Квантовая теория синхротронного излучения заряженных частиц

Размещено на http://www.allbest.ru/

Квантовая теория синхротронного излучения заряженных частиц

Содержание

Введение

1. Постановка задачи

2. Квантовые состояния электрона в магнитном поле. Волновая функция

3. Разделение решений уравнения Дирака по спиновым состояниям. Операторы поляризации

4. Взаимодействие электрона с полем излучения. Квантовые закономерности в интенсивности СИ

Список используемой литературы

Введение

Синхротронное излучение (СИ) - одно из замечательных явлений современной физики - впервые наблюдалось 60 лет назад при движении электронов в циклическом ускорителе - синхротроне.

Природа СИ связана с испусканием электромагнитных волн ускоренно движущимся зарядом. Как известно, в циклическом электронном ускорителе заряд движется по окружности в магнитном поле, практически однородном вдоль траектории частицы. В этих условиях релятивистский электрон, обладая большим центростремительным ускорением, становится источником мощного электромагнитного излучения.

Нужно заметить, что в литературе можно также встретить название «магнитотромозное» излучение. Этот термин, однако, чаще применяется при рассмотрении астрофизических задач.

Проблема излучения релятивистского заряда, движущегося по окружности, рассматривалась методами классической электродинамики Максвелла-Лоренца еще в конце XIX в.Задача об излучении ускоренно движущегося заряда вновь привлекла к себе внимание исследователей в связи с развитием физики космических лучей. Также интерес к задаче об излучении электронов в магнитном поле был связан с весьма бурным развитием техники циклических ускорителей.

Вначале СИ рассматривалась как отрицательное явление, мешающее нормальной работе циклического ускорителя. Однако установление радиационного предела работы бетатрона стимулировало не только переход к новым, более современным методам ускорения электронов, но и инициировало появление большого числа работ, посвященных синхротронному излучению как новому физическому явлению.

Так начался второй этап исследований, связанных с изучением физических свойств самого СИ методами классической и квантовой теории, а также с экспериментальной проверки этих свойств, часто неожиданных и удивительных.

Были открыты важные закономерности, свойственные излучению ультрарелятивистского электрона. Было установлено, что излучение, испускаемое электроном, сосредоточено в узком конусе вокруг мгновенного направления скорости частицы и направлено вперед по её движению. Необычным оказался и спектральный состав излучения. Спектральная кривая СИ напоминает спектр энергии излучения абсолютно черного тела. Излучение электронов с энергией 1 ГэВ эквивалентно в этом случае излучению абсолютно черного тела при эффективной температуре К.

При определенных значениях энергии максимум мощности излучения может попасть в область видимого света. Электрон в этом случае становится светящимся в буквальном смысле этого слова.

Близко к синхротронному излучению примыкает так называемое ондуляторное излучение (ОИ) - спонтанное излучение электронов при их движении в периодическом внешнем поле, вызывающем отклонение частиц на малые углы. На это излучение впервые обратил внимание В.Л.Гинзбург в связи с поисками источников излучения в микроволновом диапазоне.

В отличие от СИ ондуляторное излучение характерно формированием на всей территории движения частицы, и в силу этого оно обладает рядом особенностей.

Интересным оказался вопрос о возможности проявления квантовых эффектов в СИ, которое с момента его открытия считалось сугубо классическим явлением. Развитие квантовой теории СИ на основе применения точных решений уравнения Дирака для электрона в магнитном поле и методов квантовой электродинамики позволило в 1952 г. впервые получить точное выражение для мощности излучения в квантовой теории.

Дальнейшие исследования по квантовой теории СИ касались вопросов влияния дискретного характера испускания фотонов на траекторию движения электрона в магнитном поле.

Таким образом, исследованное вначале как «помеха» в работе циклического ускорителя - бетатрона синхротронное излучение сказалось весьма интересным с точки зрения не только специфических свойств, но также и реализации этих свойств в практическом приложении.

СИ оказывается осень удобным для применения в рентгеновской литографии. Успешное развитие этого направления в технике оказывает непосредственное влияние на разработку и производство приборов микроэлектроники - технологии будущего.

Таким образом физика синхротронного излучения стала в наши дни новым самостоятельным и очень перспективным научным направлением.

Постановка задачи

Исследование квантовых свойств СИ оказалось весьма интересным с точки зрения развития квантовой теории макроскопического движения и привело к открытию принципиальных, порою неожиданных эффектов, имеющих фундаментальное теоретическое и практическое значение.

Первоначальные соображения о возможности проявления квантовых эффектов в СИ были неочевидными: СИ в своих главных чертах хорошо описывались методами классической электродинамики Максвелла- Лоренца, и основные выводы этой теории с большой степенью надежности были подтверждены экспериментально. Так что необходимость исследования квантовых закономерностей СИ - дискретных свойств макроскопического явления - представлялась спорной.

Действительно, обычный критерий применимости классических методов описания излучения релятивистского заряда заключается в том, что энергия испускаемого фотона Eф должна быть мала по сравнению с энергией электрона. При этом, как указали В.В.Владимирский и Швингер, квантовые эффекты могут проявляться только в том случае, если эти величины станут соизмеримы:

Eф

Таким образом, условием возможности классического описания СИ был критерий:

Этот критерий подтверждался также соображениями инвариантности, в силу чего мощность синхротронного излучения, будучи инвариантной, должна зависеть только от инвариантных параметров, одним из которых является:

Где == 4,41*Гс -- швингеровское значение магнитного поля; -- тензор электромагнитного поля; -- четырехмерный вектор - импульс электрона. Оценка энергии, определяемой критерием , для реальных параметров ускорителей приводит к значению эВ, чтоб далеко превосходит энергию частиц не только в действующих, но также и в планируемых на обозримое будущее ускорителях.

Вместе с тем оказалось, что критерий не вскрывает всех особенностей, связанных с дискретными свойствами СИ, и прежде всего это касается проблемы влияния дискретности излучения на движение частицы. Действительно, поскольку энергия излучаемого фотона в максимуме спектра СИ достаточно велика Eф, число таких фотонов, излучаемых за время одного оборота электрона , конечно и равно:

Для более наглядной оценки фактора дискретности излучения можно найти длину пути (в сантиметрах ), проходимого электроном без испускания высокоэнергетических фотонов,



Как видно, это выражение зависит только от напряженности магнитного поля , и при обычных значениях (для ускорителей и накопительных колец) порядка Гс следует, что в среднем один высокоэнергетический фотон излучается на пути 30 см.

Дискретность излучения, выступающая здесь как важный фактор, может сказаться на траектории частицы, вызывая её квантовые флуктуации как следствие эффекта отдачи, испытываемой электроном при испускании им фотонов.

Для определения критерия возбуждения квантовых флуктуаций траектории электрона рассмотрим выражение для его энергетического спектра в постоянном однородном магнитном поле, направленном по оси , а также:

Здесь орбитальное квантовое число соответствует квантованию вращательного движения частицы, а -- радиальное число, имеющее связь с флуктуацией радиуса орбиты вращения :

.

Возбуждение квантовых флуктуаций траектории влечет за собой флуктуации энергии частицы

Поэтому критерий возникновения таких флуктуаций можно установить исходя из условия

Для критического значения энергии, при котором становится возможным возбуждение радиальных степеней свободы (появление числа ) , следует (при ), что

.

Это соответствует энергии электрона 500-1000 МэВ, т.е. области энергий действующих ускорителей и накопительных колец. Критерий как условие возбуждения радиальных степеней свободы электрона был впервые указан А.А.Соколовым в 1949 г.,который положил начало развитию квантовой теории синхротронного излучения.

Таким образом, критическое значение энергии электрона () устанавливает пределы применимости классической теории излучения, а () соответствует проявлению квантовых эффектов, связанных с влиянием дискретности СИ на траекторию движения частицы. Критерий выделяет по существу «квазиквантовую» область энергий: классическое описание излучения уже еще остается справедливым, однако дискретный характер излучения уже начинает проявляться в виде квантовых флуктуаций траектории электрона.

Последовательное развитие квантовой теории СИ подтвердило оба критерия ( и ) и дало возможность выявить физическое содержание квантовых закономерностей в условиях макроскопического движения.

С одной стороны, строгими методами квантовой теории было установлено, в частности, что квантовые поправки к классическому выражению для мощности синхротронного излучения имеют характер разложения по параметру

в предположении его малости, т.е. при условии «. При классическая теория изучения становиться полностью неприменимой.

С другой стороны, более детальный анализ квантовых свойств синхротронного излучения показал, что начиная с энергий возникает особое квантовое явление (не свойственное классической теории): флуктуации радиуса орбиты электрона - квантовое уширение траектории. При этом электрон движется подобно Броуновской частице, испытывая стохастические воздействия при испускании фотонов.

Большой интерес развитие квантовой теории СИ представляло в связи с задачей изучения поведения спина электрона в условиях высоких энергий частиц.

Развитие квантовой теории СИ с учетом спиновых свойств электрона привело к открытию эффекта радиационной поляризации электронов и позитронов в накопительных кольцах. Вследствие этого эффекта неполяризованный вначале пучок электронов по причине синхротронного излучения приобретает преимущественную ориентацию спина против направления магнитного поля. Ориентация спинов позитронов оказывается противоположной.

Развитие квантовой теории макроскопического движения открывает также возможность исследования состояний электрона в магнитном поле в экстремальных условия, когда напряженность поля достигает очень больших значений - порядка швингеровского поля Гс. Это представляет особый интерес в решении ряда задач астрофизики в связи с тем, что подобные магнитные поля существуют вблизи нейтронных звезд - пульсаров. Изучение поведения вещества в этих условиях возможно только методами квантовой теории.

Приведенные здесь соображения легли в основу построения квантовой теории движения и излучения электронов в магнитном поле.

Развитие квантовой теории СИ целесообразно проводить на основе квантовой релятивистской механики и квантовой электродинамики, применяя так называемый метод точных решений уравнения Дирака. В соответствии с этим методом волновая функция, описывающая квантовые состояния электрона, подчинена уравнению Дирака

,

где -- кинетический импульс; и относятся соответственно к внешнему электромагнитному полю(, ) и квантовому поперечному полю излучения ().

Обычная теория возмущений, предполагающая путь решения уравнения Дирака в виде разложения волновой функции в ряд по внешнему полю (, ), здесь не применима, так как эффекты, связанные с внешним полем (в особенности в случае сильного поля), могут быть существенно нелинейными. Вместе с тем процессы, происходящие с электроном в связанном состоянии при его взаимодействии с электромагнитным полем излучения (константа взаимодействия ), можно при этом рассматривать по теории возмущений, имея в виду точное определение волновой функции «нулевого» приближения в связанном состоянии. Таким образом, в уравнении Дирака внешнее электромагнитное поле , учитывает точно, а квантованное поле излучения -- по теории возмущений.

При таком подходе все разложения в теории возмущений производят по полной системе волновых функций , являющихся точными решениями уравнения Дирака для электрона в связанном состоянии. Впервые в задаче о синхротронном излучении этот метод был предложен А.А.Соколовым. Позже метод точных решений получил название картины Фарри, который показал, что формализм Фейнмана - Дайсона можно обобщить на случай, когда электрон не свободен, а находится в связанном состоянии.

Метод точных решений дает возможность учесть любые значения напряженности внешнего поля. В частности, в случае магнитного поля в силу устойчивости вакуума допустимо рассматривать даже значения напряженности поля большие критического значения Гс, существующие, по-видимому, в глубине пульсаров.

В магнитном поле сколь угодно большой напряженности рождение электрон-позитронных пар из вакуума не происходит и метод точных решений не имеет огрничений, связанных с напряженностью магнитного поля .

Квантовые состояния электрона в магнитном поле. Волновая функция

Рассмотрим волновую функцию электрона, движущегося в постоянном и однородном магнитном поле, которое для определенности будем полагать направленным по оси цилиндрической системы координат. Тогда вектор-потенциал постоянного магнитного поля выберем в виде

При этом

,

И гамильтониан уравнения Дирака имеет выражение

Заряд электрона в дельнейшем полагаем , где .

Как известно, для определения состояний электрона необходимо задание четырех квантовых чисел -- трех, соответствующих движению в пространстве, и четвертого, определяющего внутреннюю степень свободы электрона, т.е. связанного со спином. Таким образом, для полного набора , характеризующего квантовое состояние частицы, нам необходимо выбрать четыре оператора, каждый из которых коммутирует с гамильтонианом и является интегралом движения. При этом все эти операторы будут иметь общую для них волновую функцию.

В рассматриваемой задаче о движении электрона в магнитном поле можно потребовать, чтобы волновая функция была собственной для следующих операторов:

1) энергии

2) проекции импульса на направление магнитного поля

3) проекции полного момента количества движения на направление поля

Для определения спинового состояния, т.е. разделения решений уравнения Дирака по спину, необходим четвертый оператор, коммутирующий с гамильтонианом, -- оператор поляризации. Но пока ограничимся рассмотрением решений уравнения Дирака без их разбиения по спину.

В рассматриваемой стационарной задаче переменные в уравнении Дирака разделяются и волновую функцию можно представить в виде

где -- энергия электрона; -- импульс частицы, характеризующий движение вдоль магнитного поля; -- азимутальное квантовое число; -- длина периодичности. Детали вычисления матрицы опускаются, результат вычисления записывается в виде функции Лагерра

)

где -- полином Лагерра,

-- главное или энергетическое квантовое число, ; -- радиальное число. Оба квантовых числа и принимают целые положительные значения. При этом матрица имеет вид

В этом выражении коэффициенты связаны уравнением Дирака:

(1)

и условием нормировки ; конкретный вид этих коэффициентов зависит от выбора оператора поляризации - четвертого оператора, определяющего квантовое состояние электрона. К этому вопросу будут даны пояснения ниже.

Спектр энергии электрона

(2)

определяется главным квантовым числом и импульсом вдоль направления магнитного поля , принимающего непрерывные значения. В случае макроскопического движения электрона главное квантовое число принимает очень большие значения и спектр энергии является квазинепрерывным. В нерелятивистском приближении квантование периодического движения в плоскости, перпендикулярной к магнитному полю , переходит в эквидистантный спектр (уровни Ландау)

где -- циклотронная частота.

Иное положение в случае сильных магнитных полей. Преобразуем выражение для энергии (1) к несколько другому виду и предположим, что движение вдоль поля отсутствует. Тогда получим выражение

,

Из которого видно, что при движение даже на низких уровнях () становится релятивистским, а спектр энергии существенно дискретным.

Рассмотри подробнее физический смысл квантовых чисел, для этого найдем с помощью волновой функции квадратичную флуктуацию радиуса

;

(3)

Вводя далее по общим правилам квадратичную флуктуацию радиуса (дисперсию), находим, что её значение определятся радиальным квантовым числом

(4)

Дадим теперь классическую интерпретацию полученных выводов. Как известно, в случае движения электрона в плоскости орбиты вращения энергия частицы и радиус орбиты связаны соотношением

Чтобы установить связь радиуса с квантовыми числами, рассмотрим движение электрона по окружности радиусом , центр которой не совпадает с началом координат. Пусть расстояние от центра окружности до центра координат равно (рис.1). Тогда среднее по углу значение квадрата радиуса будет равно:

Сравнивая это выражение с (3), находим, что

(5)



Рис.1

т.е. радиус определяется главным квантовым числом, а радиальное квантовое число характеризует расстояние центра траектории от начала координат.

Из сравнения (4) и (5) следует также связь a и квадратичной флуктуации радиуса

Исходя из полученных формул, можно дать объяснение пределов изменения азимутального квантового числа . Действительно, находим

т.е. положительные значения соответствуют тому, что начало координат, находится внутри окружности , а отрицательные - вне её () . В дальнейшем ограничимся рассмотрением случая, когда центр окружности, по которой происходит движение частицы, близок к началу координат, т.е. . При этом естественно ограничиться положительными значениями орбитального квантового числа

Из выражения для радиуса орбиты вращения электрона видно, что в случае экстремально сильных полей происходит сильная локализация частицы в плоскости орбиты вращения

(6)

В этом можно убедиться исходя из вида волновой функции . Плотность вероятности ради- ального распределения электрона будет определяться функциями Лагерра, которые в случае низких уровней энергии (~1) пропорциональны экспоненте . Отсюда следует, что область пространственной локализации электрона имеет порядок, т. е. вновь получается результат (7) (ультраквантовая область движения частицы).

Таким образом, основное и низшие возбужденные состояния электрона в сверхсильном магнитном поле сильно локализованы-- волновой пакет, описывающий движение частицы в плоскости, перпендикулярной магнитному полю, имеет характерный размер порядка комптоновской длины волны, а при даже меньше ее. Вследствие этого в полях порядка экстремального поля вещество ведет себя необычным образом. Так, например, резко изменяются свойства атомов: атом водорода деформируется в сильном магнитном поле, приобретая игольчатую форму, -- он сильно вытянут вдоль направления поля, поскольку его характерный размер вдоль поля остается равным см, а в плоскости, перпендикулярной полю Н, локализация электрона сжимает атом до размеров порядка см.

В обычных условиях движения частицы в ускорителе или накопительном кольце магнитное поле 10⁴ Гс, а радиус орбиты электрона -- десятки и сотни метров. При этом квантовое число п принимает очень большие значения и спектр энергии становится квазинепрерывным. Так, в частности, для Н =10⁴ Гс и = 100 м ~10¹⁸ -- движение квазиклассическое. Полученные решения уравнения Дирака достаточно строго описывают все случаи движения электрона, включая и ультраквантовую и квазиклассическую области. Это открывает широкие возможности для исследования квантовых эффектов, включая макроскопическую область движения частицы.

Разделение решений уравнения Дирака по спиновым состояниям. Операторы поляризации

Вернемся к рассмотрению волновой функции электрона, движущегося в постоянном и однородном магнитном поле.В целях детального исследования поведения спина частицы в условиях синхротронного излучения оказалось целесообразным провести разделение решений уравнения Дирака по спиновым состояниям.

Как уже отмечалось, наряду с операторами для определения спиновых состояний необходим четвертый оператор, коммутирующий с гамильтонианом, -- оператор поляризации. В качестве такого оператора рассмотрим так называемый трехмерный вектор -- оператор спина, который для свободной частицы имеет вид

(8)

Этот оператор, впервые введенный Штехом, является единичным: его проекция на любое направление в пространстве удовлетворяет требованию

Как видно из(), в системе покоя частицы трехмерный вектор спина равен в направлении движения частицы (продольная поляризация). Поскольку, таким образом,является унитарным преобразованием обычного оператора спина, собственные значения совпадают с собственными значениями оператора спина в системе покоя. Поэтому волновая функция преобразуется из системы покоя в лабораторную систему с помощью преобразований Лоренца безотносительно к состояниям поляризации: поляризация остается неизменной во всех системах отсчета.

Заметим далее, что на решениях уравнения Дирака вид оператора может быть несколько изменен: с помощью получим выражение

которое допускает простое обобщение на случай движения частицы в магнитном поле.

Действительно, заменяя в соответствии с общими правилами на кинетический импульс, получаем

Однако теперь при движении электрона в магнитном поле в отличие от движения свободной частицы в общем случае не коммутирует с гамильтонианом. Но тем не менее можно найти интеграл движения: сохраняется проекция на направление движения электрона (продольная поляризация) и проекция на направление магнитного поля

Выбирая теперь в качестве оператора поляризации (поперечная поляризация) и подчиняя волновую функцию требованию быть собственной для этого оператора

(7)

где С= --1 соответствует ориентации спина электрона соответственно вдоль и против магнитного поля, получаем возможность определения всех необходимых чисел, характеризующих состояние: п -- главного квантового числа (энергии электрона); -- импульса электрона вдоль поля;-- проекции полного момента на направление поля; -спина. Спиновые коэффициенты определяются из (6) и имеют вид

(8)

Как видно, при переходе в систему покоя решения (8) переходят в паулиевские волновые функции, которые соответствуют двум альтернативным ориентациям спина по отношению к внешнему магнитному полю. Такой подход (без введения оператора поляризации) развивался одним из нас в ранних исследованиях спиновых эффектов.

Остановимся далее на вопросе о введении в теорию СИ ковариантных операторов поляризации. Вопрос прежде всего заключается в том, что введение оператора для описания спиновых свойств электрона не является единственной возможностью. Более того, сам оператор вызывает известное чувство неудовлетворенности -- он является нековариантным и преобразуется при переходе к новой лоренцевой системе координат по особым правилам.

Следует заметить, что наиболее просто и естественно спиновые свойства электрона могут быть описаны в случае нерелятивистского движения. Тогда в соответствии с теорией Паули спин частицы определяется совершенно независимо от ее орбитального движения с помощью оператора , содержащего двухрядные матрицы Паули , собственные значения которых ±1. Именно это обстоятельство и лежало, по-видимому, в основе предложения Дарвина определять поляризацию свободного электрона как ожидаемые значения спинового оператора, а в лоренцевой системе координат, в которой электрон покоится.

Вопрос об определении спина в релятивистской теории Дирака становится более сложным: сохраняется, как известно, только полный момент количества движения

и в силу этого, вообще говоря, спиновые и орбитальные свойства движения частиц выступают как неразрывное целое. Поэтому задача описания спиновых свойств электрона в случае его релятивистского движения становится связанной с возможностью инвариантного отделения спина от полного момента количества движения. Мы вернемся еще к этому вопросу, но прежде рассмотрим ковариантные операторы поляризации.

Ковариантная формулировка теории в известной мере вносит сложности в физическую интерпретацию операторов. Для достижения большей ясности в этом вопросе удобно рассмотреть унитарное преобразование Фолди -- Ваутхайзена (ФВ-преобразование), которое переводит волновую функцию свободной частицы из лабораторной системы в систему покоя, вследствие чего функция становится двухкомпонентной:

Так как при унитарном преобразовании операторов

их средние значения не меняются, то для перевода самих операторов в систему покоя преобразование Фолди -- Ваутхайзена следует дополнить соответствующим операторным преобразованием Лоренца

где матрица преобразования для случая движения системы координат вдоль оси имеет обычный вид преобразований Лоренца. В дальнейшем нам потребуется обратное преобразование, которое реализуется с помощью матрицы

(9)

элементы которой" приведены в явном виде,.

Воспользуемся далее обратным преобразованием операторов из системы покоя в лабораторную систему координат, тогда

(10)

Прежде чем перейти к рассмотрению ковариантных операторов поляризации, заметим, что в релятивистской теории Дирака интерпретация операторов затрудняется (как это отмечалось еще Дираком) ввиду сложного характера движения релятивистской частицы. Электрон Дирака совершает особое «дрожащее движение» (zitterbewegung), характеризуемое наряду с поступательным движением быстрыми осцилляциями с частотой .Подобный сложный характер движения обусловлен особым процессом интерференции состояний, соответствующих различным знакам (±Е), поскольку уравнение Дирака описывает зарядово-сопряженные состояния частицы с энергией. Преобразование Фолди -- Ваутхайзена, приводящее волновую функцию к двухкомпонентному виду, устраняет трудности с «дрожащим движением», поскольку операторы в ФВ-представлении не смешивают между собою зарядово-сопряженные состояния. Подобный подход (справедливый только для свободных частиц) снимает многие трудности, связанные с физической интерпретацией операторов.

Рассмотрим прежде всего уже известный нам оператор рз0 с точки зрения унитарного ФВ-преобразования. Выбирая в качестве исходного оператора в системе покоя электрона

(10)

получаем уже известный трехмерный единичный оператор спина

и, подвергая его преобразованиям Лоренца в соответствии с(8),(9), получаем релятивистское ковариантное обобщение в лабораторной системе координат в виде четырехмерного псевдовектора спина Баргмана -- Вигнера

(11)

где

(12)

К такому же выражению можно прийти в результате преобразования (11) для (мы привели все величины к безразмерному виду). Такое ковариантное обобщение не является единственно возможным. Требование (9) преобразования по закону трансформации 4-вектора может быть заменено преобразованием по закону тензора второго ранга. Тогда, полагая

где; -- известный символ Леви -- Чивита, приходим к тензору поляризации -- антисимметричному тензору второго ранга

где отличные от нуля компоненты имеют вид

При этом компоненты операторов магнитной и электрической поляризаций равны

(13)

(отдельные компоненты операторов можно найти в ранних работах А. А. Соколова.)

Таким образом, псевдовектор спина (12) и тензор-оператор поляризации (13) являются инвариантным обобщением единичного вектора спина и получаются путем его преобразования из системы покоя в лабораторную систему. Отсюда следует, что все три способа описания спина свободного электрона: , полностью эквивалентны.

В случае движения частицы во внешнем электромагнитном поле операторы допускают простое обобщение, которое достигается обычной заменой на оператор кинетического импульса, где А -- вектор-потенциал внешнего поля. Вопрос об интегралах движения должен быть рассмотрен конкретно для данной задачи. Так, в частности, в задаче о движении электрона в однородном магнитном поле в качестве оператора поляризации, позволяющего разделить решения уравнения Дирака по спиновым состояниям, наряду с можно выбрать также коммутирующие с гамильтонианом проекции

являющиеся интегралами движения. Заметим, что оператор сохраняет свойства интеграла движения и при учете аномального момента электрона.

Все эти операторы обладают ковариантными свойствами и в нерелятивистском приближении автоматически переходят в матрицы Паули, допуская тем самым простую физическую интерпретацию.

Наряду с рассмотренными операторами поляризации можно ввести также инварианты с помощью которых поляризационные состояния электронов в магнитном поле можно определить в качестве собственных значений этих операторов:

(14)

которые в случае однородного магнитного поля имеют вид

Здесь-- магнетон Бора, a и-- соответственно тензор электромагнитного поля и дуальная к нему величина, .Как видно из (14), оба инварианта выражаются через оператор . Инвариант был впервые введен в теорию СИ в1967, с нашей точки зрения, метод инвариантов наиболее предпочтителен при описании Спиновых свойств частиц

Мы уделили особое внимание вопросам описания спиновых свойств электрона при его движении в магнитном поле. На первый взгляд это кажется не совсем оправданным, однако принципиальные вопросы возможности измерения спина релятивистских частиц требуют с нашей точки зрения глубокого анализа.

Вернемся теперь к полному моменту количества движения и рассмотрим оператор координаты г в ФВ-представлении. Пусть в системе покоя -- суть координата в теории Дирака. Тогда унитарное ФВ-преобразование дает в лабораторной системе

В случае отсутствия движения () мы приходим к так называемому оператору «центра инерции», впервые встречающемуся у В. А. Фока. Физически с помощью ФВ-преобразования устраняется дрожание координаты, и теперь оператор координаты центра инерции показывает, что электрон как бы размазывается в области пространства, радиус которой имеет порядок комптоновской длины волны,-- так называемый квантовый радиус электрона. Если теперь в выражении для орбитального момента произвести замену радиуса-вектора оператором центра инерции, то получим, что полный момент количества движения равен

Важно подчеркнуть, что теперь в этом выражении сохраняется каждый из моментов (орбитальный и спиновый) в отдельности.

Таким образом, мы приходим к доказательству принципиальной возможности наблюдения спиновых свойств частиц в релятивистском движении независимо от орбитального движения.

И в заключение отметим, что наряду с ФВ-преобразованием предингеровское дрожание может быть устранено на пути выделения так называемой четной части операторов. Переход к дефинитной четности операторов открывает возможности их наглядной интерпретации при соблюдении необходимых требований ковариантности. Выделение четной части операторов не смешивающей состояния, принадлежащие различному знаку энергии, достигается введением знакового оператора

(мы ограничиваемся рассмотрением чисто магнитного поля). Тогда четная часть оператора имеет вид

(15)

если ограничиться только положительными значениями энергии. Такой подход возможен в одночастичном варианте теории, когда напряженность внешнего поля далека от критических значений. В этих ограничениях с помощью антикоммутатора (14) можно показать, что

т. е. на этом пути мы снова приходим к операторам 4-псевдовектора спина и тензора поляризации.

Приведем теперь матрицу спиновых коэффициентов для разделения решений уравнения Дирака с помощью оператора поляризации, связанного с инвариантом:

Наложив на волновую функцию требование быть собственной функцией этого оператора

получим систему уравнений

(15)

которая имеет нетривиальные решения при. Это соответствует двум возможным спиновым состояниям электрона: проекции спина вдоль магнитного поля () и против поля (). Совместное решение (15) и (1) приводит к результату

где

Таким образом, закончено определение полного набора, необходимого для описания квантовых состояний электрона в постоянном и однородном магнитном поле. Можно лишь в заключение отметить, что для описания состояний поляризации по отношению к направлению магнитного поля оба оператора () в известной степени эквивалентны. Это вытекает из следующей, имеющей место связи между ними:

При отсутствии движения частицы вдоль направления магнитного поля () эти операторы совпадают, и поэтому их применение полностью равносильно. Однако при учете отдачи при излучении фотонов электроном может измениться составляющая импульса частицы вдоль поля, поэтому влияние квантовых флуктуации на спиновые состояния, собственные для операторов , может оказаться различным.

В связи с этим надо заметить, что для разделения состояний электрона по спиновым состояниям нам представляется более предпочтительным оператор, обладающий ковариантными свойствами, он непосредственно связан с инвариантами, хотя в главных чертах описание закономерностей в квантовых эффектах можно провести и с помощью.

Учет взаимодействия электрона с электромагнитным полем излучения, строго говоря, приводит к смешанным состояниям, и это требует для описания спиновых свойств частицы введения матрицы плотности. Этого вопроса мы коснемся позже.

Взаимодействие электрона с полем излучения. Квантовые закономерности в интенсивности СИ

Согласно квантовой теории будем рассматривать излучение электромагнитных волн движущимся электроном как результат спонтанных переходов электрона в более низкое энергетическое состояние. Как известно, физической причиной таких переходов является взаимодействие электрона с полем излучения: это взаимодействие электрона с полем излучения: это взаимодействие не прекращается даже тогда, когда в начальный момент времени реальные фотоны отсутствуют (взаимодействие с электромагнитным вакуумом). Наиболее последовательной постановкой задачи об излучении является рассмотрение взаимодействия электронов с квантованным полем излучения в предположении, что сами электроны описываются волновыми функциями -- решениями уравнения Дирака, учитывающими внешнее магнитное поле точно. Такой метод решения задачи (метод точных решений), в основе которого лежит описание частицы с помощью волновой функции, точно учитывающей внешнее электромагнитное поле, дал возможность не только теоретически предсказать ряд важных закономерностей в синхротронном излучении, но и получить их точное описание.

Как известно, волновая функция поперечного электромагнитного поля излучения в вакууме может быть представлена в виде фурье-разложения векторного потенциала по плоским волнам

Поскольку электромагнитное поле поперечно, удобно взять калибровку потенциала в виде, т. е., где. Для квантованного поля фотонов амплитуды и являются операторами рождения и уничтожения частиц и подчиняются перестановочным соотношением для бозе-поля:

Синхротронное излучение

где индексы соответствуют проекции амплитуд вектор-потенциала на оси координат. При исследовании спонтанного излучения, когда в начальный момент времени фотоны отсутствуют, отличными от нуля остаются лишь следующие билинейные комбинации

автоматически учитывающие рождение фотонов.

Поляризационные свойства излучения можно рассмотреть методом, аналогичным классической теории. В целях исследования линейной поляризации разобьем амплитуду поля фотонов а на две взаимно перпендикулярные составляющие

где единичные векторы соответствуют - и -компонентам линейной поляризации:



Вектор направлен вдоль магнитного поля. Для рассмотрения круговой поляризации следует представить амплитуду в виде

где

причем соответствует двум состояниям круговой поляризации (правой и левой). Перестановочные соотношения для амплитуд имеют особо простой вид

Введем далее взаимодействие электрона с полем фотонов в гамильтониан уравнения Дирака

При этом энергия взаимодействия, рассматриваемая далее по теории возмущений,



Дальнейшее рассмотрение проводится обычным методом теории возмущений в виде необходимых разложений матричных элементов по функциям нулевого приближения -- точным решениям уравнения Дирака для электрона во внешнем поле (представление Фарри).

В результате достаточно стандартного расчета можно получить выражения для вероятности квантовых переходов и мощности синхротронного излучения W:

(16)

Эти выражения соответствуют квантовому переходу электрона из состояния, и индекс i соответствует компонентам поляризации излучения,. Функция,-, учитывающая поляризационные свойства излучения, связана с элементами матриц Дирака:

;

;

,

где

( -- угол между направлениями поля Н(ось )соответствует плоскости орбиты вращения электрона). Матричные элементы матриц Дирака

выражаются через функции Лагерра I_nn'(x) и /_SS'(x), где . При этом

(17)

-функция в правой части (17) выражает закон сохранения импульса вдоль поля -- учитывает эффект отдачи при излучении электроном фотона, спиновые коэффициенты зависят от ориентации спина в начальном, и конечном состояниях, -функция связана с законом сохранения энергии при излучении фотона.

Приведенные здесь общие формулы, входящие в выражение для мощности излучения (16), открывают возможность исследования всех характеристик синхротронного излучения для любых значений энергии частицы (включая и низшие уровни) и напряженности магнитного поля. Сейчас, однако, рассмотрим случай движения электрона по макроскопической орбите, когда значения квантовых чисел и очень велики. Это дает возможность, в частности, перейти к непрерывному спектру, заменив суммирование в (16) интегрированием по:

где

при этом

связана с инвариантом

(18)

Здесь-- тензор электромагнитного поля. В случае квазиклассического движения, когда квантовые числа принимают очень большие значения, функции Лагерра могут быть аппроксимированы функциями Бесселя постоянного индекса 1/3 -- функциями Макдональда

причем . Эту аппроксимацию можно положить в основу выражения для мощности синхротронного излучения. Следуя правилам, получаем

(19)

где, характеризующие компоненты линейной поляризации СИ , имеют вид

(20)

При этом -- функции-- зависят от аргумента. Эти формулы полностью характеризуют спектрально-угловое распределение мощности синхротронного излучения, включая квантовые переходы электрона с изменением ориентации спина (так называемые spin-flip-переходы). Мы не рассматриваем круговую поляризацию излучения и не приводим детальных расчетов.

Далее прежде всего остановимся на выражении для спектрального распределения мощности СИ и с этой целью проинтегрируем (19), (20) по телесному углу. Эти интегралы можно взять точно, и тогда можно получить

(21)

где

(22)

Как видно из (22), мощность синхротронного излучения зависит только от . Действительно, поскольку мощность излучения является инвариантной, зависимость от параметра, имеющего прямую связь с инвариантом (18), является вполне очевидной. Представляет интерес оценить значение для разной напряженности магнитного поля, включая экстремальные поля, встречающиеся в природе. Так, в частности, для магнитных полей, применяемых обычно для ускорителей и накопительных колец, поле имеет порядок 10⁴ Гс, и тогда. Это очень маленькое значение, поэтому по параметру возможно разложение всех выражений характеризующих мощность излучения. Это соответствует квантовым поправкам к классическому выражению для мощности СИ, поскольку параметр содержит постоянную Планка . Для магнитного поля, наблюдавшегося вблизи белых карликов ~5-10⁸ Гс, параметр остается малым вплоть до энергий электрона ~100ГэВ, а для магнитного поля, наблюдавшегося вблизи и поверхности пульсаров ~10¹² Гс, параметр, поэтому разложение по этому параметру имеет ограниченный предел по энергии электрона. В случае, если порядка единицы и даже превышает это значение, разложение в виде ряда по параметру, содержащему постоянную Планка, становится невозможным, и квантовые закономерности приобретают фундаментальное значение (ультраквантовый случай)

Формулы для мощности синхротронного излучения (21),(22) включают в себя также члены, соответствующие излучению, которое сопровождается переворотом спина ( компоненты). Как видно из этих выражений, мощность такого излучения пропорциональна квадрату , т.е. квадрату постоянной Планка . Поскольку - компонента излучения содержит явную зависимость от ориентации спина, синхротронное излучение, сопровождающееся переворотом спина, оказывает влияние на его ориентацию и стимулирует направленный процесс поляризации пучка электронов.

Обращает на себя внимание, что зависимость от ориентации спина входит также в - компоненту излучения, не сопровождающегося изменением поляризации.

Важно, что это имеет не только академический интерес. Действительно, в предположении малости параметра (квазиквантовый случай) можно ограничиться в (22) линейными по членами, и тогда получим

`

Отсюда следует, что поляризованный пучок электронов со спином, ориентированным против магнитного поля (<0), будет излучать несколько больше, чем неполяризованный пучок. В коротковолновой области спектра () открывается наиболее благоприятная возможность для наблюдения спиновой зависимости СИ. При этом добавочная мощность СИ, связанная с ориентацией спина, имеет вид

Тогда при, используя асимптотическое поведение функции Макдональда , нетрудно получить, что

Поэтому при наблюдении мощности СИ на фиксированной частоте спектра можно определить поляризационные характеристики пучка частиц.

Найдем теперь выражение для мощности СИ, просуммированное по состояниям поляризации электрона и поляризации фотонов:

и сравним это с формулой мощности синхротронного излучения, испускаемого бесспиновой частицей (бозоном со спином 0),

Разность этих выражений, обязанная излучению частицей со спином 1/2, равна



и при малых это выражение дает

Мы вернемся к обсуждению физического содержания этой величины, пока лишь отметим, что разность в этих формулах соответствует мощности излучения неполяризованного электрона и ее значение пропорционально квадрату постоянной Планка . Для поляризованного электрона (имеющего ориентированный спин) различие в мощности излучения по сравнению с бесспинвой частицей проявляется уже в членах, линейных по .

Рассмотрим теперь интегральную мощность СИ и с этой целью проинтегрируем выражение для матричных элементов (22) по спектру, т. е. по dy. Как видно из (21) и (22), вычисления сводятся к линейной комбинации интегралов типа

Впервые задача точного вычисления мощности СИ, равномерно пригодного для любых значений параметра, включая и ультраквантовую область, была решена В. Г. Багровым. При этом оказалось возможным выразить мощность излучения через специальные функции,, связанные с функциями Бесселя от мнимого аргумента и функции Ангера:



Таблицы значений этих функций дают возможность найти мощность СИ при любых заданных. Мы, однако, рассмотрим асимптотические приближенные выражения, которые можно получить непосредственно из (21) и (22), минуя точное интегрирование. Прежде всего остановимся на случае, когда инвариантный параметр меньше единицы. Физически это соответствует Критерию малости энергии излучаемых фотонов по сравнению с энергией электрона, т. е. случаю (квазиквантовое приближение). Тогда, разлагая все величины, входящие в интегралы (21), по параметруи сохраняя члены не выше второго порядка малости, т. е. до второго порядка разложения по постоянной Планка, после интегрирования с помощью известного значения интеграла

(23)

[--гамма-функция Эйлера] получаем

(24)

Эти формулы наиболее полно описывают основные особенности квантовых поправок к классическому выражению для мощности синхротронного излучения W^KJI. Из (23) видно, что - компонента излучения в случае поляризованного электрона зависит от начальной ориентации спина, причем эта зависимость входит в члены, пропорциональные первой степени постоянной Планка . Переворот спина сказывается в членах, пропорциональных , причем вероятность переворота в - компоненте зависит от начальной ориентации спина, вследствие чего пучок электронов может получить преимущественную ориентацию спина. На этом мы остановимся более подробно позже при рассмотрении эффекта радиационной поляризации электронов и позитронов.

Найдем теперь полное выражение для мощности синхротронного излучения, суммируя (24) по поляризациям: - и -компонентам, а также конечному спину, сохраняя начальную ориентацию спина . Тогда можно получить

Несмотря на то что эти поправки были известны уже давно, интерес к их происхождению не исчезал, но до последнего времени физическая интерпретация встречала трудности. Эти трудности объясняются тем, что в релятивистской квантовой механике спиновые и орбитальные свойства частиц находятся в тесном единстве, и их раздельное истолкование, как это известно, возможно только в нерелятивистском приближении.

Введение ковариантных операторов поляризации, коммутирующих с гамильтонианом, и разделение с их помощью решений уравнения Дирака по спиновым состояниям можно рассматривать в этом отношении как известный шаг вперед, открывающий возможность исследования спиновых свойств релятивистских частиц наряду с орбитальным движением.

Существенный прогресс в квазиклассическом методе рассмотрения мощности СИ с учетом спиновых свойств электрона был достигнут В. А. Бородовицыным, которому удалось дать простое физическое объяснение всем квантовым поправкам к мощности синхротронного излучения, включая члены порядка , пропорциональные . При этом движение электрона предполагается ультрарелятивистским, что исключает известный подход к интерпретации квантовых закономерностей путем разложения по параметрам, содержащим отношение . Приведем здесь краткие результаты этого анализа .

Поправка,подтвержденная Швингером , характеризует вклад в излучение, обусловленный эффектом отдачи, испытываемой электроном при излучении фотона. Эффект отдачи одинаков для фермионов и бозонов, поэтому та же поправка входит и в мощность излучения бесспиновой частицы.

Более сложную природу имеет поправка пропорциональная , зависящая от ориентации спина электрона. Она свойственна только поляризационному электрону и при усреднении по спину () исчезает. Эта поправка, наиболее трудно поддающаяся объяснению, возникает из-за смешанного излучения электрона--заряда, движущегося по орбите и электрона -- магнитного диполя. Таким образом, поправка отражает своеобразную связь спинового и орбитального движения частицы. Как было показано, при этом также проявляется эффективная масса частицы со спином во внешнем поле. Важно заметить, что поправка к мощности синхротронного излучения хотя и не связана с переворотом спина электрона, но тем не менее она оказывает влияние на его динамику. К этому вопросу мы вернемся несколько позже.

Рассмотрим члены в выражении для мощности СИ, пропорциональные (квадрату постоянной Планка), и постараемся им также дать физическое объяснение. Поправка , одинаковая для электронов и бесспиновой частицы, характеризует эффект отдачи при излучении во внешних членах по, а поправкаявляется разностью и включает в себя наряду с эффектом отдачи также и переворот спина, т. е. излучение магнитного момента неполяризованного электрона. И, наконец, поправка содержит в совокупности вклад от интерференции излучения заряда и магнитного момента электрона, а также эффект отдачи, испытываемой поляризованным электроном.

Мы подробно остановились на вопросах интерпретации квантовых поправок к классическому выражению для мощности, поскольку это представляет интерес с точки зрения физического понимания квантовых закономерностей синхротронного излучения.

И в заключение изложения вопросов, связанных с квантовыми свойствами мощности СИ, рассмотрим ультраквантовый случай движения частицы, когда. Такой случай может реализоваться в условиях экстремально сильных магнитных полей и высоких энергий частицы.

Возвращаясь к выражениям для мощности СИ, включающим любые значения параметров, можно заметить, что множитель в знаменателе интеграла по спектру автоматически обрывает интеграл при , если переменная интегрирования , т. е. главный вклад дают значения - При этом для функций можно воспользоваться асимптотическим выражением

и тогда, имея в виду значение интеграла



можно получить

(25)

где-- глобальная (полная) мощность излучения, в отличие от она имеет вид

(26)

Из полученных формул следует, что при больших значениях энергии электрона переходы с изменением ориентации спина вносят вклад в основной член полной мощности. При этом уменьшается направленность в изменении ориентации спина, поскольку, как это видно из (25), мощность СИ слабо зависит от начальной ориентации спина.

Важно заметить, что в отличие от квазиклассического случая Движения частицы, когда и квантовые эффекты дают малые поправки к классическим формулам, в ультраквантовом случае основной член является квантовым и переход к классическому приближению невозможен.

В квазиклассическом случае движения электрона максимум излучения соответствует частоте

а в ультраквантовом случае спектр обрывается на частоте

(27)

намного меньшей, чем

Действительно, электрон не может излучать энергию больше, чем его энергия Е. Это наглядно следует из общего выражения для частоты излучения

или (28)

При отсюда следует сразу же (27). Заметим также, что из этой формулы в квазиклассическом случае, когда, получается и обычное значение критической частоты (28), если иметь в виду, что переменная интегрирования порядка единицы:.

Соответствующие вычисления глобальной мощности синхро-тронного излучения, проведенные для бесспиновой частицы, приводят к значению (26), но с численным коэффициентом почти в 2 раза меньше:. Таким образом, роль спина в случае возрастает.

Случай движения, соответствующий ультраквантовому приближению, может представить интерес для ряда задач астрофизики, в которых встречаются экстремально высокие энергии частиц, а также в условиях экстремально больших магнитных полей Гс. Общее исследование возможности рассмотрения таких полей было проведено Гейзенбергом, причем им была доказана возможность решения задачи движения электрона в таком поле в виде одноэлектронной проблемы независимо от напряженности магнитного поля. В противоположность этому последовательная постановка одно-электронной задачи о движении частицы в электрическом поле возможна лишь при условии. При поле Е, близком к критическому, становится возможным рождение пар и задача, таким образом, выходит за пределы одноэлектронного рассмотрения.

Задача о движении и излучении электрона в сверхсильном магнитном поле впервые была рассмотрена В. Г. Багровым, О. Ф. Дорофеевым и И. М. Терновым. Особенностью этой задачи является характерная для этого случая дискретность энергетического спектра

(29)

...