Розв’язання задачі класифікації станів рівноваги конденсованих середовищ зі спонтанно порушеною симетрією методом квазісередніх

Размещено на http://www.allbest.ru/

НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

ІНСТИТУТ ПРИКЛАДНОЇ ФІЗИКИ

УДК 536.7

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Розв'язання задачі класифікації станів рівноваги конденсованих середовищ зі спонтанно порушеною симетрією методом квазісередніх

01.04.02 - теоретична фізика

ЧЕКАНОВА Наталя Миколаївна

СУМИ 2009

Дисертацією є рукопис

Робота виконана в Національному Науковому Центрі “Харківський фізико-технічний інститут” НАН України та в Українській інженерно-педагогічній академії Міністерства освіти і науки України, м. Харків

Науковий керівникдоктор фізико-математичних наук,

старший науковий співробітник

Ковалевський Михайло Юрійович

Національний Науковий Центр “Харківський

фізико-технічний інститут” НАН України,

Інститут теоретичної фізики ім. О.І. Ахієзера

провідний науковий співробітник

Офіційні опоненти:доктор фізико-математичних наук, доцент

Харченко Дмитро Олегович,

Інститут прикладної фізики НАН України

провідний науковий співробітник

доктор фізико-математичних наук, професор

Ходусов Валерій Дмитрович

Харківський національний

університет ім. В.Н. Каразіна

професор кафедри теоретичної ядерної фізики

Захист відбудеться 09.07.2009 р. о 15-39 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради К 55.250.01 при Інституті прикладної фізики НАН України за адресою: 40030, м. Суми, вул. Петропавлівська, 58.

З дисертацією можна ознайомитися в бібліотеці Інституту прикладної фізики НАН України за адресою: 40030, м. Суми, вул. Римського-Корсакова, 3.

Автореферат розіслано 06.06.2009 р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради К 55.250.01

кандидат фізико-математичних наук C.М. Мордик

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Дисертаційна робота присвячена одній з важливих проблем фізики конденсованого стану - теоретичному дослідженню рівноважних станів конденсованих середовищ із спонтанно порушеною симетрією. При пониженні температури нормальний стан статистичної рівноваги, як правило, зазнає істотної зміни в результаті фазового переходу. У разі фазового переходу другого роду симетрія стану рівноваги зменшується.

Стани із спонтанно порушеною симетрією, що виникають у результаті фазового переходу другого роду, можна універсальним чином описати і класифікувати в рамках добре відомої феноменологічної теорії Ландау, де вперше введено поняття параметра порядку. На основі феноменологічного виразу для вільної енергії проводилися дослідження станів рівноваги конденсованого середовища із спонтанно порушеною симетрією з різним тензорним виглядом параметра порядку. Взяття до уваги симетрії, які накладають досить сильні обмеження на явний вигляд вільної енергії, проте спроби пов'язати ії феноменологічні величини з параметрами міжмолекулярної взаємодії стикаються з чималими труднощами. Іншим обмеженням вказаного підходу є його справедливість тільки поблизу точки фазового переходу, де можна знехтувати впливом флуктуацій. Далеко від критичної температури виникають труднощі з вибором явного вигляду вільної енергії як функції параметра порядку і при розв'язанні відповідних нелінійних рівнянь відносно його параметра.

На основі концепції квазісередніх Боголюбова із введенням у статистичний оператор Гіббса збурення з властивостями симетрії досліджуваної фази запропоновано квантовий мікроскопічний підхід, у якому немає припущень про модельний вид вільної енергії, а також не потрібна близькість температури вироджених станів рівноваги до температури фазового переходу другого роду. У такому підході зменшення симетрії стану рівноваги призводить до необхідності адекватної зміни термодинаміки конденсованого середовища та введення додаткових параметрів, що адекватно описують вироджені стани.

Сьогодні проводяться дослідження конденсованих середовищ, які характеризуються тензорним характером параметрів порядку. До них, зокрема, належать надплинні фази гелію He-3, рідкокристалічні стани, квадрупольні магнітні стани, надплинні системи з d-спарюванням. Тому встановлення характеру і вигляду цих параметрів і класифікація вироджених станів рівноваги конденсованих систем з новими можливими фазами в рамках цього мікроскопічного підходу, розглянуті в дисертаційній роботі, є актуальним завданням.

Зв'язок робіт з науковими програмами, планами, темами. Дисертаційна робота в основному виконана в Інституті теоретичної фізики ім. О.І. Ахієзера Національного наукового центру «Харківський фізико-технічний інститут» НАН України відповідно до державної Програми проведення фундаментальних досліджень з атомної науки і техніки Національного Наукового Центру «Харківський фізико-технічний інститут» НАН України по темі 06/51 «Фазові перетворення в надплинних фермі-рідинах і вивчення динаміки струн і бран на основі теоретико-групових методів», 2001-2002 рр. і по темі 51/07 "Теоретичні дослідження з проблем статистичної механіки конденсованих систем і теорії поля", 2003-2005 рр., № РК080901UP0009 державної реєстрації від 13.09.2001. Роль автора дисертації у виконанні зазначених науково-дослідних робіт - виконавець. Частина роботи виконана в Українській інженерно-педагогічній академії відповідно до плану НДР кафедри вищої математики.

Мета і завдання дослідження. Метою роботи є розробка квантового мікроскопічного підходу для класифікації станів рівноваги з тензорним параметром порядку вироджених конденсованих середовищ. Основою досліджень з опису вироджених багаточастинкових станів конденсованих середовищ є статистичний розподіл Гіббса і концепція квазісередніх.

Для реалізації вказаної мети було поставлено і вирішено такі завдання:

1. Розвиток мікроскопічного підходу для класифікації однорідних станів рівноваги конденсованих середовищ із спонтанно порушеною симетрією. Встановлення механізму появи додаткових неперервних і дискретних термодинамічних параметрів, що характеризують такі стани.

2. Узагальнення мікроскопічного підходу на розв'язання задачі класифікації неоднорідних станів рівноваги вироджених середовищ. Встановлення механізму появи додаткових термодинамічних параметрів, що характеризують неоднорідні стани рівноваги.

3. Застосування розробленого підходу до дослідження і класифікації стану рівноваги квантових рідин зі скалярним, векторним і тензорним параметрами порядку (надплинних фаз гелію He-3, розчинів квантових рідин, надплинності з d-спарюванням) і рідких кристалів.

Реалізація поставленої мети і завдань досліджень дозволила одержати ефективні рівняння для знаходження рівноважної структури параметра порядку, які не містять припущень про вигляд вільної енергії і не використовують вимогу близькості температури до точки фазового переходу.

Об'єкт дослідження - конденсовані середовища із спонтанно порушеною симетрією.

Предмет дослідження - статистичний опис станів рівноваги і їх класифікація для квантових рідин і рідких кристалів.

Методи дослідження: Методи статистичної і математичної фізики та квантової теорії поля.

Наукова новизна одержаних результатів.

1. Розроблено новий квантовий мікроскопічний підхід до задачі класифікації станів рівноваги конденсованих середовищ зі спонтанно порушеною симетрією. Показано важливу роль симетрії гамільтоніану і трансформаційних властивостей параметра порядку щодо глобальних перетворень, генераторами яких є інтеграли руху.

2. У рамках розробленого підходу сформульовано умови непорушеної симетрії і просторової симетрії для станів рівноваги таких конденсованих середовищ і встановлено механізм появи додаткових термодинамічних параметрів для адекватного опису станів рівноваги. Уперше отримано ефективні рівняння, що визначають рівноважну структуру параметра порядку і генератора непорушеної (залишкової) симетрії, для довільних конденсованих середовищ зі спонтанно порушеною симетрією як для однорідних, так і неоднорідних станів.

3. Для надплинного Не-3 з триплетним спарюванням отримано вигляд рівноважного параметра порядку в анізотропному стані в термінах додаткових двох квантових дискретних чисел, що пробігають значення , і неперервних термодинамічних величин, які характеризують спінову і просторову анізотропію. Знайдено відповідні чотири виду генератора непорушеної симетрії для дванадцяти анізотропних та одного ізотропного стану рівноваги. конденсований середовище рівновага розподіл

4. Для станів рівноваги рідких кристалів знайдено явний вид тензорного параметра порядку, встановлено набір можливих однорідних і неоднорідних станів, а також вид генераторів просторової і непорушеної симетрії.

5. Для розчинів двох фермі-рідин з векторним параметром порядку виконано класифікацію станів рівноваги: знайдені рівноважна структура параметра порядку, наявний вид генератора непорушеної симетрії в термінах одного дискретного квантового числа, що пробігає значення , і неперервних термодинамічних величин.

6. Здобуто в явному аналітичному вигляді вирази для тензорного параметра порядку і генератора непорушеної симетрії для станів рівноваги надплинної квантової рідини з d-спарюванням. Результат класифікації станів рівноваги представлено у термінах неперервних термодинамічних величин і одного дискретного квантового числа, що пробігає значення .

Практичне значення. Практичне значення роботи полягає в тому, що розвинена мікроскопічна теорія з концепцією квазісередніх коректно описує вироджені системи, що, зокрема, дозволило провести класифікацію рівноважних станів багаточастинкових систем із спонтанно порушеною симетрією. Запропонований і розвинений квантовий мікроскопічний статистичний підхід у задачі класифікації станів рівноваги конденсованих середовищ з порушеною симетрією не містить жодних модельних припущень про вид вільної енергії і не використовує вимогу близькості температури до точки фазового переходу.

Також практичне значення роботи полягає в одержаних аналітичних формулах, які описують відомі з експерименту фази вироджених конденсованих середовищ і описує неоднорідні стани рівноваги типу подвійна спіраль у рідких кристалах. Одержані в роботі ефективні рівняння для рівноважної структури параметра порядку можуть бути застосовані при подальших дослідженнях складних конденсованих середовищ з тензорним параметром порядку.

Дослідження можливих станів рівноваги вироджених конденсованих середовищ становить теоретичний і практичний інтерес для фізики конденсованого стану, механіки рідини і твердого тіла з внутрішньою структурою, фізики квантових рідин і рідких кристалів.

Особистий внесок здобувача полягає в проведенні більшої частини аналітичних розрахунків, інтерпретації здобутих даних досліджень і обговоренні одержаних результатів. У роботах [1,3,5] дисертант брав участь у розрахунку квантових дужок Пуассона для операторів параметру порядку з інтегралами руху для надплинних квантових рідин, у цих роботах ним також отримано рівняння на рівноважну структуру параметра порядку і знайдено розв'язки цих рівнянь в однорідному і неоднорідному випадках. У роботах [2,4,8] ним було розраховано квантові дужки, знайдено явний вигляд тензорного параметру порядку і вигляд генераторів просторової і непорушеної симетрії для рідких кристалів. У роботах [6,7] дисертантом здобуто розв'язок рівнянь для параметра порядку і знайдено явний вигляд трьох припустимих генераторів непорушеної симетрії та відповідні рівноважні значення параметру порядку квантової рідини з d-спаруванням. Дисертант брав також участь в інтерпретації знайдених розв'язків для параметра порядку і написанні доповідей на конференції [9-11]. Ним же сформульовано основні результати виконаних досліджень, що увійшли до дисертаційної роботи.

Апробація результатів дисертації. Основні результати дисертаційної роботи доповідалися на таких конференціях: VI Міжнародна конференція з математичного моделювання, МКММ 2002, Херсон, 9-14 вересня, 2002; V Liquid Matter Conference, Konstanz, Germany, 14-18 September, 2002; International Conference "Modern Problems Theoretical Physics" dedicated to 90-th anniversary A.S. Davydov, Кiev, 9-15 December 2002; International Conference “Recent Trends in Kinetic Theory and Its Applications” Кiev, 11-15 May 2004; Міжнародна конференція "Квантова електродинаміка і статистична фізика", Харків, 19-23 вересня 2006; II Міжнародна конференція «Теорія конденсованого стану», Харків, 16-17 січня 2007; Міжнародна конференція «Фізичні явища в твердих тілах», Харків, 11-13 грудня 2007; Міжнародна конференція «Симетрія у фізиці», Дубна, 27-29 березня 2008, а також на семінарах в ННЦ «Харківський фізико-технічний інститут», семінарах кафедри вищої математики Української інженерно-педагогічної академії (м. Харків), на семінарі Інституту прикладної фізики НАН України (м. Суми).

Публікації. Основний зміст дисертації та положень, які автор виносить на захист, достатньо повно розкрито в 11 наукових працях, серед них 7 статей в наукових журналах, рекомендованих ВАК України [1]-[7], 1 у збірниках наукових праць [8] та у 3-x тезах доповідей конференції [9-11].

Структура та обсяг роботи. Дисертація складається зі вступу, п'ятьох розділів, висновків, списку використаних джерел із 133 найменувань, містить 4 таблиці та 8 рисунків. Повний обсяг роботи складає 119 сторінок машинописного тексту.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі дисертації розглянуто стан наукової проблеми, мотивується напрямок обраних досліджень. Обґрунтовується актуальність теми дисертації. Сформульовано мету роботи і основні завдання досліджень, відображена наукова новизна і практичне значення роботи і перераховані положення, що виносяться до захисту.

У першому розділі наведено огляд літератури за тематикою дисертаційних досліджень. Викладено основні методи статистичної механіки і їх застосування при вивченні стану рівноваги вироджених конденсованих середовищ.

У другому розділі розроблено новий підхід, де важливим є використання концепції квазісередніх і уявлення про існування непорушеної і просторової симетрії виродженого стану рівноваги. Термодинамічні параметри , що входять у розподіл Гіббса

нормального конденсованого середовища, обумовлені симетрією гамільтоніана. До них належать термодинамічні сили , спряжені до адитивних інтегралів руху , які включають: - температуру, - макроскопічну швидкість, - хімічний потенціал і - ефективне магнітне поле, - термодинамічний потенціал.

Властивості симетрії у вигляді , відображають трансляційну і фазову інваріантність станів статистичної рівноваги нормальних систем, тут , - оператори імпульсу і числа частинок. Співвідношення

 і

відображають властивості симетрії щодо просторових і спінових поворотів у термінах узагальнених операторів орбітального

,

і спінового ,

моментів, тут , - звичайні оператори орбітального і спінового моментів. Узагальнені оператори діють у гільбертовому просторі і в просторі термодинамічних функцій.

При фазових перетвореннях II роду конденсоване середовище з нормального стану переходить у стан зі спонтанно порушеною симетрією. При цьому стані виникають додаткові термодинамічні параметри, які залежать від характеру порушеної симетрії і пов'язані з наявністю залишкової симетрії стану рівноваги. Згідно з концепцією квазісередніх, розподіл Гіббса для вироджених середовищ має вигляд

Джерело , що порушує симетрію нормального стану рівноваги, є лінійним функціоналом

оператора параметра порядку . У цьому стані рівноважне квазісереднє параметра порядку не дорівнює нулю

.

Оператори параметра порядку є лінійними або білінійними за польовими бозе- або фермі-операторами що веде до лінійності квантової алгебри операторів параметра порядку та інтегралів руху. Для знаходження рівнянь для рівноважних значень параметра порядку необхідно знати трансформаційні властивості оператора параметра порядку. Умова трансляційної інваріантності має вигляд

,

де - оператор імпульсу, - просторова координата. Генератором групи фазових перетворень є оператор числа частинок . Оператор параметра порядку перетворюється згідно з співвідношенням

,

де довільна стала залежить від тензорної розмірності і внутрішньої структури оператора параметра порядку. У випадку спінових поворотів з генераторами оператори перетворюються згідно з співвідношенням

,

де - деякі довільні сталі. При просторових поворотах оператори параметра порядку перетворюються відповідно до формули

де величини - довільні сталі. Лінійність виписаних комутаційних співвідношень за параметром порядку призводить до лінійності рівнянь для визначення його рівноважної структури.

Для трансляційно-інваріантних вироджених станів рівноваги, що задовольняють співвідношенню , умова непорушеної симетрії стану рівноваги визначається таким співвідношенням , де генератор непорушеної (залишкової) симетрії

є лінійною комбінацією інтегралів руху з дійсними параметрами ; і відображає наявність у виродженому середовищі залишкової симетрії, яка є меншою, ніж у початковому більш симетричному нормальному стані. Умови непорушеної симетрії і трансляційної інваріантності призводять до лінійного диференціального рівняння з частинними похідними щодо параметра порядку:

.

У випадку, коли , це рівняння істотно спрощується, оскільки стає лінійним однорідним алгебраїчним рівнянням ,

.

Умова існування нетривіального розв'язку призводить до рівняння на допустимі значення параметрів генератора непорушеної симетрії, що і дає можливість провести класифікацію станів рівноваги вироджених конденсованих середовищ. При цьому статистичний оператор Гіббса залежить від термодинамічних параметрів і параметрів генератора непорушеної симетрії.

Для просторово-неоднорідних станів рівноваги вироджених конденсованих середовищ генератори непорушеної і просторової симетрії визначаються рівністю

,(1а)

(1б)

і ведуть до співвідношень

, . (2)

Тут і

дійсні параметри, які характеризують генератори непорушеної і просторової симетрії. Співвідношення (2) призводять до залежності параметра порядку від координати , а також від параметрів непорушеної і просторової симетрії. Для встановлення структури параметра порядку і генераторів симетрії співвідношення (2) слід доповнити рівняннями

,(3а)

,(3б)

які є наслідками тотожностей Якобі для операторів і . Умови (3а,б) призводять до зв'язків параметрів генераторів симетрії і дозволяють розв'язати задачу класифікації станів рівноваги для неоднорідних конденсованих середовищ.

У другому розділі також вивчено квантові рідини зі скалярним і векторним параметрами порядку. Для фермі-рідини скалярний оператор параметра порядку має вигляд:

,

де - польовий фермі-оператор і - матриця Паулі, а для бозе-рідини аналогічний скалярний оператор параметра порядку є , де тепер позначає бозе-оператор знищення частинки в точці . В трансляційно-інваріантному випадку рівноважне квазісереднє параметра порядку має вигляд

.

Тут - модуль параметра порядку, а - надплинна фаза, що є додатковим безперервним параметром, який розрізняє надплинні стани. Для неоднорідних станів рівноваги з рівнянь (3а,б) випливає, що допустимий вигляд матриці визначається формулою , з урахуванням якої для квантової рідини з синглетним спарюванням при умові знаходимо такі вирази для генераторів непорушеної і просторової симетрії ,

,

а також залежність параметра порядку від координати у вигляді

.

Статистичний оператор залежить від таких параметрів .

Далі досліджено розчин квантових рідин, що складається з двох сортів ферміонів із спінами 1/2. У таких конденсованих середовищах можливе спарювання між ферміонами різного сорту. Вивчено випадок, коли оператор параметра порядку є вектором у просторі спіну і має вигляд

,

де і - спінові й ізоспінові матриці Паулі, - польові фермі-оператори. Для цього оператора параметра порядку й інтегралів руху обчислено їх квантові дужки Пуассона:

, , , ,

де індекс позначає два сорти частинок-ферміонов. Ці формули з використанням розробленого підходу дозволяють провести класифікацію вироджених станів рівноваги розчину двох фермі-рідин з векторним параметром порядку. У разі однорідних станів одержано рівноважну структуру векторного параметра порядку і вигляд генераторів непорушеної симетрії, які представлено в таблиці 1.

Таблиця 1. Класифікація однорідних станів рівноваги розчину надплинних рідин з векторним параметром порядку

Генератор непорушеної симетрії		Параметр порядку
	0

Додатковими неперервними термодинамічними параметрами середовища є осі спінової анізотропії , і надплинна фаза . Дане середовище характеризується додатковим дискретним параметром - квантовим числом . Тому статистичний оператор Гіббса є функцією таких параметрів

.

Досліджено також неоднорідні стани рівноваги конденсованого середовища, що складається з розчину двох фермі-рідин. Використовуючи співвідношення типу (1), але з урахуванням наявності частинок двох сортів, було знайдено просторову неоднорідну структуру параметра порядку у вигляді

, , .

Тут - надплинні імпульси для першого і другого компонентів фермі-системи. Величина є вектором магнітної спіралі: вісь просторової анізотропії направлена уздовж цього вектора, а крок спіралі дорівнює .

У третьому розділі в рамках розвиненого загального мікроскопічного підходу проведена класифікація станів рівноваги надплинного гелію . Оператор параметра порядку такої рідини має вигляд

.

Для цього оператора параметра порядку обчислено квантові дужки Пуассона з інтегралами руху:

,,

,

. (4)

Результати застосування загального підходу для класифікації однорідних станів рівноваги надплинного зводяться до таких тверджень. Безліч можливих анізотропних станів рівноваги такої виродженої рідини визначається чотирьма типами генераторів непорушеної симетрії і може бути описаний двома дискретними квантовими числами і , а також неперервними параметрами, що відображають анізотропію середовища. У такій надплинній рідині можливі 12 анізотропних станів і один ізотропний стан (фаза). У таблиці 2 структуру параметра порядку представлено в термінах ортонормованих реперів у спіновому і конфігураційному просторах, амплітуд параметра порядку і ортогональної матриці повороту . У таблиці 2 наведено явний вигляд рівноважної структури тензорного параметра порядку і вигляд генератора непорушеної симетрії надплинного гелію .

Таблиця 2. Класифікація однорідних станів рівноваги в

Генератор непорушеної симетрії			Параметр порядку	Назва фази
	-	-
				- -
				- -

У цій же главі розглянуто просторово-неоднорідні стани надплинного . З умов (2), (3а,б) з урахуванням трансформаційних властивостей (4) знайдено структуру параметра у вигляді , де - вектор магнітної спіралі, - вісь анізотропії у просторі спіну та параметра . Для таких станів було знайдено розв'язок для неоднорідного параметра порядку у такому вигляді

,

де , -

ортогональна матриця повороту в просторі спіну, - вісь анізотропії у конфігураційному просторі, - ортогональна матриця повороту навколо осі в конфігураційному просторі на кут , крок спіралі дорівнює .

У четвертому розділі проведено класифікацію вироджених станів рівноваги рідких кристалів з неперервно порушеною трансляційною і поворотною симетріями. Оператор параметра порядку таких середовищ визначимо рівністю

,

для якого знайдені квантові дужки з інтегралами руху

, ,

.

Здобуті результати класифікації станів рівноваги рідких кристалів наведено в таблиці 3.

Таблиця 3. Класифікація однорідних станів рівноваги рідких кристалів

Стан рівноваги	Генератор непорушеної симетрії	Параметр порядку
Одновісний нематик
Двовісний нематик		,

У цьому розділі було також досліджено неоднорідні стани рівноваги рідких кристалів і наведено їх класифікацію, здобуті результати містяться в таблиці 4.

У таблицях 3 і 4 узагальнений оператор орбітального моменту визначається формулою

, , ,

де вектори , і утворюють ортонормований репер у конфігураційному просторі, вектор входить у співвідношення (1) як параметр.

Таблиця 4. Класифікація неоднорідних станів рівноваги рідких кристалів

Стан рівноваги	Генератор непорушеної симетрії	Генератор просторової симетрії	Параметр порядку
Одновісний холестерик
Подвійна спіраль

Зауважимо, що одержана нами просторова структура подвійної спіралі (див. таблицю 4) нагадує структуру молекули ДНК (А.В. Фінкельштейн, О.Б. Птіцин. Фізика білка. 2002). Комплементарні уотсон-кріківські пари аденін-тимін і гуанін-цитозін лежать у площині векторів , , і повертаються навколо осі анізотропії при зсуві координати. Випадок, коли вектори і колінеарні, відповідає В - сімейству ДНК. При цьому комплементарні пари розташовуються у площині, ортогональній до осі спіралі. Якщо вектори і неколінеарні, то така просторова структура являє собою А - сімейство, так що має місце впорядкування просторової структури типу скошеної спіралі. Комплементарні пари в цьому випадку розташовуються під кутом до осі спіралі. Відмінність у знаках скалярного добутку векторів або означає можливість фізичної реалізації правосторонньої і лівосторонньої спіралей.

У п'ятому розділі проведено класифікацію станів рівноваги квантової рідини з -спарюванням. У цьому випадку тензорний неермітовий оператор параметра порядку подано у термінах фермі-операторів у вигляді

і являє собою безшпуровий тензор, симетричний по просторових індексах, - матриця Паулі. Відповідно до загального підходу, викладеного в першому розділі, для визначення рівноважної структури параметра порядку знаходимо рівняння у вигляді

,.(5)

Переходячи у цій формулі від подвійного підсумовування до одинарного, при якому індекси підсумовування пробігають значення , рівняння (5) перепишеться як . З умови рівності нулю детермінанта знайдено допустимий вигляд генератора непорушеної симетрії надплинної рідини, що досліджується: . Показано, що класифікація надплинних станів рівноваги квантової рідини з d-спарюванням здійснюється одним дискретним квантовим числом , що пробігає значення . Одиничний вектор розкладемо по ортонормованому реперу , де проекції одиничного вектора зв'язані рівністю . При знайдено розв'язки для параметра порядку:

,,

,. (6)

де - модулі параметра порядку. У всіх цих випадках структура параметра порядку подібна одновісному рідкому кристалу з комплексною амплітудою, і такі стани відповідають одночасному співіснуванню надплинності і характерного для рідких кристалів нематичного впорядкування. При допустимими значеннями є , і знайдений розв'язок рівнянь (5) для параметра порядку має вигляд:

.(7)

При і значеннях з рівнянь (5) знайдено такий вираз для параметра порядку

. (8)

Розв'язок (6) відповідає стану «real», одержаному в роботах (D. Mermin, 1977; T.L. Ho, S. Yip, 1999), розв'язок (8) при співпадає із станом «ахial» цих же робіт. Порівнюючи знайдені вирази для параметра порядку для з результатами вказаних робіт, бачимо, що еквівалентність розв'язку для «суclic» стану і розв'язку (7) відсутня. Причиною цього є той факт, що на відміну від підходу цих робіт, ми розглядаємо тільки спонтанне порушення неперервної симетрії і не враховуємо порушення дискретної симетрії. Тому природа виникнення розв'язків (7) і розв'язків для «суclic» стану різна.

У цьому розділі також виконано класифікацію неоднорідних станів рівноваги надплинних фаз квантової рідини з d-спарюванням. У цьому випадку з генератором просторової симетрії для параметра порядку було знайдено розв'язок рівнянь у такому вигляді

,

де є надплинна фаза і вектори і є колінеарними. Неоднорідна кутова залежність описує холестеричне просторове впорядкування параметра порядку.

ВИСНОВКИ

Основні результати дисертаційної роботи полягають у наступному:

1. На основі концепції квазісередніх розроблено квантовий статистичний підхід до розв'язання задачі класифікації однорідних і неоднорідних станів рівноваги вироджених конденсованих середовищ. Розроблений підхід не містить припущень про вигляд вільної енергії як певної функції параметра порядку і не є потрібною близькість температури даних вироджених станів рівноваги до температури фазового переходу другого роду.

2. Знайдено ефективні рівняння для параметра порядку, що класифікують стани рівноваги конденсованих середовищ і встановлюють вигляд генераторів непорушеної і просторової симетрії.

3. Для надплинного гелію He-3, нейтрон-протонного надплинного середовища, для надплинної рідини з d-спарюванням куперовських пар знайдено анізотропні структури параметра порядку в однорідному і неоднорідному станах рівноваги і встановлено явний вид генераторів просторової і непорушеної симетрії.

4. Вивчено рідкокристалічні стани з неперервно порушеною просторовою симетрією, для яких знайдено явний вид тензорного параметра порядку і встановлено повний набір можливих однорідних і неоднорідних станів, вид генераторів просторової і непорушеної симетрії. Знайдено відповідність здобутих розв'язків для параметра порядку з реально існуючим впорядкуванням у рідких кристалах.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАННИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Kovalevsky M.Yu. Classification of spatially-nonuniform equilibrium states of superfluids / M. Yu. Kovalevsky, N.N. Chekanova, A.A. Rozhkov // Problems of atomic Science and Technology. Special issue dedicated to the 90-th birthday anniversary of A.I. Akhiezer. - 2001. - №6. - C.351-355.

2. Ковалевский М.Ю. Параметр порядка и классификация состояний равновесия нематических жидких кристаллов / М.Ю. Ковалевский, Н.Н. Чеканова // Вісник Харківського національного університету. Серія фізична "Ядро, частинки, поля". - 2001. - №541, вип. 4(16). - С.59-62.

3. Ковалевский М.Ю. О классификации равновесных сверхтекучих состояний со скалярным и тензорным параметром порядка / М.Ю. Ковалевский, С.В. Пелетминский, Н.Н. Чеканова // Физика низких температур. - 2002. - Т. 28, № 4. - С.327-337.

4. Ковалевский М.Ю. Классификация состояний равновесия квантовых жидкостей / М.Ю. Ковалевский, А.A. Рожков, Н.Н. Чеканова // Вестник Херсонского государственного технического университета. - 2002. - №2(15). - С.218-222.

5. Ковалевский М.Ю. Классификация состояний равновесия / М.Ю. Ковалевский, С.В. Пелетминский, Н.Н. Чеканова // Teoретическая и математическая физика. - 2003. - Т.135, № 1. - С.159-176.

6. Classification of equilibrium states of a quantum fluid with tensor order parameter / A.P. Ivashin, M. Yu. Kovalevsky, N.N. Chekanova та [ін.] // Ukrainian Journal of Physics. - 2004. - V.49, N3. - P.289-293.

7. Ивашин А.П. Классификация состояний равновесия сверхтекучей жидкости с d-спариванием // А.П. Ивашин, М.Ю. Ковалевский, Н.Н. Чеканова. Физика низких температур. - 2004. - Т.30, № 9. - С.920-927.

8. Ковалевский М.Ю. Классификация состояний равновесия жидких кристаллов / М.Ю. Ковалевский, Л.В. Логвинова, Н.Н. Чеканова // Математические модели в образовании, науке и промышленности, 2003 г.: сб. научн. тр. - Санкт-Петербург. МАН ВШ, 2003. - С.100-104.

9. Chekanova N.N. Classification of equilibrium states of degenerate condensed matter with tensor order parameters / N.N. Chekanova, M. Yu. Kovalevsky, A.A. Rozhkov // 5-th Liquid Matter Conference: Conference of the European Physical Society, Germany, 14-18 September 2002: abstracts - Konstanz, 2002. -P.69-70.

10. Ковалевский М.Ю. Классификация состояний равновесия сверхтекучей ядерной материи с тензорным параметром порядка / М.Ю. Ковалевский, Н.Н. Чеканова // Modern Problems of Theoretical Physics dedicated to the 90-th anniversary of A.S. Davydov: International Conference, Kiev, 9-15 December 2002: abstracts - Kiev, 2002. - P.88.

11. Демьяненко Д.А. Классификация состояний равновесия вырожденных конденсированных сред / Д.А. Демьяненко, М.Ю. Ковалевский, Н.Н. Чеканова // Фізичні явища в твердих тілах: міжнародна конференція, 11-13 грудня 2007 р.: тези допов. - Харкiв, ХНУ, 2007. - С.31.

АНОТАЦІЯ

Чеканова Н.М. Розв'язання задачі класифікації станів рівноваги конденсованих середовищ зі спонтанно порушеною симетрією методом квазісередніх. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.04.02 - теоретична фізика. - Інститут прикладної фізики НАН України, Суми, Україна, 2009.

Запропоновано і розвинено квантовий мікроскопічний підхід для класифікації однорідних станів рівноваги конденсованих середовищ із спонтанно порушеною симетрією. Встановлено механізм появи додаткових неперервних і дискретних термодинамічних параметрів, що характеризують такі стани. Наведено узагальнення розвиненого підходу в завданні класифікації на неоднорідні стани рівноваги вироджених середовищ.

Підхід застосовано до дослідження стану рівноваги і класифікації квантових рідин зі скалярним, векторним і тензорним параметрами порядку, зокрема, для надплинних фаз Не-3, розчинів квантових рідин, надплинної системи з d-спарюванням. Досліджено стани рівноваги конденсованих середовищ з неперервно порушеною просторовою симетрією, для яких знайдено явний вид тензорного параметра порядку і визначено повний набір можливих однорідних і неоднорідних станів, вигляд генераторів просторової і непорушеної симетрії. Встановлено відповідність знайдених розв'язків для параметра порядку з реально існуючим упорядкуванням у рідких кристалах.

Знайдено ефективні рівняння для знаходження рівноважної структури параметра порядку, які не містять припущень про вид вільної енергії і не використовують вимогу близькості температури до точки фазового переходу.

Ключові слова: статистична фізика, розподіл Гіббса, квазісередні, симетрія, порушена симетрія, параметр порядку, стан рівноваги, надплинність, квантові рідини, рідкі кристали.

АННОТАЦИЯ

Чеканова Н.Н. Решение задачи классификации состояний равновесия конденсированных сред со спонтанно нарушенной симметрией методом квазисредних. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.04.02 - теоретическая физика. - Институт прикладной физики НАН Украины, Сумы, Украина, 2009.

Предложен и развит квантовый микроскопический подход классификации состояний равновесия конденсированных сред со спонтанно нарушенной симметрией, основанный на базовых принципах статистической механики, таких как распределение Гиббса и концепция квазисредних Боголюбова. Сформулированы условия ненарушенной симметрии и пространственной симметрии для состояний равновесия таких конденсированных сред и установлен механизм появления дополнительных термодинамических параметров для адекватного описания этих состояний. В развиваемом подходе существенна симметрия гамильтониана и трансформационные свойства оператора параметра порядка относительно глобальных преобразований, генераторами которых являются интегралы движения. Впервые получены эффективные уравнения, определяющие равновесную структуру параметра порядка с различной тензорной размерностью и генератора ненарушенной симметрии, для произвольных конденсированных сред со спонтанно нарушенной симметрией в однородном и неоднородном случаях. Эти уравнения не содержат предположений о виде свободной энергии и не используют требование близости температуры к точке фазового перехода.

На основе указанных уравнений детально изучены и классифицированы состояния равновесия конкретных вырожденных конденсированных сред: квантовых ферми- и бозе-жидкостей, сверхтекучего гелия-3, растворов двух ферми-жидкостей, жидких кристаллов и сверхтекучих систем с d-спариванием куперовских пар.

Для сверхтекучего гелия-3 в состоянии с триплетным спариванием получен явный вид равновесного параметра порядка в терминах дополнительных двух квантовых чисел, пробегающих значения , и непрерывных термодинамических величин, которые характеризуют спиновую и пространственную анизотропию, найдены соответствующие четыре вида генератора ненарушенной симметрии для двенадцати анизотропных и одного изотропного состояния равновесия.

Для состояний равновесия жидких кристаллов предложен явный вид тензорного параметра порядка в терминах полевых операторов вторичного квантования, установлен полный набор возможных однородных и неоднородных состояний, а также вид генераторов пространственной и ненарушенной симметрии.

Для растворов двух ферми-жидкостей с векторным параметром порядка получена равновесная структура параметра порядка, явный вид генератора ненарушенной симметрии в терминах одного дискретного квантового числа, пробегающего значения , и непрерывных термодинамических величин.

В явном аналитическом виде получены выражения для тензорного параметра порядка и генератора ненарушенной симметрии для состояний равновесия сверхтекучей квантовой жидкости с d-спариванием. Классификация состояний равновесия такой квантовой жидкости представлена в терминах непрерывных термодинамических величин и одного дискретного квантового числа, пробегающего значения .

Ключевые слова: статистическая физика, распределение Гиббса, квазисредние, симметрия, нарушенная симметрия, параметр порядка, состояние равновесия, сверхтекучесть, квантовые жидкости, жидкие кристаллы.

ABSTRACT

Chekanova N.N. А solution of classification problem for equilibrium states in condensed medium with spontaneously broken symmetry using the quasi-average method. - Manuscript.

Thesis for scientific degree of candidate of science in physics and mathematics by speciality 01.04.02 - theoretical physics. - Institute for арplied physics, NAS Ukraine, Sumy, Ukraine, 2009.

A new quantum microscopic approach has been proposed and developed for the classification of uniform equilibrium states of condensed media with spontaneously broken symmetry. The mechanism of emergence of additional continuous and discrete thermodynamic parameters that characterize these states has been determined. A generalization of the developed approach has been given for the problem of classification of non-uniform equilibrium states of degenerate media. This approach has been employed for the study of equilibrium states and classification of quantum liquids with scalar, vector and tensor order parameters, in particular for the superfluid phases of Не-3, solutions of quantum liquids, a superfluid system with d-pairing. Equilibrium states of condensed media with continuously broken spatial symmetry have been investigated, for which the explicit form of the tensor order parameter has been found and the complete set of possible uniform and non-uniform states and the form of spatial and unbroken symmetry generators have been determined. The correspondence between the found solutions for the order parameter and the really existing ordering in liquid crystals has been ascertained.

Effective equations for determination of the equilibrium structure of the order parameter have been obtained, that do not imply any assumptions about the free energy form and do not exploit the requirement of temperature closeness to the point of phase transition.

Key words: statistical physics, Gibbs distribution, quasi-averages, symmetry, broken symmetry, parameter order, equilibrium state, superfluidity, quantum liquids, fluid crystals.

Підписано до друку 05.05.2009 р. Формат 60х84/16. Папір офсетний.

Гарнітура Times. Наклад 100 прим. Ум. друк. арк. 0,9. Віддруковано з оригіналів.

Макет підготовлено і тиражовано у видавництві

Размещено на Allbest.ru

...