Розрахункові моделі механіки руйнування п’єзокерамічних тіл з міжфазними тріщинами

Размещено на http://www.allbest.ru/

Дніпропетровський національний університет імені Олеся Гончара

УДК 539.3

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня доктора фізико-математичних наук

РОЗРАХУНКОВІ МОДЕЛІ МЕХАНІКИ РУЙНУВАННЯ П'ЄЗОКЕРАМІЧНИХ ТІЛ З МІЖФАЗНИМИ ТРІЩИНАМИ

01.02.04 - механіка деформівного твердого тіла

ГОВОРУХА ВОЛОДИМИР БОРИСОВИЧ

Дніпропетровськ 2011

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана у Дніпропетровському національному університеті імені Олеся Гончара Міністерства освіти і науки, молоді та спорту України.

Науковий консультант: доктор фізико-математичних наук, професор Лобода Володимир Васильович, Дніпропетровський національний університет імені Олеся Гончара, завідувач кафедри теоретичної та прикладної механіки

Офіційні опоненти: член-кореспондент НАН України, доктор фізико-математичних наук, професор Кіт Григорій Семенович, Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я. С. Підстригача НАН України, головний науковий співробітник відділу обчислювальної механіки деформівних систем

доктор фізико-математичних наук, професор Калоєров Стефан Олексійович, Донецький національний університет, професор кафедри теорії пружності та обчислювальної математики

доктор фізико-математичних наук, професор Смирнов Сергій Олександрович, Дніпропетровський національний університет імені Олеся Гончара, декан економічного факультету

Захист відбудеться “ 24 ” червня 2011 р. о 14:30 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 08.051.10 при Дніпропетровському національному університеті імені Олеся Гончара за адресою: 49044, м. Дніпропетровськ, просп. К. Маркса, 35, корпус 5, ауд. 85.

З дисертацією можна ознайомитись у науковій бібліотеці Дніпропетровського національного університету імені Олеся Гончара за адресою: 49050, м. Дніпропетровськ, вул. Козакова, 8.

Автореферат розісланий “ 19 ” травня 2011 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради, доктор технічних наук, професор А. П. Дзюба

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. У механіці суцільного середовища протягом останніх десятиріч значна увага приділяється дослідженням, в яких враховується взаємодія механічного поля деформацій або напружень з полем електричної напруженості та індукції. Найпоширенішим механізмом такої взаємодії є п'єзоелектричний ефект, який притаманний як природним, так і синтезованим матеріалам (п'єзокераміці). Елементи конструкцій, виготовлені з п'єзокерамічних матеріалів, знаходять широке застосування в різних галузях сучасної техніки. Особливого розповсюдження набули п'єзокерамічні композитні матеріали, які відзначаються легкістю, міцністю, надійністю та стійкістю до впливу навколишнього середовища. Однак їх експлуатаційні характеристики значною мірою залежать від наявності різного роду дефектів, передусім міжфазних тріщин, які з технологічних або експлуатаційних причин виникають на межі складових композиту. Розв'язання задач механіки руйнування кусково-однорідних п'єзокерамічних тіл із міжфазними тріщинами в рамках класичної моделі тріщини пов'язане з осцилюючими особливостями, що не відповідає фізичній суті задачі. Тому перспективними виглядають моделі тріщини, які дають змогу усунути цей недолік. Крім того моделі, в яких тріщина розглядається як поверхня з притаманними їй фізичними властивостями, дозволяють з достатньою точністю кількісно проаналізувати явища та ефекти, що спостерігаються експериментально та пов'язані з урахуванням їх локальної неоднорідності. Однак до теперішнього часу кількість досліджень у цьому напрямку надто мала у порівнянні з численними публікаціями щодо вивчення електроізольованої та електропроникної тріщини в однорідному матеріалі. Тому розробка методів розв'язання задач механіки руйнування п'єзокерамічних тіл із міжфазними тріщинами та побудова розрахункових моделей, які б адекватно та повно відображали процеси взаємодії фізико-механічних полів у таких тілах, є актуальною проблемою сучасної механіки деформівного твердого тіла. Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертаційна робота відповідає основним напрямкам наукових досліджень кафедри теоретичної та прикладної механіки Дніпропетровського національного університету імені Олеся Гончара. Частина результатів роботи була використана у звітах науково-дослідних робіт з тем: “Проблеми міцності, стійкості та руйнування однорідних та кусково-однорідних анізотропних та п'єзоелектричних тіл з міжфазними дефектами”, номер державної реєстрації № 0106U000819, 2006-2008 рр.; “Дослідження проблем міцності, стійкості та руйнування кусково-однорідних ізотропних, анізотропних та п'єзоелектричних тіл з міжфазними дефектами”, номер державної реєстрації № 0109U000163, 2009-2011 рр.

Мета і завдання дослідження. Мета роботи полягає в розробці розрахункових моделей та методів розв'язання плоских задач механіки руйнування п'єзокерамічних тіл з міжфазними тріщинами.

Для досягнення цієї мети необхідно:

– розробити математичні моделі електропружного стану композитного п'єзокерамічного тіла з міжфазною тріщиною з урахуванням її електричної проникності;

– розробити методику зведення плоских задач теорії електропружності для міжфазної тріщини у п'єзокерамічних біматеріальних тілах до задач лінійного спряження, що відповідають різним моделям тріщини, і побудувати точні аналітичні розв'язки таких задач;

– розвинути методику визначення параметрів руйнування для міжфазної тріщини у п'єзокерамічному композитному тілі скінченних розмірів;

– скласти алгоритми числової реалізації побудованих процедур, на основі яких створити прикладне програмне забезпечення;

– провести розрахунок і дослідження характеристик електропружного стану та параметрів руйнування п'єзокерамічних тіл із міжфазними тріщинами залежно від електромеханічного навантаження, фізико-механічних властивостей матеріалів та електричної проникності тріщини;

– виявити й дослідити загальні закономірності та фізико-механічні ефекти.

Об'єктом дослідження є кусково-однорідні п'єзокерамічні тіла з міжфазними тріщинами під дією зовнішнього електромеханічного навантаження.

Предметом дослідження є електропружний стан п'єзокерамічних тіл в околі міжфазної тріщини.

Методи дослідження. Для побудови математичних моделей електропружного стану кусково-однорідних п'єзокерамічних тіл із тріщинами на межі поділу матеріалів використовувались співвідношення лінійної теорії електропружності та основні положення механіки руйнування. Аналітичні розв'язки граничних задач електропружності будувалися за допомогою методів теорії функцій комплексної змінної, зокрема шляхом побудови точних аналітичних розв'язків крайових задач теорії аналітичних функцій. Для чисельно-аналітичного аналізу використовувались методи сингулярних інтегральних рівнянь і скінченних елементів. Для побудови розв'язків отриманих сингулярних інтегральних рівнянь застосовувався числовий метод механічних квадратур. При побудові функції Гріна для п'єзокерамічної напівсмуги в роботі використовувалась техніка інтегральних перетворень Фур'є.

Наукова новизна результатів роботи полягає у наступному:

– запропоновано розрахункові моделі й методики кількісного опису спряжених електромеханічних полів у п'єзокерамічних тілах з міжфазними тріщинами, які базуються на комплексному використанні підходів і методів лінійної теорії електропружності й теорії функцій комплексної змінної та забезпечують визначення фізично реальної поведінки польових величин в околі вершин міжфазної тріщини; уперше в моделях міжфазної тріщини враховано електричну проникність середовища тріщини, що дало можливість отримати найбільш повні, достовірні та фізично обґрунтовані висновки щодо параметрів руйнування п'єзокерамічних тіл;

– розроблено підхід до розв'язання задач електропружності для біматеріального простору з внутрішньою міжфазною тріщиною, що базується на зведенні цих задач до задач лінійного спряження. Завдяки точному розв'язку цих задач отримано аналітичні формули для основних характеристик електропружного стану, коефіцієнтів інтенсивності напружень (КІН) та електричної індукції, а також швидкості вивільнення енергії (ШВЕ);

– розроблено нову методику визначення параметрів руйнування для міжфазної тріщини в композитному п'єзокерамічному тілі скінченних розмірів, яка базується на поєднанні асимптотичного та скінченноелементного розв'язків відповідних задач електропружності;

– розвинено метод сингулярних інтегральних рівнянь (СІР) на статичні задачі електропружності для кусково-однорідних п'єзокерамічних тіл із тріщинами на межі поділу матеріалів при різних видах електромеханічного навантаження;

– отримано точні аналітичні розв'язки нового класу задач механіки руйнування для п'єзокерамічних тіл з міжфазними тріщинами, а саме: задачі електропружності для електропроникної, електроізольованої та частково електропроникної міжфазних тріщин з урахуванням зон гладкого контакту; задачі електропружності для тріщин з привершинними зонами електромеханічного передруйнування в однорідному матеріалі та аналогічні задачі для тріщин, розташованих на межі поділу матеріалів;

– встановлено нові закономірності впливу різних електромеханічних та геометричних факторів на спряжені електропружні поля в п'єзокерамічних тілах з міжфазними тріщинами.

Обґрунтованість та достовірність результатів, наведених у дисертації, забезпечується коректністю та строгістю математичних постановок задач у рамках лінійної теорії електропружності та механіки руйнування; застосуванням обґрунтованих, у більшості випадків точних аналітичних методів розв'язання поставлених задач; узгодженістю та збігом деяких одержаних розв'язків з відомими в літературі результатами, отриманими за допомогою інших аналітичних, числових або експериментальних методів; відповідністю результатів і висновків до фізичної суті задач.

Практичне значення одержаних результатів полягає:

– у можливості застосування розроблених розрахункових моделей та методик розв'язання задач для дослідження електромеханічних полів у п'єзокерамічних тілах, послаблених міжфазними тріщинами, що перебувають під дією зовнішнього електромеханічного навантаження;

– у створенні комплексу прикладних програм для обчислення складових електропружного стану та параметрів руйнування в п'єзокерамічних тілах із міжфазними тріщинами, який може бути застосований для різних геометричних розмірів тіла, прикладеного навантаження та фізико-механічних характеристик матеріалу;

– у можливості безпосереднього використання результатів розв'язаних задач при проектуванні та оцінці на міцність елементів конструкцій із п'єзокерамічними складовими;

– у використанні отриманих точних аналітичних розв'язків в якості еталонних при тестуванні результатів розрахунків, знайдених числовими методами.

Апробація результатів дисертації. Основні результати дисертаційної роботи доповідались на міжнародних наукових конференціях, симпозіумах і семінарах, зокрема: на XII міжнародному симпозіумі “Методи дискретних особливостей у задачах математичної фізики” (Харків-Херсон, 2005); Annual Scientific Conferences of GAMM (Гетінген, Німеччина, 2000; Цюрих, Швейцарія, 2001; Дрезден, Німеччина, 2004); Міжнародній конференції “Інтегральні рівняння і їх застосування” (Одеса, 2005); IV міжнародній науковій конференції “Актуальні проблеми механіки деформівного твердого тіла” пам'яті академіка НАН України О. С. Космодаміанського (Донецьк-Мелекіно, 2006); Міжнародній науково-технічній конференції пам'яті академіка НАН України В. І. Моссаковського “Актуальні проблеми механіки суцільного середовища та міцності конструкцій” (Дніпропетровськ, 2007); Міжнародній науковій конференції “Математичні проблеми технічної механіки” (Дніпропетровськ-Дніпродзержинськ, 2008); ІІ міжнародній науковій конференції “Сучасні проблеми механіки та математики” (Львів, 2008); VII та IX міжнародних симпозіумах українських інженерів-механіків у Львові (Львів, 2005, 2009); Міжнародній науковій конференції “Математичні проблеми механіки неоднорідних структур” (Львів, 2010).

У повному обсязі дисертаційна робота доповідалась на розширеному науковому семінарі кафедри теоретичної та прикладної механіки Дніпропетровського національного університету імені Олеся Гончара (керівник - д.ф.-м.н., професор М. В. Поляков); об'єднаному науковому семінарі кафедр теорії пружності та обчислювальної математики, прикладної механіки та комп'ютерних технологій Донецького національного університету (керівники: академік НАН України, д.ф.-м.н., професор В. П. Шевченко, д.ф.-м.н, професор С. О. Калоєров); науковому семінарі відділу механіки руйнування матеріалів Інституту механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України (керівник - д.ф.-м.н, професор А. О. Камінський); загальноінститутському науковому семінарі “Математичні проблеми механіки руйнування і контактних явищ” Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я. С. Підстригача НАН України (керівник - член-кореспондент НАН України, д.ф.-м.н, професор Г. С. Кіт); науковому семінарі “Сучасні проблеми механіки” Київського національного університету імені Тараса Шевченка (керівники: академік НАН України, д.ф.-м.н., професор В. Т. Грінченко, д.ф.-м.н, професор В. В. Мелешко).

Публікації та особистий внесок здобувача. Основні результати дисертації опубліковано у 37 наукових працях, з них 16 статей у наукових фахових виданнях України, 9 статей у провідних міжнародних журналах та 12 тез доповідей і матеріалів міжнародних наукових конференцій. Основні результати отримані здобувачем самостійно. З представлених 37 публікацій 18 є самостійними науковими працями дисертанта [8, 10-12, 14, 15, 20, 22, 24, 26-30, 32-35]. У роботах [6, 7, 13, 16, 21, 23, 25, 36, 37] здобувачеві належить зведення граничних задач електропружності до комбінованих задач лінійного спряження Діріхле-Рімана та Гільберта і їх розв'язок; отримання трансцендентного рівняння для визначення відносної довжини зони контакту; визначення КІН та ШВЕ; інтерпретація одержаних результатів; у роботі [17] - побудова скінченноелементного розв'язку для міжфазної тріщини в рамках контактної та класичної моделей; розробка алгоритму визначення параметрів руйнування для міжфазної тріщини в тілах скінченних розмірів та оцінка його ефективності; у роботах [1-5, 9, 31] - побудова функції Гріна, що характеризує спряжені електропружні поля у п'єзокерамічній напівсмузі; визначення порядку степеневих особливостей спряжених електропружних полів в околі вершини міжфазної тріщини; розвинення методу СІР на задачі електропружності для різних моделей міжфазної тріщини; у роботах [18, 19] - постановка задач електропружності для тріщини із зонами електромеханічного передруйнування в однорідному і кусково-однорідному матеріалі та їх аналітичний розв'язок; отримання явних виразів для напружень, електричної індукції, стрибка переміщень та електричного потенціалу на межі поділу матеріалів; визначення розкриття тріщини в її початковій вершині.

Структура та обсяг дисертаційної роботи. Дисертація складається зі вступу, восьми розділів, висновків та списку використаних джерел. Загальний обсяг дисертації становить 333 сторінки, разом із 87 рисунками, 29 таблицями і списком використаних джерел із 346 найменувань.

Автор висловлює щиру вдячність своєму науковому консультантові - доктору фізико-математичних наук, професору Володимиру Васильовичу Лободі за постійну увагу до роботи, цінні поради та пропозиції, що сприяли успішному проведенню досліджень.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обґрунтовано актуальність теми дисертаційної роботи, її зв'язок з науковими програмами; сформульовано мету і завдання дослідження; визначено наукову новизну і практичне значення одержаних результатів, а також наведено відомості про апробацію роботи, публікації та особистий внесок у них здобувача.

У першому розділі проведено огляд літератури за темою дисертації. Розглянуто сучасний стан досліджень електропружного стану в п'єзоелектричних тілах. Проаналізовано основні моделі, методи та підходи, що використовуються для розв'язання статичних задач електропружності для тіл з тріщинами.

Відзначено, що основи феноменологічної теорії п'єзоелектричних процесів закладені ще В. Фойгтом у його відомих підручниках з кристалофізики. Після відкриття в середині 40-х років минулого століття синтетичної п'єзокераміки теорія п'єзоелектрики знайшла свій подальший розвиток у роботах В. Л. Гінзбурга, І. С. Желудєва, А. В. Шубнікова, D. Berlincourt, W. Cady, H. Jaffe, W. P. Mason, W. Nowacki, J. F. Nye та ін.

Потреби інженерної практики висунули до числа пріоритетних науково-технічних досліджень вивчення електропружних та електров'язкопружних процесів. Теоретичні та експериментальні дослідження в цьому напрямі знайшли відображення в роботах О. О. Ватульяна, В. Т. Грінченка, В. Л. Карлаша, В. Г. Карнаухова, І. Ф. Киричка, О. С. Космодаміанського, Б. О. Кудрявцева, В. З. Партона, А. Ф. Улітка, Ю. А. Устинова, І. Ю. Хоми, Л. П. Хорошуна, М. О. Шульги, T. Ikeda, G. A. Maugin, H. F. Tiersten та ін.

Традиційно в механіці деформівного твердого тіла в окремий клас виділяють задачі зі змішаними граничними умовами спеціального типу, які відображають умови на різного роду дефектах, зокрема тріщинах. Моделюванню та вивченню тіл з тріщинами присвячено велику кількість робіт, серед яких потрібно відзначити роботи О. М. Гузя, А. О. Камінського, Г. С. Кіта, М. Я. Леонова, Є. М. Морозова, М. Ф. Морозова, В. І. Моссаковського, М. І. Мусхелішвілі, В. В. Новожилова, В. В. Панасюка, І. О. Прусова, Г. М. Савіна, М. П. Саврука, Л. Й. Слепяна, Г. Я. Попова, М. В. Хая, Г. П. Черепанова та ін.

Експериментальними дослідженнями встановлено, що найбільш вірогідною причиною руйнування композитних матеріалів є міжфазні тріщини, які містяться на межі поділу двох різнорідних складових біматеріалу. Основоположні результати з вивчення таких тріщин у рамках класичної моделі отримано в роботах Д. В. Гриліцького, В. І. Моссаковського, М. Т. Рибки, Г. Т. Сулима, Г. П. Черепанова, D. I. Clements, A. H. England, F. Erdogan, J. R. Rice, G. C. Sih, M. L. Williams та ін.

З метою усунення фізично нереальної осцилюючої особливості в околі вершин міжфазної тріщини, що виникає в рамках класичної моделі, M. Comninou було запропоновано нову модель тріщини, в якій припускалось, що береги тріщини знаходяться в умовах гладкого контакту в малому околі її вершин. Подальший розвиток контактна модель отримала в дослідженнях Ю. А. Антипова, В. В. Лободи, В. І. Острика, І. В. Симонова, С. О. Смирнова, А. Ф. Улітка, J. Dundurs, A. K. Gautesen, D. Schmueser та ін. Альтернативні підходи для усунення осцилюючої особливості запропонували А. О. Камінський, Л. А. Кіпніс, Г. С. Кіт, Р. М. Мартиняк та ін. Динамічні задачі для тріщини на межі поділу матеріалів розглянуто в роботах О. М. Гузя, І. О. Гузя, В. О. Меньшикова та ін.

Основні теоретичні та експериментальні дослідження механіки руйнування п'єзокерамічних матеріалів викладено в роботах С. О. Калоєрова, Б. О. Кудрявцева, В. В. Лободи, В. З. Партона, Ю. М. Подільчука, А. Ф. Улітка, Л. А. Фільштинського, S. N. Atluri, H. Balke, H. G. Beom, C. F. Gao, K. P. Herrmann, M. Kuna, R. M. McMeeking, Y. Shindo, H. Sosa, Z. Suo та ін.

З аналізу літературних даних можна зробити висновок, що переважну більшість досліджень проведено для тріщин, розташованих в однорідних п'єзокерамічних тілах. Окремі результати для кусково-однорідних п'єзокерамічних тіл із тріщинами на межі поділу матеріалів, що зустрічаються в літературі, відносяться передусім до електропроникної або електроізольованої тріщини, яка розглядається в рамках класичної моделі. Питання впливу електричної проникності тріщини, використання фізично обґрунтованих моделей тріщини, а також визначення параметрів руйнування в композитних тілах скінченних розмірів залишаються вивченими недостатньо. У зв'язку з цим відзначено актуальність розробки розрахункових моделей та ефективних чисельно-аналітичних методів дослідження електропружного стану і розв'язання на їх основі крайових задач електропружності для п'єзокерамічних тіл з міжфазними тріщинами.

Другий розділ містить співвідношення, які використовуються надалі в дисертаційній роботі. Тут наведено базові положення лінійної теорії п'єзоелектрики та виписано основні рівняння електропружності для п'єзокерамічних тіл, які включають:

– рівняння механічної рівноваги (за відсутності об'ємних сил)

; (1)

– рівняння квазістатичного електричного поля в діелектриках (за відсутності вільних зарядів)

, , (2)

останнє з яких має загальний градієнтний розв'язок через скалярний потенціал ;

– співвідношення Коші для деформацій

. (3)

Систему рівнянь (1) - (3) замикають матеріальні співвідношеннями різної форми і характеру. Для більшості задач, розглянутих в роботі, матеріальні співвідношення вибираються у вигляді

, . (4)

У рівняннях (1) - (4) позначено: - компоненти тензора напружень; - компоненти тензора деформацій; - компоненти вектора пружних переміщень; - складові вектора напруженості електричного поля; - складові вектора електричної індукції; - потенціал електричного поля; - компоненти тензора модулів пружності, визначених при сталій напруженості електричного поля; - компоненти тензора п'єзоелектричних модулів; - компоненти тензора діелектричних проникностей, визначених при сталих механічних деформаціях.

Для п'єзокераміки загальні матеріальні рівняння (4) значно спрощуються завдяки властивостям симетрії такого типу матеріалів. Експериментальні дані показують, що стосовно механічних та електричних властивостей п'єзокераміки поводять себе як трансверсально-ізотропні тіла. При цьому вісь матеріальної симетрії збігається з напрямком електричного поля попередньої поляризації.

При виборі осі декартової системи координат у напрямку силових ліній електричного поля попередньої поляризації електропружний стан у кожній точці п'єзокерамічного середовища у випадку плоскої деформації описується системою рівнянь:

,

, (5)

.

Докладно розглянуто постановку електричних граничних умов на берегах тріщини, розташованої в п'єзокерамічному матеріалі. Вводячи прямокутну систему координат так, що вісь перпендикулярна до площини тріщини, і вважаючи тріщину плоским конденсатором, між обкладинками якого вміщено однорідний діелектрик, сформульовано електричні граничні умови для частково електропроникної тріщини

, (6)

де ; - відносна діелектрична проникність заповнювача тріщини; Ф/м. Враховуючи, що у формулі (6) діелектрична проникність заповнювача тріщини на декілька порядків менша, ніж п'єзокераміки, широкого розповсюдження набула модель тріщини, в якій використовуються умови електричної ізоляції на її берегах

. (7)

З іншого боку, беручи до уваги, що в межах допустимих зовнішніх навантажень значення стрибків нормального переміщення берегів тріщини у формулі (6) дуже малі, в роботі розглядається також модель електропроникної тріщини, що передбачає неперервність електричного потенціалу та нормальної складової електричної індукції на її берегах

, . (8)

Електропроникна та електроізольована тріщини можуть розглядатися як граничні випадки частково електропроникної тріщини, коли або , відповідно.

У цьому ж розділі проаналізовано існуючі критерії руйнування п'єзокерамічних матеріалів та наведено короткий опис методів визначення параметрів, що входять у функціональні записи цих критеріїв.

Третій розділ присвячений дослідженню класичної і контактної моделей електропроникної тріщини на межі поділу двох різнорідних п'єзокерамічних матеріалів.

Розглядається випадок плоскої деформації композиту, складеного з двох різних п'єзокерамічних півпросторів та , у площині стику яких розміщена електропроникна міжфазна тріщина . На нескінченності задане рівномірно розподілене електромеханічне навантаження (рис. 1).

Размещено на http://www.allbest.ru/

Вважається, що на відкритій частині тріщини, позначеній через , береги тріщини вільні від напружень, а на ділянках та знаходяться в умовах гладкого (безфрикційного) контакту. На ділянках поза тріщиною, позначених через , півпростори жорстко зчеплені між собою вздовж своєї межі. Позиції точок та , які визначають довжини зон контакту, заздалегідь невідомі і визначаються в процесі розв'язання задачі.

Граничні умови на межі поділу матеріалів мають вигляд:

, , ; , , ;

, , ; , , , (9)

де , - стрибок функції через межу поділу матеріалів.

Використовуючи подання загального розв'язку системи (5) через аналітичні функції комплексної змінної та проводячи перетворення з урахуванням другої граничної умови (9), отримано подання напружень та переміщень на межі поділу матеріалів:

,

,(10)

де - функція, аналітична у всій комплексній площині, за винятком ділянки ; , , , - константи, що визначаються фізико-механічними характеристиками біматеріалу.

Поведінка функції на нескінченності визначається за формулою

,(11)

де , , .

Підставляючи вирази (10) у граничні умови (9), одержуємо однорідну комбіновану задачу Діріхле-Рімана

(12)

загальний розв'язок якої має вигляд:

,(13)

, , ,

, ,

, .

Для функцій та , що фігурують у розв'язку (13), мають місце такі вирази:

, ,

де коефіцієнти , визначаються з умови (11). Отриманий розв'язок (13) є точним розв'язком сформульованої задачі (12) для міжфазної тріщини з двома зонами контакту при будь-якому положенні точок та . Для того щоб він був фізично коректним, повинні виконуватися умови:

, ;, ,(14)

які вказують на те, що нормальні напруження в областях контакту є стискаючими і відсутнє взаємопроникнення берегів тріщини.

Ці умови приводять до системи двох трансцендентних рівнянь:

(15)

відносно параметрів та , де , а сталі , , , , визначаються геометричними характеристиками тріщини, зовнішнім навантаженням і константами матеріалів.

У загальному випадку система (15) розв'язується чисельно. Отримано також асимптотичний розв'язок цієї системи, правдивий при малих значеннях та .

Розглянуто також модель електропроникної міжфазної тріщини з однією зоною гладкого контакту її берегів . З використанням подання (10), задачу зведено до відповідної однорідної комбінованої задачі Діріхле-Рімана, розв'язок якої, з урахуванням умови (11), має вигляд:

,(16)

де , , . Дійсні сталі , , , визначено з умови (11).

За допомогою розв'язку (16) знайдено основні характеристики електромеханічного поля на різних ділянках межі поділу матеріалів.

Вводячи КІН в околі правої вершини тріщини

, ,(17)

одержуємо для них такі вирази:

,

.(18)

де , .

Наведено також вирази, які дозволяють знайти КІН та для будь-якого значення через отримані раніше КІН та .

Швидкість вивільнення енергії в околі правої вершини електропроникної тріщини на основі одержаного розв'язку записується у вигляді:

,(19)

де , визначаються фізичними характеристиками матеріалів. Аналіз формул (18), (19) показує, що КІН та ШВЕ для електропроникної тріщини не залежать від зовнішнього електричного поля.

Одержаний розв'язок фізично коректний, якщо виконуються нерівності, аналогічні (14). Числовий аналіз показав, що необхідною умовою для виконання цих нерівностей є рівняння , яке на підставі (18) набуває такий вигляд

.(20)

При розв'язуванні трансцендентного рівняння (20) обирається максимальний корінь на проміжку , що забезпечує виконання нерівностей (14). Знайдено також асимптотичний розв'язок цього рівняння, правдивий для випадків, коли .

Розподіл напруження у зоні контакту для п'єзокерамічного композиту PZT-5H/BaTiO₃ при м, і різних значеннях відносної довжини зони контакту показано на рис. 2. Криві 1, 2, 3, 4 відповідають значенням , , , відповідно. Видно, що при береги тріщини на всьому інтервалі притиснуті один до одного.

На рис. 3 зображені стрибки нормальних переміщень берегів тріщини в лівому околі точки для тих же матеріалів і навантажень, як і на рис. 2. Криві 1, 2, 3 відповідають значенням , , відповідно. З аналізу наведених результатів слідує, що лише при виконується рівність і змикання берегів тріщини в точці плавне. Таким чином, чисельно підтверджується той факт, що нерівності (14) одночасно виконуються лише при .

Рис. 2 Рис. 3

Процедуру знаходження параметрів руйнування контактної моделі міжфазної тріщини в сенсі Комніноу, якими є КІН та ШВЕ , можна значно спростити, скориставшись властивістю квазіінваріантності для малих значень , яка аналітично та чисельно підтверджена в роботі для різних видів навантаження (табл. 1).

Таблиця 1 Залежність коефіцієнтів інтенсивності напружень та швидкості вивільнення енергії від відносної довжини зони контакту

Як видно з табл. 1, довжина зони контакту поверхонь тріщини, як правило, на декілька порядків менша від характерного розміру тріщини. Однак введення зони контакту, по-перше, дозволяє уникати фізичних суперечностей щодо перекриття поверхонь тріщини і, по-друге, дає можливість коректно визначити КІН.

Проведений порівняльний аналіз результатів, одержаних для тріщини з однією та двома зонами контакту, показав, що в переважній більшості випадків дослідження міжфазної тріщини в рамках контактної моделі можна проводити з врахуванням кожної зони контакту окремо.

Знайдений у рамках контактної моделі розв'язок може бути аналітично зведений до розв'язку класичної моделі у припущенні, що довжина зони контакту прямує до нуля:

.(21)

Аналіз формули (21) показує, що в цьому випадку в малому околі вершини електропроникної міжфазної тріщини спостерігається осцилююча особливість, яка характеризується фізично нереальним взаємопроникненням матеріалів. Степінь осциляції визначається параметром і залежить від характеристик двох матеріалів. Отримано залежність відносної довжини зони взаємопроникнення матеріалів від величини зовнішнього навантаження.

Визначено також КІН та ШВЕ для класичної моделі електропроникної тріщини, а також показано, що їх можна виразити через відповідні параметри руйнування моделі міжфазної тріщини зі штучною зоною контакту.

Четвертий розділ присвячений дослідженню електроізольованої тріщини, розташованої на межі поділу двох різнорідних п'єзокерамічних матеріалів. Одержано вирази для комбінації напружень та електричної індукції, а також для комбінацій похідних від стрибків переміщень та електричного потенціалу на межі поділу матеріалів

,

,(22)

де функції аналітичні у всій комплексній площині, за винятком області тріщини; , , - дійсні сталі; .

Припускаючи існування однієї зони контакту в околі правої вершини тріщини та використовуючи подання (22), проблему зведено до однорідної комбінованої задачі Діріхле-Рімана і задачі Гільберта, розв'язок яких одержано у замкненому вигляді. Отримано аналітичні вирази для механічних напружень, електричної індукції, а також похідних від стрибків переміщень та електричного потенціалу на різних ділянках межі поділу матеріалів. При цьому, на відміну від електропроникної тріщини, всі необхідні компоненти електромеханічного поля знайдено шляхом спільного використання функцій та . Вводячи коефіцієнти інтенсивності напружень та електричної індукції за формулами, аналогічними (17), на основі аналітичного розв'язку задачі, дістанемо

,

,

,

де визначаються зовнішнім навантаженням і константами матеріалу. Швидкість вивільнення енергії в околі правої вершини електроізольованої тріщини записується у вигляді:

,

де - дійсні сталі.

Встановлено, що умови (14) у випадку електроізольованої тріщини, на відміну від електропроникної, виконуються не для єдиного значення , а для цілої множини цих значень. Фізично реальну довжину зони контакту визначено з додаткової умови, яка випливає з теореми про мінімум потенційної енергії. Отримано залежності довжини зони контакту та відповідних параметрів руйнування від зовнішнього навантаження.

Наведені числові розрахунки свідчать, що на розподіл електромеханічного поля в околі вершини “повністю відкритої” електроізольованої міжфазної тріщини суттєво впливають фізико-механічні властивості матеріалів, з яких складається п'єзокерамічна композиція. У загальному випадку анізотропії п'єзоелектричних тіл розподіл напружень та електричної індукції навколо вершини електроізольованої міжфазної тріщини містить дві пари сингулярностей та , де - відстань від довільної точки тіла до вершини тріщини. У випадку ж транверсально ізотропних п'єзокерамічних біматеріальних тіл один з двох параметрів або завжди дорівнює нулю, в той час як інший залишається ненульовим (табл. 2). Тому залежно від характеристик біматеріалу можна виділити дві групи п'єзокерамічних композицій: композиції -класу, для яких характерно виникнення осцилюючої особливості в околі вершини тріщини, та композиції -класу, які характеризуються наявністю степеневої особливості, відмінної від кореневої.

Таблиця 2 Значення величин та для різних типів п'єзокерамічних біматеріальних композицій (електроізольована міжфазна тріщина)

Тип композиції
	-	0,01293	-	0,00477	-	-
	0,04415	-	0,04121	-	0,05086	0,04539

У п'ятому розділі проведено аналіз частково електропроникної тріщини, розташованої на межі поділу двох різнорідних п'єзокерамічних матеріалів.

У першій частині п'ятого розділу в рамках класичної моделі розглянуто міжфазну тріщину, на берегах якої задано умови часткової електропроникності (6), які вміщують в себе одночасно електричні та механічні компоненти поля.

Знайдено вирази для основних компонент електромеханічного поля на межі поділу матеріалів:

,

,(23)

де , , - вектор-функція, аналітична у всій комплексній площині за винятком області тріщини, компоненти матриці є комплексними і залежать від фізико-механічних властивостей композиту.

Електричну індукцію вважаємо сталою вздовж берегів тріщини

, .(24)

Використання формул (23) разом з умовами (24) приводить до векторної задачі лінійного спряження

, ,

розв'язок якої має вигляд:

,

де , , - відомі сталі, які залежать від фізико-механічних характеристик матеріалу і заданих зовнішніх навантажень.

Степінь особливості розв'язку визначається параметром . Числовий аналіз показав, що, як і у випадку електроізольованої, в околі вершин частково електропроникної міжфазної тріщини, залежно від комбінації п'єзокерамічних матеріалів, виникає або осцилююча особливість (композиції -класу), або степенева особливість, відмінна від кореневої (композиції -класу).

Знайдено явні вирази для стрибка переміщень та електричного потенціалу на берегах тріщини, рівняння для визначення електричної індукції всередині тріщини, вирази для напружень та електричної індукції на продовженні тріщини.

У другій частині п'ятого розділу досліджено частково електропроникну тріщину в рамках контактної моделі. Проблему зведено до задач лінійного спряження, розв'язок яких одержано у замкненому вигляді. Отримано вирази для стрибка переміщень та електричного потенціалу на відкритій частині тріщини, рівняння для визначення електричного потоку всередині тріщини, напруження та електричну індукцію на продовженні тріщини, електричні та механічні коефіцієнти інтенсивності, ШВЕ та трансцендентне рівняння для визначення довжини зони контакту.

Для різних моделей тріщини проведено числові дослідження з метою вивчення впливу електричної проникності тріщини на характеристики електропружного стану та основні параметри руйнування. У результаті виявлено ряд нових закономірностей. Нижче описано деякі з отриманих результатів для п'єзокерамічної композиції PZT-5/PZT-4 при МПа, , мм, .

На рис. 4, 5 зображено графіки, що характеризують вплив електричної проникності тріщини на стрибок нормального переміщення берегів тріщини та стрибок електричного потенціалу в точці , відповідно.

Рис. 4 Рис. 5

Тут і надалі крива 1 відповідає електроізольованій тріщині; 2 - частково електропроникній, заповненій вакуумом (повітрям) ; 3 - частково електропроникній, заповненій силіконом ; 4 - електропроникній. Аналіз наведених результатів свідчить про лінійну залежність та від зовнішнього електричного поля у випадку електроізольованої і частково електропроникної тріщини. Враховуючи при цьому, що стрибок нормального переміщення берегів тріщини пов'язаний з можливістю подальшого просування тріщини, можна припустити, що додатне електричне поле сприяє розвитку тріщини, в той час як від'ємне - перешкоджає такому розвитку. З іншого боку, зростання за модулем від'ємного зовнішнього електричного поля збільшує напруженість електричного поля, що може призвести до електричного пробою тріщини.

Числові результати обчислення ШВЕ відображено на рис. 6, 7. Як видно з результатів, зовнішнє електричне поле має незначний вплив на ШВЕ частково електропроникної тріщини за відсутності значних розтягуючих зусиль на нескінченності. Зі збільшенням зовнішнього механічного навантаження різниця між кривими, що відповідають різним моделям тріщини, зростає, особливо коли зростає за модулем і зовнішнє електричне навантаження. Бачимо також, що при додатному зовнішньому електричному полі значення ШВЕ для різних моделей тріщини наближаються одне до одного, а при від'ємному електричному полі відмінності у значеннях залишаються. При цьому значення для частково електропроникної тріщини завжди лежать між двома граничними значеннями, які відповідають електропроникній та електроізольованій тріщинам. Видно також, що при досить малому механічному навантаженні графіки ШВЕ, як функції від прикладеного зовнішнього електричного навантаження, мають форму, подібну до параболи. Зі збільшенням механічного навантаження ця функціональна залежність стає вже майже лінійною.



Рис. 6 Рис. 7

Таким чином, результати цих та інших проведених у роботі досліджень показують, що найбільш повні, достовірні та фізично обґрунтовані висновки щодо процесів руйнування п'єзоелектричних тіл з тріщинами можна отримати, беручи до уваги не лише зовнішнє електромеханічне навантаження та геометричні розміри тріщини, а і її електричну проникність.

У шостому розділі досліджено модель тріщини з привершинними зонами електромеханічного передруйнування в однорідному п'єзокерамічному матеріалі, а також на межі поділу двох різнорідних п'єзокерамічних матеріалів.

На початку розглянуто тунельну електроізольовану тріщину , , розташовану всередині тонкого адгезійного (клейового, зварного і т.д.) діелектричного прошарку , що з'єднує два однорідних п'єзокерамічних матеріали. На нескінченності задані рівномірно розподілені механічні напруження та електрична індукція . Вважається, що границя електричного насичення контактуючих п'єзокерамічних тіл набагато більша, ніж прошарку. Тому, враховуючи, що біля вершин тріщини має місце концентрація електричної індукції, припускається, що на продовженні тріщини виникають зони електричного насичення невідомої поки що довжини, в яких існує стрибок електричного потенціалу, а для компоненти електричної індукції виконується умова , де - граничне значення електричного насичення адгезійного прошарку.

Вважаючи, що товщина прошарку , маємо такі граничні умови в області тріщини:

, , ; .(25)

Для розв'язування поставленої задачі використано співвідношення (23), які для випадку однорідного матеріалу мають вигляд:

, ,(26)

де - матриця розмірністю , елементи якої визначаються матеріальними константами, - кусково-аналітична вектор-функція.

Завдяки симетрії задачі функція дорівнює нулю у всій комплексній площині. Задовольняючи за допомогою співвідношень (26) граничні умови (25), одержано задачу лінійного спряження, із розв'язку якої знайдено інші компоненти вектор-функції

,

,(27)

де , .

Формули (27) дозволяють визначити в явному вигляді основні компоненти електромеханічного поля, а також одержати з умови скінченності при рівняння для визначення положення точки :

.

На рис. 8 показано розподіл нормального напруження при . Числові розрахунки проводились для п'єзокерамічного матеріалу PZT-4 при МПа, мм і різних значеннях .

Размещено на http://www.allbest.ru/

Криві 1, 2, 3 на цьому рисунку відповідають ; та . Видно, що при віддаленні від вершини тріщини значення затухають. У той же час при напруження залишається сингулярним. Ця сингулярність має кореневий характер і характеризується КІН , який визначається за формулою

.

Концентрація напружень біля вершин тріщини приводить до існування в її околі зон “механічного перенапруження” матеріалу, де не виконується закон Гука. Тому, вважаючи, що прошарок являє собою більш м'який матеріал, ніж елементи, які він з'єднує, в роботі із застосуванням аналітичного підходу досліджено також загальний випадок одночасного існування зон електричного насичення та механічного передруйнування , за таких граничних умов

, , ,

де - границя текучості адгезійного прошарку.

Довжина цих зона така, що особливості напружень та електричної індукції в кінці відповідної зони дорівнюють нулю.

З використанням виразів (26) ця проблема була зведена до задач лінійного спряження, які розв'язані точно. Розглянуто випадки, коли зона механічного передруйнування довша за електричну і навпаки. Визначено стрибки нормального переміщення та електричного потенціалу у початковій вершині тріщини

, ,

та відповідне значення швидкості вивільнення енергії

,

які можуть використовуватися для визначення можливості розвитку тріщини.

Запропоновано також наближений підхід до моделювання зон електромеханічного передруйнування, який припускає рівність довжин електричної та механічної зони і дозволяє значно спростити математичну модель задачі в цілому. На прикладі відомих з літератури задач, що допускають точні аналітичні розв'язки, показано правомірність використання цього підходу.

У другій частині шостого розділу наведено загальний підхід до моделювання зон електромеханічного передруйнування в околі вершин тріщини, розташованої на межі поділу двох різнорідних п'єзокерамічних матеріалів.

Припускаючи, що зони електромеханічного передруйнування виникають спочатку в адгезійному прошарку і локалізуються на продовженні тріщини у вигляді смуг , і вважаючи, що товщина прошарку прямує до нуля, приходимо до задачі лінійної механіки руйнування для “подовженої” міжфазної тріщини під дією симетричного зовнішнього навантаження на нескінченності та граничними умовами на берегах тріщини

, , , (28)

де , , - невідомі поки що величини.

Задовольняючи за допомогою співвідношень (22) граничні умови (28), отримано задачу лінійного спряження, розв'язок якої має вигляд

,

,

, , , , , , ; .

Знайдено вирази для основних електромеханічних факторів на межі поділу матеріалів, причому більшість інтегралів у цих виразах обчислено в замкненому вигляді, а інші представлено через гіпергеометричні функції.

З умови скінченності напружень та електричної індукції при одержано систему рівнянь, з якої визначено довжину зони електромеханічного передруйнування (положення точки ), а також напруження , в цих зонах.

Використовуючи поведінку електромеханічних факторів в околі вершини тріщини, розраховано ШВЕ та величину , котрі можна розглядати як основні параметри руйнування для цієї моделі тріщини. У результаті числового експерименту встановлено, що збільшення зовнішнього електричного навантаження веде до нелінійного зростання довжини зони електромеханічного передруйнування. При цьому нормальні переміщення у вершині тріщини набагато більші, ніж дотичні, і є визначальними для її розкриття. На рис. 9 показано розподіл стрибка переміщень при для п'єзокерамічної композиції PZT-5H/BaTiO₃ за різних значень (1 - 0,2; 2 - 0,4; 3 - 0,6). Наведені результати свідчать, що зі зростанням зовнішнього електричного навантаження розкриття тріщини збільшується, а береги тріщини в околі її вершин змикаються плавно (з нульовим кутом).

Размещено на http://www.allbest.ru/

У сьомому розділі розглянуто використання комбінації аналітичного підходу і методу скінченних елементів для дослідження міжфазної тріщини в п'єзокерамічних тілах скінченних розмірів.

Як приклад реалізації цієї методики на початку розділу розглянуто плоску деформацію нескінченно довгого за напрямком осі біматеріального п'єзокерамічного тіла, поперечний переріз якого в площині має форму прямокутника. На відрізку , межі поділу матеріалів розташована електропроникна тріщина, береги якої вважаються повністю відкритими.

Для отримання скінченноелементного розв'язку цієї задачі використовувалася нерівномірна сітка восьмивузлових ізопараметричних чотирикутних скінченних елементів зі згущенням її біля вершин тріщини (рис. 10). Результати розрахунків свідчать про те, що різні підходи з використанням лише стандартних скінченних елементів (зменшення їх розмірів або підвищення степеня інтерполяції) не можуть забезпечити необхідної точності у визначенні шуканих компонент електромеханічного поля в околі вершини тріщини. Очевидно, що це пов'язано з наявністю осцилюючої особливості. Тому в роботі запропоновано нову методику моделювання електромеханічних полів навколо вершини міжфазної тріщини, яка поєднує асимптотичний привершинний розв'язок та скінченноелементний розв'язок для всієї області, який будується з урахуванням усіх граничних умов, як на берегах тріщини, так і на зовнішніх границях тіла.

З урахуванням степеневого характеру особливості асимптотичну поведінку електромеханічних факторів навколо вершини тріщини можна представити такими формулами

, ,

де , - відомі функції, які залежать від характеристик біматеріалу та граничних умов на берегах тріщини, - довільна комплексна стала. Для визначення сталої використовувалися умови спряження асимптотичного та скінченноелементного розв'язку, які вибирались на відстані від вершини тріщини (рис. 11) у вигляді

, .

За допомогою числового експерименту проводився вибір оптимального значення величини .

Размещено на http://www.allbest.ru/

Запропонована вище методика поширена також на випадок контактної моделі міжфазної тріщини, коли асимптотичні формули використовуються в межах малого кола, описаного навколо особливих точок, а інша частина тіла дискретизується стандартними скінченними елементами.

Знайдено КІН та ШВЕ для різних моделей міжфазної тріщини. При цьому, враховуючи, що модель тріщини в сенсі Комніноу є частковим випадком моделі тріщини зі штучною зоною контакту, немає потреби додатково проводити її числовий аналіз, достатньо скористатися отриманими в попередніх розділах співвідношеннями для різних моделей міжфазної тріщини.

У випадках, коли довжина тріщини набагато менша від розмірів тіла, одержані результати порівнювалися з точними аналітичними розв'язками для нескінченної області, одержаними при тих же значеннях матеріальних констант і зовнішнього навантаження. Відносна похибка у визначенні КІН не перевищувала 2%, що свідчить про добру узгодженість одержаних результатів з їх точними значеннями.

Розглянута вище методика може бути використана при розв'язуванні граничних задач електропружності для композитних п'єзокерамічних тіл довільної форми і розмірів з будь-якими умовами навантаження та закріплення шляхом перебудови скінченноелементної сітки лише в областях, віддалених від області тріщини.

Прикладом цього є розглянута в сьомому розділі плоска деформація п'єзокерамічного складеного циліндричного бруса, жорстко закріпленого по нижній бічній поверхні, під дією сили, рівномірно розподіленої з інтенсивністю вздовж деякої твірної його верхньої бічної поверхні. Поперечний переріз цього тіла є круговою областю радіуса , а напрям вектора прикладення сили визначається кутом , який утворює цей вектор з додатним напрямком осі . Всередині бруса на ділянці , межі поділу матеріалів розташована ненавантажена електропроникна тріщина, а на іншій частині межі поділу - матеріали жорстко зчеплені між собою.

Досліджено класичну і контактну моделі міжфазної тріщини. Знайдено основні параметри руйнування і проаналізовано їх залежності від розмірів тіла, величини та місця прикладення зовнішнього навантаження. На рис. 13 зображена графічна залежність ШВЕ від кута . Криві 1-3 побудовані для значень ; ; . Суцільна лінія відповідає класичній моделі міжфазної тріщини, а маркерами позначено результати, одержані при використанні контактної моделі. Із результатів випливає, що збільшення розмірів тіла призводить до зменшення значень ШВЕ. При цьому значення ШВЕ для різних моделей тріщини практично збігаються.



Размещено на http://www.allbest.ru/

У восьмому розділі розглянуто використання методу СІР для дослідження міжфазної тріщини в необмежених п'єзокерамічних тілах і тілах скінченних розмірів.

На початку розділу досліджуються питання числового розв'язування СІР методом механічних квадратур. Для побудованих квадратурних формул дано оцінки їх залишкових членів у класі гельдерових функцій, а також проведено тестування на прикладі СІР, які мають точний аналітичний розв'язок. Далі розглянуто задачу електропружності для двох різнорідних п'єзокерамічних півплощин, які жорстко зчеплені між собою вздовж лінії . На відрізку лінії розмежування матеріалів припускається наявність тріщини, в околі вершин якої мають місце умови гладкого контакту її берегів.

Вводячи на межі поділу матеріалів невідомі функції

, , (29)

і застосовуючи інтегральні перетворення Фур'є до рівнянь (5), будуємо такі граничні інтегральні співвідношення

,(30)

де , , , а визначаються зовнішнім навантаженням.

Співвідношення (30) використовуються для формулювання систем СІР при розв'язанні задач електропружності для складеної п'єзокерамічної площини з міжфазною тріщиною. Зокрема, розглянуто електропроникну, електроізольовану та частково електропроникну моделі тріщини. При цьому найбільш прийнятним для подальшого аналізу є подання електричних граничних умов на відкритих берегах частково електропроникної тріщини у формі

,

де величина , яка характеризує розкриття тріщини, обчислюється за формулою

.

Числове розв'язування отриманих систем СІР здійснювалося за методикою, яка базується на процедурі колокації і квадратурній формулі Гаусса-Якобі для інтегралів типу Коші. В результаті одержано значення коефіцієнтів інтенсивності та ШВЕ для різних моделей тріщини. Для деяких випадків проведено порівняльний аналіз одержаних числових результатів з точними аналітичними розв'язками відповідних задач, який свідчить про хорошу збіжність та ефективність числового методу, що використовується.

Як приклад використання методу СІР для дослідження міжфазної тріщини в тілах скінченних розмірів розглянуто плоску задачу електропружності для п'єзокерамічної напівсмуги , . Вважається, що напівсмуга жорстко зчеплена на торці з абсолютно жорстким провідником, а на ділянці межі поділу цих матеріалів утворилася тріщина, в околі вершин якої існують зони гладкого контакту. У внутрішніх точках напівсмуги , , розташованих симетрично відносно осі , діють точкові електричні заряди та зосереджені сили з компонентами , а на її бічних гранях задані граничні умови

, , .

Вводячи на торці напівсмуги невідомі функції, аналогічні (29), та застосовуючи інтегральні перетворення Фур'є, отримаємо такі граничні інтегральні співвідношення

...