Використання другого закону Ньютона в гідродинаміці

Размещено на http://www.allbest.ru/

УДК 372.531

Кіровоградський державний педагогічний університет

ВИКОРИСТАННЯ ДРУГОГО ЗАКОНУ НЬЮТОНА В ГІДРОДИНАМІЦІ

Постановка проблеми. Передача від покоління до покоління і збереження великої спадщини наукових (фізичних знань), накопичених людством за часи його існування, є одним із найважливіших завдань фізичної освіти. Вивчення фізики - це процес функціонування розумової діяльності людини, характерний високим рівнем логічного мислення, виявом умінь інтегрувати елементи одержаної інформації у відносно завершену теорію. Саме цей факт вимагає від вчителя підвищення рівня мотиваційної діяльності. Мотиваційний аспект - вагомий чинник активізації учнів до сприймання і опанування новою інформацією. Особливо вагомого значення він набуває для вивчення матеріалу, який має низький рівень наочного відображення. Завдання вчителя полягає в тому, щоб показати і глибоко переконати суб'єктів навчання у необхідності вивчення теоретичних основ, практично спрямувати розповідь, повідомлення на базі наведених прикладів, що охоплюють оточуюче середовище. Використання історичного матеріалу у більшості випадків є невід'ємною частиною змісту і процесу навчання фізики. Джерела інформації, які доступні суб'єктам навчання, у більшості випадків позбавлені багатьох історичних фактів, які досить цікаво сприймаються учнями і студентами та за умов їх використання ліквідовують прогалини у знаннях, розширюють розуміння фізичної картини світу. То ж є потреба зробити доступною таку інформацію для всіх суб'єктів навчання [7]. У статті пропонується матеріал, який може бути використано як під час викладання фізики в загальноосвітній школі, так і у процесі викладання курсів фізики й історії фізики у вищих педагогічних навчальних закладах.

Аналіз досліджень і публікацій. Використання вчителем фізики принципу історизму у навчально-виховному процесі - не тільки підвищує ефективність навчання, а й посилює значення фізичної науки в усвідомленні учнів, що є тим самим поштовхом, який спонукає школярів і студентів до вивчення фізики. Використанню історичного компоненту в змісті навчання фізики багато приділяють уваги сучасні методисти: П. Атаманчук, О. Бугайов, М. Головко, С. Гончаренко, В. Ільченко, Л. Клименко, Є. Коршак, О. Ляшенко, М. Мартинюк, В. Мощанський, А. Павленко, Т. Попова, М. Садовий, М. Шут та ін. У своїх роботах вони приділяють належну увагу історичному матеріалу та зауважують на тому, що звертання до історії науки показує учневі, який важкий і тривалий шлях ученого до істини, що сьогодні формулюється у вигляді короткого рівняння або закону.

Мета статті - показати шляхи підвищення науковості викладання шкільного курсу фізики за рахунок уточнення деяких історичних фактів на основі показу значення і ролі використання другого закону Ньютона в гідродинаміці.

Ньютон сформулював другий закон так зміна кількості руху (імпульсу) пропорційна рухомій силі і відбувається за напрямом тієї прямої, якою ця сила діє [6, c. 66]. Користуючись сучасною мовою, це формулювання краще записати так: похідна від кількості руху тіла дорівнює за величиною діючій силі і збігається з нею за напрямком. Якщо К - імпульс тіла, F - діюча сила, то в будь-який момент часу:

І тільки в тому випадку, коли маса тіла залишається сталою в часі, можна величину маси винести за знак похідної і записати: dv

де -- є прискоренням тіла. dt

С. Вавілов у книзі “Ісак Ньютон” показав, що в такій формі другий закон може застосовуватися і в релятивістській динаміці. Лише в окремому випадку, коли маса тіла не залежить від швидкості і не змінюється з часом, ми можемо записати mdv = Fdt і, поділивши обидві частини рівності на At, перейти до окремої власної форми закону: ma = F [3]. У цьому одне з виражень дивовижної прозорливості Ньютона, яку підкреслював С. Вавілов. Ньютонівська форма другого закону має один особливо важливий дидактичний аспект. Написавши закон у вигляді F = т--, ми приходимо до простого трактування важкого dt поняття сили. Можна стверджувати, що сила - причина зміни кількості руху тіла і пов'язана завжди із взаємодією тіла, що рухається, з іншими тілами під час зіткнення чи на відстані. Сила є мірою цієї взаємодії.

Із другого закону в ньютонівській формі випливає, що при F = 0, mv = const, тобто ми приходимо до першого закону. Змінити стан руху тіла за цієї маси тим важче, чим більший його імпульс. Цьому є багато життєвих ілюстрацій. Ньютонівська форма другого закону динаміки застосовна і на практиці. Наприклад, всі механічні ефекти в гідро- та аеродинаміці оцінюються саме за зміною кількості руху. Під час виведення основного рівняння молекулярно-кінетичної теорії в основу покладають закон у ньютонівській формі. викладання гідродинаміка імпульс енергія

Гідродинаміка -- розділ гідромеханіки про рух нестисливих рідин під дією зовнішніх сил і механічну взаємодію між рідиною й тілами за умови їхнього відносного руху. Під час вивчення певної задачі гідродинаміки використовують основні закони й методи механіки і, враховуючи загальні властивості рідин, дістають розв'язки, що дають змогу визначити швидкість, тиск або дотичні напруження зсуву в будь-якій точці простору, заповненого рідиною. Це дає змогу обчислити, зокрема, і зусилля, що виникають під час взаємодії між рідиною й твердим тілом.

Закони гідродинаміки використовують при проектуванні суден, літаків, турбін, трубопроводів, гідротехнічних споруд, під час дослідження морських течій, фільтрації підземних вод і нафти в родовищах. За Ньютоном рідина - це таке тіло, частини якого поступаються будь-якій як би там не було прикладеній силі, поступаючись, вільно рухаються одна відносно іншої [5]. “Начала” Ньютона (1689) в гідродинаміці ознаменували собою перехід від аналогового моделювання “кулюкидання” до математичного. Становлення механіки, а значить, і фізики як точних наук почалося з рівняння Ньютона:

f = m -- dt

Яке можна вважати за початкову парадигму всієї фізики.

Природно прийняти, що в теоретичній гідродинаміці парадигмами є математичні моделі перебігу рідини. Для застосування рівняння Ньютона до руху суцільного середовища слід було перейти Л. Ейлер (1707-1783) до опису течії у фіксованій точці простору, тобто віднести масу і силу до одиниці об'єму. Для цього ж потрібно було ввести субстанційне прискорення + (v, V)v.

Нарешті, перехід від окремих тіл до континіуму зажадав замість зосередженої в точці сили введення нормальної напруги - тиск р. На відміну від ньютонової механіки виявилось, що напруга не заданий апріор, а самовиникає внаслідок руху рідини! Перехід до континіуму зробив петербурзький академік Л. Ейлер. Виведені їм в 1755 році рівняння руху суцільного середовища, що не втратили актуальності і в наш час, так і називаються - ейлеровими:

р-- = -Ap , Vv = 0,

де р- густина рідини.

У ширшому сенсі рівняннями Ейлера називаються рівняння руху будь-якого ідеального середовища, будь то стискуваний газ або стратифікована рідина. Модель ідеального суцільного середовища фон Нейман образно і дотепно назвав “моделлю сухої води”. Вона стала першою парадигмою гідродинаміки. Гідродинаміка містить красу двох видів. З одного боку, це краса логіки, краса математичного факту. А з іншого боку - краса вихорів, краса непізнаної нелінійності. У динаміці вихорів помітні - але не роздільні! - три процеси: народження, еволюція і дифузія. Модель ідеальної рідини описує еволюцію, іноді - народження, але ніколи - дифузію вихорів. Для розуміння процесів народження і дисипації знадобилося перейти до складнішої моделі - моделі “мокрої води”, що враховує вплив в'язкості рідини.

Якщо перша парадигма будувалася на спекулятивній основі, виходячи з основних принципів і понять механіки, то для побудови другої парадигми були потрібні деякі апріори невідомої характеристики властивостей даного суцільного середовища: у цьому випадку - в'язкість, а в загальному випадку - теплопровідності, стисливості, другої в'язкості тощо.

У гідродинаміці є три точні закони збереження: маси, імпульсу і енергії. На основі цих законів (перших принципів фізики) виводяться рівняння руху. Решта законів - наближені, емпіричні. До них відносяться так звані закони стану, що визначають залежність коефіцієнтів перенесення від макроскопічних параметрів: закони Клапейрона, Фіка, Ньютона, Дарсі і так далі. Де взяти ці закони стану? Природно спробувати їх добути у межах кінетичної теорії під час вивчення структури середовища в масштабі, меншому за порядком величини, чим гідродинамічний масштаб. Кажучи іншими словами, усереднити що відбуваються в середовищі внутрішні фізико-хімічні процеси по малих (атомно-молекулярним) масштабах. На жаль, така програма до цих пір не завершена. Проте це вже історія іншої науки (Джозеф, 1986). Уперше рівняння руху в'язкої рідини виписав французький вчений і інженер Луї Нав'є (1785-1836). Для цього потрібно було ввести тензор напруги, тобтоврахувати не тільки нормальні, але і дотичні сили. У праву частину (3) Нав'є ввів адитивний член, відповідальний за прояв в'язкості. Рідина, напруга в якій лінійно пропорційна деформації, називається ньютоновою, тому що вперше таку гіпотезу було висунуто Ньютоном: “Опір, що походить від недоліку ковзкості рідини, за інших рівних умов передбачається пропорційним швидкості, з якою частинки рідини відокремлюються один з одним” [5, с. 486]. Сьогодні ми знаємо, як розуміти його неточний вислів “швидкості, з якими ...”. Це - поперечний градієнт швидкості рідини. Проте в конкретному завданні про коловий рух Ньютон виводить помилкову умову для тертя, на що через 158 років після виходу його “Начал” вказав Дж. Стокс.

Для ньютонової рідини рівняння зберегли векторну форму:

1 Vp + |VV, Vv = 0,

де | - коефіцієнт кінематичної в'язкості.

Значний внесок у дослідження цього рівняння зробив Стокс (18191903). Тому рівняння (4), а також їх узагальнення на випадок руху рідин з іншими властивостями називаються рівнянням Нав'є - Стокса. Рівняння Ейлера - окремий випадок рівнянь Навьє - Стокса при V = 0. Сам Стокс “отримав по заслугах” - лінійне рівняння Нав'є - Стокса:

-- = - - Vp + |V V

dt p

називається його ім'ям - стоксове рівняння.

Друга парадигма - це математична модель перебігу в'язкої рідини. Кожна частинка поточної рідини (газу) випробовує дію з боку навколишніх частинок, ця дія визначається тиском р. Ми вже бачили, що зміну тиску визначає прискорення рухомої частинки. Виходячи з цих уявлень, виведемо основний закон динаміки для частинки рідини.

Рис. 1. Виділена частинка у формі куба

Припустимо, що виділена частинка у формі куба об'ємом dr = dx1dx2dx3, що знаходиться в точці r(xl,x2,x3) (рис. 1). На кожну грань куба діє сила тиску. Наприклад, на грань dx1dx2 знизу діє зусилля рdx1dx2, а на протилежну грань - зусилля:

Окрім цього, на частинку діє сила тяжіння, рівна: -- ydr , направлена протилежно осі 3 (тут у -- питома вага рідини). Тоді за другим законом динаміки:

Pdr = --^Ldr -- уіт,

де v3 - компоненту швидкості по осі 3.

Унаслідок достатньої малості об'єму dr ми вважаємо, що густина р постійна по всьому об'єму. Також тиск р на гранях куба однаковий в усіх точках і однакові швидкості v.

Аналогічним шляхом знайдемо, що у напрямку двох інших осей:

оскільки силу тяжіння спрямовано уздовж осі 3.

Тепер можна записати формули (6) і (7) у векторному вигляді. Якщо

P = - gradP + Pg , dt

де вектор ---- e. +--^-- e +---- e,, позначений символом grad p і називається градієнтом тиску р, вектор - ye3 = pg, де g - вектор прискорення тяжіння.

Формула (8) виражає основний закон гідродинаміки для ідеальної (без тертя) рідини або газу. У нестаціонарному потоці всі величини p, v, p залежать від місця r і часу t. У стаціонарному - тільки від місця r, тому при розгляді стаціонарної течії зручно скористатися уявленням про трубки струму: вони постійні, і закон динаміки для ідеальної рідини в достатньо тонкій трубці струму можна описати таким чином. Швидкість v = v(S) є

функцією тільки координати s (координати уздовж осьової лінії трубки). Частинка, яка у момент часу t мала координату S, за час dt зсунеться на відрізок dS1 (рис. 2).

Рис. 2. Рух стаціонарної течії - трубки струму

Швидкість частинки в новому положенні буде інша, якась v1, яку завжди можна представити так: v =v(S) + dS . Отже, різниця швидкостей dS 1 частинки у момент часу t і момент часу t + dt дає приріст швидкості частинки:

dv = vj -v(S) = -- dS^

Замінивши в цьому виразі зсув частинки dSJ на v(S)dt, отримуємо

Прискорення частинки за стаціонарної течії рівне похідній вздовж осі трубки струму від половини квадрату швидкості потоку. Тому основне рівняння динаміки для частинки ідеальної рідини (8) в цьому випадку можна записати так:

Тут a - кут між вертикаллю і напрямком осьової лінії трубки струму в цьому перетині. Це рівняння справедливе для стаціонарного перебігу як нестискуваної рідини, позбавленої в'язкості, так і для стискуваного газу, що не володіє внутрішнім тертям.

Висновки. Другий закон Ньютона став основою для багатьох технічних досягнень протягом тривалого часу. На його фундаменті сформувалися багато методів наукових досліджень у різних галузях природознавства. Учні та студенти повині знати значення і роль фундаментальних законів динаміки, а собливо межі застосування другого закону Ньютона. Поданий матеріал дозволяє окреслити шляхи підвищення науковості викладання шкільного курсу фізики за рахунок уточнення деяких історичних фактів, а також доповнити зміст курсу історії фізики. Це є досить важливим, адже помилкові уявлення учнів і студентів виникають частіше за все під час викладання тих фізичних понять та ідей, які у процесі їх історичного формування отримали різні тлумачення. Це означає, що у процесі викладання фізики, як і будь-якої іншої природничої науки, треба особливу увагу приділяти саме розгляду тих питань, з приводу яких мали місце помилкові погляди та дискусії в ході розвитку науки.

Перспективи подальших пошуків у напрямі дослідження. Подальші дослідження лежать у площині використання означеного матеріалу під час викладання фізики в загальноосвітній школі та вищих навчальних закладах.

Література

1. Бугайов А. И. Методика преподования физики в средней школе: Теоретические основы / А. И. Бугайов. - М. : Просвещение, 1981. - 288 с.

2. Детлаф А. А. Курс физики : учеб. пособие для втузов / А. А. Детлав, Б. М. Яворский, Л. Б. Милковская. - [изд. 4-е, перераб.]. - М. : Высшая школа, 1973. - 384 с.

3. Кудрявцев П. С. Курс истории физики : учеб. пособие для студ. пед. ин-тов по физ. спец. / П. С. Кудрявцев. - [2-е изд., испр. и доп.]. - М. : Просвещение, 1982. - 448 с.

4. Моисеев Н. Д. Очерки развития механики : учеб. пособие для унтов / Н. Д. Моисеев. - М. : Изд-во Моск. ун-та, 1961. - 478 с.

5. Ньютон И. Математические начала натуральной философии / Исаак Ньютон. - М. : Наука, 1989. - 682 с.

6. Стрелков С. П. Общий курс физики. Механика : учеб. пособие для унтов / С. П. Стрелков. - [изд. 3-е, перераб.]. - М. : Наука, 1975. - 560 с.

7. Використання фрагментів історичного матеріалу для підвищення інтересу учнів до вивчення фізики : зб. наук. праць студентів і молодих науковців “Фізика. Новітні технології навчання” / наук. ред. С. П. Величко. - Випуск № 3 - Кіровоград : РВВ КДПУ ім. В. Винниченка, 20о5. - 230 с.

Размещено на Allbest.ru