Размещено на http://www.allbest.ru/

Рeзонанс в физике, химии и биологии

Предисловие

физика резонансный движение

Эта книга возникла как результат многочисленных лекций и семинаров, на которых я попытался в общедоступной форме изложить достижения различных исследователей, в самых различных областях деятельности на единый объект нашего исследования ее Величество Природу. Содержание книги окончательно оформилось после того, как мне пришлось в зимнем семестре 1999/2000 года прочесть курс лекций для студентов биофизиков физического факультета Удмуртского государственного университета.

Заметное место в книге занимает явление резонанса, позволившее осознать единую связь многообразных окружающих и пронизывающих нас явлений. Более того, мне и моим сотрудникам в целом ряде случаев посчастливилось повлиять на “развитие событий” в этой области.

В первую очередь, я глубоко признателен своему учителю и наставнику Александру Ивановичу Филатову, чьи плодотворные идеи и глубокое видение первооснов природных явлений помогали мне в моих исследованиях. Большое влияние на меня оказали встречи и дискуссии на семинарах с Л.И. Седовым, А.Г. Гуревичем, В.И. Ожогиным, С.П. Курдюмовым, В.Л. Гинзбургом, С.В. Вонсовским, В.Г. Веселаго. Эта книга, безусловно, не была бы никогда закончена, если бы не одобрение и поддержка моей жены. Многие друзья и коллеги помогали мне в моей работе. Я благодарю всех, кто помогал мне в этой работе. И конечно этой книги просто бы не было, если бы не поддержка в течение всей жизни со стороны моих родителей. Поэтому светлой памяти моих родителей Георгия, Марии и Ивана посвящаю эту книгу.

Введение

“Нельзя объять необъятное…”

(Козьма Прутков)

“…но можно по частям и вместе”

(НИЦ “ИКАР”)

http://users.mark-itt.ru/ikar/

Резонансом принято называть явление резкого усиления отклика динамической системы x на внешнее воздействие f=f₀cost, когда частота внешнего воздействия сравнима с частотой ₀, либо с совокупностью частот собственных колебаний самой системы (n=n_i0i, где n, n_i целые числа). При этом вынужденные колебания x возникают и поддерживаются в системе за счет внешних аддитивных, либо параметрических воздействий (входящих в уравнения движения аддитивно, либо меняющих параметры системы). В последнем случае колебания, обусловленные внешним воздействием, называются параметрическими.

Колебания переменной x происходят с запаздыванием: при малых <<₀ ~ в фазе с колебаниями внешнего воздействия f (x~ f₀cost/₀²); больших >>₀ в противофазе (-) с f (x~ - f₀cost/²); =₀ сдвиг фаз между колебаниями x и внешним воздействием -/2, а амплитуда колебаний x имеет наибольшую величину fQ/₀², где Q=₀/_r - добротность системы при резонансе, а _r - ее диссипация.

Заметим, что если динамическая система неавтономна, т.е. в уравнениях движения присутствует явная зависимость от времени, то такую систему можно рассматривать как автономную, введя время в качестве одной из координат фазового пространства. При таком подходе систему, описываемую дифференциальным уравнением второго порядка с внешним воздействием, можно рассматривать как систему с полутора степенями свободы.

Интересно отметить, что история развития физики началась фактически с исследования нелинейных уравнений - знаменитой задачи Кеплера. Задача Кеплера содержит типичные атрибуты нелинейной колебательной системы с параметрическим резонансом: зависимость периода обращения планеты вокруг Солнца от параметров орбиты, большое число гармонических составляющих во временных характеристиках текущих координат планет.

Последующее развитие теоретической и экспериментальной физики пошло по пути построения линейных физических теорий: теория упругости, электромагнетизм, задачи удержания тел и частиц вне зон параметрического резонанса, квантовая механика и квантовая теория поля. Понадобилось достаточно много времени (с XVII по XX век) [1146], чтобы стало понятным: идеи линеаризации [1, 2, 4, 6, 13] абсолютно неприменимы для решения многих проблем, с которыми физика постоянно сталкивалась. И в этом смысле сегодня наблюдается возврат к классике.

Исторически одними из первых были рассмотрены задачи для линейных динамических систем с ₀=const и с ₀=₀{_i(t)} типа ₀ =(_o + ₁cost). Линеарилизация задач привела к «выплескиванию ребенка вместе с водой» - к отсутствию устойчивых состояний движения в зонах резонанса [47, 2127].

Позднее были рассмотрены задачи параметрического резонанса с ₀=₀f{_i(x_k, и_l, t)}, где x_k, и_l трансляционные и вращательные степени свободы, k, l = 1,2, 3N, N - количество степеней свободы [7484, 9597, 112114, 122, 129, 146].

Задачи по изучению движения и удержанию различных частиц, клеток, тел с размерами от микро- до макро- с учетом их характеристик (зарядов, механических, электрических, магнитных моментов, массы) в неоднородных полях имеют почтенную историю и относятся к типичным задачам параметрического резонанса. Это обусловлено тем, что данная проблема периодически возникала при решении различных прикладных задач в различных областях механики, физики, биологии и медицины.

Отметим лишь некоторые из них:

а) роботизация пространственное бесконтактное ориентирование, удержание и управление микродеталями при сборке различных устройств, изделий и приборов;

б) селективная сепарация различных порошков (магнитных, ферромагнитных и т.д., в частности для магнитных носителей информации магнитные диски, ленты);

в) сверхчувствительные датчики полей (электромагнитных, акустических, гидродинамических, гравитационных) на основе подвесов;

г) взвешивание, удержание и перемещение различных тел (роторов двигателей, гироскопов, игрушек, транспорта на магнитном подвесе);

д) создание ловушек частиц различного типа с размерами от элементарных до макро- и изучение свойств, динамики отдельных частиц в таких ловушках, включая клетки, электроны, ионы, атомы, молекулы (с дальнейшей их упаковкой на плате - молекулярная технология), электродинамическое удержание плазмы;

e) получение автономных, устойчивых, осциллирующих систем, в частности самоустойчивой плазмы, активированной воды.

Решение подобного класса задач даже в первом приближении наталкивается на серьезные математические и физические проблемы.

Основная физическая проблема состояла в том, что в области взвешивания частиц при отсутствии источников поля (электрического, магнитного, гравитационного) могут существовать единственно особые точки седловые. Соответственно для седловых точек в одном направлении частица будет втягиваться в область взвешивания, а в другом выталкиваться. Данная проблема рассматривалась еще Гильбертом (1600) и Ирншоу (1842). Ими был установлен факт неустойчивости равновесия (статической магнитной конфигурации). В статике устойчивое удержание частицы согласно теореме Ирншоу просто невозможно [1].

Вывод о нестабильности равновесия уточнил Браунбек [2]. Он показал, что нестабильное равновесие в статике может стать устойчивым в динамике при наличии в системе диамагнитного тела. Однако в связи со слабым проявлением диамагнетизма у обычных веществ (за исключением сверхпроводников) результаты Браунбека не получили широкого практического распространения.

Но то, что запрещено в статике, может оказаться разрешенным в динамике (в переменных полях, либо при движении самих частиц в неоднородных полях).

В динамике же решение задач в свою очередь наталкивается на многочисленные математические проблемы. Основная проблема состоит в отсутствии общей теории колебаний сильно нелинейных систем при отсутствии малого параметра и в появлении «странных» особенностей даже при рассмотрении достаточно простых модельных систем, таких как аттрактор, хаос [3].

Как правило, в качестве «простой» модельной системы вынужденных колебаний с аддитивным и параметрическим воздействием рассматривается маятник с вибрирующей точкой подвеса. Это обусловлено тем, что соответствующее уравнение:

x'' + _rx' + (_o + ₁cos) sin x - _-1 cos( + ) cos x = 0, (1)

довольно часто встречается в различных областях физики: механике, электродинамике, физике плазмы и т.д. [318]. В частности, для маятника =(/)²; =(a/l)^1/2; =0, 1, где a_o=g ускорение силы тяжести, a_1,-1 =l_1,-1 ускорение при продольной, поперечной вибрации, частота вибрации, l длина маятника, l_1,-1 амплитуды колебаний точки подвеса маятника (рис.1a). Для частицы с собственным магнитным моментом (рис.1б), ²=H/I, где I момент инерции, H₀ напряженность постоянного магнитного поля, H_1,-1 амплитуда переменного магнитного поля продольной, поперечной накачки, =const, =t, x'=dx/d.

1.1 О динамической устойчивости неустойчивых состояний

Пожалуй, впервые возможность создания “атомарных” ловушек для удержания частиц можно было усмотреть в работе Матье (1838 г.), посвященной задаче вибрации мембраны [4] .

Оказалось, что соответствующее уравнение Матье:

x'' +(_o + ₁cos ) x=0, (2)

одновременно описывает и допускает вне зоны параметрического резонанса динамическую устойчивость неустойчивого состояния в статике (_o< 0). Примером служит устойчивость перевернутого маятника (1) с вибрирующей точкой подвеса, описываемая (2) при малых углах его отклонения x от вертикали (рис.1a).

Простые рассуждения показывают, что вибрация точки подвеса маятника с частотой >(2)^1/2₀(l/l₁) ([18], c.122), эквивалентна появлению эффективной возвращающей силы к вертикали. Когда стержень ускоряется вниз, угол x уменьшается на x₁, соответственно уменьшается и отклоняющий момент сил при дальнейшем движении стержня вверх. В результате при движении вверх угол (xx₁) увеличится только на x₂ < x₁. Таким образом, несмотря на то, что вибрирующая сила все время изменяет свое направление, в среднем она действует к вертикали, уменьшая x. В итоге маятник займет положение прямо противоположное нормальному.

В зонах параметрического резонанса для систем, описываемых уравнением (2), устойчивость нарушается, и амплитуда колебаний безгранично растет.

Впервые, на устойчивость состояния перевернутого маятника, по-видимому, указал B. Van der Pol в 1925 году. В 1950 году П.Л. Капица [6], используя метод приближенного решения, изящно описал и экспериментально продемонстрировал эффект перевернутого маятника ("маятника" Капицы). «Хорошо известно, отмечал П.Л. Капица [6], что для тела в состоянии покоя наиболее устойчиво то состояние, при котором его центр тяжести находится в наинизшем положении (соответствующем минимуму потенциальной энергии), а при динамическом равновесии наиболее устойчиво то состояние, при котором центр тяжести занимает наиболее высокое положение (соответствующее максимуму потенциальной энергии)». Наиболее ярким примером этого принципа является обычный волчок. Как известно, сила, вызванная трением опоры волчка о поверхность, заставляет ось волчка подниматься и принимать наиболее вертикальное положение, прецессия гасится, и волчок как бы "замирает". Но кроме классических случаев динамической устойчивости, вызванной гироскопическими силами, известен ряд других. Например, при быстром движении человека на ходулях, велосипедиста, автобуса, локомотива и пр. наиболее устойчивое состояние достигается тогда, когда центр тяжести занимает, по возможности, более высокое положение.

Одним из самых ярких примеров динамической устойчивости является шест с колеблющейся точкой подвеса. Это явление при демонстрации (XIV век, Бомбей) не менее поразительно, чем волчок, и изучение его столь же поучительно.

В 1908 году, математик Andrew Stephenson из университета Manchester, используя законы Ньютона, доказал, что шест можно достаточно просто удерживать, вибрируя точку опоры по вертикали, а не перемещая ее, из стороны в сторону, как это обычно делают, по горизонтали [19].

П.Л. Капица предложил простой и наглядный метод [6] разбора динамической устойчивости перевернутого маятника с вибрирующей точкой подвеса (рис.1а, x=) вне зон параметрического резонанса и описал устройство (рис. 4) для его демонстрации. Вертикальное положение перевернутого маятника вполне устойчиво. На опыте эта устойчивость хорошо наблюдается. Например, если вывести маятник из вертикального положения на некоторый угол x, то около отвесного положения возникнут колебания, которые благодаря трению будут затухать, и через некоторое время маятник "замрет" в вертикальном положении.

Метод Капицы применим для изучения движения перевернутого маятника с быстро колеблющимся подвесом вне зон параметрического резонанса и основан на двух предположениях. Первое - предполагается, что частота вибрации подвеса щ столь высока, что за один период полного колебания подвеса маятника под действием внешней силы f угол x мало отклоняется от некоторого среднего x₁; таким образом x можно представить в виде x= x₁+x₂, где x₂ - малая быстро-осциллирующая величина. Второе предположение - малость амплитуды продольной вибрации по сравнению с длиной маятника l₁/l <<1 (=l₁/l параметр малости). Этот метод решения дает возможность составить простое представление о физической сущности процесса. Быстрое колебание подвеса маятника приводит к созданию эффективной потенциальной энергии U _эфф= U + <f²>/(2mщ²) и момента сил [18], который проявляет себя в среднем, как обычная сила, и несколько напоминает гироскопические силы:

<M>= (1/4)m l₁²²sin(2x), (3)

где m - масса маятника.

Новые парадоксальные явления динамической устойчивости неустойчивых состояний в статике были обнаружены В.Н. Челомеем в экспериментах с вибрирующими жидкостями и твердыми телами [13, 14].

1. Устойчивое положение системы связанных «перевернутых» маятников с пульсирующей точкой подвеса (типа рис.1а, 3, 5.1).

2. Тяжелый шар в вибрирующей жидкости. Цилиндрический сосуд (труба), выполненный для удобства наблюдения из прозрачного материала, заполняется жидкостью, например водой. Затем в этот сосуд помещается сплошной шар или цилиндрическое тело из материала с удельным весом, превышающим удельный вес жидкости.

Шар тонет и занимает нижнее положение в сосуде. После этого сосуд устанавливается на вибрационном стенде и подвергается вертикальным колебаниям вдоль его оси. При достижении определенной интенсивности колебаний шар в сосуде всплывает. С увеличением интенсивности колебаний под шаром образуется воздушное пространство (каверна) с небольшим количеством жидкости, а остальная жидкость располагается над шаром. При этом система находится в устойчивом динамическом состоянии. Небольшое давление воздуха, создаваемое под шаром, легко поднимает его вверх вместе с жидкостью. При этом система устойчива и в этом новом положении. Устойчивое положение системы сохраняется и при переворачивании сосуда в вертикальной плоскости на 180^о. Подобный опыт можно осуществить с сосудом, в котором находятся несколько шаров.

И в этом случае наблюдаются аналогичные явления: воздушные каверны образуются почти под каждым шаром с жидкостью над ними. Можно наблюдать обратное явление: цилиндрический предмет, легкий по сравнению с жидкостью, при вибрациях может тонуть. Во всех случаях система под действием вибраций стремится занять положение, близкое к состоянию с максимальной потенциальной энергией.

3. Незакрепленная шайба на вертикальном вибрирующем стержне с нижней шарнирной опорой.

На прямой вертикальный стержень, имеющий одну шарнирную опору внизу, надета шайба с отверстием, диаметр которого несколько больше диаметра стержня. Под действием силы тяжести шайба падает. Однако, если придать шарнирной опоре этого стержня вертикальные колебания, шайба не падает, а остается почти в неподвижном положении на стержне, как бы в невесомости, стержень стоит почти вертикально. Это объясняется действием усредненных вибрационных сил и моментов. Опыт легко обобщается на случай двух или более шайб, а также на случай больших зазоров между стержнем и шайбой.

Дифференциальные уравнения движения "перевернутого" маятника (стержня) с незакрепленной шайбой без зазоров при вибрирующей нижней точке опоры (рис.7) имеют вид:

(I₀+I₁+mx₂²)x''₁+2mx'₁x'₂+(k₁/)x'₁-(М₁+mх₂)(g/² acos)sinx₁=0,

х''₂ + (k₂ /)х'₂ -х₂x'₁² + (g/² - a cos)cos x₁ = 0, (4)

где I_o момент инерции стержня (без шайбы) относительно оси вращения; I₁+mx₂² - момент инерции шайбы; I₁ - собственный момент инерции шайбы; m - масса шайбы; х₂ - текущая координата шайбы, отсчитываемая вдоль стержня; x₁ - текущий угол поворота стержня при колебаниях; - длина стержня; М - масса стержня; ₁ - расстояние от центра массы стержня до его оси вращения; k₁x₁ - момент трения, создаваемый движением всей системы; k₂х₂ - сила трения шайбы о стержень, отнесенная к массе шайбы; - круговая частота вибрации шарнирной опоры; а - амплитуда вибрации. Предполагается, что a/<<1.

Эта сложная нелинейная система уравнений, описывающая движение рассматриваемой системы, до сих пор до "конца" не исследована и содержит члены с быстроменяющейся фазой. Методом усреднения исходная система дифференциальных уравнений сводится к четырем нелинейным дифференциальным уравнениям первого порядка, не содержащим время в явном виде. Решениями этих уравнений будут функции, медленно меняющиеся во времени. В этом случае легко находятся квазистатические решения этих уравнений, дающие значения равновесных точек шайбы на стержне. Определение условий устойчивости шайбы относительно стержня также не представляет особых трудностей.

Проверка теоретических результатов проводилась с помощью ЭЦВМ методом Кутта-Мерсона с автоматическим выбором шага интегрирования. Полученные результаты дают близкое совпадение с опытом.

4. Повышение устойчивости упругих систем при помощи вибраций. Прямолинейный вертикальный стержень нагружается грузом G, вес которого превосходит первую эйлерову (критическую) силу. Под действием этого груза стержень изгибается (рис.6.7). Грузу сообщают продольные вибрации с помощью вибровозбудителя, находящегося на нем. В этом случае стержень выпрямляется, и груз занимает высшее начальное положение (рис.6.8).

Таким образом стержень, подверженный периодическим высокочастотным продольным колебаниям, имеет критическую силу, превышающую статическую критическую эйлерову силу. Это можно в определенном смысле рассматривать как обобщение одной из самых известных теорем Эйлера об устойчивости упругих систем при их статическом нагружении.

Подробно теория возможности повышения устойчивости упругих систем при помощи вибраций изложена в работе [13].

2.2 Атомарные ловушки

Еще в 1950 году П.Л. Капица на основе рассмотрения задачи о перевернутом маятнике указал на возможность использования ориентирующего момента сил, возникающего при колебательном процессе, для ориентации коллоидов, молекул [6]. И только в 1958 году М. А. Гапонов, М.А. Миллер теоретически обосновали возможность возникновения потенциальных ям в неоднородных высокочастотных электромагнитных полях для заряженных частиц [20].

За рубежом практически одновременно ряд авторов экспериментально продемонстрировали удержание заряженных частиц в неоднородных постоянном и переменном электрических полях вне зоны резонанса [21, 22]. В 1989 году трое физиков: Н.Ф. Рэмси, В. Пауль и Х. Демельт были удостоены Нобелевской премии за цикл экспериментальных работ с изолированными частицами [2324, 27].

Сама идея "атомарных" ловушек возникла в физике молекулярных пучков, масс-спектрометрии и физике ускорительных частиц [2127]. В те годы (19501955) экспериментаторы научились с помощью плоских электрических и магнитных полей фокусировать частицы в двух измерениях, действуя на их магнитные или электрические дипольные моменты.

В двухмерном квадруполе конфигурация поля рис.8а порождается четырьмя электродами гиперболической формы, линейно протяженными вдоль оси у. Если к электродам приложить постоянное напряжение U плюс напряжение V на радиочастоте:

Ф₀=U+Vcos t, (5)

то в поле с потенциалом

Ф=Ф₀(x²z²)/(2r_o²), (6)

уравнения движения будут иметь вид:

x'' + (a_x + 2q_x cos t) x=0, z'' + (a_z + 2q_z cos t) z=0, (7)

где a_x = a_z= а = 4eU/(m r_o²²), q_x = q_z = q = 2eV/(m r_o²²) либо в переменных (1)

x''_i + (_{o i} + _{1 i} cos ) x_i=0 (8)

где _ox = _{o z} /2=a/4, _1x=_{1 z} /2=q/2, x''_i =dx/d, =t.

Уравнения Матье (7, 8) имеют два типа решений.

1. Устойчивое движение: частицы колеблются в плоскостях x, z с ограниченными амплитудами вне зоны резонанса.

2. Неустойчивое движение в зонах резонанса: амплитуды по x, z экспоненциально нарастают. Частицы будут теряться.

Существование устойчивости зависит только от параметров а и q и не зависит от начальных параметров движения иона, например, от его скорости. Следовательно, на диаграмме а-q имеются области устойчивости и неустойчивости (рис. 9).

Для данной задачи представляет интерес только та часть, где области устойчивости по х и z перекрываются. Наиболее существенная область с а>0, q<1. Движение устойчиво по х и по z только внутри области.

В последние десятилетия радиочастотный квадруполь, благодаря его универсальности и простоте, нашел широкое применение во многих областях науки и техники в качестве массспектрометра и направляющей системы для пучков. Он стал разновидностью стандартного измерительного прибора.

В двухмерном квадруполе (рис. 8) динамическая стабилизация ионов навела авторов на идею ее использования для захвата ионов в трехмерном поле [21, 24]. Впервые ионная ловушка (рис.10а) была создана ими в 1954 г. Такие ловушки позволяют исследовать даже одиночные изолированные частицы в течение длительных интервалов времени, и тем самым, согласно принципу неопределенности Гейзенберга, дают возможность измерять их свойства с предельно высокой точностью.

Конфигурация потенциала в ионной ловушке определяется формулой:

Ф=Ф₀(r²-z²)/(r_o²+2z_o²), (9)

где 2z_o²= r₀², 2r_o внутренний диаметр электрода в плоскости x, y.

Такая конфигурация порождается кольцом в форме гиперболоида вращения и двумя колпаками с гиперболической поверхностью, обладающие вращательной симметрией, как это показано на рис.10а.

Соответствующие уравнения движения в безразмерных переменных имеют вид [24]:

x''_i + (_{o i} + _{1 i} cos ) x_i=0, (10)

где _ox=_oy = _oz /2= a/4, _1x= _1y=_1z /2= q/2. Собственные решения уравнений Матье (10) являются устойчивыми только в определенной области изменения параметров _oi и _1i (рис.9).

Динамическую стабилизацию в ловушке легко продемонстрировать на механическом аналоге (рис.10б). В ловушке эквипотенциальные линии образуют поверхность в виде седла. Авторы [24] изготовили такое седло из плексигласа на диске. Если положить на такую поверхность-седло маленький стальной шар, то он будет скатываться вниз: его положение неустойчиво. Однако, если заставить диск вращаться с правильной скоростью, соответствующей параметрам потенциала и массе шарика (в данном случае это несколько оборотов в секунду), то шарик становится устойчивым, он совершает небольшие колебания и может оставаться в таком положении в течение длительного времени. Даже если добавить второй или третий шарик, все они будут оставаться вблизи центра диска. Единственным условием является то, чтобы соответствующий параметр Матье _1i имел значения в допустимых пределах.

F=2r³₂Re{[(₁-₂ )/(₁+2₂)]E²}. (15)

Иллюстрируя вышесказанное, надо заметить, что фактор Клауса Мозотти может быть как положительным, так и отрицательным (или иметь нулевое значение), следовательно, сила, действующая на частицу может быть направлена по или против градиента напряженности электрического поля.

3. Вращающий момент частицы. Электроротация. Вращающий момент, действующий на диполь, описывается следующим уравнением:

N=[p·E]. (16)

Формула показывает, что вращающий момент зависит только от вектора электрического поля и не зависит от градиента напряженности. Абсолютное значение разницы фаз между искусственным диполем p и вектором напряженности электрического поля E определяет абсолютное значение вращающего момента, достигая максимума при различии фаз в 90^o и минимума при 0^o. Таким образом, частица, находясь в ротационном электрическом поле, будет поворачиваться в противофазе с полем (рис.22). Можно показать, что вращающий момент зависит только от мнимых компонент дипольного момента, и, следовательно, время оборота частицы с радиусом r есть:

N()= - 4₂r³Im{f(₁,₂)}E². (17)

Диэлектрофорез - бегущая волна. Определение наведенного дипольного момента:

p(t)=p_x(t)a_x+p_y(t)a_y+p_z(t)a_z, (18)

где a_x, a_y, a_z - единичные векторы осей x, y и z соответственно и p_x, p_y, и p_z - абсолютные величины наведенного дипольного момента.

При диэлектрофорезе сила воздействия электрического поля в бегущей волне (рис. 23) вычисляется по следующей формуле:

F(t)= - 4²₂r³Im{f(₁,₂)}E² /, (19)

где - длина волны бегущего поля и Im{f(₁,₂)} мнимое число фактора Клауса Мозотти. Реальные и мнимые части фактора Клауса Мозотти дают компоненты, совпадающие и не совпадающие по фазе диполя p(t), который своим вращением определяет поведение частиц при диэлектрофорезе и эдектроротации в бегущей волне.

Силы, возникающие при линейном диэлектрофорезе, уравновешиваются вязкостным торможением (определяются по формуле Стокса). Таким образом, ДЭФ в среде с вязкостью , скоростью х частицы, движущейся вдоль электродной сетки, определяется формулой:

х =-2₂r²Im{f(₁,₂)}E² /(3). (20)

Скорость пропорциональна квадрату радиуса частицы, квадрату напряженности электрического поля, длине пробега, вязкости среды и мнимой части фактора Клауса Мозотти.

Применение электродов различных форм эффективно при разделении смеси частиц. На рис. 24 показаны электроды для диэлектрофореза, которые применяются при исследованиях и разделении различных частиц и клеток в Университете Глазго [49].

Электроды изготавливаются с шагом 1-100 мкм.

Производство микроэлектродов для электрокинетических исследований выполняется при содействии департамента электроники и электронной инженерии микро- и нано- производства мирового класса [48, 49]. Комбинированное применение фотолитографии и электронно-лучевой литографии позволило сделать особенные электродные сетки размерами от 500 нанометров до 500 мкм. Площадь электродов может достигать нескольких квадратных сантиметров.

2.6 Пондеромоторное действие волн на "резонаторы"

К традиционным пондеромоторным резонансным задачам относят проблему резонансов и малых знаменателей в небесной механике [50-52], радиационные пояса планет и динамику заряженных частиц в электромагнитных полях [20-27], проблему межмолекулярных сил [53-55].

По-видимому, впервые пондеромоторное резонансное действие привлекло к себе внимание в XVIII веке в связи с проблемой резонансов и малых знаменателей в небесной механике [51]. Было замечено множество соизмеримых "резонансных" соотношений между орбитальными периодами планет и спутников солнечной системы, между их вращательными (вокруг своих осей) и орбитальными движениями [51, 52].