Анализ и применение уравнения Бернулли

Размещено на http://www.allbest.ru/

Тема: Анализ и применение уравнения Бернулли

1. Расход. Уравнение неразрывности в гидравлике

Рассмотрим установившийся поток между живыми сечениями 1,2 ( рис. 1).

Рис. 1

Живым сечением называется поверхность в пределах потока, проведенная параллельно к направлению струек.

За единицу времени через живое сечение 1 в рассматриваемый объем жидкости

,

где - площадь живого сечения, - средняя скорость в сечении.

Через живое сечение 2 за это время вытекает объем жидкости

,

где - площадь живого сечения 2, - средняя скорость в сечении 2.

Поскольку форма объема 1-2 с течением времени не изменяется, жидкость несжимаемая, объем жидкости должен равняться объему вытекающему .

Поэтому можно записать

 .

Это уравнение называется уравнением неразрывности.

Из уравнения неразрывности следует, что

.

Средние скорости обратно пропорциональны площадям соответствующих сечений.

2. Анализ уравнения Бернулли

Запишем уравнение Бернулли для установившегося движения идеальной сжимаемой жидкости при условии ее баротропности () в поле массовых сил

,

проинтегрировав имеем

.

Для потенциального течения константа уравнения Бернулли постоянна для всей области течения. При вихревом движении идеальной жидкости константа С в интеграле Бернулли сохраняет постоянное значение только для данной вихревой линии, а не для всего пространства, как при безвихревом течении.

Уравнение Бернулли является одним из основных в гидрогазодинамике, так как определяет изменение основных параметров течения - давления, скорости и высоты положения жидкости.

Проинтегрируем дифференциальное уравнение Бернулли для конечного участка струйки 1-2

.

Интеграл выражает работу сил давления по перемещению килограмма жидкости из области 1 с давлением р₁ в область 2 с давлением р₂.

Значение интеграла изменяется зависимости от типа процесса (термодинамического) который совершает жидкость, то есть от вида зависимости .

Рассмотрим изобарный процесс ( рис. 2 )

.

При изохорном процессе

.

Рис. 2

Для несжимаемой жидкости при течении без обмена механической работой с внешней средой, получим, при из уравнения Бернулли

,

или умножив на

,

или разделив на g

,

где константы имеют следующий физический смысл:

С - полная механическая энергия килограмма жидкости или полный напор, ,

- полная механическая энергия массы жидкости объёмом в кубический метр или полный напор, или Па. ,

- полная механическая энергия или полный напор в метрах столба данной жидкости.

Все три величины имеют одинаковый физический смысл любой из них присваивают название полного напора.

Составляющие полной механической энергии жидкости наиболее наглядно изображаются и измеряются в метрах столба жидкости,

gz,gz, z - потенциальная энергия положения жидкости, отсчитываемая от произвольно выбранной горизонтальной нивелирной плоскости, или геометрический напор, ,

- потенциальная энергия давления жидкости или пьезометрический напор,,

-потенциальная энергия жидкости или гидростатический напор,,

- кинетическая энергия жидкости или скоростной напор, .

Пьезометрический напор р может измеряться от полного вакуума р=0 или, например, от давления окружающей среды. В обеих частях равенств должно подставляться абсолютное или избыточное давление.

Начало отсчета энергии произвольно, но должно быть одинаково для обеих частей равенств.

Рис. 3

3. Энергетический смысл уравнения Бернулли

Заключается в утверждении закона сохранения полной механической энергии единицы массы несжимаемой жидкости

а) при потенциальном течении для любой точки пространства,

б) при вихревом - только вдоль вихревой линии тока и элементарной струйки.

Этот закон иногда формулируется в виде теоремы трех высот.

В приведенных условиях сумма трех высот - геометрической, пьезометрической и динамической сохраняет неизменное значение.

При этом составляющие полной энергии могут взаимопревращаться.

Следует иметь в виду, что изменение кинетической энергии несжимаемой жидкости вдоль элементарной струйки не может задаваться произвольно: в соответствии с уравнением неразрывности это изменение однозначно определяется изменением площади поперечного сечения канала

.

Течение в горизонтальной струйке имеет большое практическое значение, оно реализуется в соплах двигателей. Запишем уравнение Бернулли при z=const

.

Итак, увеличение скорости несжимаемой жидкости в горизонтальной элементарной струйке всегда сопровождается уменьшением давления, а уменьшение скорости - увеличением давления вплоть до при v=0. Поэтому скоростной напор широко используется, например, для подачи воды в систему охлаждения, разрушения горных пород и т.д.

В связи с тем, что скорость несжимаемой жидкости может уменьшаться только вследствие изменения площади сечения, приходим к важному выводу о том, что картина линий тока при течении несжимаемой жидкости однозначно определяет не только изменение скорости, но и статического давления: при сгущении линий тока давление уменьшается, при расширении - увеличивается. Это правило широко используется при анализе движения жидкости и ее взаимодействии с телами.

4. Предел применимости уравнений неразрывности и Бернулли

При течении жидкости по каналу при постоянстве , и при произвольно изменяемой площади 2. Казалось бы, что

.

Однако по уравнению Бернулли при

,

давление должно было бы принять значение минус бесконечность, что лишено смысла: абсолютное давление не может быть меньше нуля.

Таким образом уравнения неразрывности и Бернулли справедливы лишь до тех пор, пока минимальное давление в потоке остается большим нуля.

5. Примеры применения уравнения Бернулли

Рассмотрим примеры применения уравнения Бернулли.

Расходомер Вентури

Для определения скорости и расхода жидкости часто используется расходомер Вентури. Измерим статическое давление p₁ и p₂ в поперечных сечениях с различными площадями.

Рис. 29

Интеграл Бернулли для сечений 1 и 2 принимает вид

,

.

Из уравнения равенства расходов для двух сечений 1 и 2 имеем

или .

Для вычисления показания дифференциального манометра запишем условие равновесия

.

Собирая все результаты, получаем

.

Формула используется для определения скорости в трубе. Hа практике для повышения точности иногда вводят эмпирический коэффициент, учитывающий гидравлические потери в трубке Вентури.

Измерение скорости

Для измерения кинетической энергии используется трубка полного давления, которая устанавливается в точке измерения открытым концом против потока жидкости ( рис. 4 ).



Рис. 4

Струйка жидкости, подтекающая к открытому концу трубки, полностью замораживается (v=0) и весь скоростной напор превращается в давление, которое в сумме со статическим достигает давления торможения в данной точке, и называется полным давлением

,

откуда

.

Таким образом измерение скорости жидкости или "несжимаемого" газа (M<a) основано на сопоставлении давления торможения с давлением в невозмущенном потоке. Последнее еще называется статистическим давлением. Приемником давления служит Г-образная трубка, или трубка Пито. Давление обычно измеряют с помощью U-образной трубки, куда залита жидкость манометрическая (спирт, вода, ртуть).

Приемное отверстие статического давления должно находится не слишком далеко от входа в трубку Пито, чтобы не случилось рассеивание механической энергии за счет вязкости, и не слишком близко, чтобы присутствие трубки Пито не искажало статическое давление.

Кавитация

На практике оказывается, что в жидкости давление, равное нулю, недостижимо. Если давление p₂, снижаясь, достигает давления паров этой жидкости, насыщающих пространство при данной температуре p₂=p_t>0, то начинается процесс образования пузырьков пара (кипение), и неразрывность течения капельной жидкости нарушится.

бернулли жидкость баротропность кавитация

Рис. 5

Далее смесь капельной жидкости и пузырьков пара попадает в расширяющийся канал, давление возрастает и пузырьки пара начинают конденсироваться.

Кавитацией называется совокупность процессов образования пузырьков пара и их конденсация.

Кавитация может возникать не только в трубопроводах, но и при внешнем обтекании тел в областях, где возрастают местные скорости и уменьшается давление. Кавитации подвержены быстроходные колеса насосов и турбин, гребные винты.

Конденсация пузырьков пара происходит на твердых поверхностях очень быстро и завершается гидравлическим ударом, при котором развивается местное ударное давление на твердых поверхностях, достигающее сотен и даже тысяч атмосфер. Поэтому кавитация сопровождается тряской, шумом, снижением КПД насосов и турбин, эрозией твердых поверхностей, а иногда и выходом из строя агрегатов.

Обычно работа гидравлических систем в условиях кавитации не достигаются. Для предотвращения кавитации минимальное давление жидкости в системе должно быть больше давления паров, насыщающих пространство. Одним из способов предотвращения кавитации является снижение температуры жидкости. Это приводит к снижению давления паров, насыщающих пространство.

Например, вода при 373К кипит при давлении, а при 193К -. При кавитации многокомпонентных жидкостей (керосин, бензин и т.д.) вначале вскипают легкие фракции, а затем тяжелые. Конденсация происходит в обратном порядке.

Для оценки возможности возникновения кавитации используется безразмерный критерий - число кавитации

.

Значение, числа кавитации при котором она возникает, называется критическим .

Явление используется в кавитационных регуляторах расхода.

Формула Торричелли

Применим интеграл Бернулли для определения скорости истечения тяжелой несжимаемой жидкости из большого открытого сосуда через малое отверстие( рис. 6).

Рис. 6

Здесь S₁- площадь свободной поверхности, S₂ - площадь отверстия, v₁ и v₂ - скорости на поверхности и в отверстии.

Уравнение неразрывности принимает вид

.

Считая движение жидкости установившимся и безвихревым, применим интеграл Бернулли

.

Откуда

.

Из уравнения неразрывности

 ,

.

Если отношение мало, то пренебрегая членом, получаем для скорости истечения приближенную формулу Торричелли.

.

Пример. Определить форму сосуда вращения, употребляемого для водяных часов( рис. 7).

Решение.

Рис. 7

Приведем формулы решения задачи

, , ,

,

, или , где

.

Используя уравнение Бернулли можно объяснить принцип действия :

1) работы струйного насоса, в котором высоконапорный поток G₁ используется для подачи жидкости G₂ из резервуара ( рис. 8).

Рис. 8

2) принцип наддува топливного самолетного бака для предотвращения кавитации в топливной системе при полетах на большой высоте ( рис. 9 )

Рис. 9



3) причину повышения подъемной силы крыла при заданной картине линий тока ( рис. 10 )

Рис. 10

Уменьшение давления в точках, где скорость потока больше, положено в основу водоструйного насоса. Струя воды подается в трубку, открывающуюся в атмосферу, так что на выходе их трубки давление равно атмосферному. В трубке имеется сужение, по которому вода идет с большой скоростью, вследствие чего давление в этом месте оказывается меньше атмосферного. Такое же давление устанавливается и в охватывающей трубку камере насоса, которая сообщается с трубкой через разрыв, имеющийся в узкой части трубки. Подсоединив к камере насоса откачиваемый объект, из него можно откачать воздух (или какой-либо другой газ) до давления порядка 100 мм рт. ст. Откачиваемый воздух захватывается струей воды и уносится в атмосферу.



Рис. 11

Размещено на Allbest.ru

...