Нестаціонарна взаємодія твердого тіла з порожниною в стисливій рідині

Размещено на http://www.allbest.ru/

НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ ІНСТИТУТ ГІДРОМЕХАНІКИ

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

01.02.05 - механіка рідини, газу та плазми

НЕСТАЦІОНАРНА ВЗАЄМОДІЯ ТВЕРДОГО ТІЛА З ПОРОЖНИНОЮ У СТИСЛИВІЙ РІДИНІ

Гавриленко Олена Валеріївна

Київ - 2008

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. У наш час у техніці широко використовуються результати досліджень процесу занурення тіла у рідину.

Дослідженнями теорії занурення, що почалися ще на початку 20-го століття, займалися такі вчені, як М.В. Келдиш, М.В. Лаврентьєв, Л.И. Сєдов, Г. Вагнер, Т. Карман, В. Пабст та інші.

Подальшому дослідженню взаємодії тіла з рідиною присвятили свої роботи такі іноземні та вітчизняні вчені як В.Г. Баженов, А.Г. Горшков, Е.І. Григолюк, В.Д. Кубенко, Г.В. Логвинович, В.В. Попов, В.Б. Поручиков, А.Я. Сагомонян, І.Т. Селєзов та інші.

Розв'язання задачі занурення тіл в рідину в загальному вигляді стикається зі значними математичними проблемами, у зв'язку з цим доводиться розглядати процес занурення в дещо спрощеному вигляді, нехтуючи на певному етапі тими факторами, що мають незначний вплив на хід процесу. Таким чином для дослідження процесу співудару тіла з поверхнею рідини широко використовуються ідеалізовані моделі рідини: стислива та нестислива. Як показало порівняння з результатами експериментів, ідеальна нестислива рідина цілком задовільно описує гідродинамічні процеси, що супроводжують занурення тіла. Але, якщо розглядати початковий етап процесу занурення тіл в рідину з великими швидкостями, а також тіл обертання (наприклад, циліндр, куля), навіть з малими швидкостями в порівнянні з швидкістю звуку в рідині, необхідно враховувати стисливість рідини, оскільки використання моделі нестисливої рідини в таких випадках може привести в розрахунках гідродинамічних навантажень до фізично нереальних результатів.

Слід зазначити, що схожими по постановці із задачами занурення тіла в рідину, що розглядалися вищезгаданими вченими, є задачі співудару тіла з поверхнею порожнини, що знаходиться у рідині.

Крім того, такі вертикальні удари тіла по поверхні порожнини є одним із елементів складного руху тіла в порожнині при суперкавітаційному обтіканні, що досліджувався в роботах В.Н. Буйвола, Г.В.Логвиновича, Ю.М. Савченка, В.М. Семененка, В.В. Серебрякова, С.І. Путіліна, В.Д. Власенка, І.Г. Нестирука, Ю.Ф. Журавльова, А.Д. Васіна, Е.В. Паришева, І. Кіршнера, Д. Хрубеса, Л.А. Епштейна та інших.

Однією з проблем суперкавітаційного руху є забезпечення стійкості руху тіла в каверні. За такого руху тіло контактує з поверхнею каверни лише у своїй головній частині. Прикладена до області контакту тіла з поверхнею каверни гідродинамічна сила опору руху з боку рідини створює перекидаючий момент щодо центру мас тіла, викликаючи нестійкість суперкавітаційного руху тіла в рідині. Цією нестійкістю пояснюють виникнення серії поперечних ударів тіла по поверхні каверни, що можуть суттєво впливати на загальний характер руху тіла. Це свідчить про актуальність дослідження процесу удару тіла по поверхні порожнини.

На початку ХХІ століття теорія явища кавітації, зокрема теорія занурення тіла в рідину через поверхню порожнини, продовжує інтенсивно розвиватися, зростає інтерес до досліджень в цій області. Поява великої кількості наукових публікацій в даному напрямку, особливо в останнє десятиріччя, є тому підтвердженням. Розвиток даної теорії у наш час зумовлений головним чином:

широкими можливостями у використанні сучасної комп'ютерної техніки та розробками на цій основі потужних пакетів прикладних програм;

розширенням арсеналу математичних засобів, що використовуються в задачах механіки; удосконаленням старих і появою нових методів, що розраховані на застосування в досліджуваній області;

сучасною науково-технічною революцією, розвитком техніки та дослідженнями в різних областях знань, наслідком чого є поява великої кількості нових практично важливих задач;

потребою в практичному застосуванні досліджень вертикальних ударів тіла по поверхні порожнин.

Аналіз сучасного стану наукових досліджень в області теорії занурення тіл в рідину через поверхню порожнини дозволяє зробити наступні висновки:

1. Переважну більшість результатів по даній проблемі отримано з використанням моделі ідеальної нестисливої рідини (роботи Г.В.Логвиновича, Е.В. Паришева, А.Д. Васіна).

2. Для розв'язання задач занурення твердих тіл в стисливу рідину (як таку, що більш адекватно описує фізику процесу), а зокрема через поверхню порожнини, ефективно використовується підхід, запропонований В.Д. Кубенком. Цей чисельно-аналітичний підхід в даній дисертаційній роботі набув свого подальшого розвитку і узагальнення.

З вищесказаного випливає, що тема дисертації є актуальною. Її актуальність також пов'язана з необхідністю розробки теоретичних і прикладних методів досліджень ударної взаємодії твердих тіл з поверхнею порожнини, на основі розв'язання нестаціонарних змішаних (незмішаних) крайових задач механіки суцільного середовища з рухливою, наперед невідомою, зміною у часі границею, а також з практичним застосуванням досліджень вертикальних ударів тіла по поверхні порожнини - окремих елементів складного руху тіла в порожнині при суперкавітаційному обтіканні, що можуть надалі використовуватись для дослідження горизонтального руху тіла.

Зв'язок з науковими програмами, планами, темами. Результати досліджень дисертації пов'язані з науковими програмами Інституту механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України, були використані та увійшли до звітів науково-дослідних робіт, виконаних у відділі теорії коливань Інституту механіки НАН України за темою “Ударна взаємодія твердого тіла з порожниною в ідеальній стисливій рідині” (2005 - 2006 рр., № д.р. 01030003859).

Метою і задачами досліджень є:

1) розвиток підходу до розв'язання нових задач удару і проникання твердих тіл у стисливу рідину через поверхню порожнини;

2) розробка відповідного математичного апарату і програмного забезпечення, що реалізують розв'язання розглянутих задач;

3) визначення особливостей розвитку процесів ударної взаємодії тіл з поверхнею порожнини на основі запропонованої моделі;

4) розробка рекомендацій з вибору оптимальних моделей адекватного описання динамічних процесів, що супроводжують поперечні рухи тіл в порожнині;

Об'єкт наукового дослідження являє собою тверді тіла циліндричної і сферичної форми, що вступають в контакт з порожниною в ідеальній стисливій рідині.

Предметом наукового дослідження є гідродинамічні і кінематичні характеристики процесу.

Наукова новизна результатів визначається наступними положеннями:

1) розроблено підхід до розв'язання нових практично важливих задач удару твердих тіл по поверхні порожнини, що є нестаціонарними змішаними (незмішаними) крайовими задачами механіки для стисливої рідини з рухливою, наперед невідомою, що змінюється в часі границею;

2) досліджено залежності кінематичних характеристик і гідродинамічних навантажень від різних факторів процесу проникання (часу, початкової швидкості удару, маси тіла, зазору між порожниною і тілом); наведено великий обсяг кількісних результатів досліджень;

3) проведено дослідження впливу на хід процесу проникання різних граничних умов на вільній поверхні порожнини;

4) встановлено вплив стисливості рідини на основні характеристики процесу взаємодії тіла, що знаходиться в порожнині, з рідиною.

5) розроблено комплекс програм, що реалізують алгоритми розв'язання розглянутих задач.

Практична цінність роботи полягає

1) у розвитку підходу до розв'язку конкретних задач ударної взаємодії циліндричних і сферичних тіл з поверхнею порожнини;

2) у розробці рекомендацій з вибору оптимальних параметрів моделі для розв'язання різних задач із заданою точністю;

3) у виявленні закономірностей розвитку процесів;

4) у розв'язанні ряду практичних задач;

5) у тому, що отримані результати можуть бути критерієм достовірності різних наближених розв'язків задач проникання твердих тіл у рідину через поверхню порожнини, виконаних на основі чисельних методів;

6) у стабілізації руху тіла у порожнині.

Апробація результатів дисертації. Викладені в роботі результати доповідалися на міжнародній науковій конференції "Математичні методи в нелінійній механіці" (Київ, серпень 2007) [6], на міжнародній науковій конференції "Комплексний аналіз та хвильові процеси в механіці" (Житомир, серпень 2007) [5], на семінарі відділу кавітації Інституту гідромеханіки НАН України (керівник - член-кореспондент НАН України Ю.М. Савченко, Київ, листопад 2006), на семінарі відділу теорії коливань Інституту механіки НАН України (керівник - академік НАН України В.Д. Кубенко, Київ, січень 2008), на семінарі відділу гідродинаміки хвильових процесів Інституту гідромеханіки НАН України (керівник - професор І.Т. Селезов, Київ, березень 2008), на семінарі кафедри теоретичної механіки механіко-математичного факультету Національного університету імені Т.Г. Шевченка (керівник - професор В.В. Мелешко, Київ, березень 2008), на семінарі Міжнародного математичного центру (керівник - професор О.С. Лимарченко, Київ, березень 2008), на семінарі секції за спрямуванням Інституту механіки НАН України (керівник - академік НАН України В.Д. Кубенко, Київ, березень 2008), загальноінститутському семінарі Інституту гідромеханіки НАН України (керівник - академік НАН України В.Т. Грінченко, Київ, травень 2008).

Публікації та особистий внесок здобувача. За темою дисертації опубліковано 6 наукових праць. В авторефераті наведено 4 праці (з них одна робота - одноосібна), де викладено основний зміст дисертації, усі вони опубліковані у фахових виданнях, затверджених ВАК України, 2 роботи - тези доповідей та матеріалів науково-технічних міжнародних конференцій.

В написаних у співавторстві з науковим керівником роботах [2 - 4] В.Д. Кубенку належить загальна постановка проблеми та задум проведення досліджень, а також участь в обговоренні результатів чисельного моделювання процесів ударної взаємодії твердих тіл з поверхнею кавітаційної порожнини. Здобувачеві належить виведення розв'язуючих систем рівнянь, чисельна реалізація задач, проведення досліджень впливу на хід процесу основних факторів, що супроводжують удар та занурення тіл в рідину через поверхню порожнини, а також виявлення особливостей процесу.

Структура та обсяг дисертації. Дисертаційна робота містить вступ, три розділи, висновки та список використаних джерел (105 найменувань), включає також 65 рисунків, розміщених на 31 сторінці. Загальний обсяг роботи 130 сторінок.

Автор висловлює глибоку і щиру подяку науковому керівнику, академіку НАН України, доктору фізико-математичних наук, професору В.Д. Кубенку за постійну увагу до роботи та корисні поради при її написанні.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі розкрито стан наукової проблеми, наведено огляд літератури по темі дисертації, обґрунтовано актуальність теми дисертації, сформульовано мету і задачі досліджень, наукова новизна, достовірність і практичне значення отриманих результатів, вказано зв'язок з науковими програмами, планами, темами, наведено дані про апробацію результатів дисертації, а також про публікації результатів роботи.

У першому розділі наведено в достатньо загальному вигляді постановку задачі ударної взаємодії твердих тіл з поверхнею порожнини.

Розглянемо механічну систему: в безмежній рідині міститься порожнина, що має форму циліндра або сфери, радіуса , всередині порожнини міститься абсолютно тверде тіло обертання радіуса , вісь якого паралельна вісі порожнини, причому . Позначимо через величину зазору між порожниною та тілом. Тіло під дією сили тяжіння робить поперечні удари по поверхні порожнини. Нехай в початковий момент часу воно досягає поверхні порожнини і починає занурюватися крізь неї зі швидкістю , причому початкова швидкість занурення значно менша за швидкість звуку в рідині.

Рис.1

Спочатку припускаємо, що закон руху тіла в порожнині протягом всієї ударної взаємодії задано. Тоді, виходячи з цього закону та відомої форми поверхні тіла, можна в кожен момент часу визначити частину тіла, що контактує з поверхнею порожнини. Позначимо через поверхню порожнини, причому в початковий момент часу поверхня порожнини знаходиться в недеформованому стані . Частину поверхні , через яку відбувається занурення тіла, позначимо через . Частину поверхні порожнини, що не стикається з тілом, позначимо і назвемо вільною поверхнею порожнини. Позначимо через поверхню, яка обмежує розглянуте тіло. Частину поверхні тіла, що вступає в контакт з поверхнею порожнини, позначимо і назвемо її областю контакту тіла з поверхнею порожнини. Частину поверхні порожнини, що не стикається з тілом, позначимо . З вищесказаного випливає, що

;.

Позначимо через орт нормалі до поверхні тіла , а через - проекцію вектора швидкості на нормаль .

Надалі буде використовуватися невагома, баротропна, ідеальна, стислива рідина в акустичному наближенні, а швидкості занурення тіла будуть значно меншими за швидкість звуку в рідині.

Тіло при зануренні в рідину через поверхню порожнини породжує в рідині акустичні збурення, рух яких описується хвильовим рівнянням

(1.1)

відносно потенціалу швидкостей , який пов'язаний з швидкістю деформування поверхні порожнини та гідродинамічним тиском співвідношеннями

,(1.2)

де - густина рідини, що знаходиться в стані спокою, при наступних граничних умовах:

· в межах області контакту тіла з поверхнею порожнини справедлива рівність нормальних складових швидкостей занурення тіла та деформування поверхні порожнини

,(1.3)

· на вільній поверхні порожнини гідродинамічний тиск сталий і для спрощення міркувань вважаємо його рівним нулю

,(1.4)

що зносяться із області контакту та з вільної поверхні порожнини на недеформовану поверхню порожнини .

Акустичні збурення на нескінченності затухають

.(1.5)

Оскільки до початку взаємодії тіла, що знаходиться в порожнині, з рідиною остання залишалася у стані спокою, то будемо мати нульові початкові умови

,(1.6)

де за початок процесу можна взяти момент, коли тіло торкається поверхні порожнини .

Співвідношення (1.1) - (1.6) являють собою постановку задачі про удар твердого тіла по поверхні порожнини, якщо закон руху тіла в порожнині заданий (границі області контакту , на основі яких визначаються гідродинамічні навантаження, відомі).

Якщо закон вертикального руху тіла в порожнині невідомий, тоді систему співвідношень (1.1) - (1.6) необхідно доповнити рівнянням вертикального руху тіла, що визначається з другого закону Ньютона

,(1.7)

де - маса тіла, - нормальна складова швидкості занурення тіла, - прискорення вільного падіння, - гідродинамічна сила опору зануренню тіла з боку рідини, яка дорівнює інтегралу від гідродинамічного тиску, що розподілений по області контакту тіла з поверхнею порожнини , і визначається із співвідношення

, або .(1.8)

Границя області контакту тіла з поверхнею порожнини визначається точками перетину двох кіл, що обмежують поверхні порожнини і тіла, які обчислюються за допомогою співвідношення

,,(1.9)

що було отримано у процесі розв'язання задачі.

В механічному плані сформульована задача є нестаціонарною змішаною крайовою задачею механіки для стисливої рідини з рухливою, наперед невідомою границею, що змінюється з часом.

В математичному плані ця задача являє собою некласичний об'єкт математичної фізики, що не вписується в традиційні кваліфікації, для дослідження якого потрібні додаткові прийоми і підходи.

Слід зазначити, що сформульована задача містить елементи нелінійності, оскільки гідродинамічна сила, яка знаходиться в правій частині диференціального рівняння (1.6), має складну функціональну залежність від значення , що визначає границі області контакту.

Зазначимо, що використання акустичного наближення для описання руху рідини накладає обмеження на величину швидкості занурення тіла - вона має бути малою у порівнянні зі швидкістю звуку в рідині. Так, за оцінкою школи В.Г. Баженова, при швидкостях до м/с чисельні результати розв'язання задачі удару близькі до експериментальних.

Оскільки розглянуті в дисертаційній роботі задачі розв'язані на основі єдиного підходу, запропонованого В.Д. Кубенком, то математичні викладки при зведенні розв'язків крайових задач до розв'язків відповідних розв'язуючих систем інтегральних рівнянь мають спільний характер, хоча кожна задача вносить свої зміни як у зовнішній вигляд перехідних функцій, так і у зовнішній вигляд розв'язуючих систем інтегральних рівнянь.

У зв'язку з цим на основі даного підходу процес розв'язання кожної з розглянутих задач удару твердого тіла в стисливу рідину через поверхню порожнини можна розбити на етапи. На першому етапі за допомогою методу Фур'є всі шукані характеристики процесу розкладаються в ряди Фур'є за відповідною ортогональною системою функцій: для плоскої задачі - по основній тригонометричній системі, для осесиметричної задачі - по ортогональній системі поліномів Лежандра. На другому етапі за допомогою методів інтегральних перетворень Лапласа, розподілу змінних, теореми про згортку оригіналів двох функцій встановлюються аналітичні залежності коефіцієнтів розкладів шуканих характеристик в ряди Фур'є через коефіцієнти гідродинамічного тиску. На третьому етапі за допомогою отриманих аналітичних залежностей і з урахуванням граничних умов будується розв'язуюче співвідношення для гідродинамічного тиску, з якого на четвертому етапі виводиться розв'язуюча система рівнянь - нескінченна система або послідовність лінійних інтегральних рівнянь Вольтера другого роду відносно коефіцієнтів гідродинамічного тиску. На п'ятому етапі здійснюється чисельна реалізація розв'язуючої системи рівнянь та визначення шуканих характеристик процесу. В процесі чисельної реалізації відрізок , що розглядається, ділиться на рівні частини завдовжки і в отриманих вузлах розбиття часового інтервалу обчислюються всі характеристики процесу. Нескінченна система лінійних інтегральних рівнянь Вольтера другого роду і ряди в диференціальному рівнянні підлягали редукції. Степінь редукції і крок відрізку часу визначався з міркувань практичної збіжності ряду. Всі інтеграли обчислювалися за допомогою квадратурних формул лівого прямокутника і Сімпсона з поправкою на кінцях. У результаті дана система зводилася до системи алгебраїчних рівнянь, яка розв'язувалася за допомогою ітераційного методу Зейделя. Диференціальне рівняння апроксимувалося різницевим. Для прискорення збіжності рядів Фур'є використовуються - множники Гіббса.

Наприкінці розділу введено безрозмірні зміні, причому тільки вони будуть застосовуватися надалі, а також наведемо основні формули перетворень Лапласа, рекурентні формули, формули розкладу в ряди Фур'є, а також формули чисельного інтегрування та диференціювання, які використовуватимуться в роботі.

У другому розділі сформульовано і розв'язано плоску симетричну змішану крайову задачу занурення кругового циліндру в ідеальну стисливу рідину через поверхню циліндричної порожнини. Постановка цієї задачі випливає із загальної постановки (1.1) - (1.9) 1-го розділу з урахуванням знесення граничних умов на недеформовану поверхню порожнини. Таким чином, її розв'язання зводиться до розв'язування змішаної крайової задачі

(2.1),(2.2)

(2.3)(2.4)

(2.5)(2.6)

,,(2.7)

.(2.8)

,.(2.9)

Сформульовану постановку задачі надалі будемо називати загальною.

Постановка (2.1), (2.3) - (2.9) адекватно описує ранній етап занурення циліндру в стисливу рідину через поверхню циліндричної порожнини. На проміжку часу, поки акустична хвиля знаходиться в межах області контакту (поки швидкість розширення області контакту більша за швидкість звуку в рідині), вільна поверхня порожнини залишається недеформованою. На цьому проміжку часу дана модель адекватно описує фізику процесу. З виходом акустичної хвилі на вільну поверхню порожнини (швидкість розширення області контакту стає меншою за швидкість звуку в рідині) остання починає деформуватися. Відбувається підйом рідини поблизу тіла, що занурюється. Це призводить до збільшення площі області контакту, що впливає на величини основних характеристик процесу. Однак на початковому етапі підйом рідини буде незначним. Крім того, зі зменшенням значення зазору між порожниною та тілом вплив підйому рідини поблизу області контакту на гідродинамічні та кінематичні характеристики процесу суттєво зменшується. Таким чином, на розглянутому початковому етапі процесу підйомом рідини можна знехтувати.

У процесі розв'язання плоскої задачі удару циліндричного тіла по поверхні порожнини, застосовуючи до рівняння (2.1) перетворення Лапласа, в просторі зображень отримуємо рівняння

.(2.11)

Загальний розв'язок рівняння (2.11) представимо у вигляді

,(2.12)

де - невідомі коефіцієнти, - функції Макдональда..

На 1-му етапі всі шукані характеристики процесу розкладаються у ряди Фур'є по косинусам :

,(2.13)

Для того, щоб отримати розв'язок наведеної вище змішаної граничної задачі, спочатку розглядаємо розв'язок допоміжної задачі для хвильового рівняння (2.1) при наступній граничній умові: на поверхні порожнини задано гідродинамічний тиск

(2.14)

В результаті зі співвідношень (2.12) - (2.14) отримуємо залежності між коефіцієнтами розкладу у ряди Фур'є швидкості деформування порожнини та гідродинамічного тиску

,(2.15)

де функції знаходиться з інтегрального рівняння Вольтерра 1-го роду зі слабкою особливістю при

, ;(2.16)

де ;.

Повертаємося до початкової задачі. Із залежностей (2.15), враховуючи граничні умови (2.3), (2.4), отримуємо розв'язуюче співвідношення для гідродинамічного тиску

, (2.17)

з якого отримуємо нескінченну систему лінійних інтегральних рівнянь Вольтера 2-го роду відносно коефіцієнтів

,(2.18)

де ядро системи визначається з рівняння (2.16), а коефіцієнти і визначаються через елементарні тригонометричні функції і мають вигляд

(2.19)

(2.20)

Система (2.17) має розв'язуватися сукупно з рівняння руху (2.7), що матиме вигляд

,,(2.21)

де

а границя і області контакту визначатимуться зі співвідношення (2.9).

Паралельно розглядалася також інша спрощена модель контакту тіла з поверхнею порожнини - постановка зі стисненою вільною поверхнею порожнини, яка відрізняється від загальної постановки граничною умовою на вільній поверхні порожнини.

Таким чином, для даної спрощеної постановки замість граничної умови (2.4) використовується умова недеформованості вільної поверхні порожнини

.(2.22)

Зазначимо, що дана задача (2.1), (2.3), (2.12), (2.5) - (2.9) є незмішаною.

Модель зі стисненою вільною поверхнею порожнини також адекватно описує процес ударної взаємодії тіла з поверхнею порожнини на інтервалі часу, поки акустичні збурення не вийдуть за межі області контакту. З виходом збурень на вільну поверхню порожнини більш “жорсткі” умови на ній вносять певну похибку у значення гідродинамічних навантажень, але оскільки, як буде показано нижче, різниця в значеннях даних характеристик незначна, то цю спрощену методику можна рекомендувати для одержання інженерних оцінок розвитку процесу, що суттєво скоротить затрати комп'ютерного часу.

На основі розвиненого підходу розв'язання цієї незмішаної крайової задачі зводиться до спільного розв'язку диференціального рівняння (2.21) та нескінченної послідовності лінійних інтегральних рівнянь Вольтерра другого роду (2.23) відносно коефіцієнтів розкладу тиску в ряд Фур'є за косинусами

,(2.23)

де коефіцієнти визначатимуться із співвідношення (2.19), з урахуванням співвідношення для обчислення границі області контакту (2.9), а ядро визначатиметься з рівняння (2.16).

Єдиний підхід до розв'язання задачі занурення в рідину циліндра, що знаходиться в циліндричній порожнині, в даних постановках дозволяє оцінити вплив на хід процесу різних граничних умов на вільній поверхні порожнини.

Розглянемо також частинний випадок загальної постановки: припустимо, що радіус тіла так мало відрізняється від радіусу порожнини, що їх можна вважати рівними - . Таким чином, величина зазору між порожниною та тілом дорівнює нулю. В цьому випадку полярний кут , що визначає границю області контакту дорівнює .

Слід зазначити, що сформульована задача (2.1), (2.3) - (2.8) є нестаціонарною змішаною крайовою задачею з відомою сталою границею.

У випадку нульового зазору розв'язання задачі зводиться до сукупного розв'язування нескінченної системи лінійних інтегральних рівнянь Вольтера 2-го роду (2.17) і диференціального рівняння (2.19), де ядро системи визначатиметься із рівняння (2.16), а коефіцієнти визначаються зі співвідношень

(2.24)

(2.25)

(2.26)

Слід зазначити, що дана постановка дозволяє отримати гідродинамічні та кінематичні характеристики співудару тіла з поверхнею порожнини для граничного, близького до нуля значення зазору. Крім того, у даному випадку підйому рідини поблизу області контакту не спостерігається, у зв'язку з цим можна констатувати, що дана постановка досить точно описує процес удару тіла по поверхні порожнини.

У третьому розділі сформульовано і розв'язано аналогічну розглянутій плоскій симетричній задачі як по постановці, так і по реалізації розв'язку, осесимметричная задача удару сферичного тіла по поверхні сферичної порожнини.

(3.1),(3.2)

(3.3)(3.4)

(3.5)(3.6)

,,(3.7)

,(3.8)

.(3.9)

На відміну від плоскої задачі розкладання всіх шуканих характеристик на 1-му етапі здійснювалося в ряди Фур'є по ортогональній системі поліномів Лежандра

,.(3.10)

Таким чином, розв'язання осесиметричної задачі у загальній постановці (3.1) - (3.9) на основі розвинутого підходу зводиться до спільного розв'язання нескінченної системи лінійних інтегральних рівнянь Вольтерра другого роду

,(3.11)

ядро визначається з рівняння

, ;(3.12)

де ;,

а коефіцієнти матимуть вигляд

(3.13)

(3.14)

, ,

і рівняння руху (3.7), що матиме вигляд

,,(3.15)

де

а границя і області контакту визначатимуться зі співвідношення (2.9).

Як і для плоского випадку, розглядалася постановка зі стисненою вільною поверхнею порожнини, що дозволяє в результаті отримати нескінчену послідовність лінійних інтегральних рівнянь Вольтерра другого роду

,(3.16)

де коефіцієнти визначатимуться зі співвідношення (3.13), з урахуванням співвідношення для визначення границі області контакту (3.9), а ядро визначатиметься з рівняння (3.12).

Єдиний підхід до розв'язання задачі занурення в рідину кулі, що знаходиться в сферичній порожнині, в даних постановках дозволяє оцінити вплив на хід процесу різних граничних умов на вільній поверхні порожнини.

Аналогічно плоскому випадку, за нульового зазору розв'язання осесиметричної задачі зводиться до сукупного розв'язування нескінченної системи лінійних інтегральних рівнянь Вольтера 2-го роду (3.11) і диференціального рівняння (3.15), де ядро системи визначатиметься з рівняння (3.12), а коефіцієнти матимуть вигляд

(3.17)

(3.18)

,(3.19)

де .

Даний підхід дозволяє визначити характеристики процесу: кінематичні характеристики, гідродинамічні навантаження залежно від часу, початкової швидкості занурення, маси та зазором між порожниною та тілом.

На основі аналізу отриманих окремих результатів можна зробити наступні висновки:

1. Модель ідеальної стисливої рідини на ранньому етапі дає змогу отримати більш адекватні фізиці явища результати, порівняно з моделлю ідеальної нестисливої рідини.

На рис.2 наведено порівняння значень гідродинамічної сили опору зануренню циліндричного тіла в рідину через поверхню порожнини зі сталою швидкістю , отриманих з використанням різних моделей рідини: моделі стисливої рідини та нестисливої рідини (результати, отримані Е.В Паришевим). Криві, позначені на рисунку цифрами 1-2, відповідають моделям стисливої та нестисливої рідини.

· значення гідродинамічної сили для випадку нестисливої рідини (крива 2) в початковий момент часу має необґрунтований скінчений стрибок, натомість гідродинамічна, сила отримана за допомогою стисливої рідини, у той самий момент часу дорівнює нулю;

· на більш пізніх етапах обидві моделі дозволяють одержувати близькі за значенням результати.

Слід зазначити, що гідродинамічна сила за нульового зазору для випадку нестисливої рідини дорівнюватиме нулю.

2. Стисненність вільної поверхні порожнини вносить певну похибку в розв'язок задач.

Проведене порівняння результатів показало, що більш "жорсткі" умови на вільній поверхні порожнини дещо завищують значення гідродинамічних навантажень (рис.3 - плоска задача, рис.4-5 - осесиметрична задача; криві, позначені на рисунках суцільною лінією та пунктиром відповідатимуть загальній та спрощеній постановкам). Але оскільки ця різниця в значеннях характеристик незначна, то дану спрощену методику можна рекомендувати для отримання інженерних оцінок розвитку процесу, що дозволяє суттєво скоротити затрати комп'ютерного часу (на один порядок і більше).

3. Отримані результати можуть бути критерієм достовірності для наближених розв'язків задач ударної взаємодії тіла з поверхнею порожнини.

На рис.6-7 наведено порівняння чисельних та асимптотичних результатів, отриманих для швидкості руху циліндричного тіла за нульового зазору та гідродинамічної сили за малого зазору. Криві, позначені на рисунках суцільною лінією та пунктиром відповідатимуть чисельним та асимптотичним результатам.

Із рис.6-7 видно, що результати, отримані аналітично за допомогою асимптотичних представлень модифікованих функцій Бесселя, дещо завищені для гідродинамічних і занижений для кінематичних навантажень у порівнянні з аналогічними чисельними результатами, але оскільки ця різниця в значеннях даних характеристик не надто значна, то із урахуванням запасу міцності конструкцій, на ранньому етапі наближені асимптотичні розв'язки можна рекомендувати для інженерних оцінок розвитку процесу.

Рис.2	Рис.3
Рис.4	Рис.5
Рис.6	Рис.7

ВИСНОВКИ

ударний твердий тіло порожнина

У висновках сформульовано основні результати роботи:

I.Розвинуто загальний підхід до розв'язання нестаціонарних змішаних (незмішаних) крайових задач механіки для стисливої рідини з рухливою, наперед невідомою границею, що змінюється в часі, якими є задачі удару твердих тіл по поверхні порожнини в постановках з нестисненою вільною поверхнею чи зі стисненою вільною поверхнею.

1) Процес розв'язання відповідних крайових задач у постановці з нестисненою вільною поверхнею зведено до спільного розв'язання нескінченної системи лінійних інтегральних рівнянь Вольтера другого роду і диференціального рівняння руху тіла в порожнині.

2) Процес розв'язання відповідних крайових задач у постановці зі стисненою вільною поверхнею зведено до спільного розв'язання нескінченної послідовності лінійних інтегральних рівнянь Вольтерра другого роду і диференціального рівняння руху тіла в порожнині.

ІІ.Розв'язано нові задачі ударної взаємодії тіл з поверхнею порожнини, такі як

1)плоска симетрична задача удару кругового циліндру по поверхні циліндричної порожнини в різних постановках;

2)осесиметрична задача удару твердої кулі по поверхні сферичної порожнини в різних постановках.

Сформульовані задачі містять елементи нелінійності, оскільки гідродинамічна сила, яка знаходиться в правій частині диференціального рівняння, має складну функціональну залежність від значення кута, що визначає границі області контакту.

ІІІ.Для плоскої та осесиметричної задач розв'язано нестаціонарні змішані крайові задачі механіки суцільного середовища з відомою сталою границею.

ІV.Розроблені підходи реалізовані в алгоритмах розв'язання задач ударної взаємодії циліндричних і сферичних тіл з поверхнею порожнини, на базі яких створений прикладний пакет програм.

V.При розв'язанні задач ударної взаємодії тіл з поверхнею порожнини визначені основні параметри процесу: кінематичні та гідродинамічні характеристики в залежності від маси тіла, початкової швидкості руху тіла та величини зазору.

VI.Використання моделі стисливої рідини дозволило на початковій стадії взаємодії отримати більш адекватні фізиці явища результати.

VІI.Запропоновано спрощені методики для одержання інженерних оцінок розвитку процесу, що дозволяють значно знизити витрати комп'ютерного часу.

VІІI.Отримані результати можуть бути критерієм достовірності для різних наближених розв'язків задач удару тіл по поверхні порожнини.

Достовірність отриманих результатів забезпечується

1) коректністю постановок задач і їхньою достатньою адекватністю фізичним процесам;

2) проведенням аналітичних і чисельних розрахунків з контрольованою точністю обчислень;

3) тестуванням методу на задачах з відомими розв'язками (отримані числові результати узгоджуються з результатами інших авторів).

ЛІТЕРАТУРА

Основні результати дисертації викладено в наступних публікаціях:

1. Гавриленко О.В. Осесиметрична задача співудару твердого сферичного тіла з поверхнею каверни / Гавриленко О.В. // Вісник Київського університету. - 2007. - № 2. - С. 47-53.

2. Кубенко В.Д. Плоска симетрична задача про удар твердого циліндричного тіла по поверхні каверни при суперкавітаційному обтіканні / Кубенко В.Д., Гавриленко О.В. // Математичні методи та фізико-механічні поля. - 2007, - 50, № 1. - С. 82-90.

3. Кубенко В.Д. Осессиметрическая задача про удар твердого сферического тела по поверхности каверны в сжимаемой жидкости / Кубенко В.Д., Гавриленко Е.В. // Прикладная механика. - 2008. - 44, № 1. - С. 11-19.

4. Кубенко В.Д. Плоска задача ударної взаємодії циліндричного тіла з поверхнею каверни в стисливій рідині / Кубенко В.Д., Гавриленко О.В. // Прикладна гідромеханіка. - 2008. - С. 39-45.

5. Гавриленко О.В. Задача співудару циліндричного тіла з поверхнею каверни при суперкавітаційному обтіканні рідиною / Гавриленко О.В. // Bogolyubov Readings 2007: Program and Abstracts. - Kiev: Institute of Mathematics of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007. - P.65-66.

6. Gavrilenko O.V. Problem of collision of spherical body with cavity surface / Gavrilenko O.V. // Bogolyubov Readings 2007: Program and Abstracts. - Kiev: Institute of Mathematics of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007. - P. 24-25.

Размещено на Allbest.ru

...