Плоскі контактні задачі для тіл з узгодженими поверхнями з урахуванням зчеплення та фрикційного проковзування

Размещено на http://www.allbest.ru/

Національна академія наук України

Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача

01.02.04 - Механіка деформівного твердого тіла

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук

Плоскі контактні задачі для тіл з узгодженими поверхнями з урахуванням зчеплення та фрикційного проковзування

Маланчук Наталія Іванівна

Львів - 2008



Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Інституті прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України.

Науковий керівник:

доктор фізико-математичних наук,старший науковий співробітник Мартиняк Ростислав Михайлович, Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України, провідний науковий співробітник.

Офіційні опоненти:

доктор фізико-математичних наук, професор Лобода Володимир Васильович, Дніпропетровський національний університет, завідувач кафедри теоретичної і прикладної механіки;

доктор фізико-математичних наук, професор Саврук Михайло Петрович, Фізико-механічний інститут ім. Г.В. Карпенка НАН України, завідувач відділу механіки композиційних матеріалів.

З дисертацією можна ознайомитися у бібліотеці Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України (79060, м. Львів, вул. Наукова, 3-б).

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради, доктор фізико-математичних наук Максимук О.В.



загальна характеристика роботи

Актуальність теми. Сили тертя, що виникають на поверхнях спряження елементів конструкцій, вузлів машин та компонентів природних структур, можуть істотно впливати на їх напружено-деформований стан та контактну поведінку. Тому контактні задачі теорії пружності за наявності тертя є важливим розділом механіки деформівного твердого тіла і формують теоретичну основу для розрахунків на контактну міцність, жорсткість та зносостійкість рухомих і нерухомих з'єднань.

В науковій літературі контакт тіл з урахуванням сил тертя називають фрикційним та розрізняють два його видиДжонсон К. Механика контактного взаимодействия. - М.: Мир, 1989. - 510 с.:

· ковзний контакт, за якого у всій області контакту дотичні зусилля, що зумовлені силами тертя, і контактний тиск зв'язані законом Кулона-Амонтона;

· контакт з частковим зчепленням, за якого область контакту розділяється на зону зчеплення та зону фрикційного проковзування, де виникає кулонівське тертя.

Контактні задачі теорії пружності у другому випадку є значно складніші, оскільки в цьому разі заздалегідь невідомими є область контакту, ділянки зчеплення і ділянки проковзування.

На сьогодні значного прогресу досягнуто в галузі дослідження контакту з частковим зчепленням тіл з неузгодженими поверхнями (за термінологією К. Джонсона¹). Для таких тіл властивий локальний контакт, область якого значно менша, ніж їх розміри. Водночас, відомі лише окремі публікації, що вивчають часткове зчеплення і проковзування тіл з узгодженими поверхнями, коли область безпосереднього контакту цілком охоплює ці поверхні або співмірна з ними.

Прикладні потреби природознавства, сучасної техніки і новітніх технологій, пов'язані із необхідністю прогнозування контактної поведінки широко розповсюджених у живій природі та різноманітних конструкціях структур з узгодженими поверхнями, стимулювали розвиток в останні десятиліття математичних моделей і методів контактної механіки тіл узгодженої форми. Найвагоміші результати в цьому напрямі отримано під час вивчення гладкого і фрикційного ковзного контакту тіл, поверхні яких є плоскими, циліндричними або мають малі відхилення від них. Саме ці дослідження створюють передумови для системного вивчення взаємодії тіл з узгодженими поверхнями за зчеплення і проковзування. Ця важлива з погляду інженерних застосувань проблема визріла для розв'язання методами механіки твердого деформівного тіла.

Дисертаційна робота присвячена розробленню методики дослідження пружної взаємодії півнескінченних тіл з узгодженими поверхнями з урахуванням фрикційного проковзування в околі поверхневих виїмок, відшарувань, ділянок з контактним термоопором і пониженим коефіцієнтом тертя в умовах плоскої деформації та вивченню на цій основі особливостей впливу локального проковзування на контактну поведінку таких тіл за дії розподілених і зосереджених силових чинників та теплового потоку. Сформульоване завдання є актуальним для контактної механіки і відображає прикладні запити машинобудування, трибології, геофізики, будівельної індустрії, біомеханіки, тощо.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами і темами. Дослідження за темою дисертації виконувались в межах держбюджетних наукових тем ІППММ ім. Я.С. Підстригача НАН України за відомчими замовленнями НАН України: “Дослідження механотермодифузійної взаємодії тіл з урахуванням міжконтактного середовища та поверхневих і міжфазних неоднорідностей” (№ держреєстрації 0102U005096, 2002-2006 рр.), “Розвиток математичних методів контактної механіки складених тіл із геометричними і фізичними неоднорідностями границь за дії термодифузійних процесів та їх застосування в біомеханіці тканин” (№ держреєстрації 0106U006856, 2006-2010 рр.) та гранту НАН України для молодих вчених “Дослідження напружено-деформованого стану тіл з внутрішніми і поверхневими дефектами, зумовленого статичними навантаженнями та хвильовими полями” (№ держреєстрації 0105U005587, 2005-2006 рр.).

Метою дисертації є дослідження особливостей контактної взаємодії тіл з узгодженими поверхнями, що супроводжується локальним фрикційним проковзуванням в околі поверхневих виїмок, відшарувань, зон з пониженим коефіцієнтом тертя та контактним термоопором за умов плоскої деформації при механічному та тепловому навантаженні. Досягнення цієї мети передбачає:

математичне моделювання взаємодії тіл з узгодженими поверхнями з урахуванням зчеплення і локального фрикційного проковзування в околі ділянок зі змінними поверхневими й контактними параметрами за повного і неповного контакту меж тіл;

зведення сформульованих контактних задач теорії пружності й термопружності про локальне проковзування півнескінченних тіл під впливом силових чинників і теплового потоку до систем сингулярних інтегральних рівнянь;

побудову розв'язків низки нових контактних задач для узгоджених поверхонь за розвитку ділянок проковзування, зумовленого локальними контактно-поверхневими неоднорідностями та прикладеним навантаженням;

виявлення на цій основі закономірностей впливу локального фрикційного проковзування на контактну поведінку тіл з узгодженими поверхнями за механічного і термічного навантаження.

Об'єктом дослідження є контактна взаємодія пружних ізотропних тіл з узгодженими поверхнями.

Предметом дослідження є пружний та термопружний контакт півбезмежних тіл з узгодженими поверхнями з урахуванням зчеплення та фрикційного проковзування в околі ділянок зі змінними геометричними і контактними параметрами за плоскої деформації.

Методи досліджень. Для досягнення сформульованої мети розвинуто методику розв'язання поставлених в роботі задач, що полягає у їх зведенні, з використанням методу комплексних потенціалів і теорії функцій комплексної змінної, до систем сингулярних інтегральних рівнянь. Для побудови аналітичних і аналітико-числових розв'язків цих рівнянь застосовано формули обернення сингулярних інтегральних рівнянь та кусково-лінійну апроксимацію їх правих частин. При числовому їх розв'язанні використано подання шуканих функцій рядами за ортогональними многочленами Чебишева та метод колокацій.

Наукова новизна роботи полягає в постановці задач пружної взаємодії тіл з узгодженими поверхнями за локального фрикційного проковзування в умовах плоскої деформації, запропонованій методиці їх розв'язання та отриманих результатах. В роботі

сформульовано нові плоскі контактні задачі теорії пружності й термопружності для тіл з узгодженими поверхнями з урахуванням зчеплення та фрикційного проковзування за законом Кулона-Амонтона в околі ділянок зі змінними контактно-поверхневими параметрами;

запропоновано методику розв'язання цих задач, що базується на:

- комплексному поданні напружень, переміщень та температури в тілах через функції висоти міжповерхневого просвіту, відносного зсуву спряжених поверхонь в межах зазору і ділянок проковзування, перепаду температури між берегами просвіту;

- зведенні задач до систем сингулярних інтегральних рівнянь відносно цих функцій;

- формулюванні умов для визначення меж зазору та ділянок проковзування;

побудовано аналітичні та аналітико-числові розв'язки нових контактних задач теорії пружності й термопружності про фрикційне проковзування тіл в області поверхневих виїмок, відшарувань, ділянок з пониженим коефіцієнтом тертя та змінним контактним термоопором при повному і неповному контакті поверхонь за дії силових і теплових навантажень;

вивчено закономірності еволюції ділянок проковзування в процесі навантаження та особливості їх впливу на контактні напруження і відносний зсув поверхонь для різних видів поверхневих і контактних неоднорідностей.

Практичне значення отриманих результатів. Отримані у роботі результати дають змогу прогнозувати вплив зчеплення і проковзування на контактну поведінку природних, технічних і біологічних структур з номінально плоскими узгодженими поверхнями зі змінними контактними параметрами і мають перспективу застосування в геофізиці, біомеханіці, енергетиці, трибології, машинобудуванні та будівельній індустрії для оцінювання контактної жорсткості, міцності, герметичності та зношування вузлів і з'єднань, що функціонують в умовах механічного та теплового навантаження. Окремі теоретичні і прикладні положення дисертації використано під час виконання держбюджетних тем і теми з Цільової наукової програми НАН України.

Вірогідність отриманих результатів та висновків роботи забезпечується використанням положень лінійної теорії пружності, теплопровідності та термопружності; строгістю та коректністю математичного формулювання контактно-крайових задач; використанням апробованих аналітичних і числових методів; узгодженням часткових результатів із відомими в літературі.

Публікації та особистий внесок здобувача. За темою дисертації опубліковано 17 наукових праць, у тому числі 7 статей [1-7] у фахових журналах і збірниках з переліку ВАК України. Основні результати дисертаційної роботи отримано здобувачем самостійно. Науковому керівнику Мартиняку Р.М. належить визначення тематики досліджень про локальне проковзування тіл з узгодженими поверхнями, ідеї щодо постановки та розв'язання задач, участь у обговоренні результатів. У працях, написаних у співавторстві, дисертант брала участь у постановці задач, розробці методики розв'язання та інтерпретації результатів. Зокрема, у роботах [1-5, 7, 8, 10-12, 16, 17] автор звела контактні задачі до систем сингулярних інтегральних рівнянь, реалізувала аналітичні або аналітико-числові методи їх розв'язання, розробила числові алгоритми і провела числовий аналіз залежності контактних параметрів від вхідних даних задач, здійснила їх графічну візуалізацію. У праці [15] дисертанту належать результати, що стосуються локального проковзування від зосередженої сили. Результати робіт [6, 9, 13, 14] отримані автором самостійно.

Апробація результатів. Результати досліджень за темою дисертації доповідались і обговорювались на 10-тій та 11-тій Міжнародних наукових конференціях імені академіка М. Кравчука (Київ, 2004, 2006), Конференції молодих учених із сучасних проблем механіки і математики імені академіка Я.С. Підстригача (Львів, 2004, 2005), 4-тій Міжнародній науковій конференції „Актуальні проблеми механіки деформівного твердого тіла” (Донецьк, 2006), Міжнародній науковій конференції „Математичні проблеми механіки неоднорідних структур” (Львів, 2006), Всеукраїнській науковій конференції молодих вчених і студентів з диференціальних рівнянь та їх застосувань (Донецьк, 2006), 7-му Міжнародному конгресі з термічних напружень “Thermal Stresses'2007” (Taipei, Taiwan, 2007), 8-му Міжнародному симпозіумі українських інженерів-механіків у Львові МСУІМЛ-8 (Львів, 2007), Міжнародній науково-технічній конференції „Актуальні проблеми механіки суцільного середовища і міцності конструкцій” (Дніпропетровськ, 2007).

Дисертація у повному обсязі доповідалась в Інституті прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України на трьох семінарах: семінарі „Контактна механіка” відділу математичних методів механіки руйнування і контактних явищ, об'єднаному семінарі відділу математичних методів механіки руйнування і контактних явищ та відділу механіки тонкостінних елементів конструкцій, загальноінститутському семінарі „Математичні проблеми механіки руйнування та поверхневих явищ”; на науковому семінарі кафедри теоретичної і прикладної механіки Дніпропетровського національного університету, семінарі відділу механіки композиційних матеріалів Фізико-механічного інституту ім. Г.В. Карпенка НАН України та семінарі Центру математичного моделювання Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я.С. Підстригача НАН України.

Структура роботи. Дисертація складається зі вступу, шести розділів, які містять 62 рисунки, висновків та списку літератури, що налічує 207 найменувань. Загальний обсяг роботи складає 158 сторінок.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обґрунтовано актуальність теми дисертаційної роботи та її зв'язок із науковою тематикою установи, в якій працює автор; сформульовано мету та задачі досліджень; охарактеризовано новизну, вірогідність та практичну значимість отриманих результатів; наведено дані про їх апробацію; вказано кількість публікацій за темою дисертації та особистий внесок здобувача; викладено короткий зміст роботи.

У першому розділі наведено огляд наукових праць, в яких вивчаються питання, близькі за напрямком до теми дисертації; висвітлено стан проблеми дослідження контактної взаємодії пружних тіл з неузгодженими та узгодженими поверхнями з урахуванням зчеплення, проковзування і тертя; вказано місце роботи серед сучасних досліджень, що проводяться з даної проблематики.

У другому розділі здійснено гранично-інтегральне формулювання плоских контактних задач про локальне фрикційне проковзування півпросторів в межах поверхневих неоднорідностей за неповного та повного контакту поверхонь, записано умови для знаходження розмірів міжповерхневого зазору та ділянок проковзування.

Розглядається контактна взаємодія в умовах плоскої деформації двох пружних півнескінченних ізотропних тіл, матеріали яких однакові. Межа верхнього тіла плоска, а межа нижнього вздовж смуги шириною 2b має плитку, пологу, гладку (без кутових точок) циліндричну виїмку, форму якої описує парна, неперервно-диференційована, монотонно зростаюча при 0 ? x ? b функція y = r(x), така що r(x)/(2b) << 1, r'(x) << 1, r(±b) = r'(±b) = 0. Зовні смуги |x| < b поверхня нижнього тіла плоска. В межах виїмки коефіцієнт кулонівського тертя тіл f_K - змінний, залежний від координати x і заданий додатною функцією

f_K(x) = f + f₁(x),

де f = const > 0, f₁(x) - неперервно-диференційована, парна функція, що досягає свого мінімуму в центрі виїмки, а на її краях рівна нулеві (f₁(±b) = 0). Поза виїмкою коефіцієнт тертя сталий (f_K(x) = f, |x| ? b). Зважаючи на плоску деформацію тіл, розглядатимемо контакт двох півплощин D₁ і D₂, що є перетинами нижнього та верхнього півпростору площиною Oxy, яка перпендикулярна до твірної виїмки. Коли ненавантажені півплощини торкаються, між ними вздовж виїмки буде початковий зазор (просвіт) висоти |r(x)|.

Спершу вони притискаються одне до одного прикладеними на нескінченності рівномірно розподіленими монотонно зростаючими нормальними зусиллями інтенсивності P. Внаслідок гладкості виїмки довжина і висота міжконтактного зазору монотонно зменшуватимуться. На цьому етапі навантаження дотичні переміщення меж тіл однакові, а на поверхні контакту не виникають дотичні напруження. Це зумовлено ідентичністю матеріалів півпросторів. Тому контактні напруження є такими ж, як і при безфрикційній взаємодії півплощин з виїмками. Далі нормальне навантаження залишається сталим, а до тіл на нескінченності прикладаються монотонно наростаючі рівномірно розподілені зсувні зусилля S, які зумовлюють виникнення на лінії спряження ділянок проковзування, де діють сили кулонівського тертя. Завдання полягає у визначенні області зазору, ділянок проковзування та дослідженні його впливу на напружено-деформований стан і контактні параметри тіл.

Залежно від величини стискального навантаження може відбуватися або неповний контакт тіл, за якого в межах виїмки між поверхнями буде зазор невідомої довжини 2a (a < b) та висоти h(x), береги якого вільні від навантажень, або повний контакт поверхонь. Перша ситуація реалізується, коли P < P_cls, друга - коли P > P_cls, де P_cls - навантаження, за якого зазор закриється повністю (у роботі розглянуто такі виїмки, що остаточне закриття просвіту відбувається в точці x = 0 в центрі виїмки). У кожному з цих випадків при навантаженні системи зсувними зусиллями S ділянки проковзування розвиваються за різним сценарієм. Тому спочатку розглянуто локальне проковзування за неповного контакту поверхонь. У цьому разі контактний тиск P_c(x) = -у_y(x, 0) рівний нулеві в крайніх точках зазору x = ±a: P_c(±a) = 0. Тому дія зсувних зусиль S, навіть як завгодно малих, спричинить виникнення біля країв зазору ділянок фрикційного проковзування -c < x < -a та a < x < c, на яких діють сили тертя ф_xy(x, 0), що зв'язані з контактним тиском P_c(x) законом Кулона-Амонтона:

(1)

Координата ділянки проковзування - параметр c - є невідома. На зазорі та ділянках проковзування |x| < c виникає відносний зсув поверхонь тіл U(x) = u-(x,0) - u⁺(x,0). Зовні ділянок проковзування |x| ? c поверхні перебувають у зчепленні і на них дотичні напруження менші за контактний тиск, помножений на коефіцієнт тертя:

(2)



Контактно-крайові умови сформульованої задачі матимуть вигляд:

· на зазорі (y = 0, |x| ? a)

(3)

· на ділянках проковзування (y = 0, a ? |x| ? c)

(4)

· на ділянках зчеплення тіл (y = 0, |x| ? c)

(5)

Тут _y, _x, _xy - компоненти тензора напружень; u, v - компоненти вектора переміщень в напрямках осей х та у відповідно; індексами “-“, “+” позначено граничні значення функцій на лінії спряження у півплощинах D₁, D₂.

Використовуючи метод комплексних потенціалів Мусхелішвілі, напруження та переміщення в тілах D₁ і D₂, враховуючи крайові умови на нескінченності, першу та третю умову з (3), першу, другу та четверту умову з (4) та умови (5), подано через похідні від функцій висоти виїмки r(x), висоти зазору h(x) та відносного зсуву границь півплощин U(x). Зокрема, контактні нормальні та дотичні напруження виражаються через ці функції у вигляді

де K = 2(1 - ) / G, G і - модуль зсуву і коефіцієнт Пуассона матеріалів тіл.

Задовольнивши з допомогою цих подань другу і четверту умови з (3) та третю умову в (4), для визначення похідних від функцій висоти зазору h(x) та відносного зсуву меж U(x) отримаємо систему сингулярних інтегральних рівнянь (СІР)

(6)

(7)

Шукані функції повинні задовольняти умови:

а) h(a) = 0, б) h'(a) = 0, в) U(c) = 0, г) U'(c) = 0.(8)

Умови (8a) та (8в) випливають з неперервності нормальних та поздовжніх переміщень границь півплощин відповідно. Умова (8б) вказує на плавне змикання берегів зазору і забезпечує обмеженість контактного тиску. Умова (8г) забезпечує обмеженість дотичних напружень. Умови (8б) і (8г) служать для визначення параметрів a та c.

Аналізуючи систему СІР (6), (7), бачимо, що висота просвіту h(x) не залежить від зсувного навантаження S, а лише від стискальних зусиль P. Натомість, відносний зсув поверхонь U(x) залежить від обох складових зовнішнього навантаження. Цей результат зумовлений тим, що матеріали тіл однакові, і збігається з відомим результатом у випадку контакту тіл з неузгодженими поверхнями. Виходячи з цього, система СІР (6), (7) допускає поетапне розв'язання - спочатку з рівняння (6) та умов (8а), (8б) визначається висота просвіту h(x) та його довжина 2a, а потім, враховуючи їх, розв'язується рівняння (7) із урахуванням умов (8в), (8г) і визначається відносний зсув поверхонь U(x) та довжина ділянок проковзування.

За іншим сценарієм відбувається проковзування при P > P_cls, коли поверхні тіл повністю сконтактували. Тоді на другому етапі навантаження контактної пари зсувними зусиллями S тіла перебуватимуть у зчепленні, допоки виконуватиметься нерівність (2). Проковзування, згідно з умовами (1) та (2), зароджується в центрі виїмки, де контактний тиск мінімальний і рівний P_c(0) = P - P_cls, лише після досягнення зсувними зусиллями критичної величини S₀ = f_K(0) [P - P_cls]. Для зсувних зусиль S > S₀ сформульовано задачу про локальне фрикційне проковзування на ділянці x < c в межах виїмки, яку зведено до одного СІР на похідну функції відносного зсуву

(9)

Функція U(x), як і у випадку наявності зазору, задовольняє умови (8в), (8г).

Третій розділ присвячено дослідженню локального фрикційного проковзування за повного контакту тіл. Спершу розглянуто появу та розвиток ділянки проковзування в межах виїмки, коли її форма задана неперервно-диференційованою функцією

r(x) = -r₀(1 - x² / b²)^3/2, x < b, (10)

а коефіцієнт тертя є сталим вздовж всієї поверхні спряження тіл (f_K = f). Для такої виїмки навантаження повного закриття зазору і критичні зсувні зусилля рівні P_cls = 3r₀ / (2bK), S₀ = fP - 3fr₀ / (2bK). Тому вважаємо, що прикладені нормальні і зсувні навантаження задовольняють умови P > 3r₀ / (2bK) і S > fP - 3fr₀ / (2bK), за яких зазор закритий і відбувається проковзування на деякій симетричній відносно початку координат ділянці (-, c). СІР (9) такої контактної задачі про локальне проковзування набуває вигляду

Застосовуючи до нього формулу обернення сингулярного інтегрального рівняння з ядром Коші першого роду та враховуючи умову (8в), визначено відносний зсув поверхонь тіл на ділянці проковзування

З умови (8г) знайдено край ділянки проковзування:

Зображено залежність розмірів ділянки проковзування від зсувних зусиль . Горизонтальна ділянка графіка відповідає повному зчепленню тіл, коли зсувні зусилля менші за критичні (). Далі, зі збільшенням зсувних зусиль, розміри ділянки проковзування монотонно зростають. При досягненні ж зсувними зусиллями рівня нормальних, помножених на коефіцієнт тертя (), край ділянки проковзування сягає краю виїмки і відбуватиметься глобальне проковзування по всій поверхні (вертикальна ділянка графіка), оскільки в цьому разі, як показав аналіз контактних напружень, умова (1) виконуватиметься в кожній точці поверхні контакту. Головні нормальні напруження ₁(x, 0) за локального проковзування в межах фрикційної ділянки є розтягувальними і досягають максимуму в околі центру виїмки. Максимальні ж дотичні напруження _max(x, 0) досягають свого найбільшого і найменшого значення на ділянці проковзування поблизу правого і лівого її краю відповідно.

Досліджено особливості контактної поведінки півплощин за локального проковзування в межах виїмки, форма якої задана більш гладкою (двічі неперервно-диференційованою) функцією r(x) = -r₀(1 - x² / b²)^5/2. Виявлено, що після підростання ділянки проковзування понад певну величину дотичні напруження досягають максимального значення не на краю цієї ділянки, а у деякій фіксованій точці поблизу краю виїмки.

Далі досліджується розвиток ділянки проковзування за послідовного навантаження тіл з плоскими поверхнями (виїмка відсутня) з пониженим і локально змінним на ділянці -b < x < b коефіцієнтом тертя, який задано функцією

f_K(x) = f [(1 - A)(x / b)² + A], x < b, (11)

де 0 A < 1. Зовні цієї ділянки коефіцієнт тертя сталий (f_K(x) = f, x b) і його називатимемо фоновим коефіцієнтом тертя. Стала A рівна відношенню мінімального значення коефіцієнта тертя, яке досягається в точці x = 0 в центрі поверхневої неоднорідності, до фонового коефіцієнта тертя (A = f_K(0) / f) і характеризує максимальне пониження коефіцієнта тертя. У цьому разі при перевищенні зсувними зусиллями S критичного значення S₀ = fPA відбуватиметься проковзування поверхонь на деякій ділянці x < c. Розглянуто діапазон зміни S, за якого проковзування не поширюється за межі ділянки пониженого коефіцієнта тертя (c b). СІР такої контактної задачі отримуємо з (9), поклавши в ньому r(x) 0 і врахувавши залежність (11). Відповідно до умови (8г) знайдено обмежений розв'язок цього рівняння, з якого, враховуючи умову (8в), визначено відносний зсув поверхонь на ділянці проковзування U(x) = fPK (A - 1)(c² - x²)^3/2 / (3b³). Максимальна його величина досягається в точці x = 0, де коефіцієнт тертя мінімальний. З умови існування обмеженого розв'язку СІР, що накладається на його праву частину, визначено розмір ділянки проковзування , який залежить від сталої A та відношення зсувного зусилля до стискального, помноженого на фоновий коефіцієнт тертя S / (fP), проте не залежить від пружних сталих матеріалів. Проковзування пошириться на всю ділянку пониження коефіцієнта тертя при S = (1 + A)fP / 2.

У четвертому розділі вивчається неповний контакт тіл, одне з яких має поверхневу виїмку, за різних типів навантаження.

Спершу розглядається фрикційна взаємодія тіл за їх послідовного навантаження. Форма виїмки задана формулою (10), а коефіцієнт тертя сталий вздовж всієї поверхні: (f_K(x) = f, - < x < ). У цьому разі система СІР (6), (7) для визначення похідних функцій висоти зазору та відносного зсуву поверхонь тіл набуває вигляду

, (12)

(13)

Висота та півдовжина просвіту, що задовольняють рівняння (12) і умови (8а), (8б), мають вигляд

h(x) = r₀(a² - x²)^3/2 / b³, (14)

Для розв'язання рівняння (13) використовується числова процедура, яка полягає у його зведенні до системи алгебричних рівнянь шляхом подання шуканої функції у вигляді , (T_m(x / c) - поліноми Чебишева першого роду) та наступного задоволення рівняння (13) в точках колокації x_k = ccos(2k / (2L + 1)), k = 1,…,L. До отриманої таким чином системи долучається умова (8г), яка забезпечує обмеженість контактних дотичних напружень і використовується для визначення зв'язку між зсувним навантаженням і довжиною ділянки проковзування.

Зображено залежність координати краю ділянки проковзування від зсувних зусиль для різних стискальних зусиль (1-; 2-; 3-; 4-), яким відповідають такі півдовжини зазору: 1 - ; 2-; 3-; 4-. Для як завгодно малого значення зовнішніх зсувних зусиль біля країв зазору виникає проковзування. Зі збільшенням величини зсувного зусилля ділянка проковзування монотонно зростає і при вона пошириться на всю виїмку (). У цьому разі рівність (1) виконується вздовж всієї поверхні контакту, що свідчить про глобальне проковзування півплощин після досягнення ділянкою проковзування країв виїмки. Цей висновок разом з аналогічним результатом третього розділу для повністю закритого просвіту свідчить про коректність формулювання задачі про локальне проковзування і вірогідність отриманих результатів, оскільки апріорі відомо, що в контактній парі відбуватиметься глобальне проковзування, якщо прикладене зсувне навантаження рівне стискальному, помноженому на коефіцієнт тертя. Виявлено, що на краях ділянки проковзування контактні дотичні напруження можуть значно перевищувати задані на нескінченності дотичні напруження , що необхідно враховувати у розрахунках на міцність контактних пар з узгодженими межами. Наприклад, коли півдовжина просвіту , коефіцієнт концентрації дотичних контактних напружень для різних довжин ділянки проковзування і набуває значень N = 3 і N = 2.6 відповідно.

Далі розглянуто контакт тіл, одне з яких має поверхневу виїмку форми (10), за простого навантаження. Простим навантаженням тіл, що контактують, називають Гринченко В.Т., Улитко А.Ф. Роль истории нагружения в механике контактного взаимодействия при учете сил трения в зоне контакта // МТТ. - 2002. - №4. - С. 16-25. одночасне навантаження монотонно зростаючими нормальними і зсувними зусиллями, відношення між якими в кожен момент часу зберігається сталим. У нашому випадку до тіл на нескінченності одночасно прикладаються монотонно зростаючі стискальні P та зсувні S зусилля, між якими в кожен момент часу існує лінійна залежність S = kP (0 < k < f, f - сталий коефіцієнт тертя). За такого навантаження межі тіл в області виїмки одночасно зближуються і зсуваються одна відносно іншої на ділянці просвіту. Тому, вступаючи в контакт на нових ділянках, прилеглих до країв виїмки x = b, поверхні налягають, маючи попередній відносний зсув U(x). Він не змінюється на цих ділянках з подальшим зменшенням зазору, бо сконтактовані границі (a < x < b) перебувають у зчепленні і на них виникають дотичні напруження , які утримують їх від відносного проковзування. Попередня поздовжня деформація сконтактованих поверхонь, яка в процесі подальшого простого навантаження не змінюється, називається „защемленою” деформацією ².

Така контактна рівновага тіл на всій ділянці із „защемленою” деформацією реалізується, якщо контактні дотичні напруження залишаються обмеженими:

_xy < , a x b; (15)

і не перевищують контактного тиску, помноженого на коефіцієнт тертя:

_xy(x, 0) < f _y(x, 0), a x b (16)

Умова незмінності „защемленої” деформації меж тіл дає змогу записати відносний зсув поверхонь у вигляді U(x) = U₀(x) + U(x), де U₀(x) - відносний зсув за повного закриття зазору, а функція U(x) описує відхилення від U₀(x) відносного зсуву U(x) за наявності зазору. Задачу зведено до СІР (12) на висоту зазору та СІР на відносний зсув поверхонь тіл

(17)

Висота і довжина зазору мають вигляд (14). Враховуючи зв'язок між стискальним навантаженням і довжиною зазору P = 3r₀ (1 - a² / b²) / (2Kb) та умову простого навантаження S = kP, зсувне навантаження S у правій частині СІР (17) виражаємо через a: S = 3r₀k (1 - a² / b²) / (2Kb). Позначивши через дотичні напруження, які виникають при повному закритті зазору, з рівняння (17) при a = 0 одержимо

(18)

Віднявши рівняння (18) від рівняння (17), отримаємо СІР на функцію U'(x)

(19)

Для виконання умови обмеженості дотичних напружень (15) необхідно, щоб функція U'(x) була рівна нулеві при x = a. З умови існування такого обмеженого розв'язку рівняння (19), отримаємо на функцію рівняння Абеля



, 0 < a < b.

Розв'язавши це рівняння, знайдемо . Далі, знаючи , знаходимо розв'язки рівнянь (19) та (18), сума яких дає відносний зсув меж тіл

Дотичні напруження на ділянках контакту в межах виїмки a < x < b мають вигляд

.

Зображено розподіли відносного зсуву меж півплощин на ділянці виїмки і контактних дотичних напружень для різних значень стискального навантаження (1-;2-; 3-; 4-). З його збільшенням відносний зсув зростає, досягаючи максимуму в центрі виїмки. Крива 4 відповідає навантаженню, за якого зазор повністю закриється. Для менших значень навантаження криві 1-3 складаються з трьох частин - центральної, що відповідає ділянці зазору для даного навантаження, та двох симетричних бічних, які лягають на криву 4 і відповідають сконтактованим поверхням, що відображає закладений в постановці задачі принцип “защемленої” деформації. Дотичні контактні напруження зі збільшенням навантаження зростають, а їх максимум досягається на краю виїмки. З віддаленням від виїмки вони наближаються асимптотично до значення зсувних зусиль на нескінченності. Виявилось, що контактні дотичні напруження в кожній точці пропорційні контактним нормальним напруженням з тим самим коефіцієнтом пропорційності k, що і зовнішні зусилля між собою. Цей висновок узгоджується з відповідним результатом для випадку локального контакту тіл за простого навантаження². Саме цей висновок, враховуючи, що k менший за коефіцієнт тертя (k < f), засвідчує, що і друга умова фізичної коректності (16) побудованого розв'язку теж задоволена. зчеплення тіло поверхня фрикційний проковзування

Знайдено аналітичний розв'язок задачі тоді, коли форма виїмки задається двічі неперервно-диференційованою функцією r(x) = -r₀(1 - x² / b²)^5/2, x < b.

У п'ятому розділі досліджується локальне проковзування тіл з плоскими поверхнями під внутрішньою зосередженою силою.

Спершу розглянуто півплощини D₁ та D₂, матеріали яких мають неоднакові пружні характеристики (модулі зсуву G₁, G₂, коефіцієнти Пуассона ₁, ₂). Півплощини контактують під дією рівномірно розподілених на нескінченності стискальних зусиль P, нормальних до лінії спряження, та паралельних до неї стискальних зусиль p₁ і p₂, прикладених відповідно до D₁ і D₂, таких що повздовжні переміщення обох меж однакові і між ними не відбувається взаємне проковзування. Після цього у внутрішній точці (0, y₀) верхньої півплощини прикладено довільно орієнтовану зосереджену силу F. Аналіз контактних нормальних та дотичних напружень показав, що залежно від пружних характеристик матеріалів тіл, величини і напряму сили F та глибини її прикладання y₀, умова зчеплення (2) або справджується на всій поверхні спряження, або порушується на одній чи двох ділянках. Є можливим і відшарування, коли умова одностороннього контакту _y(x, 0) < 0 не виконується на деякій ділянці. Виявлено, що проковзування передуватиме появі відшарування. Сформульовано контактну задачу про проковзування під внутрішньою силою вздовж двох ділянок L₁ = (a₁, b₁), L₂ = (a₂, b₂), яку зведено до системи двох СІР другого роду на похідні від функцій відносного зсуву меж півплощин U₁(x) на L₁ і U₂(x) на L₂

де коефіцієнти M₁ і M₂ визначаються через пружні сталі матеріалів півплощин.

Для визначення координат ділянок проковзування використовуються умови U'_j(a_j) = 0, U'_j(b_j) = 0, j = 1,2, за виконання яких контактні дотичні напруження будуть обмеженими на краях цих ділянок.

Далі досліджується контакт півплощин, матеріали яких однакові, коли прикладена у внутрішній точці (0, y₀) тіла D₂ зосереджена сила F, перпендикулярна до лінії спряження, зумовлює відшарування і появу зазору висотою h(x), довжиною 2a та двох ділянок проковзування (-c, -a), (a, c), на яких діють сили тертя. Задачу зведено до системи двох СІР на похідні функцій висоти зазору та відносного зсуву поверхонь

, (20)

, (21)

де

Функції h(x) та U(x) задовольняють умови (8).

Визначені аналітично з рівняння (20) та умов (8а), (8б) висота h(x) і півдовжина a зазору збігаються з відповідними величинами, отриманими під час розв'язання задачі про відшарування внутрішньою зосередженою силою взаємно притиснутих півплощин за безфрикційного контакту між ними. Довжина зазору залежить від зовнішнього навантаження, величини сили та глибини її прикладання. Розв'язок рівняння (21) з використанням формули обернення СІР, записано в квадратурах. Для числового визначення відповідних інтегралів використано кусково-лінійну апроксимацію правої частини СІР (21).

На рис. 9 зображено відносний зсув поверхонь за фіксованого навантаження для трьох глибин прикладання сили : 1-; 2-; 3-, яким відповідають такі півдовжини зазору та координати ділянки проковзування: 1-, ; 2-, ; 3-, . Всі геометричні величини віднесено до a₀ = F / (2P) - півдовжини зазору, який виникав би, коли б сила була прикладена до межі (при y₀ = 0). Що ближче сила до поверхні, то більше максимальне значення , яке досягається на зазорі (криві 1, 2). З віддаленням сили від поверхні максимальне значення зменшується і досягається вже на ділянці проковзування (крива 3) поблизу просвіту. Довжина ділянок проковзування в кілька разів перевищує довжину просвіту.

У шостому розділі досліджується проковзування тіл з однакових матеріалів, зумовлене дією теплового потоку. Два тіла, одне з них має виїмку форми (10), притискаються одне до одного нормальними зусиллями P < P_cls, за яких між поверхнями буде зазор висоти h(x) та довжини 2a. Далі тіла зазнають дії стаціонарного теплового потоку q, нормального до лінії їх спряження. Береги зазору теплоізольовані, а поза ним реалізується ідеальний тепловий контакт тіл. Спочатку розв'язано задачу за повного зчеплення на сконтактованих ділянках та виявлено, що тепловий потік не змінює контактного тиску, який залишається рівний нулю на краях зазору. Водночас, теплові деформації зумовлюють появу дотичних контактних напружень, які є необмеженими на краях зазору і заникають з віддаленням від нього. Це свідчить про порушення умови зчеплення (2) на ділянках поруч з просвітом. Тому сформульовано задачу про термомеханічне локальне проковзування на ділянках, що прилягають до зазору, розв'язок якої подано через функції висоти зазору h(x), відносного зсуву поверхонь U(x) на зазорі і ділянках проковзування та перепаду температури г(x) = T-(x, 0) - T⁺(x, 0) між берегами просвіту. Для їх визначення отримано систему трьох СІР

, , x a,

де і - коефіцієнти теплопровідності та лінійного теплового розширення.

Визначені аналітично висота і довжина зазору мають вигляд (14), а перепад температури між берегами просвіту . Відносний зсув поверхонь записано в квадратурах.

Ілюструє відносний зсув поверхонь на зазорі та ділянках проковзування за фіксованого навантаження , за якого півдовжина зазору , для різних величин теплового потоку : 1-; 2-; 3-; 4-, яким відповідають такі координати ділянки проковзування : 1-; 2- ; 3- ; 4- . Зі збільшенням величини потоку зростають довжина ділянки проковзування та відносний зсув поверхонь, який свого максимуму досягає на зазорі поблизу його краю.

Зображено розподіл модифікованого контактного тиску (штрихова крива) та дотичних напружень (1-, ; 2-, ). На ділянці проковзування дотичні напруження рівні модифікованому контактному тиску, з віддаленням від неї монотонно спадають до нуля. Поза цією ділянкою криві дотичних напружень лежать нижче кривої модифікованого тиску. Крива 1 відповідає випадку, коли ділянки проковзування лежать в межах виїмки і дотичні напруження досягають максимуму на їх краях. Крива 2 відповідає тепловому потоку, за якого проковзування поширилось поза виїмку і максимум дотичних напружень досягається на краях виїмки.

Далі досліджено локальне проковзування, зумовлене локальним недосконалим тепловим контактом за дії силового і теплового навантаження. Між тілами, поверхні яких плоскі, на ділянці |x| < b відбувається неідеальний тепловий контакт з термоопором і відсутнє механічне зчеплення. Вважається, що зовні цієї ділянки реалізується повна адгезія (ідеальний тепловий і механічний контакт), яка не порушується під навантаженням, тому поверхні можуть проковзувати лише в межах зони термоопору |x| < b. Тіла навантажуються рівномірно розподіленими на нескінченності стискальними P та зсувними S зусиллями, такими що S < fP і проковзування не виникає. Далі контактна пара зазнає дії стаціонарного теплового потоку інтенсивності q, перпендикулярного до лінії спряження. На основі аналізу розв'язку контактної задачі, отриманого за припущення про зчеплення поверхонь на ділянці з термоопором, виявлено, що в околі її лівого краю умова (2) порушується за теплового потоку q, що перевищує величину q_кр = K (fP - S) (2b + лR₀) / (2бb(1 + н)R₀). Для таких потоків задачу сформульовано з урахуванням фрикційного проковзування на ділянці (-b, -c), де -c < b, та зведено до системи сингулярних інтегро-диференціальних рівнянь на перепад температури і відносний зсув поверхонь:

,

Знайдено аналітичні розв'язки цієї системи. З умови U'(-c) = 0 визначено довжину ділянки проковзування d = 4b/3 + 2K(S - fP) (2b + лR₀) / (3бq(1 + н)R₀). Вона нелінійно залежить від теплового потоку q і зростає зі збільшенням потоку та термоопору. Це проілюстровано на рис. 12 для фіксованих навантажень та і таких значень термоопору: 1-; 2-; 3- . Разом з ділянкою проковзування зростає і відносний зсув, а його максимум зміщений у бік лівого краю ділянки з термоопором. Знайдено граничне значення d_lim = 4b/3, понад яке ділянка відносного зсуву не може підрости зі збільшенням теплового потоку.



ОСНОВНІ РЕЗУЛЬТАТИ ТА ВИСНОВКИ

У дисертаційній роботі розв'язано наукове завдання - розвинути методику дослідження пружної взаємодії півнескінченних тіл з узгодженими поверхнями за фрикційного проковзування в околі поверхневих виїмок, відшарувань та ділянок з контактним термоопором і пониженим коефіцієнтом тертя; вивчити особливості впливу локального проковзування на контактну поведінку таких тіл за дії розподілених і зосереджених механічних навантажень та теплового потоку.

У роботі отримано такі основні результати:

1. Здійснено постановку нових плоских контактних задач теорії пружності й термопружності для півнескінченних тіл, матеріали яких однакові, з узгодженими поверхнями з урахуванням фрикційного проковзування, що реалізується відповідно до закону Кулона-Амонтона в околі ділянок зі змінними контактно-поверхневими параметрами.

2. Запропоновано методику розв'язання сформульованих задач, що базується на використанні методу комплексних потенціалів та сингулярних інтегральних рівнянь. Вона передбачає:

· подання напружень, переміщень та температури в тілах через функції висоти міжповерхневого просвіту, відносного зсуву поверхонь в межах зазору і ділянок проковзування, перепаду температури між берегами просвіту;

· зведення задач до систем сингулярних інтегральних рівнянь відносно цих функцій;

· формулювання додаткових умов для визначення ділянок зазорів і проковзування.

3. З використанням запропонованого підходу побудовано аналітичні та аналітико-числові розв'язки низки нових контактних задач про локальне проковзування тіл в околі виїмок, відшарувань, ділянок неідеального теплового контакту і пониженого коефіцієнта тертя за дії зсувних навантажень, зосереджених сил і теплового потоку.

4. На основі побудованих розв'язків досліджено еволюцію ділянок проковзування в околі поверхневих неоднорідностей за дії силових і термічних чинників, вивчено особливості розподілу контактних напружень і відносного зсуву меж тіл, зумовлених фрикційним проковзування, та встановлено наступне:

· за повного контакту тіл, одне з яких має виїмку форми r(x) = - r₀(1 - x²/b²)^3/2 абоr(x) = - r₀(1 - x²/b²)^5/2, при послідовному навантаженні спочатку стискальними, а потім зсувними зусиллями може реалізуватись одна з трьох ситуацій: повне зчеплення, локальне проковзування, глобальне проковзування. Глобальне проковзування відбувається за досягнення зовнішніми зсувними зусиллями рівня стискальних, помножених на коефіцієнт тертя;

· наявність зони з пониженим коефіцієнтом тертя при перевищенні зсувними зусиллями певної критичної величини призводить до часткового проковзування поверхонь на ділянці, розміри якої нелінійно залежать від відношення прикладених стискальних і зсувних зусиль;

· за наявності між тілами просвіту, зумовленого виїмкою, для як завгодно малих зсувних зусиль виникають ділянки проковзування, що прилягають до зазору;

· під час проковзування може виникати значна концентрація контактних напружень, наприклад, коли біля просвіту, що займає 40 % області виїмки, утворюються ділянки проковзування, кожна з яких займає 10 % довжини виїмки, дотичні напруження на кінцях цих ділянок втричі перевищують прикладені до тіл зсувні навантаження;

· для форми виїмки r(x) = - r₀(1 - x²/b²)^3/2 максимальні дотичні контактні напруження досягаються на краях ділянки проковзування;

· за простого навантаження тіл з однакових матеріалів з виїмкою одночасно прикладеними і монотонно зростаючими стискальними та зсувними зусиллями контакт тіл реалізується без появи ділянок фрикційного проковзування. При цьому в кожен момент навантаження зберігається стале відношення контактного тиску та зсувних контактних напружень з тим самим коефіцієнтом пропорційності, що і для зовнішніх стискальних та зсувних зусиль;

· при контакті тіл з абсолютно узгодженими границями за дії приповерхневої зосередженої сили можуть виникати тільки ділянки проковзування, або одночасно відшарування з утворенням просвіту і ділянки проковзування, що прилягають до нього;

· за відшарування меж півплощин під дією внутрішньої зосередженої сили довжина ділянок проковзування в кілька разів більша, ніж довжина утвореного міжконтактного просвіту;

· термопружна взаємодія тіл за наявності термоізольованого зазору, зумовленого поверхневою виїмкою, супроводжується взаємним проковзуванням поверхонь на симетричних ділянках, що прилягають до зазору. Проковзування виникає за як завгодно малих значень теплового потоку, а із зростанням потоку поширюється за межі виїмки;

· локальний контактний термоопір за дії теплового потоку може зумовити взаємне проковзування поверхонь тіл, що попередньо навантажені стискальними і зсувними зусиллями, які не викликають проковзування. За умов повної адгезії поверхонь поза ділянкою термоопору проковзування виникає вздовж зони, що прилягає до одного з країв цієї ділянки.



ОСНОВНИЙ ЗМІСТ ДИСЕРТАЦІЇ ВІДОБРАЖЕНО У ПУБЛІКАЦІЯХ:

1. Мартиняк Р.М., Маланчук Н.І., Монастирський Б.Є. Пружна взаємодія двох півплощин за локального зсуву границь на ділянці міжконтактного просвіту // Мат. методи та фіз.-мех. поля. - 2005. - 48, №3. - С. 101-109.

2. Мартиняк Р.М., Маланчук Н.І., Монастирський Б.Є. Зсув притиснутих одна до одної півплощин з поверхневою виїмкою. Ч. 1. Повний контакт // Фіз.-хім. механіка матеріалів. - 2005. - 41, №2. - С. 39-44.

3. Мартиняк Р.М., Маланчук Н.І., Монастирський Б.Є. Зсув притиснутих одна до одної півплощин з поверхневою виїмкою. Ч. 2. Неповний контакт // Фіз.-хім. механіка матеріалів. - 2006. - 42, №4. - С. 114-120.

4. Маланчук Н.И., Мартыняк Р.М., Нагалка С.П. Термомеханическое проскальзывание границ полуплоскостей в окрестности зазора между ними // Теорет. и прикл. механика. - 2006. - Вып. 42. - С. 52-56.

5. Маланчук Н.І., Мартиняк Р.М. Інтегральні рівняння задачі про локальне контактне проковзування тіл за дії зосереджених сил // Прикл. проблеми механіки і математики - 2006. - Вип. 4. - С. 111-115.

6. Маланчук Н.І. Проковзування тіл в околі розшарування за дії зосередженої приповерхневої сили // Мат. методи та фіз.-мех. поля. - 2007. - 50, № 4. - С. 173-180.

7. Маланчук Н., Швець Р., Мартиняк Р. Локальне проковзування тіл, зумовлене поверхневими неоднорідностями за дії силових і теплових навантажень // Машинознавство. - 2007. - № 7. - С. 15-20.

8. Мартиняк Р.М., Маланчук Н.І., Монастирський Б.Є. Моделювання контакту півпросторів з урахуванням пружного проковзування в області поверхневої виїмки // Матеріали 10-ї Міжн. наукової конф. ім. акад. М. Кравчука. - Київ, 2004. - С. 174.

9. Маланчук Н.І. Контакт півплощин зі зчепленням із виїмкою на границі розмежування // Тези допов. Конференції молодих учених із сучасних проблем механіки і математики ім. акад. Я.С. Підстригача. - Львів, 2004. - С. 98-100.

10. Маланчук Н.І., Монастирський Б.Є. Часткове проковзування півбезмежних тіл за наявності міжповерхневого зазору // Тези допов. Конф. молодих учених із сучасних проблем механіки і математики ім. акад. Я.С. Підстригача. - Львів, 2005. - С. 116.

11. Монастирський Б.Є., Маланчук Н.І. Математична модель термопружного контакту півплощин з локальними геометричними неоднорідностями границі // Матеріали 11-ї Міжн. наукової конф. ім. акад. М. Кравчука. - Київ, 2006. - С. 202.

12. Мартиняк Р.М., Маланчук Н.И. Термоупругое взаимодействие полуплоскостей при локальном проскальзывании в окрестности межконтактного зазора // Мат. 4-й Межд. науч. конф. им. акад. А.С. Космодамианского. - Донецк, 2006. - С. 103-105.

13. Маланчук Н.І. Термопружний контакт півплощин з урахуванням проковзування // Матем. проблеми механіки неоднорідних структур. - Львів, 2006. - Т 2. - С. 68-70.

14. Маланчук Н.І. Математичне моделювання локального фрикційного проковзування тіл за дії зосередженої сили // Тези допов. Всеукр. наукової конф. молодих вчених і студентів з диференціальних рівнянь та їх застосувань. - Донецьк, 2006. - С. 83-85.

15. Слободян Б., Маланчук Н. Локальне проковзування півплощин за дії зосереджених чинників та тиску газорідинного заповнювача міжконтактного простору // Тези доп. 8-го Міжн. симп. укр. інж.-мех. у Львові МСУІМЛ-8. - Львів, 2007. - С. 67-68.

16. Мартиняк Р.М., Маланчук Н.І. Пружна і термопружна взаємодія тіл з узгодженими границями за локального проковзування // Тези допов. Міжн. науково-техн. конф. „Актуальні проблеми механіки суцільного середовища і міцності конструкцій”. - Дніпропетровськ, 2007. - С. 47-49.

17. Martynyak R., Malanchuk N., Monastyrskyy B. Local thermally induced slip of contacting solids in the vicinity of intersurface gap // Proceedings of 7^th International Congress on Thermal Stresses “Thermal Stresses'2007”. - Taipei (Taiwan), 2007. - P. 397-400.

...