Моделирование движения частиц в аппарате Штерна-Герлаха

Размещено на http://www.allbest.ru

Размещено на http://www.allbest.ru

Опыт Штерна-Герлаха широко используется для демонстрации пространственного квантования, обусловленного наличием спина у атомов.

Ввиду исключительного значения эксперимента Штерна-Герлаха для квантовой механики движение частиц в их аппарате неоднократно было исследовано с разных сторон. Исторически опыт Штерна-Герлаха был направлен на проверку гипотез Бора, Зоммерфельда и Дебая о пространственном квантовании момента. Отметим, что Бор предсказывал расщепление на два пучка, тогда как Зоммерфельд и Дебай предсказывали расщепление на три пучка.

Однако в настоящее время этот опыт считается своеобразным архетипом измерения квантовых свойств, поскольку в этом эксперименте впервые было открыто свойство пространственного квантования.

Экспериментальная установка Штерна и Герлаха состояла из печки, в которой при температуре около 1300С испарялось серебро, и электромагнита с южным полюсом в форме лезвия длиной 3.5 см, в поле которого отклонялся пучок атомов серебра - рис. 1. Пучок атомов формировался при истечении из печки через круглое отверстие площадью квадратных миллиметров. Этот пучок падал на диафрагму в форме щели длиной 0.8 мм и шириной 0.03-0.04 мм, проделанную в платиновой фольге, установленной на расстоянии 2.5 см от первой диафрагмы вплотную к передней кромке магнита. Щель была ориентирована длинной стороной перпендикулярно лезвию ножа электромагнита - рис. 1, а. Вплотную к задней кромке магнита была приставлена пластина, на которой происходило осаждение атомов серебра. В установке поддерживался вакуум около миллиметров ртутного столба. Отдельный эксперимент по осаждению атомов длился от 4 до 8 часов. За это время атомы могли образовать заметный слой серебра, который изучался под микроскопом. В отсутствии магнитного поля атомы при осаждении образовывали фигуру, которая была проекцией щели - левый рис. 2.

Рис. 1. Общий вид (е) и схема аппарата Штерна-Герлаха по данным различных авторов: а - расположение щели B относительно лезвия магнита S; b - «от шарика К атомный пучок, вырезаемый диафрагмой В, проходит через сильное неоднородное магнитное поле NS, а затем этот пучок перехватывается пластинкой Р»; c - «Один полюс имел вид лезвия, а второй, помещенный против него, был плоским либо с выемкой»

Проекция щели имела следующие размеры: длина 1.1, ширина в самом узком месте 0.06 мм и в самом широком месте 0.1 мм. Эти данные позволяют оценить компоненты скорости пучка при истечении из щели. При наличии магнитного поля пучок атомов серебра рассеивался, в результате на пластине возникала своеобразная фигура - правый рис. 2. Осуществлявший эти эксперименты Герлах отправил телеграмму Штерну со словами «Бор оказался прав!» и фотографию фигуры рассеяния атомов Бору со словами «мы поздравляем Вас с подтверждением вашей теории!».

Рис. 2. Проекция щели (слева) и фигура, возникающая при рассеянии атомов серебра в аппарате Штерна-Герлаха в магнитном поле (справа)

Арнольд Зоммерфельд - автор монографии по квантовой механике, первое издание которой было опубликовано еще в 1919 г, предложил следующую интерпретацию результатов эксперимента: «Как можно истолковать эти две полоски на фотографии? Очевидно, ориентационным квантованием атомов серебра. Как только атом попадает в магнитное поле, его магнитный момент ориентируется параллельно или антипараллельно силовым линиям поля».

Аналогичную интерпретацию, охватывающую более общий случай, дал Борн: «Штерн добился достаточной неоднородности, удачно сконструировав полюсы магнита, создающего поле. Один полюс имел вид лезвия, а второй, помещенный против него, был плоским либо с выемкой (смотрите рис. 1, с). Благодаря этому магнитные силовые линии сгущались у лезвия, так что напряженность поля около него была значительно больше, чем у другого полюса. Выбрасываемый из печи сквозь систему диафрагм тонкий пучок атомов пролетал между полюсами. Каждый отдельный атом отклонялся в неоднородном поле в соответствии с величиной и направлением его момента. Следы отдельных атомов можно было увидеть на экране (усиливая их в случае необходимости, как в фотографии). С классической точки зрения на экране должен был получиться при этом расширившийся пучок -- ведь по классической теории моменты летящих сквозь поле атомов могут иметь все направления относительно поля. Но в квантовой теории, с учетом пространственного квантования, возможны не все ориентации, а лишь некоторое конечное число их.… Следовательно, на экране след пучка будет расщеплен на конечное число отдельных следов. Реально на экране должно появиться в точности отдельных следов, если атомы находятся в состоянии с внутренним квантовым числом».

Бом дает похожую интерпретацию: «Поскольку перед тем, как атомы попадают в магнитное поле, нет предпочтительных ориентации , то очевидно, что атомы с каждым возможным значением будут встречаться одинаково часто и беспорядочным образом по мере их испарения с металла. Поэтому на экране, получается, по одному пятну для каждого из возможных значений . Так как полное число возможных значений составляющих равно , то можно определить простым подсчетом пятен на экране….

Надо отметить, что опыт Штерна и Герлаха дает прямое доказательство квантовой природы момента количества движения, поскольку по классической теории должен быть непрерывный ряд значений моментов количества движения и, следовательно, непрерывный ряд точек на экране, в которые попадают атомы».

Наконец, авторы даже не утруждают себя описание аппарата Штерна-Герлаха и их опытов с атомами серебра, но в двух главах просто освещают принципы квантования спина частиц, которые могут быть открыты с использованием некой усовершенствованной теоретической модели этого аппарата. Свою теорию они начинают словами: «Начнем с явления расщепления пучка атомов на три отдельных пучка в опыте Штерна-Герлаха. Вы помните, что если имеется неоднородное магнитное поле, созданное магнитом с острым полюсным наконечником, и если через прибор пропустить пучок частиц, то этот пучок может расщепиться на несколько пучков; их количество зависит от сорта атома и его состояния».

Таким образом, этот краткий обзор показывает, что квантование момента атомов серебра было признано основным механизмом расщепления пучка представителями старой школы квантовой механики. Никакие альтернативные гипотезы не рассматривались. В то время это казалось очевидным, однако в наше время, когда поставлен вопрос о происхождении квантовой механики, уместно будет рассмотреть и различные альтернативные гипотезы.

В работе Штерна и в монографиях предполагается, что движение атомов в аппарате Штерна-Герлаха описывается уравнениями классической механики, в которых учитывается сила, действующая на частицу, обладающую магнитным моментом в форме:

(1)

Роль квантовой механики сводится к утверждению, что магнитный момент в уравнении (1) квантуется пропорционально угловому моменту или спину. В таком виде теория рассеяния атомов в неоднородном магнитном поле использовалась для решения практических задач, связанных с определение магнитного момента атомов по методу Штерна-Герлаха.

Однако такое положение теории нельзя признать удовлетворительным, поэтому предпринимались многочисленные попытки описания движения частиц в аппарате Штерна-Герлаха в рамках квантовой механики. При этом мало кого интересовали детали эксперимента и специфический вид фигуры рассеяния атомов, представленной на левом рис. 2.

В настоящей работе в рамках классической и квантовой механики исследовано движение частиц в оригинальном аппарате Штерна-Герлаха. Нас, прежде всего, интересовала возможность достаточно точного воспроизведения фигуры рассеяния, приведенной на рис. 2, а также проверка различных альтернативных гипотез расщепления пучка атомов.

Динамика частиц.

Рассмотрим движение атомов в аппарате Штерна-Герлаха. Предполагается, что атомы во внешнем магнитном поле движутся как классические частицы под влиянием силы (1), имеем:

(2)

Здесь - масса атома. Обозначим - расстояние от диафрагмы до экрана, высота щели и ее ширина соответственно. Граничные условия задаются в плоскости диафрагмы в сечении в форме:

(3)

Здесь - координаты точки в пределах щели, - расстояние от центра щели до лезвия магнита - рис. 3. Скорость частицы в плоскости щели задается в соответствии с температурой пучка в предположении, что выполняется распределение Максвелла. Штерн в ряде публикаций, показал, что среднее значение скорости в пучке соответствует:

(4)

- постоянная Больцмана, - температура атомов в печи. Для атомов серебра находим из уравнения (4) .

Используя данные в пределах щели положим:

 (5)

Для этих данных расчетная проекция щели представлена на рис 3, d.

Моделирование траекторий частиц в классической механике.

Как известно, в аппарате Штерна-Герлаха был использован электромагнит фирмы Hartmann & Braun. Данные по распределению градиента в зависимости от расстояния до лезвия магнита были опубликованы в работе. В настоящей работе магнитное поле представляется как суперпозиция поля двух токов, текущих в противоположных направлениях вдоль лезвия ножа магнита расположенных в точках , где . Поле двух токов описывается выражениями:

(6)

Выражения (6) позволяют вычислить градиенты поля в виде:

(7)

Здесь нормировочный множитель подбирается из условия согласования с экспериментальными данными - рис. 3. Распределение поля относительно щели показано на рис. 3, a. Сопоставление градиента с экспериментальными данными показано на рис. 3, b.

Рис. 3. a) Силовые линии индукции магнитного поля в окрестности щели диафрагмы (прямоугольник красного цвета); b) градиент в зависимости от расстояния до острия лезвия магнита вместе с данными; c) фигура рассеяния частиц в случае квантования момента; d) проекция щели, вычисленная в соответствии с начальными данными (5)

В соответствии с гипотезой Зоммерфельда действующие силы определяются из выражения (1), в котором магнитный момент принимает два значения, соответствующие ориентации по полю или против поля:

(8)

Здесь - магнетон Бора. Подставляя выражение (8) в уравнение (1) и предполагая, что находим:

(9)

Уравнение (2) вместе с выражением силы (9) широко используется для моделирования движения частиц в аппаратах типа Штерна-Герлаха. Основная задача, которая ставится в этом случае, это определение величины расщепления в плоскости симметрии . Если атом обладает моментом , то должно быть расщепление напучков, что позволяет определить значение . Однако эта модель не позволяет установить вид фигуры рассеяния атомов, поскольку используется выражение силы (9), справедливое только в плоскости симметрии .

Наиболее естественное расширение описанной выше модели заключается в том, что вместо условия квантования вводится некоторый угол между направлением момента и вектором индукции магнитного поля, в результате чего выражение силы (1) принимает вид:

(10)

Модель (10) воспроизводит квантовые свойства системы, рассмотренные ниже. Если в уравнениях (10) мы положим , то придем к уравнению (9). Результаты моделирования координат траекторий частиц на плоскости в сечении по уравнениям (2)-(7) с выражением силы в форме (10) представлены на среднем рис. 3. Положение атомов в пределах фигуры рассеяния представляется парой координат , которые отображают частицу, начавшую движение в некоторой точке с координатами , лежащей в пределах щели диафрагмы. Отметим качественное совпадение фигуры рассеяния на рис. 3 с экспериментально наблюдаемой фигурой, представленной на рис. 2.

Если предположить, что есть отклонение от точного «квантового» значения , то получим ряд промежуточных моделей между точной квантовой моделью и классической моделью, в которой угол изменяется непрерывно в пределах - рис. 4. В этом случае, как следует из данных, приведенных на рис. 4, в классическом случае пучок не расщепляется, а фигура рассеяния получается сплошной. Отметим, что данные на рис. 4 соответствуют значениям координаты частицы в пределах щели .

Однако это справедливо только для модели (10), которая вытекает из предположения (8) о поляризации пучка вдоль направления магнитного поля. Можно отказаться от этого предположения и просто положить в уравнении (2), что:

(11)

Результаты моделирования траекторий частиц по уравнениям (2)-(7) с выражением силы в форме (11) представлены на рис. 5 для случая - цветные рисунки, и для случая - серые рисунки для разной высоты щели - мм соответственно. Как следует из данных, приведенных на рис. 5, высота и ширина фигуры рассеяния, как и ее внешний вид не согласуется с экспериментальными данными. Однако существенным результатом можно считать расщепление на два пучка в средней части фигуры, хотя никакого квантового механизма в модели (11) не предполагается.

Рис. 4. Фигура рассеяния для частиц, покидающих щель из точки с координатамидля различных углов

Рис. 5. Фигура рассеяния для частиц, покидающих щель из точки с координатамидля различных углов - цветные рисунки и - серые рисунки. Высота щели указана над рисунками

Квантовое описание эксперимента Штерна-Герлаха.

Отметим, что классическая частица, обладающая магнитным моментом, испытывает во внешнем магнитном поле не только влияние силы (1), но и момента сил, что приводит к изменению механического углового момента в соответствии с уравнением:

(12)

В случае линейной связи между угловым и магнитным моментом уравнение (12) описывает прецессию углового момента с характерной частотой . Поскольку, однако предполагается, что магнитный момент атомов серебра квантуется, то вместо уравнения (12) имеет место квантовое движение в соответствии с уравнением Паули.

Как известно движение нейтральных частиц в магнитном поле в нерелятивистском приближении описывается волновой функцией, которая является двухкомпонентным спинором и удовлетворяет уравнению:

(13)

Здесь - матрицы Паули. Полагая, что вектор индукции магнитного поля имеет вид , находим систему уравнений:

(14)

Систему уравнений (14) будем решать численно в следующих приближениях:

Считаем, что масштабы изменения величин вдоль направления пучка, вдоль щели и попрек нее пропорциональны соответствующим масштабам - расстояние от диафрагмы до экрана, высоте щели и ее ширине соответственно;

предполагается, что движение частиц вдоль направления пучка является свободным, следовательно, решение уравнения (13) может быть представлено в форме бегущей волны .

В этих предположения система уравнений (14) может быть приведена к виду:

(15)

Здесь введены новые переменные . Отметим, что решение уравнения (15) зависит от координаты как от параметра через распределение магнитного поля и начальные данные.

Учитывая, что исследуемый пучок частиц является достаточно узким, используем разложение в степенные ряды для компонент магнитного поля в форме:

(16)

Здесь параметры связаны с параметрами , фигурирующими в выражениях (6). Отметим, что , как для выражений компонент поля в форме (6), так и для выражений (16).

Для уравнения (15) поставим следующую задачу о распаде начального состояния:

(17)

Результаты численного моделирования задачи (15)-(17) приведены на рис. 6-7.

Рис. 6. Распад начального состояния в магнитном поле: верхние рисунки соответственно; нижние рисунки соответственно

Из данных, приведенных на рис. 6 следует, что чистые состояния, соответствующие отклоняются в магнитном поле строго вверх или вниз, а смешанные состояния со значением распадаются на два пучка одинаковой интенсивности.

Рис. 7. Распад начального состояния в магнитном поле: при в плоскости образуется замкнутая фигура - нижний средний рисунок, которая по форме очертания похожа на экспериментально наблюдаемую фигуру

квантовый волновой нерелятивистский магнитный

Данные, приведенные на рис. 7 показывают различные варианты формирования фигуры рассеяния частиц, в зависимости от параметра характеризующего положение щели относительно полюса магнита и параметра , характеризующего геометрию щели. Отметим, что в квантовом случае всегда есть разделение на два пучка, однако фигура рассеяния получается не столь выразительная, как в классическом случае - рис. 3-5.

Наконец, заметим, что выражение силы (10) следует из системы уравнений (14) в предположении, что существует отображение, которое переводит квантовую картину движения - рис. 6, в классическую картину, в которой волновая функция заменяется пучком траекторий. Априори не ясно, существует ли такое отображение в данной задаче, хотя классическая механика и используется повсеместно для моделирования движения частиц в аппарате Штерна-Герлаха. Поскольку результаты, представленные на рис. 3-4, не противоречат экспериментальным данным и, более того, согласуются с ними качественно и количественно, то можно рассматривать выражения (10) как реалистичную модель силы действующей на частицы со спином Ѕ в магнитном поле.

Размещено на Allbest.ru