Обзор применения численных методов для решения задач моделирования процессов взаимодействия цилиндрических оболочек и сплошной среды

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Обзор применения численных методов для решения задач моделирования процессов взаимодействия цилиндрических оболочек и сплошной среды

П.И. Бельмесов, Д.В. Кондратов

Исследована актуальность математического моделировании взаимодействия двух соосных оболочек системы «оболочка-жидкость-оболочка» и обоснована эффективность применения численных методов в решении уравнений Навье-Стокса. Обозначены проблемы применения численного подхода и методы их решения.

Ключевые слова: гидроупругость, вязкая несжимаемая жидкость, соосные оболочки, численные методы, уравнение Навье-Стокса.

REVIEW OF APPLICATION OF NUMERICAL METHODS FOR SOLVING THE PROBLEMS OF SIMULATION OF THE PROCESSES OF INTERACTION OF CYLINDRICAL SHELLS AND A CONTINUOUS MEDIUM

The relevance of mathematical modeling of the interaction of two coaxial shells in the shell-liquid-shell system is investigated and the effectiveness of the application of numerical methods in solving the Navier-Stokes equations is substantiated. The problems of applying the numerical approach and methods for their solution are indicated.

Keywords: hydroelasticity, viscous incompressible fluid, coaxial shells, numerical methods, Navier-Stokes equation.

Интерес к исследованиям поведения тонкостенных соосных цилиндрических оболочек продиктован широким спектром их применения в перспективных отраслях промышленности, таких как транспортная, топливно-энергетическая, космическо-ракетная и т.д.

Тонкостенные соосные цилиндрические оболочки с жидкостью между ними используются во многих инженерных конструкциях, благодаря прочности и устойчивости к механическим воздействиям, как внутренним, так и внешним. Они являются эффективным средством снижения температуры внутри конструкций, демпфирования динамических нагрузок и повышения общей прочности конструкций, при этом сохраняя малые геометрические параметры механических систем.

Вопрос математического моделирования в данном случае сопряжен с повышением эффективности разрабатываемых систем, в которых применяются рассматриваемые оболочки, так как в большинстве случаях проводить физические эксперименты и тесты нецелесообразно, опасно или невозможно из-за специфики задачи.

Построение математической модели гидроупругости системы «оболочка-жидость-оболочка» является актуальной задачей, и насчитывает множество трудов подобной тематики, в которых рассматривается поведение оболочек с учетом различных факторов, атрибутов и состояний, однако большинство работ посвящено аналитическому решению [1-3], однако, численное исследование подобной задачи вызывает интерес.

На сегодняшний день разработано множество математических пакетов и средств, способных решать рассматриваемые задачи численными методами, то есть методами прямого моделирования, что дает результат в виде чисел, матриц, таблиц и т.д.

Рассматриваемая в данной работе модель не является тривиальной и не имеет явного решения, что приводит к необходимости перехода вида: «модель-алгоритм-программа».

На рисунке 1.1 представлена графическая модель рассматриваемой системы. Зазор между упругими тонкостенными цилиндрическими оболочками 1 и 2 полностью заполнен вязкой несжимаемой жидкостью - 3, а д= R₁-R₂.

численный моделирование цилиндрическая оболочка

Рис. 1. Графическая модель системы «оболочка-жидкость-оболочка».

Формирование математической модели обусловлено оценкой внешних и внутренних механических факторов и процессов, влияющих на систему в целях повышения адекватности модели. Модель считается адекватной, если она не перегружена не существенными факторами, и предполагает учет необходимых параметров и процессов, в противном случае, она может оказаться неполной или перегруженной, и в том и другом случае, эффективность модели будет мала.

Исходя из высокой сложности модели, допускаем, что, полную и точную модель, приведенной выше системы реализовать невозможно, поэтому целесообразно провести декомпозицию системы и рассматривать частные случаи поведения системы.[4]

Таким образом, алгоритм взаимодействия тонкостенных соосных цилиндрических оболочек с жидкостью между ними будет основан на модульном подходе.

За счет возможности использования модульного принципа в решении задач моделирования сложных механических систем, численный метод является перспективным, так как методологии реализации приближенного анализа реализуют различные подходы в зависимости от фрагмента задачи.

Это означает, что фрагментировано можно смоделировать и рассчитать все процессы системы «оболочка-жидость-оболочка» при различных внутренних и внешних параметрах. Однако применение численного анализа имеет некоторые тонкости в решении задач подобного характера.

Рассмотрим подробно применение численного метода в решении уравнения Навье-Стокса в случае трех пространственных переменных. С точки зрения данной работы это вызывает интерес, поскольку уравнение Навье-Стокса ориентировано на описание течения вязкой несжимаемой жидкости.

Протекание жидкости меж двух соосных оболочек входит в группу физических процессов под общим названием «процессы энергомассопереноса». С точки зрения численного анализа существует два подхода к постановке и решению подобных уравнений: стационарный и нестационарный. Очевидно, что решение нестационарной задачи уравнений потока жидкости является наиболее сложным в зависимости от шага сетки, другими словами, процесс разделяется на моменты времени с учетом уравнения неразрывности с высокой степенью точности и заданным критерием погрешности.

В результате исследований, проводимых в Институте вычислительной математики РАН, в области численных методов решений уравненья Навье-Стокса, результаты исследований говорят о том, что уравнение в случае односвязной области сводится к нелинейному бигармоническому уравнению и классическим краевым условиям, то есть на практике ее решение вызывает трудности из-за высокого, четвертого порядка уравнения, таким образом прямое решение уравнения Навье-Стокса становится возможным только с применением метода расщепления, который сводит решение задачи на ряд более простых задач[5].

При аналитическом методе решения возникает необходимость внедрения малых параметров, наличие малого параметра влечет за собой проблемы, связанные с измельчением шага сетки, в то время как решение задач требует настолько большого числа узлов сетки, что решение получающихся уравнений невозможно реализовать на современных компьютерах.

Обоснование численных методов не стремится к решению проблем аппроксимации, так как использование результатов теории дифференциальных уравнений в полном объеме недопустимо, поэтому целесообразно выбрать объектом исследования численные алгоритмы решения, математического моделирования рассматриваемой системы, получающихся в результате аппроксимации систем уравнений.

Тем не менее, использование численных методов для решения уравнений «Навье - Стокса» в исходных переменных «скорость-давление» является обоснованным с математической точки зрения и имеет место как в двумерном, так и в трехмерном случаях.

В настоящее время существует множество методик реализующих методы численного анализа, однако, специфика задачи моделирования потока жидкости в разрезе «скорость-давление» с учетом различных параметров системы ограничивает применение большинства из них из-за сложности и грамоздкости реализуемых расчетов.

Задача Навье-Стокса сводится к решению дифференциального уравнения с частными производными, однако для ее применения следует вводить определенные ограничения и допущения. Существуют сеточные методы, ориентированные на дискретизацию независимых переменных - их представлении конечным множеством значений в выбранных узловых точках (разностная схема) исследуемого пространства[4].

Наибольшее распространение среди сеточных методов получил метод конечных разностей и метод конечных элементов.

Применительно к поставленной задаче метод конечных разностей сводится к построению разностной схемы исследуемой области, имеющей конечное множество узлов. Каждый узел выражен в уравнении, где дифференциальный оператор заменен известным аналогом, при этом непрерывная функция приближена к сеточной и может отражать параметры исследуемой системы.

Данный метод отличается универсальностью и получил широкое распространение в программных реализациях математических аппаратов, возможное применение в стационарных и не стационарных задачах.

Основной идеей метода конечных элементов является разбиение исследуемой области на подобласти - конечные элементы, в каждом элементе произвольно выбирается вид аппроксимирующей функции. Основной особенностью данного метода, является дискретизация области (системы), смысл в том, чтобы задать числа, размеры и формы конечных элементов, которые используются для построения дискретной модели. С одной стороны, элементы должны быть выбраны достаточно малыми, чтобы получались приемлемые результаты, а с другой стороны, применение достаточно крупных элементов сокращает вычислительную работу.

Область применения достаточно широка, его использование возможно при исследовании объектов любой формы и различной физической природы - твёрдые деформируемые тела, жидкости, газы, электромагнитные среды.

В решениях задач сеточных методов важным параметром является размерность и шаг сетки, высокая плотность узлов сетки позволяет получить необходимую аппроксимацию функции, с другой стороны сложность задачи возрастает, особенно в решении трехмерных задач и может содержать миллионы неизвестных. Другими словами сеточные методы эффективны только при использовании мощных программно-аппаратных средств[6].

Таким образом, применение методик численного анализа позволит исследовать моделирование системы «оболочка-жидкость-оболочка» исследуя зависимость параметров «давление-скорость» в том числе в нестационарных задачах.

В настоящее время разнообразие подходов и методик расчета задач численного анализа позволяет решать задачи моделирования процессов взаимодействия цилиндрических оболочек и сплошной среды, с учетом различных параметров исследуемых систем, каждый из методов является основой для разработки алгоритмов решения, а их комбинированное применение ведет к взаимному обогащению и появлению инновационных алгоритмов расчетов.

Библиографический список

1. Блинков Ю.А., Месянжин А.В., Могилевич Л.И. Математическое моделирование волновых явлений в двух геометрически нелинейных упругих соосных цилиндрических оболочках, содержащих вязкую несжимаемую жидкость // Изв. Сарат. ун-та Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2016. №2. С.184-197.

2. Кондратов Д.В., Кондратова Ю.Н., Могилевич Л.И., Плаксина И.В. Гидроупругость трубы кольцевого профиля при воздействии вибрации при различных ее закреплениях // Вестник Саратовского государственного технического университета. 2011. Т. 4. № 1 (59). С. 29-37.

3. Кондратов Д.В., Кондратова Ю.Н., Могилевич Л.И. Математическое моделирование ламинарного движения жидкости в упругой цилиндрической трубе кольцевого профиля со свободным опиранием по торцам // Вестник Саратовского государственного технического университета. 2009. Т. 1. № 1 (37). С. 33-40.

4. Калиткин Н.Н., Алыдина Е.А.. Численные методы: в 2 кн. Кн. 1. Численный анализ: учебник для студ. учреждений высш. проф. образования -- М.: Издательский центр «Академия», 2013 - 304 с.

5. Современные проблемы вычислительной математики и математического моделирования: в 2 т. / Ин-т вычисл. математики. - М.: Наука, 2005. Т. 1.: Вычислительная математика / [отв. ред. Н.С. Бахвалов, В.В. Воеводин!. -343 с.

6. Исаев В. И., Шапеев В. П., Еремин С. А. Исследование свойств метода коллокации и наименьших квадратов решения краевых задач для уравнения Пуассона и уравнений Навье-Стокса // ЖВТ. 2007. №3. С.53-70

Размещено на Allbest.ru