиоцентрическая система. В виду громадного расстояния до звезд, их движением можно пренебречь и тогда оси координат, направленные от Солнца на три звезды, не лежащие в одной плоскости, будут неподвижными. Очевидно, любая другая система отсчета, движущаяся равномерно и прямолинейно относительно гелиоцентрической системы, также будет инерциальной.

Физической величиной, характеризующей инертность материального тела, является его масса. Ньютон определил массу как количество вещества, содержащегося в теле. Это определение нельзя считать исчерпывающим. Масса характеризует не только инерцию материального тела, но и его гравитационные свойства: сила притяжения, испытываемая данным телом со стороны другого тела, пропорциональна их массам. Масса определяет полный запас энергии материального тела.

Понятие массы позволяет уточнить определение материальной точки. Материальной точкой называется тело, при изучении движения которого можно отвлечься от всех его свойств, кроме массы. Каждая материальная точка, следовательно, характеризуется величиной своей массы. В ньютоновской механике, в основе которой лежат законы Ньютона, масса тела не зависит от положения тела в пространстве, его скорости, действия на тело других тел и т.д. Масса является величиной аддитивной, т.е. масса тела равна сумме масс всех его частей. Однако свойство аддитивности утрачивается при скоростях, близких к скорости света в вакууме, т.е. в релятивистской механике.

Эйнштейн показал, что масса движущегося тела зависит от скорости

, (2.1)

где m₀ - масса покоящегося тела, - скорость движения тела, с - скорость света в вакууме.

Из (2.1) следует, что при движении тел с малыми скоростями c масса тела равна массе покоя, т.е. m=m₀; при c масса m.

Обобщая результаты опытов Галилея по падению тяжелых тел, астрономические законы Кеплера о движении планет, данные собственных исследований Ньютон сформулировал второй основной закон динамики, количественно связавший изменение движения материального тела с силами, вызывающими это изменение движения. Остановимся на анализе этого важнейшего понятия.

В общем случае сила - есть физическая величина, характери-зующая действие, оказываемое одним телом на другое. Эта векторная величина определяется численной величиной или модулем , направлением в пространстве и точкой приложения.

Если на материальную точку действуют две силы и , то их действие эквивалентно действию одной силы

,

получаемой из известного треугольника сил (рис.2.1). Если на тело действуют n-сил, суммарное действие эквивалентно действию одной равнодействующей, являющейся геометрической суммой сил:

. (2.2)

Динамическое проявление силы состоит в том, что под действием силы материальное тело испытывает ускорение. Статическое действие силы приводит к тому, что упругие тела (пружины) под действием сил деформируются, газы - сжимаются.

или . (2.3)



Уравнение (2.3) представляет математическую запись второго основного закона динамики:

вектор силы, действующий на материальную точку численно равен произведению массы точки на вектор ускорения, возникающего при действии этой силы.

Поскольку ускорение

,

где - единичные векторы, - проекции ускорения на координатные оси, то

. (2.4)

Если обозначить , то выражение (2.4) можно переписать через проекции сил на координатные оси :

В системе СИ за единицу силы принимается ньютон.

Согласно (2.3) ньютон есть такая сила, которая массе в 1 кг сообщает ускорение 1 м/с². Легко видеть, что

.

Второй закон Ньютона можно записать иначе, если ввести понятие импульса тела (m) и импульса силы (Fdt). Подставим в

(2.3) выражение для ускорения

,

получим

или . (2.5)

Таким образом, элементарный импульс силы, действующий на материальную точку в течение промежутка времени dt, равен изменению импульса тела за тот же промежуток времени.

Обозначив импульс тела

,

получим следующее выражение для второго закона Ньютона:

.

В релятивистской механике при c основной закон динамики и импульс тела с учетом зависимости массы от скорости (2.1.) запишутся в следующем виде

,

.

До сих пор мы рассматривали лишь одну сторону взаимодействия между телами: влияние других тел на характер движения данного выделенного тела (материальной точки). Такое влияние не может быть односторонним, взаимодействие должно быть обоюдным. Этот факт отражается третьим законом динамики, сформулированным для случая взаимодействия двух материальных точек: если материальная точка m₂ испытывает со стороны материальной точки m₁ силу, равную , то m₁ испытывает со стороны m₂ силу , равную по величине и противоположную по направлению :

.

Эти силы действуют всегда вдоль прямой, проходящей через точки m₁ и m₂, как показано на рисунке 2.2. Рисунок 2.2,а относится

2.2 Силы в механике

2.2.1 Сила тяжести

Вблизи поверхности Земли все тела падают с одинаковым ускорением, которое называют ускорением свободного падения и обозначают буквой g. Отсюда вытекает, что в системе отсчета, связанного с Землей, на всякое тело действует сила

.

Эта сила называется силой тяжести. Она приблизительно равна силе гравитационного притяжения тела к Земле

,

где m - масса тела, М - масса Земли, R - радиус Земли, G - гравитационная постоянная.

Различие между силой тяжести и гравитационной силой обусловлено тем, что система отсчета, связанная с Землей не вполне инерциальна. Это различие мало и в первом приближении силу тяжести можно считать равной силе, с которой тело притягивается к Земле.

Если подвесить тело (рис.2.3,а), или положить его на опору (рис.2.3,б), оно будет покоиться относительно Земли. В этом случае сила тяжести уравновешивается силой R, которую называют реакцией подвеса или опоры.

По третьему закону Ньютона тело действует на подвес или опору с силой , которую называют весом тела.

Итак, вес тела - это сила, с которой тело действует на подвес или опору вследствие гравитационного притяжения к Земле.

Поскольку силы и (рис.2.3) уравновешивают друг друга, выполняется соотношение . Вес есть сила, с которой тело

действует на подвес (или опору), - есть сила, с которой подвес (или опора) действует на тело. Согласно третьему закону Ньютона должно выполняться соотношение .

Сравнение обоих соотношений дает, что

(2.6)

Таким образом, вес и сила тяжести равны друг другу. Однако приложены к разным телам - вес к подвесу (или опоре), сила тяжести - к самому телу. кинематика скорость ускорение ньютон

Равенство (2.6) имеет место только в том случае, когда подвес (или опора), а следовательно, и тело покоится относительно Земли (или движется без ускорения).

2.2.2 Упругие силы

Под действием внешних сил возникают деформации (т.е. изменения размеров и формы) тел. Если после прекращения воздействия внешних сил восстанавливается прежняя форма и размеры тела, то деформация называется упругой.

Размещено на Allbest.ru

...