Розробка методів аналізу та гасіння нелінійних коливань стержневих систем

Размещено на http://www.allbest.ru/

Національна академія наук України

Інститут проблем машинобудування ім. А.М. Підгорного

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата технічних наук

01.02.04 - механіка деформівного твердого тіла

Розробка методів аналізу та гасіння нелінійних коливань стержневих систем

Галас Олег Сергійович

Харків 2008

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Національному технічному університеті “Харківський політехнічний інститут“ Міністерства освіти і науки України.

Науковий керівник: доктор технічних наук, професор Аврамов Костянтин Віталійович, провідний науковий співробітник відділу нестаціонарних механічних процесів ІПМаш ім. А.М. Підгорного HAH України.

Офіційні опоненти:

доктор технічних наук, професор Курпа Лідія Василівна, завідувач кафедри прикладної математики Національного технічного університету «Харківський політехнічний інститут»,

кандидат технічних наук Худолій Сергій Миколайович, доцент кафедри вищої математики Національного транспортного університету, (м. Київ).

Учений секретар спеціалізованої вченої ради О.О. Стрельнікова.

Анотація

депланація амплітудний частотний коливання

Галас О.С. Розробка методів аналізу та гасіння нелінійних коливань стержневих систем. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата технічних наук за спеціальністю 01.02.04 - механіка деформівного твердого тіла. - Інститут проблем машинобудування ім. А.М. Підгорного НАН України, Харків, 2008.

У дисертаційній роботі отримано рівняння нелінійних згинно-крутильних коливань стержня довільного поперечного перерізу із урахуванням депланації. Передбачається, що центри тяжіння та згину поперечного перерізу знаходяться у різних точках. Отримана та обґрунтована дискретна модель стержня з шістнадцятьма ступенями свободи. Дискретизація проводилась за методом Бубнова-Гальоркіна.

Для дослідження нелінійних коливань лопаті вертольота було застосовано метод нелінійних нормальних форм Шоу-П'єра в поєднанні з методом багатьох масштабів. Побудовано скелетні криві вільних коливань лопаті та поверхні нелінійних нормальних форм. Урахування депланації приводить до превалюючого внеску нелінійної інерційності в коливання, а без урахування депланації в коливаннях стержня превалює геометрична нелінійність. Досліджено нелінійні коливання руки маніпулятора як пружного стержня. Отримано рівняння нелінійних просторових коливань стержня із урахуванням умови нерозтяжності нейтральної лінії. Скелетні криві вільних коливань є жорсткими, оскільки більший внесок в коливання робить геометрична нелінійність.

Досліджено можливість гасіння згинних коливань стержня за допомогою ферми Мізеса. В роботі розглянуто два види руху в нелінійній системі, які реалізують ефективне гасіння коливань. Досліджено можливість гасіння згинних коливань стержня за допомогою суттєво нелінійного гасителя, який є окремим випадком ферми Мізеса. Для розрахунку рухів, які реалізують ефективне гасіння, застосовано метод нелінійних нормальних форм коливань Розенберга-Каудерера. Знайдена локалізована форма нормальних коливань в конфігураційному просторі. В цьому режимі відбувається найбільш ефективне гасіння коливань. Запропоновано метод напівактивного гасіння коливань. Отримані амплітудно-частотні характеристики систем з напівактивним гасителем свідчать про значне зниження амплітуд коливань.

Ключові слова: стержні, нелінійні коливання, асимптотичні методи, депланація, гасіння коливань.

Аннотация

Галас О.С. Разработка методов анализа и гашения нелинейных колебаний стержневых систем. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук по специальности 01.02.04 - механика деформируемого твердого тела. - Институт проблем машиностроения им. А.Н. Подгорного НАН Украины, Харьков, 2008.

В диссертационной работе получены уравнения нелинейных изгибно-изгибно-крутильных колебаний стержня произвольного поперечного сечения с учетом депланации. Предполагается, что центры тяжести и изгиба поперечного сечения находятся в разных точках. Получена и обоснована дискретная модель стержня с шестнадцатью степенями свободы. Дискретизация проводилась по методу Бубнова-Галеркина. Получена функция кручения стержня, которая определяет депланацию поперечного сечения.

Для исследования нелинейных колебаний лопасти вертолета был применен метод нелинейных нормальных форм Шоу-Пьера в комбинации с методом многих масштабов. Построены скелетные кривые свободных колебаний лопасти и поверхности нелинейных нормальных форм. Если скелетная кривая является мягкой, то в колебания упругой системы больший вклад вносит нелинейная инерционность, а если скелетная кривая является жесткой, то в колебания больший вклад вносит геометрическая нелинейность конструкции. Учет депланации приводит к превалирующему вкладу нелинейной инерционности в колебания, а без учета депланации в колебаниях стержня превалирует геометрическая нелинейность.

Исследованы нелинейные колебания руки манипулятора как упругого стержня. Выведены уравнения нелинейных пространственных колебаний стержня с учетом условия нерастяжимости нейтральной линии. Скелетные кривые свободных колебаний являются жесткими, так как больший вклад в колебания вносит геометрическая нелинейность. Получена нелинейная модель колебаний ствола танковой пушки, которая учитывает нелинейную инерционность и нелинейную кривизну. В модели была учтена система наведения пушки на цель. Исследована возможность гашения изгибных колебаний стержня с помощью фермы Мизеса. Для исследования движений предлагается использовать сочетание метода гармонического баланса и асимптотической процедуры. В работе рассмотрены два вида движений в нелинейной системе, которые реализуют эффективное гашение колебаний. Исследована возможность гашения изгибных колебаний стержня с помощью существенно нелинейного гасителя, который является частным случаем фермы Мизеса. Для расчета движений, реализующих эффективное гашение, используется метод нелинейных нормальных форм колебаний Розенберга-Каудерера. Найдена локализованная форма нормальных колебаний в конфигурационном пространстве. В этом режиме происходит наиболее эффективное гашение колебаний. Предложен метод полуактивного гашения колебаний, который сочетает активные и пассивные способы гашения. Полученные амплитудно-частотные характеристики систем с полуактивным гасителем свидетельствуют о значительном снижении амплитуд колебаний в рабочем диапазоне частоты возмущающего воздействия.

Ключевые слова: стержни, нелинейные колебания, асимптотические методы, депланация, гашение колебаний.

Annotation

Galas O.S. Development of methods of analysis and extinguishing of nonlinear vibrations of the bar systems. - Manuscript.

The thesis is presented for a Candidate Degree of Technical Science by speciality 01.02.04 - mechanics of the deformable solids. - A.M. Pidgorny Institute for Problems of Engineering Mechanics, Kharkiv, 2008.

In dissertation work equations of nonlinear flexural-flexural-torsional vibrations of bar of arbitrary transversal section are taught taking into account wrapping. It is assumed that centres of gravity and bend of transversal section are in different points. Discrete model of bar with sixteen degrees of freedom was obtained and grounded. Discretization was conducted by Bubnov-Galerkin method. For research of nonlinear vibrations of helicopter blade the method of the nonlinear normalized forms of Shaw-Pierre was applied in combination with the method of multiple scales. The skeletal curves of free vibrations of blade and surfaces of the nonlinear normalized forms are built. The account of wrapping results in the predominating contribution of nonlinear inertia to the vibrations, and without the account of wrapping geometrical non-linearity predominates in the vibrations of bar.

The nonlinear vibrations of hand of manipulator are probed as a resilient bar. Equations of nonlinear spatial vibrations of bar are shown out taking into account the condition of untensility of neutral line. Skeletal curves of free vibrations are hard, because a greater contribution to the vibrations brings in geometrical non-linearity. Possibility of extinguishing of flexural vibrations of bar is probed by the farm of Mizes. Two types of motions in the nonlinear system, which will realize the effective extinguishing of vibrations, are considered in the work. Possibility of extinguishing flexural vibrations of bar is probed by a substantial nonlinear extinguisher which is the special case of farm of Mizes. For the calculation of motions, realizing the effective extinguishing, the method of the nonlinear normalized forms of vibrations of Rozenberg-Kauderer is used. The localized form of normal vibrations is found in configuration space. There is the most effective extinguishing of vibrations in this mode. The method of the semiactive extinguishing of vibrations is offered. Obtained frequency responses of the systems with a semiactive extinguisher, testify to the considerable decline of amplitudes of vibrations in the working range of frequency of revolting influence.

Key words: bars, nonlinear vibrations, asymptotic methods, wrapping, extinguishing of vibrations.

1. Загальна характеристика роботи

Актуальність теми. Стержневі системи є елементами лопатей вертольотів, лопаток турбін, маніпуляторів. В процесі руху вони часто здійснюють коливання з помірними амплітудами, які не описуються лінійною теорією. В останнє десятиріччя значно розвинулась теорія нелінійних коливань. Більш того, ця наука отримала нову назву - нелінійна динаміка. Завдяки цьому активно розвивається теорія нелінійних коливань пружних систем. Дослідження стержневих та балочних конструкцій часто ускладнюється внаслідок несиметричності їх поперечного перерізу. Це призводить до того, що центри тяжіння та згину перерізів знаходяться в різних точках. При сумісних згинно-крутильних коливаннях таких систем відбувається скривлення поперечного перетину, яке називається депланацією. Для опису динамічних процесів в стержневих системах в рівняннях руху враховуються перечислені вище фактори.

Зростання скоростей та динамічних навантажень в техніці призводить до проблеми гасіння коливань машинобудівних конструкцій. Методи гасіння, пов'язані з використанням пасивних елементів, в багатьох випадках є недостатньо ефективними. Застосування активних систем ускладнюється їх високою вартістю. Одним із способів вирішення цієї проблеми є створення методів, що використовують комбінований активно-пасивний засіб гасіння коливань. Таким чином, тема дисертаційної роботи, яка пов'язана з дослідженням нелінійних коливань стержнів з помірними амплітудами, є актуальною.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Результати проведених в дисертаційній роботі досліджень отримані в НТУ “ХПІ” під час виконання держбюджетних фундаментальних науково-дослідницьких робіт за темами: “Створення методів аналізу нелінійної динаміки і повзучості деформованих тіл та дискретних систем” (№ ДР 0106U001465), “Створення методів аналізу нелінійних динамічних процесів, біфуркацій та повзучості в тонкостінних конструкціях” (№ ДР 0103U001486), “Створення методів аналізу нелінійних коливань елементів конструкцій та засобів їх гасіння” (№ ДР 0106U005164), де здобувач був виконавцем.

Мета і задачі дослідження. Метою роботи є створення моделей і методів аналізу та гасіння нелінійних коливань стержневих систем. Для реалізації даної мети були розв'язані такі задачі:

- вперше отримано рівняння нелінійних згинно-згинно-крутильних коливань стержнів із урахуванням депланації поперечного перерізу;

- розвинуто метод аналізу нелінійних коливань динамічних систем великої розмірності, який поєднує метод нелінійних нормальних форм та метод багатьох масштабів;

- отримано та досліджено нелінійні моделі коливань стержневих конструкцій (стріла маніпулятора, ствол танка, лопать вертольота);

- здійснено чисельно-аналітичні дослідження можливості гасіння нелінійних коливань стержневих систем;

- розроблено напівактивний метод гасіння коливань.

Об'єктом дослідження є нелінійне динамічне деформування стержневих конструкцій. Предметом дослідження є нелінійні коливання стержневих систем та методи їх гасіння. Методи дослідження - метод Остроградського-Гамільтона для виведення рівнянь руху системи; метод Бубнова-Гальоркіна для дискретизації коливань та методи нелінійних нормальних форм у поєднанні з методом багатьох масштабів.

Наукова новизна одержаних результатів.

- Вперше отримано рівняння нелінійних згинно-згинно-крутильних коливань стержнів із урахуванням депланації поперечного перерізу у випадку, коли центр згину не співпадає з центром тяжіння поперечного перерізу стержня.

- Вперше застосовано метод нелінійних нормальних форм у поєднанні з методом багатьох масштабів для дослідження коливань конструкцій.

- Вперше досліджено нелінійні коливання стріли маніпулятора як моделі гнучкого стержня, який здійснює просторові коливання, із урахуванням умови нерозтягнення серединної лінії.

- Проведено аналіз нелінійних коливань ствола танкової гармати із урахуванням системи керування.

- Запропоновано напівактивний засіб гасіння нелінійних коливань.

Практичне значення одержаних результатів. Практична цінність результатів роботи полягає у створенні методики розрахунку нелінійних згинно-крутильних коливань закручених стержнів довільного поперечного перерізу із урахуванням депланації та методу аналізу коливань за допомогою поєднання нелінійних нормальних форм і методу багатьох масштабів. Також практичну цінність має розроблений напівактивний засіб гасіння коливань стержневих систем, який передбачає поєднання пасивних та активних засобів гасіння коливань. Розроблені методи розрахунку нелінійних коливань можуть бути використані при проектуванні та доробці елементів аерокосмічної техніки, енергетичного обладнання та робототехнічних систем. Результати аналізу коливань лопаті вертольота застосовано в Мічиганському Університеті (США, Анн Арбор), а методи гасіння коливань, що розроблені в дисертації, на науково-виробничому підприємстві “Хартрон-Аркос”, м. Харків.

Результати дисертаційної роботи використано в навчальному процесі на інженерно-фізичному факультеті НТУ “ХПІ”.

Особистий внесок здобувача. Результати дисертаційної роботи, що винесені на захист, отримано особисто здобувачем. В сумісних публікаціях здобувачу належать: в статті виведення рівнянь руху системи із урахуванням депланації поперечного перерізу та аналіз отриманих рівнянь; в роботах виведення рівнянь руху та аналіз коливань асимптотичними методами; в статті побудова моделі коливань та асимптотичний аналіз; в роботі виведення рівнянь руху маніпулятора; в статті аналіз рівнянь руху за допомогою методу гармонічного балансу; в статті виведення рівнянь руху системи із урахуванням нелінійної кривизни та нелінійної інерційності, а також чисельний аналіз коливань; в роботах розробка моделі нелінійних коливань; в роботах чисельні розрахунки нелінійних коливань; в роботах аналіз коливань за допомогою аналітичних та чисельних методів; в роботах урахування депланації в моделі коливань та аналіз коливань за допомогою аналітичних методів.

Апробація результатів дисертації. Основні положення та результати дисертаційної роботи обговорювались та були схвалені на наукових конференціях, симпозіумах та наукових школах: 6-а Всеукраїнська студентська наукова конференція з прикладної математики та інформатики, Львів, 2003; Конференція MicroCad, Харків, 2004, 2005, 2006; Dynamical Systems modeling and stability investigations, Київ, 2005; 11-а Міжнародна наукова конференція ім. ак. М. Кравчука, Київ, 2006; Rvachev Conference - Актуальні проблеми прикладної математики і механіки, Харків, 2006; 14-а Міжнародна наукова конференція вчених України, Білорусі, Росії, Севастополь, 2006; V Міжвузівська науково-практична конференція “Можливості використання методів механіки для розв'язання питань безпеки в умовах надзвичайних ситуацій”, Харків, 2006; 9^th Conference on dynamical systems theory and applications, Јуdџ, Poland, 2007; The Second International Conference NONLINEAR DYNAMICS, Харків, 2007; Третя міжнародна науково-технічна конференція «Проблеми динаміки та міцності в газотурбобудуванні», Київ, 2007.

Публікації. За результатами проведених у дисертаційній роботі досліджень здобувачем опубліковано 19 наукових праць, з них 7 статей, опублікованих в наукових журналах і збірниках з переліку фахових видань ВАК України; 12 тез і доповідей, опублікованих в збірниках праць наукових конференцій.

Структура та обсяг дисертацій. Дисертаційна робота складається зі вступу, п'яти розділів, висновків, списку використаних літературних джерел із 143 найменувань та двох додатків. Робота містить 147 сторінок, включаючи 37 рисунків та 3 таблиці.

2. Основний зміст роботи

У вступі обґрунтована актуальність теми дисертації, сформульовані мета й основні задачі досліджень, висвітлені наукова новизна, теоретичне і практичне значення одержаних результатів, наведені відомості про публікації, особистий внесок автора, ступінь апробації роботи.

У першому розділі наведено огляд досліджень за темою дисертації.

Більшість технічних систем описується нелінійними моделями. Коливання нелінійних систем досліджували І.І. Блехман, М.М. Боголюбов, В.В. Болотін, А.С. Вольмир, Є.Г. Голоскоков, В.І. Гуляєв, В.Ф. Журавльов, В.М. Карабан, В.О. Кононенко, Н.М. Крилов, В.Д. Кубенко, І.Г. Малкин, А.І. Маневич, А.А. Мартинюк, Ю.А. Митропольський, Ю.В. Міхлін, А.П. Філіппов, Т. Хаясі, P. Holmes, A.H. Nayfeh. Нелінійні нормальні форми коливань застосовувались для дослідження коливань деформівних систем в роботах К.В. Аврамова, А. Вакакіса, Л.І. Маневича, Ю.В. Міхліна, К. П'єра, Р. Розенберга, С. Шоу. Для вирішення задач теорії нелінійних коливань в основному застосовується поєднання аналітичних і чисельних методів. Серед аналітичних методів досить значними є методи збурювань і метод Крилова-Боголюбова. Застосування асимптотичних методів детально описано в роботах Н.Н. Боголюбова, В.О. Кононенка, Н.М. Крилова, В.Д. Кубенка, І.Г. Малкина, Ю.А. Митропольського, Ю.В. Міхліна, А.Х. Найфе, А. Пуанкаре.

Велика кількість елементів аерокосмічної техніки, машинобудування, приладобудування моделюється стержневими системами. Нелінійні коливання стержнів досліджено в роботах К.В. Аврамова, В.В. Болотіна, Ю.С. Воробйова, В.І. Гуляєва, В.А. Светлицького, Ю.М. Теміса, С.П. Тимошенка, А.П. Філіппова, Б.Ф. Шорра, М.Г. Шульженка, Д.А. Евенсена, M.R.M. Crespo da Silva. Стержні, що обертаються, є розрахунковими схемами лопатей вертольотів, маніпуляторів, робочих лопаток парових та газових турбін, лопатей повітряних гвинтів. В процесі експлуатації такі стержневі конструкції здійснюють коливання з помірними амплітудами, що може призвести до утомних поломок. Експериментальні дані свідчать, що в процесі руху подобні системи можуть здійснювати геометрично нелінійні коливання. Дослідження коливань цих систем ускладнюється тим, що стержні мають несиметричні поперечні перерізі. Внаслідок цього центр тяжіння та центр згину поперечного перерізу не співпадають. Такі явища в стержневих конструкціях досліджували Ю.С. Воробйов, К. П'єр, А.П. Філіппов, Б.Ф. Шорр, М.Г. Шульженко, E.H. Dowell, D.H. Hodges.

Створення ефективних засобів гасіння вібрацій є важливою проблемою прикладної теорії механічних коливань. Особливо великого значення набувають питання гасіння коливань в літальних апаратах, автомобілях, морських судах. Оскільки інтенсивність вібрацій звичайно зростає зі збільшенням швидкості руху, розвиток транспортних засобів приводить до необхідності розвитку методів гасіння коливань. Пасивні засоби гасіння коливань розглянуто в роботах В.М. Карабана, Ю.В. Міхліна, Л.І. Штейнольфа. Активні методи гасіння коливань розвивались в роботах В.Є. Бербюка, Н.Н. Болотника, А.А. Гукасяна, М.З. Коловського, Н.Н. Рогова, D.H. Van Campen, S. Natsiavas, A.H. Nayfeh.

На підставі проведеного аналізу літературних джерел можна зробити такі висновки. Згинно-згинно-крутильні коливання стержнів в геометрично нелінійній постановці із урахуванням депланації поперечних перерізів не вивчені. Для дослідження нелінійних дискретних динамічних систем з великою кількістю ступенів свободи не існує ефективного напіваналітичного методу аналізу. Такий метод може бути розроблений на основі сумісного застосування методу нелінійних нормальних форм Шоу-П'єра і методу багатьох масштабів. Коливання стріли маніпулятора з помірними амплітудами в геометрично нелінійній постановці не вивчені. Практично не розроблені напівактивні методи гасіння коливань. У другому розділі виводяться рівняння нелінійних згинно-згинно-крутильних коливань стержнів довільного поперечного перерізу із урахуванням їх депланації. Центр тяжіння поперечних перерізів О і центр згину знаходяться в різних точках. Передбачається, що крутіння поперечного перерізу стержня на кут здійснюється навкруги центра згину . Використовуючи принцип Остроградського-Гамільтона, отримано систему нелінійних диференціальних рівнянь в частинних похідних, яка описує коливання закрученого стержня:

Для дискретизації інтегро-диференціальних рівнянь в частинних похідних (1) застосовується метод Бубнова-Гальоркіна. Згинно-згинно-крутильні коливання стержня розкладаються в ряд по базисних функціях. Розкладення набуває такого вигляду:

, (2)

де - узагальнені координати; - базисні функції, що отримано із точного розв'язку рівнянь лінійних згинних коливань стержня постійного поперечного перерізу, передбачаючи, що центри тяжіння та згину знаходяться в різних точках. Наведене розкладення враховує 16 базисних функцій. Система 16 диференціальних рівнянь коливань приймає наступний вигляд:

(3)

Третій розділ роботи присвячено дослідженню нелінійних коливань стержневих систем, що описують динаміку технічних систем. Розглянуто модель маніпулятора. Отримано рівняння нелінійних коливань стріли маніпулятора як гнучкого стержня, що здійснює просторові коливання, із урахуванням умови нерозтягнення нейтральної лінії. Ці рівняння мають такий вигляд:

Далі досліджуються вільні коливання системи в області першого основного резонансу. Оскільки власні частоти лінійних коливань різняться суттєво, то коливання консольного стержня в двох площинах подаються першою формою коливань. Тоді коливання стержня запишемо так:

Рівняння в частинних похідних дискретизуються за допомогою процедури Бубнова-Гальоркіна. В результаті отримуємо систему звичайних диференціальних рівнянь, яка набуває такого вигляду:

Для аналізу системи використовується метод багатьох масштабів. Модуляційні рівняння мають такий вигляд:

Нерухомі точки модуляційних рівнянь описують періодичні коливання системи. Із аналізу нерухомих точок модуляційних рівнянь отримано скелетні криві вільних коливань, які є жорсткими. Це пов'язано з тим, що нелінійні співвідношення для кривизни роблять більший внесок в модель коливань у порівнянні з нелінійною інерційністю. В роботі розглянуто нелінійні коливання ствола танкової гармати, який здійснює нелінійні коливання. При моделюванні коливань враховувались нелінійні співвідношення для кривизни і нелінійна інерційність. В моделі враховувалась система керування, призначена для наведення і стабілізації гармати. У другому розділі було виведено рівняння руху закрученого стержня з помірними амплітудами із урахуванням депланації поперечного перерізу. Ці рівняння можуть бути використані для дослідження коливань лопатей вертольота і лопаток турбомашин. Поперечний переріз лопаті належить до стандартного профілю NACA 0012. У четвертому розділі досліджуються нелінійні згинно-згинно-крутильні коливання лопаті вертольота з використанням поєднання нелінійних нормальних форм і методу багатьох масштабів. Система (3) подається відносно нормальних координат її лінійної частини:

,

Нелінійні нормальні форми Шоу-П'єра є різноманіттями у фазовому просторі. Якщо початкова точка належить такій поверхні, то траєкторія весь час буде залишатись на цій поверхні. Дуже важливою властивістю цієї поверхні є те, що вільні коливання нелінійних систем належать цим поверхням.

Ця поверхня визначається функціями:

;

Ціле число k задає номер досліджуваної форми коливань. Подамо функції у вигляді рядів Тейлора:

;

Невідомі коефіцієнти рядів визначаються із системи лінійних алгебраїчних рівнянь. Рух на нелінійній нормальній формі описується динамічною системою з одним ступенем свободи, яка отримується в результаті проектування системи на зазначене вище різноманіття. Це проектування здійснюється так.

Вибирається k-те рівняння, і в це рівняння вводиться отримана нелінійна нормальна форма. Тоді в результаті одержимо:

Це рівняння можна подати так:

Малий параметр вказує на загальний внесок нелінійних доданків в рівняння коливань. Для розв'язання цього рівняння застосовується метод багатьох масштабів. Зображено перші три скелетні криві вільних коливань. Суцільною лінією показано скелетні криві коливань без урахування депланації, а пунктирними лініями - з урахуванням. Характер перших двох скелетних кривих не змінюється з урахуванням депланації. Перша скелетна крива є м'якою, а друга - жорсткою. Третя скелетна крива при урахуванні депланації показує м'яку поведінку, а без урахування депланації - жорстку.

Якщо скелетна крива є м'якою, то в коливання пружної системи більший внесок робить нелінійна інерційність, а якщо скелетна крива є жорсткою, то в коливання більший внесок робить геометрична нелінійність конструкції. Звернемо увагу на третю скелетну криву. Урахування депланації приводить до превалюючого внеску нелінійної інерційності в коливання, а без урахування депланації в коливаннях стержня переважає геометрична нелінійність. Скелетні криві отримано для Щ=72. При нульовій швидкості обертання стержня перша скелетна крива є жорсткою. Відзначимо, що при Щ=72 крива була м'якою. Зображена третя скелетна крива. Завдяки урахуванню депланації поперечного перерізу характер скелетних кривих змінюється. При Щ=0 таке явище спостерігається для четвертої скелетної кривої. У п'ятому розділі досліджуються засоби гасіння коливань стержневих конструкцій. Розглянемо гасіння вимушених коливань стержнів за допомогою ферми Мізеса, яка кріпиться до стержня. Основною системою є стержень, і його коливання потрібно загасити. Для цього до системи кріпиться суттєво нелінійний гаситель з трьома положеннями статичної рівноваги - ферма Мізеса. Оскільки коливання балки по першій формі гасяться, то динаміку стержня можна описати дискретною системою з одним ступенем свободи. В результаті отримуємо систему з двома ступенями свободи. Рівняння руху системи мають такий вигляд:

Будемо шукати рухи, коли основна маса здійснює коливання з малими амплітудами, а ферма Мізеса проклацує між трьома положеннями статичної рівноваги. Коливання (13) подамо у вигляді моногармонічного наближення:

Дослідимо коливання біля першої власної частоти стержня, оскільки цей режим є небезпечним. Отримана амплітудно-частотна характеристика. По осі абсцис відкладається параметр розладу , який визначається зі співвідношення . Суцільною лінією показано стійкі коливання, а пунктирною - нестійкі. Таким чином, знайдено режим віброгасіння, коли енергія коливань основної маси переходить в ферму Мізеса. Такі рухи є стійкими. Розглянемо можливість гасіння згинних коливань стержня за допомогою ще одного суттєво нелінійного гасителя, який складається з дискретного осцилятора з нелінійною якірною пружиною. Відзначимо, що конструктивною вимогою до гасителя коливань є малість його маси та жорсткості в порівнянні з такими ж параметрами основної підсистеми. Наша задача - погасити першу форму вільних коливань стержня. Для вирішення цієї задачі коливання стержня достатньо апроксимувати по першій формі. У цьому випадку динаміка стержня може бути описана дискретною системою з одним ступенем свободи. Тоді коливання системи описуються дискретною моделлю. Рівняння руху системи мають такий вигляд:

Динамічну систему дослідимо методом нормальних коливань. Будемо визначати локалізовану і нелокалізовану форми нормальних коливань. Для локалізованої форми характерні малі значення координати y, що описує коливання основної системи. Як видно з цих рисунків, для локалізованої форми характерні малі коливання основної маси і достатньо значні коливання гасителя. В цьому режимі здійснюється перехід енергії із основної маси в гаситель. Такий режим коливань є сприятливим для гасіння. З результатів чисельних розрахунків робимо висновок, що локалізована форма коливань є стійкою.

У зв'язку з інтенсивним розвитком техніки все більше значення набувають активні засоби гасіння коливань, які знижують небезпечні вібрації за допомогою систем керування приводами і компенсаторами. Активні системи вважаються більш ефективними, ніж пасивні системи, проте застосування активних систем обмежується їх високою вартістю. Далі пропонується напівактивний засіб гасіння коливань, який полягає в такому. До стержня, коливання якого треба загасити, прикріплюється суттєво нелінійний механічний гаситель коливань зі зворотним зв'язком. До основної підсистеми балки кріпиться нелінійний гаситель маси ; його пружина має жорсткість с, а коефіцієнт лінійного демпфування . Маса гасителя пропонується суттєво меншою маси основної підсистеми. Стержень і гаситель охоплюються ланцюгом нелінійного зворотного зв'язку. На кінці стержня встановлюється датчик, який видає сигнал, пропорційний відхиленню об'єкта від положення рівноваги, на виконуючий механізм. Виконуючий механізм переміщує масу на відповідну відстань, тим самим компенсуючи відхилення. Рівняння руху системи зі зворотним зв'язком мають такий вигляд:

Для дослідження коливань цієї системи було застосовано метод гармонічного балансу. Показано АЧХ системи з гасителем і без нього. АЧХ без гасителя відповідає піку біля . Суцільними лініями зображено стійкі коливання, пунктирними лініями - нестійкі. Із аналізу АЧХ випливає, що в присутності гасителя основний резонанс суттєво зрушується, більш того, він стає нестійким. В системі існує режим гасіння, при якому гаситель здійснює коливання з великою амплітудою, а основна система практично не коливається. Тепер розглянемо ще один тип гасителя, в якому зворотний зв'язок здійснюється по координатах. Тоді рівняння руху системи будуть мати такий вигляд:

Висновки

В результаті проведеного дослідження вирішена задача аналізу геометрично нелінійних просторових коливань стержневих систем із урахуванням неспівпадання центрів тяжіння та жорсткості поперечного перерізу. Основні наукові та практичні результати роботи полягають в такому.

1. Отримано нелінійні рівняння в частинних похідних згинно-крутильних коливань стержня із урахуванням депланації поперечного перерізу. При виведенні цих рівнянь передбачалось, що центри тяжіння і згину знаходяться в різних точках.

2. За допомогою методу Бубнова-Гальоркіна отримано нелінійну дискретну модель великої розмірності коливань закручених стержнів із урахуванням функції крутіння стержня, яка визначає депланацію поперечного перерізу.

3. Розроблено метод дослідження коливань систем великої розмірності, який поєднує нелінійні нормальні форми Шоу-П'єра і метод багатьох масштабів.

4. Досліджено скелетні криві коливань лопаті вертольота і поверхні нелінійних нормальних форм. Якщо скелетна крива є м'якою, то в коливання пружної системи більший внесок робить нелінійна інерційність, а якщо скелетна крива є жорсткою, то в коливання більший внесок робить геометрична нелінійність конструкції. Урахування депланації приводить до превалюючого вкладу нелінійної інерційності в коливання.

5. Отримано рівняння нелінійних просторових коливань руки маніпулятора при урахуванні умови нерозтягнення нейтральної лінії. Скелетні криві вільних коливань є жорсткими. Урахування нерозтягнення нейтральної лінії стержня приводить до нелінійної інерційності в моделях коливань.

6. Побудовано нелінійну модель коливань ствола танкової гармати із урахуванням системи наведення гармати на ціль, яка враховує нелінійну інерційність і нелінійну кривизну. Нелінійна інерційність робить більший внесок в коливання в порівнянні з нелінійною кривизною.

7. Досліджено можливість гасіння коливань основної лінійної підсистеми за допомогою ферми Мізеса. Для аналізу рухів пропонується використати поєднання методу гармонічного балансу і асимптотичної процедури. В роботі розглянено два види рухів в нелінійній системі, які реалізують ефективне гасіння коливань.

8. Розглянуто можливість гасіння вільних згинних коливань стержня за допомогою суттєво нелінійного гасителя. Для розрахунку рухів, які реалізують ефективне гасіння, застосовується метод нелінійних нормальних форм коливань. Показано, що в режимі гасіння основна маса здійснює коливання з малими амплітудами, а гаситель має великі амплітуди коливань.

9. Запропоновано ефективний метод напівактивного гасіння коливань. В цьому випадку в систему вводиться додаткова маса з одним ступенем свободи, яка охоплюється зворотним зв'язком. Рівняння руху системи досліджувались за допомогою методу гармонічного балансу і методу продовження розв'язку по параметру.

Опубліковані праці за темою дисертації

1. Аврамов К.В., Галас О.С., Пьер К. Модель геометрически нелинейных изгибно-изгибно-крутильных колебаний вращающихся стержней с учетом депланации поперечного сечения // Проблемы машиностроения. - 2007. - № 2. - С. 48-54.

2. Галас О.С., Аврамов К.В. Метод активного гасіння коливань стрижнів // Машинознавство. - 2006. - № 4. - С. 30-32.

3. Галас О.С., Аврамов К.В. К активному гашению колебаний упругих систем // Вестник НТУ “ХПИ”. - 2006. - 21. - С. 49-55.

4. Галас О.С., Аврамов К.В. Просторові нелінійні коливання гнучкого стрижня // Машинознавство. - 2006. - № 3 (105). - С. 28-32.

5. Галас О.С., Аврамов К.В. Уравнения колебаний манипулятора // Механіка та машинобудування. - 2005. - № 1. - С. 13-18.

6. Решетникова С.Н., Галас О.С. Анализ вынужденных колебаний системы с двумя степенями свободы, содержащей существенно нелинейный виброгаситель // Вестник НТУ “ХПИ”. 2003. 12. С. 103-110.

7. Галас О.С., Аврамов К.В. Нелинейные упругие колебания ствола танковой пушки // Механіка та машинобудування. - 2004. - № 2. - С. 21-26.

8. Галас О.С. Дослідження динаміки пружної системи, що містить істотно нелінійний гаситель, з використанням теорії нелінійних нормальних коливань // 6-а всеукраїнська студентська наукова конференція з прикладної математики та інформатики. Тези доп. -2003, 17-18 квітня, ЛНУ, Львів. С. 123-124.

9. Галас О.С. Нелинейные упругие колебания ствола танковой пушки // Анотації доп. конф. MicroCad, травень 2004. - Харків, НТУХПІ. - С. 59.

10. Галас О.С., Решетникова С.Н., Аврамов К.В. Нелинейные колебания гибких стержней и методы их гашения // Анотації доп. конф. DSMSI. - 2005, травень, КНУ, Київ. - С. 262.

11. Аврамов К.В., Михлин Ю.В., Пьер К., Галас О.С., Ширяева Н.В., Бреславский И.Д. Совместное применение теории нелинейных нормальных форм колебаний и асимптотических методов для моделирования механических систем // 11-а міжнар. наук. конф. ім. ак. М. Кравчука, Київ, 18-20 травня, 2006, анотації доп. - С. 15.

12. Avramov K.V., Pierre C., Shyriaieva N., Galas O. Flexural-flexural-torsional nonlinear oscillations of pre-twisted rotating beams with asymmetrical cross section // Тези доп. міжнар. конф. “Актуальні проблеми прикладної математики та механіки”. Харків, 2006. - С. 130.

13. Аврамов К.В., Ширяева Н.В., Галас О.С. Изгибно-изгибно-крутильные колебания закрученных вращающихся стержней переменного поперечного сечения // Матеріали 14-ї міжнар. наук. конф. вчених України, Білорусі, Росії, м. Севастополь, 11-15 вересня 2006р. - С. 67-70.

14. Аврамов К.В., Ширяева Н.В., Галас О.С. Модели изгибно-изгибно-крутильных колебаний лопастей вертолетов в аварийных ситуациях // V міжвуз. наук.-практ. конф. “Можливості використання методів механіки для розв'язання питань безпеки в умовах надзвичайних ситуацій”, Харків. - 2006. - С. 10-11.

15. Avramov K., Pierre C., Morachkovski O., Shyriaieva N., Galas O. Nonlinear oscillations of pre-twisted rotating beams with asymmetrical cross section // 9^th Conf. on Dynamical systems- Theory and Appl. Abstracts. Lodz, Poland, 2007. - Р. 56.

16. Avramov K., Pierre C., Morachkovski O., Shyriaieva N., Galas O. Nonlinear oscillations of pre-twisted rotating beams with asymmetrical cross section // 9^th Conf. on Dynamical systems - Theory and Appl. Proc. Lodz, Poland, 2007. - Р. 77-84.

17. Avramov K.V., Morachkovski O.K., Pierre C., Galas O., Shyriaieva N. Flexural-flexural-torsional nonlinear vibrations of pre-twisted rotating beams with asymmetric cross section // The Second Intern. Conf. NONLINEAR DYNAMICS, September 25-28, 2007, Book of Abstracts. - Р. 13.

18. Avramov K.V., Morachkovski O.K., Pierre C., Galas O., Shyriaieva N. Flexural-flexural-torsional nonlinear vibrations of pre-twisted rotating beams with asymmetric cross section // The Second Intern. Conf. NONLINEAR DYNAMICS, September 25-28, 2007, Proc. - Р. 17-21.

19. Avramov K., Pierre C., Morachkovski O., Shyriaieva N., Galas O. Nonlinear flexural-flexural-torsional vibrations of rotating beams // Проблеми динаміки та міцності в газотурбобудуванні. Тези доп. третьої міжнар. наук.-техн. конф. - Київ, 29-31 травня, 2007. - С. 221-223.

Размещено на Allbest.ru