У другому розділі отримані основні співвідношення двовимірної та плоскої задач електромагнітопружності, введені і досліджені узагальнені комплексні потенціали. Через них отримані вирази для основних характеристик ЕМПС, граничні умови для визначення комплексних потенціалів, їх загальний вигляд у випадку багатозв'язаної області. У цьому ж розділі наведено замкнутий розв'язок задачі для тіла і пластинки з еліптичним отвором чи тріщиною, описані результати чисельних досліджень розподілу ЕМПС і КІНІН для пластинки з круговим отвором чи тріщиною в залежності від фізико-механічних властивостей матеріалів та способу навантаження. Чисельні розрахунки проведені для тіл із матеріалів (матеріал М1), (матеріал М2) и (матеріал М3). Дослідженнями встановлено, що при вивченні електромагнітопружного стану треба враховувати як фізико-механічні, так і електромагнітні властивості матеріалів. Для підтвердження цього факту приведені результати дослідження розв'язків чотирьох задач: теорії пружності (ЗТП, коли не враховуються електричні та магнітні властивості матеріалів), електропружності (ЗЕП - не враховуються магнітні властивості), магнітопружності (ЗМП - нехтуються електричні властивості матеріалів) і електромагнітопружності (ЗЕМП), коли водночас враховуються і електричні, і магнітні властивості матеріалів. Отримані результати для розтягу пластинки з круговим отвором представлені на рис.1, де для матеріалу М3 зображені графіки розподілу напружень вздовж контуру кругового отвору. Можна зазначити, що з урахуванням електромагнітних властивостей значення напружень в окремих точках відрізняються більш ніж у два рази від їх значень, що отримані без врахуванні цих властивостей. Отже навіть у випадку механічного навантаження при розв'язанні задач неможна нехтувати ні електричними, ні магнітними властивостями магнітоелектричних матеріалів, не кажучи про те, що при дії електричних і магнітних полів в тілі виникають значні напруження і деформації, а їх можна визначати тільки на підставі розв'язання зв'язаної задачі електромагнітопружності. Останнє підтверджують дані на рис. 2, де для трьох матеріалів наведені графіки розподілу напружень поблизу контуру отвору при дії однорідного магнітного поля з напруженістю . Чисельними дослідженнями також встановлено, що значний вплив на значення основних характеристик мають фізико-механічні постійні матеріалів. Як випливає з рис.2, для пластинки із матеріалу М2, у якого п'єзоелектричні та п'єзомагнітні постійні на два порядку більші, чим у матеріалу М1, максимальні значення напружень в десятки разів більші ніж відповідні значення для пластинки з матеріалу М1.

У третьому розділі розв'язано задачу електромагнітопружності для двовимірного тіла (чи пластинки) тріщинами вздовж однієї площини (прямої). Задачу зведено до системи задач лінійного спряження, на підставі розв'язання яких отримано вирази комплексних потенціалів, що точно задовольняють граничним умовам на берегах тріщин.

Отримано точний розв'язок задачі для тіла з одною тріщиною при різноманітних типах впливів, в тому числі для дії зосереджених сил та електричних зарядів. Чисельними дослідженням виявлено низку механічних закономірностей. Зокрема встановлено, що для деяких видів навантаження КІН не залежить від анізотропії матеріалу. Це має місце при завданні однорідного ЕМПС на нескінченості або при дії рівномірних і зосереджених сил на берегах тріщини. У випадку зосереджених впливів на значення основних характеристик ЕМПС та КІНІН значно впливає відстань від точки дії впливу до лінії тріщини и до кінця тріщини. Це, наприклад, характеризують дані рис.3-6, де для зосередженої сили (рис.3,4) або електричного заряду (рис. 5,6) зображені графіки залежності КІНІН від відстані між точкою дії впливу та лінією симетричної тріщини. Аналогічними є висновки з аналізу даних рис. 7, де представлені графіки залежності коефіцієнта для лівого та правого кінців тріщини від координати точки дії зосередженої сили на березі тріщини. Видно, що при зменшенні відстані між точкою дії впливу і лінією тріщини від (напівдовжини тріщини до, коли ) до нуля (коли вплив діє на березі тріщини) значення для матеріалу М2 у випадку зосередженого заряду змінюються майже у 2 рази (див. рис.6). З рис. 7 видно, що з наближенням точки дії сили на березі тріщини до її правої вершини значення різко зростають, а значення - незначно зменшуються. На значення КІНІН також впливають і властивості матеріалу. Зокрема КІНІН для внутрішньої симетричної тріщини в пластинці із матеріалу М2 біля 3 разів більші, ніж у пластинці з матеріалу М3 (див. рис.4).

Для тіла з двома тріщинами задачу зведено до обчислення за отриманими формулами невідомих коефіцієнтів поліномів першого ступеня. У випадку тіла з скінченою кількістю тріщин розв'язок задачі приведено до розв'язку скінченої системи лінійних алгебраїчних рівнянь. Чисельними дослідженнями встановлено низку цікавих закономірностей. Наприклад, для пластинки з двома тріщинами встановлено, що при наближенні тріщин одна з одній КІН зростають і у граничному випадку, коли тріщини зливаються в одну (відстань між ними дорівнює нулю), КІН для здвоєної тріщини напівдовжини дорівнює (див. графіки залежностей КІН від відстані між тріщинами рис.8), де - КІН для одиничної тріщини напівдовжини .

Четвертий розділ дисертації присвячено розв'язанню задачі для тіла з отворами та тріщинами при довільній їх кількості, сполученні та розташуванні.

При побудові рішення використовуються комбінований метод визначення комплексних потенціалів, що ґрунтується на використанні конформних відображень, розкладанні функцій у ряди Лорана та за поліномами Фабера; на отриманні загального вигляду комплексних потенціалів з виділенням особливостей їх похідних у кінцях тріщин, які представляються "вузькими" еліпсами; на задоволенні умовам на контурах методом найменших квадратів.

Для похідних комплексних потенціалів отримані вирази

, (1)

де

, ; (2)

; (3)

, , , , - невідомі коефіцієнти, що залежать від зовнішніх впливів, геометричних і фізико-механічних характеристик матеріалів тіл; - змінні, які обчислюються з конформних відображень зовнішності одиничного кола на зовнішності відповідних еліпсів; - невідомі коефіцієнти, визначення яких з граничних умов методом найменших квадратів зведено до розв'язання систем лінійних алгебраїчних рівнянь.

Для низки конкретних задач проведені докладні чисельні дослідження. Встановлено низку нових механічних закономірностей. Зокрема для кругового кільця за дії внутрішніх зосереджених сил чи електричних зарядів встановлено, що при зменшенні ширини кільця значення основних характеристик ЕМПС різко зростають. Це ілюструє з рис.9, на якому для кругового кільця з матеріалу М1 за дії зосереджених сил наведені графіки залезності нормальних напружень на майданчиках, перпендикулярних до контурів, в деяких точках кільця від відношення його радіусів. Вважалось, що зосереджені сили діють у центрах перемичок (). Встановлено, що з ростом від 0,7 до 0,9 значення напружень збільшуються в десятки разів. Значні напруження в кільці виникають і у випадку, коли на його контурах задана різниця потенціалів електричного поля. Це видно з рис.10, де для кругового кільця з матеріалу М1 у випадку завдання на контурах значень електричних потенціалів зображені графіки залежності напружень в деяких точках кільця від . Як видно з рисунку, поблизу зовнішнього контуру, де значення потенціалу менше, виникають позитивні напруження, а поблизу внутрішнього - негативні. При зменшенні ширини кільця значення напружень на зовнішньому контурі зменшуються за модулем, на внутрішньому напроти зростають. При цьому вони прямують до однакових за модулем, але протилежних за знаком значень. Аналогічні закономірності отримані в роботі і для кругового диску з центральною тріщиною.

Для кругового кільця з нецентральною тріщиною у випадку постійної точки дії зосередженого впливу встановлено, що в зоні кінця тріщини при зближенні тріщини з зовнішнім контуром значення напружень зростають, вдалині от цієї зони вони зменшуються. При цьому значення КІН для кінців тріщини монотонно зменшуються, що пов'язано з віддаленням тріщини від точок дії зосереджених сил. Останнє твердження ілюструє рис.11, на якому для диска з матеріалу М3 з нецентральною тріщиною (у тому числі крайовою) зображені графіки залежності коефіцієнту інтенсивності від відстані між центрами тріщини та диску. Як показують розрахунки, вихід тріщини на контур диску знижує як значення основних характеристик ЕМПС в малому околі точки виходу, так і значення КІНІН на дальньому кінці тріщини. У той же час зі збільшенням довжини крайової тріщини значення КІНІН зростають. Чисельними дослідженнями і для цієї задачі встановлено, що при вивченні електромагнітопружного стану треба враховувати як механічні, так і електромагніті властивості матеріалів. Цей висновок випливає з рис.12, де представлені графіки залежності напружень в точці диска з крайовою тріщиною з матеріалу М3 при дії зосереджених сил. Видно, що з врахуванням усіх властивостей матеріалу отримані значення напружень більш ніж у 1,5 рази більше їх значень без урахування електромагнітних властивостей.

Низку закономірностей встановлено і для нескінченої пластинки з двом еліптичними порожнинами. Так, при наближенні порожнин значення основних характеристик ЕМПС біля їх контурів зростають, досягаючи максимальних значень у точках перемички. Це видно з рис.13, де для розтягу пластинки з двома круговими отворами зображено графіки залежності напружень в точці від відношення відстані між отворами до радіусу одного з них . Аналогічні закономірності зберігаються і для випадку дії на контурах різниці електричних потенціалів. Це ілюструє рис.14, на якому для пластинки із матеріалу М1 з двома круговими отворами радіусу зображені криві заміни вздовж контуру лівого отвору. Видно, що при зменшенні значення відношення від 1 до 0,1 значення максимальних напружень змінюються в 4 рази.

Проведено докладні чисельні дослідження і встановлено низку нових механічних закономірностей також і для пластинки з круговим отвором і тріщиною, в тому числі з крайовою; для пластинки з двома тріщинами вздовж однієї ліній чи паралельними; для пластинки з скінченим чи нескінченим числом отворів або тріщин.

У п'ятому розділі запропоновано підходи до розв'язання задач для багатозв'язних півпростору (півплощини) і шару (смуги). Спочатку для півпростору з внутрішніми порожнинами чи тріщинами методом інтегралів типу Коші отримані загальні вирази комплексних потенціалів, що точно задовольняють граничним умовам на плоскій границі. Їх похідні мають вид

, (4)

у якому

; ;

, , , , - відомі коефіцієнти, що залежать від фізико-механічних властивостей матеріалу; , - параметри, що обчислюються з конформних відображень зовнішності одиничного кола на зовнішності відповідних еліптичних отворів нижніх півплощин узагальнених комплексних змінних. Визначення невідомих з умов на контурах отворів методом найменших квадратів зведено до розв'язання систем лінійних алгебраїчних рівнянь.

На основі отриманого розв'язку для випадку, коли поверхні порожнин чи тріщин можуть перетинати плоску границю, в цьому ж розділі запропоновано методику наближеного задоволення методом найменших квадратів граничних умов як на поверхнях порожнин, так і на плоских границях. Цей підхід розповсюджено і на задачу для багатозв'язного шару. Для похідних комплексних потенціалів в останньому випадку отримано вирази

, (5)

Де

;

та , - параметри, які обчислюються з конформних відображень зовнішності одиничного кола на зовнішності еліпсів, що відповідають вихідним еліптичним отворам та еліптичним отворам, отриманим їх дзеркальним відображенням відносно прямолінійних границь області поперечного перерізу шару; , , - невідомі сталі, визначення яких з граничних умов на контурах отворів і плоских границях методом найменших квадратів зведено до розв'язання систем лінійних алгебраїчних рівнянь. Для випадку півпростору у формулі (5) постійні треба вважати рівними нулю.

У цьому ж розділі розв'язано низку задач для півпростору і шару з отворами і тріщинами, в тому числі з такими, що виходять на плоскі границі. Чисельні дослідження проведено для півплощини та смуги з отворами і тріщинами. Показано, що коли отвори і тріщини не виходять на плоску границю, результати, отримані при точному і приблизному задоволенні граничним умовам на плоскій границі, практично співпадають. Чисельними дослідженнями встановлено низку механічних закономірностей. Зокрема встановлено, що при зближенні отворів з прямолінійними границями значення основних характеристик і КІНІН для кінців тріщин значно зростають. Це випливає з графіків, зображених на рис.15 і 16. На рис.15 для розтягу півплощини з круговим отвором (пунктирна лінія) і смуги з центральним круговим отвором (суцільна лінія) із матеріалу М1 в деяких точках зображені графіки залежності напружень від відношення , де - довжина перемички; - радіус отвору. На рис.16 для того ж навантаження зображені криві залежності КІНІН для кінців вертикальної тріщини довжини в півплощині (пунктирна лінія) і смузі (суцільна лінія) від відношення . Можна зазначити, що при наближенні отвору чи тріщини до прямолінійних границь значення аналізованих величин в точках перемички, особливо поблизу контуру отвору і кінців тріщини, різко зростають. Значення основних характеристик ЕМПС і КІНІН при близьких відстанях для смуги виявляються у 1,5-2 рази більшими за відповідні значення для півплощини.

На рис.17 для випадку розтягу зусиллями смуги шириною з двома симетрично розташованими крайовими тріщинами довжини зображені графіки залежності напружень в центральній точці від відношення . Видно, що збільшення довжин тріщин призводить до значного зростання значень напружень: так зі збільшенням значення відношення від 0,5 до 0,9 вони зростають в 5 разів. Значною мірою на значення основних характеристик ЕМПС впливають фізико-механічні властивості матеріалу. Так, максимальні значення напружень в смузі з матеріалу М1 в 2-3 рази перевищують аналогічні значення для смуги з матеріалу М3.

Для розтягу смуги з круговим отвором і двома крайовими тріщинами, що виходять з його контуру, на рис.18 зображено графіки залежності напружень в точці від відношення довжин тріщин до радіусу отвору. Суцільні лінії на рисунку відповідають значенням в задачі електромагнітопружності, штрихові - в задачі теорії пружності. Зазначимо, що зі збільшенням довжин тріщин значення напружень в зоні між тріщинами та прямолінійними границями зростають: при зростанні значення відношення від 0,05 до 0,45 напруження зростають майже у 3 рази. Також з даних рис.18 випливає, що з урахуванням електромагнітних властивостей матеріалу значення напружень відрізняються (порою істотно) від значень, отриманих без врахування цих властивостей.

Основні результати і висновки

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.02.04 - механика деформируемого твердого тела, Донецкий национальный университет, Донецк, 2010.

В работе получили дальнейшее развитие методы решения двумерных и плоских задач теории упругости, электроупругости и магнитоупругости и их приложения к проблеме изучения электромагнитоупругого состояния многосвязных конечных и бесконечных тел, полупространства и слоя. Получены основные соотношения двумерной и плоской задач, введены и исследованы обобщенные комплексные потенциалы электромагнитоупругости, граничные условия для их определения и выражения через них основных характеристик электромагнитоупругого состояния (ЭМУС), коэффициентов интенсивности напряжений, индукции и напряженности (КИНИН).

Для определения комплексных потенциалов из механических, электрических и магнитных граничных условий в случае конечного или бесконечного многосвязного тела используются методы конформных отображений, разложений функций в ряды Лорана и по полиномам Фабера, дискретный метод наименьших квадратов. Граничные условия на плоских границах в случае многосвязного полупространства и слоя удовлетворяются методами интегралов типа Коши или наименьших квадратов.

Дано решение ряда новых задач для тела, полупространства и слоя с произвольно расположенными эллиптическими отверстиями и трещинами, в том числе выходящими на плоские границы. Численными исследованиями установлена сходимость, устойчивость получаемых результатов, их достоверность; Проведены подробные численные исследования решений ряда задач, с помощью которых установлен ряд механических закономерностей влияния геометрических характеристик тел, физико-механических свойств их материалов на значения основных характеристик ЭМУС и КИНИН.

В частности, установлено, что при исследовании напряженно-деформированного состояния тел из пьезоматериалов нельзя пренебрегать ни электрическими, ни магнитными свойствами материалов, а нужно решать общую задачу электромагнитоупругости, т.к. значения исследуемых величин значительно зависят от физико-механических свойств материалов, порой эти значения с учетом и без учета электромагнитных свойств материала отличаются друг от друга в несколько раз. При сближении отверстий (трещин) друг с другом и с внешними границами значения основных характеристик ЭМУС в точках перемычек, а в случае трещин и КИНИН растут. Близость прямолинейных границ к контурам отверстий (трещин) заметно увеличивает значения основных характеристик ЭМУС, в отдельных задачах в десятки раз.

Результаты исследований, представленные в диссертационной работе имеют как теоретический, так и практический интерес. Предложенные методики могут быть использованы для решения разнообразных инженерных задач.

Ключевые слова: задача сопряжения, интегралы типа Коши, комплексные потенциалы, конформные отображения, коэффициенты интенсивности напряжений, индукции и напряженности, метод наименьших квадратов, многосвязная пластинка, многосвязное тело, полиномы Фабера, полоса, полуплоскость, полупространство, слой, трещина, электромагнитоупругость.

Petrenko A.V.: The two-dimensional problems of magnetoelectroelasticity for bodies with cavities and cracks. - The manuscript.

The thesis for the Candidate of physical and mathematical sciences degree on specialty 01.02.04 - mechanics of a deformable solid body, Donetsk National University, Donetsk, 2010.

The methods of two-dimensional and plane elastic electroelastic, and magnetoelastic problems solving and their applications for the magnetoelectroelastic state of multi-connected finite and infinite magneto-electric solids, half-space and layer investigation are developed further. The methods are based on the constitutive equations obtaining for the two-dimensional and plane magnetoelectroelastic problems, on the generalized complex potentials introduction and investigation for the magnetoelectroelasticity, on the boundary conditions deriving for their determination and the relations receiving for the basic magnetoelectroelastic state (MEES) characteristics calculation through them, for stress, inductions and tensions intensity factors (SITIF).

For the complex potentials determination from the mechanical, electric and magnetic boundary conditions in the case of the finite and infinite solids with arbitrarily situated cavities and cracks the methods of conformal mapping, Fourier series and Faber polynomials expansions and least-squares method are used. In the case of the multi-connected half-space and layer for the boundary conditions at the plain borders satisfaction the Cauchy integrals or least-squares methods are applied.

The solutions for the practically important problems for the solid, half-space and layer with arbitrarily situated cavities and cracks, including the plain borders cross ones, are given. The detailed numerical investigations of the considered problems are carried out. By means of them, the new mechanical regularities of the solids geometric characteristics and physicomechanical material properties influence on the basic MEES characteristics and SITIF.

In particular, from the obtained results follows, that for the elastic equilibrium of the magneto-electric solids investigation the classic elastic theory problem solving with electric and magnetic material properties neglecting is not enough and the general magnetoelectroelastic problem has to be solved. The distance between cavities and cracks decreasing leads to the basic MEES characteristics and SITIF values increasing. The plain borders nearness significantly increases the characteristics values.

The investigations results presented in the thesis have both theoretical and practical importance. The proposed methods can be used for а wide variety of engineering problems solving.

Keywords: Cauchy integrals, complex potentials, conformal mapping, crack, Faber polynomials, half-plane, least-squares method, linear adjoint problem, magneto-electro-elasticity, multi-connected plate, multi-connected solid, stress, induction and tension factors, strip.