Излучение электромагнитных волн

Размещено на http://www.allbest.ru/

Излучение электромагнитных волн

1. Физические модели элементарного магнитного вибратора

По аналогии с элементарным электрическим вибратором систему, эквивалентную короткому по сравнению с длиной волны элементу магнитного тока, амплитуда и фаза которого одинаковы во всех точках этого элемента, будем называть элементарным магнитным вибратором.

Одной из возможных моделей ЭЭВ является элемент прямолинейного провода. Протекающий по вибратору ток где L - периметр провода.

На поверхности S вибратора касательная составляющая вектора Н неизменна вдоль его длины и связана с плотностью тока соотношением Комплексная амплитуда электрического тока, обтекающего ЭЭВ, равна-комплексная амплитуда составляющей На вибраторе линии вектора Н перпендикулярны линиям вектораи имеют вид колец, охватывающих вибратор (рис. 1).

Пусть на поверхности стержня выполняется граничное условие: касательная составляющая вектораотлична от нуля и неизменна вдоль длиныпричем линии вектораимеют вид колец, охватывающих поверхность(рис.1). На поверхности S вместо замкнутых векторных линий магнитного поля задано распределение замкнутых линий электрического поля. Задание касательной составляющей векторана поверхности стержня эквивалентно заданию плотности поверхностного магнитного токаТак как по предположению значенияодинаковы во всех точках поверхности S, то рассматриваемая система эквивалентна элементу длиноймагнитного тока т.е. представляет собой элементарный магнитный вибратор. Элементарным магнитным вибратором можно считать любой достаточно малый элемент длинного стержня, выполненного из соответствующего материала и возбужденного таким образом, что на его поверхности имеется отличная от нуля перпендикулярная оси стержня касательная составляющая напряженности электрического поля, а другие составляющие вектора Е отсутствуют.

2. Поле элементарного магнитного вибратора

Выражения для комплексных амплитуд составляющих векторов поля, создаваемого элементарным магнитным вибратором, могут быть получены из предыдущих формул (3), (4) и (5) для поля ЭЭВ, в которых нужно только в соответствии с принципом двойственности заменить на Из формул для поля элементарного магнитного вибратора следует, что вектор Е имеет одну составляющую а вектор Н-две составляющие и т.е. вектор Е в этом случае лежит в азимутальных плоскостях, а вектор, Н - в меридианальных.

Найденные таким образом формулы соответствуют магнитному току, который при нулевой начальной фазе в момент времени течет в направлении, противоположном полярной оси системы координат т.е. в направлении Как и в случае ЭЭВ, в выражениях для поля элементарного магнитного вибратора (ЭМВ) имеются слагаемые, пропорциональныев первой, второй и третьей степенях. Поэтому при анализе структуры поля элементарного магнитного вибратора окружающее его пространство также удобно разделить на три зоны: ближнююдальнююи промежуточную, гдесоизмеримо с единицей.

Ограничимся анализом дальней зоны. Поступая так же, как и в случае элементарного электрического вибратора, получаем

Из формул (следует, что поле, создаваемое ЭМВ в дальней зоне, представляет собой неоднородную поперечную сферическую волну, распространяющуюся от вибратора со скоростью света. Векторы Е и Н изменяются синфазно. На рис.2 показана ориентация векторов Е и Н в дальней зоне в случае ЭЭВ (рис. 2) и элементарного магнитного вибратора (рис. 2).

Распространение электромагнитной волны сопровождается переносом энергии. Энергия распространяется со скоростью света перпендикулярно поверхностями равных фаз, т.е. фазовая скорость и скорость распространения энергии совпадают. Отношение амплитуд напряженностей электрическогои магнитного полей

Как и элементарный электрический вибратор, элементарный магнитный вибратор обладает направленными свойствами. Его излучение максимально в экваториальной плоскости

Вдоль своей оси (оси Z) элементарный магнитный вибратор не излучает. Диаграммы направленности элементарного магнитного вибратора совпадают с диаграммами направленности элементарного электрического вибратора.

Достаточно малая рамка (виток провода), обтекаемая постоянным по амплитуде электрическим током = где-начальная фаза тока, также может рассматриваться как элементарный магнитный вибратор. В этом случае вибратор характеризуется амплитудой токаи площадью рамки S. Сравнение выражений для поля, создаваемого рамкой, с формулами для поля элементарного магнитного вибратора показывает, что они переходят друг в друга при замене вида

Формулы для поля, создаваемого рамкой в дальней зоне, имеют вид

Мощность излучения рамки находится так же, как мощность излучения элементарного электрического вибратора, и определяется формулой

где-сопротивление излучения рамки.

Длину ЭЭВ, при которой в случае одинаковых токов, обтекающих рамку и вибратор мощность излучения ЭЭВ равна мощности излучения рамки, называют действующей высотой рамки. Она равнаПрии Рамка создает в дальней зоне такие же по величине (но не по ориентации векторов Е и Н!) электрическое и магнитное поля, как и элементарный электрический вибратор.

3. Элемент Гюйгенса

Гюйгенсом было сформулировано предположение, согласно которому каждая точка фронта волны, созданной каким-либо первичным источником, является вторичным источником сферической волны. Это предположение называют принципом Гюйгенса.

Под фронтом волны обычно понимают поверхность, отделяющую область, в которой в данный момент времени уже имеют место электромагнитные колебания, от области, в которую волна еще не успела распространиться. При описании распространяющихся монохроматических электромагнитных волн часто вместо термина поверхность равных фаз используют термин фронт волны.

Пусть известна поверхность Si (рис. 3), на которой фаза функции, характеризующей волну, в момент равна некоторому значению В следующий момент времени поверхность, соответствующая значению фазыуже не будет совпадать с S Для определения этой новой поверхности согласно принципу Гюйгенса нужно каждую точку поверхности Si принять за центр сферы радиусагде с-скорость распространения волны. Тогда поверхность S₂ (рис. 4), огибающая семейство построенных таким образом сфер, проведенная с учетом направления распространения волны, будет искомой поверхностью, на которой фаза в момент+равна

Принцип Гюйгенса справедлив для любых волновых процессов и позволяет проследить за перемещением фронта волны или поверхности равных фаз, начиная с момента времени, в который являются известными фронт волны, или соответственно ПРФ. Математическая формулировка принципа Гюйгенса впервые была дана Кирхгофом. Поэтому указанный принцип обычно называют принципом Гюйгенса-Кирхгофа.

Принцип Гюйгенса-Кирхгофа широко применяется при расчете диаграмм направленности различных излучающих систем СВЧ диапазона. Основные типы антенн этого диапазона: щелевые, рупорные и зеркальные (схематически изображенные на рис.4, а.б.в соответственно) можно представить в виде замкнутой поверхности, одна часть которойявляется металлической, а другаяпредставляет собой поверхность раскрыва (через нее электромагнитная энергия излучается в окружающее пространство). Поле наобычно известно с той или иной степенью точности, и его можно заменить распределением эквивалентных источников. Поверхность S₀ можно считать идеально проводящей, тогдачто соответствует отсутствию магнитных токов также предполагают, что на поверхности S₀ отсутствуют электрические токи

В таком приближении поле в дальней зоне определяется только эквивалентными поверхностными электрическими и магнитными токами или, что то же самое, касательными составляющими векторовна поверхности При вычислении поля можно воспользоваться принципом суперпозиции: разбить поверхностьна элементарные площадки найти поле, создаваемое эквивалентными токами каждой площадки, а затем просуммировать полученные результаты.

Практически элемент Гюйгенса можно представить, как элемент фронта (или ПРФ) распространяющейся волны.

Элемент Гюйгенса можно рассматривать: как элементарный излучатель, обтекаемый электрическими и магнитными токами. Определим его направленные свойства. Так как векторысвободно распространяющейся волны взаимно перпендикулярны, то эквивалентные им электрические и магнитные токи также будут взаимно перпендикулярны. Расположим прямоугольный элемент Гюйгенса (плоскую прямоугольную площадкув плоскости XOY так, чтобы начало координат совпадало с его центром. Ориентация касательных составляющих векторовна площадке соответствующая некоторому моменту временипоказана на рис.5 ориентация электрических и магнитных токов,, эквивалентных этим составляющим, в тот же момент времени- на рис. 6.

Получаем, что комплексные амплитуды эквивалентных электрического и магнитного токов, текущих поравныи

Поле, создаваемое элементом Гюйгенса, равно сумме полей, создаваемых расположенными перпендикулярно друг другу элементарным электрическим вибратором длинойс током и элементарным магнитным вибратором длинойс током Вычислим поле элемента Гюйгенса в дальней зоне. Рассмотрим, например, плоскость YOZ (плоскость Е). Комплексная амплитуда напряженности электрического поля, создаваемого ЭЭВ, в системе координат, полярная ось которой совпадает с осью У, определяется выражением

где 9-1° -- координатный орт угла 01, отсчитываемого от оси У (рис.7). Соответственно комплексная амплитуда напряженности электрического поля, создаваемого элементарным магнитным вибратором, в рассматриваемой плоскости в системе координат, полярная ось которой совпадает с осью X, равна

где ф₂ - координатный орт углаотсчитываемого от плоскости XOY. В верхней части рассматриваемой плоскости совпадают, а в нижней (при ) направлены противоположно. Если можно считать, что то в направлении оси Z вектор напряженности полного электрического поляа в противоположном направлении (при) Вдоль оси Y (т.е. прии) ЭЭВ не излучает, и При сделанном предположении диаграмма направленности элемента Гюйгенса в рассматриваемой плоскости (х = 0) имеет вид кардиоиды. Обычно поле элемента Гюйгенса записывают в системе координат показанной на рис. 8. Переходя от единичных векторовик ортуи от углак углу, получаем следующее выражение для вектора в плоскости х = 0:

где знак «-» соответствует положительным значениям координаты У, а знак «+» - отрицательным.

В произвольном направлении, комплексная амплитуда напряженности электрического поля, создаваемого элементом Гюйгенса, имеет две составляющие:

Если. Абсолютная величина вектора Е в этом случае не зависит от угла

Отсюда видно, что при выполнении условия диаграмма направленности элемента Гюйгенса одинакова во всех плоскостях, проходящих через ось Z, и имеет вид кардиоиды (см. рис. 8). Пространственная диаграмма направленности элемента Гюйгенса представляет собой поверхность, образующуюся при вращении кардиоиды вокруг ее оси симметрии (оси Z). Из диаграммы направленности видно, что излучение максимально в направлении оси Z, перпендикулярной к площадке

Вектор напряженности магнитного поля, создаваемого элементом Гюйгенса, в дальней зоне при любых значениях углов можно найти по формуле где-орт радиуса вектора, проведенного из середины элемента Гюйгенса в точку наблюдения. Переходя к составляющимиполучаем

физический магнитный вибратор лоренц

4. Лемма Лоренца. Теорема взаимности

Пусть в линейной изотропной среде имеются две независимые группы источников, одна из которых характеризуется сторонними электрическими токами с плотностью, а вторая - токами с плотностью Первая группа источников создает монохроматическое электромагнитное поле удовлетворяющее уравнениям

Умножим уравнение скалярно на вектор а на H₁, и почленно вычтем второе равенство из первого:

Аналогично умножим скалярно на вектор и почленно вычтем из полученного результата равенство (30), скалярно умноженное на вектор

Применяя к левым частям формул (33) и (34) известное тождество и вычитая затем почленно (34) из (33), получаем

Равенство называют леммой Лоренца. На основе леммы Лоренца доказывается теорема взаимности, имеющая фундаментальное значение. Предположим, что источники первой группысосредоточены в конечном объеме , а источники второй группы - в конечном объеме Области ипространственно разделены (не пересекаются друг с другом).

Интегрируя равенство по произвольной области включающей в себя и (рис. 9), и применяя теорему Остроградского-Гаусса, получаем

где S - поверхность, ограничивающая объем V.

Соотношение является интегральной формулировкой леммы Лоренца.

Распространим интегрирование в уравнении (46) на все пространство. При этом поверхность S уйдет в бесконечность. Не нарушая общности рассуждений, можно считать, что амплитуды векторов убывают с увеличением расстояния от источников быстрее, чем(см. теорему единственности). Тогда при левая часть уравнения (36) обратится в нуль. Учитывая, кроме того, что по предположению вектор плотности сторонних токовотличен от нуля только в объемеа вектор-только в объемеполучаем

В полученном выражении -вектор напряженности электрического поля, создаваемого в точках объематокамираспределенными в объеме, а- напряженность электрического поля, создаваемого в точках объема токами, протекающими в объеме

Соотношение является одной из наиболее общих математических формулировок теоремы взаимности.

Выясним некоторые следствия, вытекающие из этой теоремы. Предположим, что объемы и и распределение токов в них совершенно одинаковы. В этом случае векторытакже будут одинаковыми. Например, пусть имеются две одинаковые антенны 1 и 2 с одинаковым распределением токов. Тогда вне зависимости от того, является ли разделяющее антенны пространство однородным или неоднородным, можно утверждать, что антенна 1 создает у антенны 2 такое же поле, какое антенна 2 создает у антенны 1.

На основе теоремы взаимности можно также доказать, что диаграмма направленности приемной антенны имеет такую же форму, какую она имела бы, если бы антенна работала в качестве передающей. Применение теоремы взаимности в ряде случаев позволяет существенно упростить решение электродинамических задач.

При доказательстве теоремы взаимности предполагалось, что среда, заполняющая рассматриваемое пространство, является линейной и изотропной. Предположим теперь, что среда, оставаясь линейной, является анизотропной. В этом случае параметры (оба или по крайней мере один из них) будут тензорами.

Тогда вместо уравнения получаем

Теорема взаимности будет верна только в том случае, если выполняются равенства

Для этого необходимо, чтобыбыли симметричными тензорами Это условие выполняется для большинства кристаллических сред. Однако в случае гиротропных сред (например, ферритов) тензор является антисимметричным и разностьоказывается отличной от нуля. Поэтому для гиротропных сред теорема взаимности несправедлива.

Размещено на Allbest.ru