Аналитические решения задач теплопроводности при переменных во времени источниках теплоты

Размещено на http://www.allbest.ru/

Аналитические решения задач теплопроводности при переменных во времени источниках теплоты

Е.В. Стефанюк

С использованием интегрального метода теплового баланса на основе введения фронта температурного возмущения и дополнительных граничных условий рассматривается методика получения аналитических решений краевых задач теплопроводности с переменными во времени внутренними источниками теплоты, позволяющая получать решения удовлетворительной точности во всем диапазоне изменения числа Фурье. Решения имеют простой вид степенных алгебраических полиномов, не содержащих специальных функций, что позволяет выполнять исследования в полях изотерм с определением скоростей их движения по пространственной координате во времени.

Ключевые слова: интегральные методы, фронт температурного возмущения, дополнительные граничные условия, внутренние источники теплоты, аналитические решения, изотермы.

Известно, что решения, полученные с помощью точных аналитических методов, представляются в виде бесконечных рядов, которые плохо сходятся в окрестностях граничных точек и при малых значениях числа . К методам, позволяющим избежать указанных трудностей, относятся интегральные методы теплового баланса [1, 2]. Однако их широкое применение сдерживается недостаточной точностью получаемых решений. Всякие попытки увеличения точности не приводили к существенным результатам.

Ниже изложен метод, относящийся к группе интегральных методов теплового баланса, который позволяет получать аналитические решения краевых задач теплопроводности практически с заданной степенью точности во всем диапазоне времени нестационарного процесса без каких-либо ограничений на величину числа Фурье в области малых его значений.

Математическая постановка задачи

Основную идею метода рассмотрим на примере решения нестационарной задачи теплопроводности с переменным во времени внутренним источником теплоты в следующей математической постановке:

, (1)

(2)

(3)

(4)

где - соответственно для пластины, цилиндра и шара; ? относительная избыточная температура; T0 - начальная температура; Tс - температура стенки; - критерий Померанцева; ? мощность внутреннего источника теплоты; - коэффициент теплопроводности; - половина толщины пластины; - безразмерная координата; - число Фурье; - коэффициент температуропроводности; - время; ? координата.

Р и с. 1. Расчетная схема теплообмена для пластины
с внутренним источником теплоты

Процесс нагрева разделим на две стадии по времени: и . Для этого введем движущуюся во времени границу (фронт температурного возмущения), разделяющую исходную область на две подобласти: и , где - функция, определяющая продвижение границы раздела во времени (рис. 1). При этом в области, расположенной за пределами фронта температурного возмущения, наблюдается температура, вызванная действием одного лишь источника теплоты. Первая стадия процесса заканчивается при достижении движущейся границей центра пластины , т.е. когда . Во второй стадии изменение температуры происходит по всему объему тела . Здесь в рассмотрение вводится дополнительная искомая функция , характеризующая изменение температуры во времени в центре пластины (цилиндра, шара).

Первая стадия процесса

Для упрощения процесса получения решения вместо координаты , отсчитываемой от центра тела, перейдем к новой переменной , отсчитываемой от поверхности. Математическая постановка задачи для первой стадии процесса в этом случае приводится к виду

(5)

;

(6)

(7)

, (8)

где соотношения (7), (8) представляют собой граничные условия на фронте температурного возмущения. Первое из этих условий означает, что температура на фронте температурного возмущения определяется лишь действием теплового источника, где находится по формуле

=. (9)

Второе условие означает, что в невозмущенной внешним теплообменом области (за фронтом температурного возмущения) температурные градиенты отсутствуют (тепловой поток за пределами фронта температурного возмущения равен нулю).

Представим искомый температурный профиль в виде полинома n-ной степени:

. (10)

Для нахождения решения в первом приближении подставим (10), ограничиваясь тремя членами ряда, в граничные условия (6) - (8). Для получения коэффициентов ak () запишем систему трех алгебраических линейных уравнений. Соотношение (10) с учетом найденных коэффициентов примет вид

(11)

Подставляя (11) в уравнение (5) и интегрируя полученное соотношение в пределах от до , относительно неизвестной функции приходим к следующему обыкновенному дифференциальному уравнению (примем , , тогда ):

. (12)

Интегрируя уравнение (12), при начальном условии получаем

(13)

Положив , найдем время окончания первой стадии процесса .

Соотношения (11), (13) представляют решение задачи (5) - (8) в первом приближении.

Результаты расчетов температуры по формуле (11) в сравнении с точным решением [3] представлены на графиках рис. 2. Их анализ позволяет заключить, что отличие температур, полученных по формуле (11), от точных их значений в диапазоне числа Фурье находится в пределах 1-8%. При дальнейшем увеличении времени расхождение решений увеличивается, и при оно составляет около 20%.

Р ис. 2. Распределение безразмерной температуры в пластине с внутренним источником теплоты (первая стадия процесса). ------ - точное решение [3]; - расчет по формуле (11); - расчет по формуле (17); - - - - - - линия локальной симметрии температурного поля; Po =50

теплота температурный время интегральный

Для повышения точности решения необходимо вводить дополнительные граничные условия. Согласно методам, изложенным в [1, 4], дополнительные граничные условия для получения решения (5) - (8) во втором приближении имеют вид

; (14)

; (15)

. (16)

Используя дополнительные граничные условия (14) - (16) совместно с заданными (6) - (8), можно вычислить уже шесть коэффициентов полинома (10). После их определения соотношение (10) примет вид (с=0)

. (17)

Подставляя (17) в уравнение (5) и интегрируя полученное соотношение в пределах от до , относительно неизвестной функции приходим к следующему обыкновенному дифференциальному уравнению:

. (18)

Интегрируя уравнение (18), при начальном условии получаем

= (19)

Положив , из (19) находим время окончания первой стадии процесса во втором приближении.

Результаты расчетов по формуле (17) в сравнении с точным решением [3] представлены на графиках рис. 2. Их анализ позволяет заключить, что значения температур, полученных по формуле (17), в диапазоне чисел Фурье отличаются от точных их значений не более чем на 0,5%.

Отметим, что в результате взаимного действия источника теплоты и граничного условия первого рода для наблюдается локальная симметрия температурного поля (штриховая линия на рис. 2).

Найдем решение задачи (5) - (8) в случае линейного изменения источника теплоты во времени:

где - начальное значение критерия Померанцева; - коэффициент.

Обыкновенное дифференциальное уравнение относительно в первом приближении имеет вид (при ; )

(20)

Ввиду нелинейности уравнения (20) его непосредственное интегрирование затруднительно. Приближенное аналитическое решение найдено в виде

, (21)

где , . При .

Вторая стадия процесса

Вторая стадия теплового процесса, соответствующая времени , характеризуется изменением температуры от действия граничного условия (6) уже по всему сечению пластины. На этой стадии понятие глубины термического слоя теряет смысл, и в качестве дополнительной искомой функции принимается функция , характеризующая изменение температуры во времени в центре пластины (цилиндра, шара).

Математическая постановка задачи для второй стадии процесса (; ) включает уравнение (5) с граничным условием (6), а также следующие граничные условия:

; (22)

. (23)

Задачи (5) - (8) и (5), (6), (22), (23) при ввиду того, что (), полностью совпадают. Следовательно, начальное условие задач (5), (6), (22), (23), определяемое из соотношения (11), при будет иметь вид

. (24)

Однако специального выполнения начального условия (24) не требуется ввиду того, что решения задач (5) - (8) и (5), (6), (22), (23) при совпадают и, следовательно, в данном случае происходит плавный переход от первой стадии процесса ко второй.

Как и для первой стадии процесса, решение задач (5), (6), (22), (23) будем разыскивать в виде полинома n-ной степени

. (25)

После определения неизвестных коэффициентов bk (k=0, 1, 2) из граничных условий (6), (22), (23) соотношение (25) примет вид

(26)

Подставляя (26) в уравнение (5) и определяя интеграл в пределах от до , относительно неизвестной функции получаем следующее обыкновенное дифференциальное уравнение (при ):

(27)

Интегрируя уравнение (27), при начальном условии получаем

. (28)

Соотношения (26), (28) определяют решение задачи (5), (6), (22), (23) в первом приближении. В соотношении (28) в качестве принимается величина =0,0833 (найдено в первом приближении первой стадии процесса при =1).

Р и с. 3. Распределение безразмерной температуры в пластине с внутренним источником теплоты:

Результаты расчетов безразмерной температуры по формуле (26) представлены на графиках рис. 3. Их анализ позволяет заключить, что отличие полученных здесь результатов от точных значений температур [3] не превышает 6%.

Для получения решения задач (5), (6), (22), (23) во втором приближении необходимо ввести дополнительные граничные условия. Первое из них совпадает с условием (18). Следующие два дополнительных граничных условия имеют вид [1, 4]

; (29)

(30)

Основные (6), (22), (23) и дополнительные (18), (29), (30) граничные условия дают возможность определить уже шесть коэффициентов полинома (25), который в данном случае примет вид

. (31)

Относительно неизвестной функции получаем линейное неоднородное обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка

.

Проинтегрировав это уравнение, найдем

, (32)

где и - постоянные интегрирования, определяемые из начальных условий

.

Формулы для постоянных интегрирования имеют вид

; , (33)

где ;

.

Подставляя (32) в (31), получаем формулу для определения температуры в неограниченной пластине для второй стадии процесса во втором приближении:

, (34)

где в качестве принимается величина, равная времени окончания первой стадии процесса во втором приближении

Результаты расчетов температур по формуле (34) в сравнении с точным решением [3] представлены на графиках рис. 3. Их анализ позволяет заключить, что полученные по формуле (34) значения температур практически совпадают с точными их значениями. Из расчетов также следует, что при практически наступает стационарный режим.

Характерной особенностью полученных здесь аналитических решений является полиномиальная зависимость температуры от координаты в отличие от классических точных аналитических решений, где такая зависимость выражается через тригонометрические функции. Полиномиальная зависимость позволяет получить решение в виде поля изотермических линий.

Ввиду невысокой точности первого приближения как в первой, так и во второй стадии процесса построение изотерм будем выполнять с использованием формул (17) и (34) второго приближения. При задании каких-либо конкретных значений безразмерной температуры и времени эти формулы принимают вид алгебраических полиномов относительно переменной . Например, при и формула (17) запишется как

. (35)

Соотношение (34), например, при и примет вид

. (36)

Из пяти корней полинома (35) единственным корнем, удовлетворяющим соотношению (17) при и , является корень. Аналогично, единственным корнем полинома (36), удовлетворяющим соотношению (34) при и , является корень .

Задавая при различные значения числа , путем решения соответствующих алгебраических полиномов можно получить значения координаты . Найденные значения при заданных используются затем для построения графиков изотерм в координатах - (см. рис. 4).

Р и с. 4. Распределение изотерм в пластине с внутренним источником теплоты: - - - - линия локальной симметрии температурного поля (см. рис. 2); Po = 50

Анализ распределения изотерм позволяет сделать следующие выводы. В первой стадии процесса изотермы в области, лежащей до фронта температурного возмущения, имеют вид кривых линий. В области за фронтом температурного возмущения они вырождаются в прямые, что связано с действием источника теплоты. Для изотерм наблюдается локальная симметрия температуры, обусловленная взаимным действием граничного условия первого рода (6) и источника теплоты (штриховые линии на рис. 2 и 4). Изотермы одинакового потенциала, возникая на линии симметрии, движутся в противоположных направлениях. После достижения фронтом температурного возмущения координаты направление движения всех изотерм оказывается противоположным направлению оси .

Путем определения первых производных от координаты по времени находятся скорости движения изотерм (см. рис. 5). Анализ распределения скоростей изотерм позволяет заключить, что для начальные скорости изотерм высокого потенциала имеют бесконечно большие значения. С уменьшением потенциала изотерм начальные скорости изотерм уменьшаются, приближаясь к нулевым значениям при .

Р и с. 5. Распределение скоростей изотерм в пластине с внутренним источником теплоты (второе приближение, Po =50)

Выводы

1. На основе введения фронта температурного возмущения с использованием дополнительных граничных условий разработана методика получения аналитических решений нестационарных задач теплопроводности, позволяющая находить решения с удовлетворительной точностью во всем диапазоне изменения числа Фурье. Решения имеют простой вид степенных алгебраических полиномов, не содержащих специальных функций.

2. Физический смысл применения дополнительных граничных условий заключается в возможности как можно более точного (в зависимости от числа дополнительных граничных условий - числа приближений) выполнения исходного дифференциального уравнения внутри области и в ее граничных точках. Это свойство уже заложено в их выводе, основанном на требовании точного выполнения дифференциального уравнения и производных от него в граничных точках и на фронте температурного возмущения.

3. Простота выражений для аналитических решений позволяет проводить исследования краевых задач в полях изотерм и определять скорости их перемещения во времени, что затруднительно выполнить, если использовать для этих целей классические точные аналитические решения.

4. Сфера рационального применения метода - одномерные нестационарные задачи теплопроводности с симметричными граничными условиями и источниками теплоты, с переменным начальным условием и другие задачи. Могут быть решены также и двумерные стационарные задачи теплопроводности с источниками теплоты, и описываемые аналогичными уравнениями задачи термоупругости [1].

Зависимость граничных условий и источника теплоты от времени может быть линейной, экспоненциальной и гармонической.

Библиографический список

1. Теплопроводность и термоупругость в многослойных конструкциях: Учеб. пособие для вузов / В.А. Кудинов, Б.В. Аверин, Е.В. Стефанюк. - М.: Высшая школа, 2008. - 391 с.

2. Гудмен Т. Применение интегральных методов в нелинейных задачах нестационарного теплообмена // Проблемы теплообмена. - М.: Атомиздат, 1967. - С. 41-96.

3. Лыков А.В. Теория теплопроводности. - М.: Высшая школа, 1967. - 600 с.

4. Кудинов В.А., Стефанюк Е.В. Задачи теплопроводности на основе определения фронта температурного возмущения // Известия АН. Энергетика. - 2008. - №5. - С. 122-138.

Размещено на Allbest.ru