Случайные колебания в упругой среде
Исследование реакции упругой среды на воздействие гармонического колебания со случайной амплитудой и частотой. Характеристика моделирования работы источника колебаний при исследовании нестационарных задач упругости с учетом принципа причинности.
| Рубрика | Физика и энергетика |
| Вид | статья |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 28.01.2020 |
| Размер файла | 23,3 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Размещено на http://www.allbest.ru/
Случайные колебания в упругой среде
В различных прикладных задачах, относящихся к расчетам колебаний в материальных средах, параметры колебательных систем считаются детерминированными (неслучайными). Однако весьма часто в реальности источник колебаний имеет случайную природу. В данной работе изучаются перемещения в упругой среде, вызванные таким источником колебаний.
Рассмотрим в некоторой системе координат x = (x1, x2, x3) безграничную упругую среду, подверженную некоторому динамическому (зависящему от времени t) воздействию при помощи массовой силы X(x, t) = (X1, X2, X3). Известно [1], что компоненты вектора перемещения U(x, t) = (U1, U2, U3) в этом случае удовлетворяют уравнениям Ламе
,(1)
где по повторяющимся индексам ведется суммирование от 1 до 3, а запятая означает дифференцирование по пространственным координатам xi и xj. В уравнении (1) и - постоянные Ламе, характеризующие свойства упругой среды, c2 - скорость распространения поперечной волны, которая полностью определяется постоянными Ламе и плотностью среды, - оператор Лапласа:
.
Наряду с уравнением (1) компоненты вектора перемещения U удовлетворяют условию на бесконечности, а также так называемым условиям излучения.
Условия на бесконечности означают следующее:
U 0 при R = .
В качестве условий излучений для нестационарных задач упругости принимается принцип причинности: в упругой среде должны отсутствовать перемещения вне области, ограниченной передним фронтом волн, идущих от источников колебаний.
Будем предполагать, что в начальный момент времени (t = 0) упругая среда находится в состоянии покоя.
Для решения уравнения (1) можно использовать преобразование Лапласа по временной координате и преобразование Фурье по пространственным координатам. В результате получается выражение (см. подробности в [2])
Ui(x, t) =, (2)
где L[f (t)] означает преобразование Лапласа функции f (t) (соответственно L-1 означает обратное преобразование), c1 - скорость распространения продольных волн в упругой среде, звездочка обозначает свертку по пространственным координатам в E3, т.е.
f (x, t)*g(x, t) =.
Задавая в (2) тем или иным образом массовую силу X, можно получить решения конкретных задач.
Пусть компоненты Xi массовой силы имеют вид
Xi = Ai1 (x1) (x2) (x3) (t), (3)
где ij - символ Кронекера, (x) - дельта-функция Дирака, A - случайная величина, (t) - некоторая (возможно, случайная) функция времени. Другими словами, в начале координат упругой среды в направлении оси x1 действует случайная сила.
Теперь легко показать [3], что
, (4)
Где
Таким же образом можно записать
,
Где
Далее согласно (2) получим
Ui(x, t) =. (5)
Легко проверить, что полученное решение (5) удовлетворяет уравнению (1), а также условиям на бесконечности и условиям излучения.
Рассмотрим вариант, когда (t) = sin t, т.е. сила в начале координат осуществляет случайное гармоническое воздействие с частотой на упругую среду, причем частота может быть случайной величиной. Для этого случая получим вместо (5) формулу
Ui(x, t) =
. (6)
Для упрощения выкладок рассмотрим компоненту U3 в точке (0, 0, H). Производя дифференцирование в (6), вычислим затем перемещение U3(0, 0, H, t) = U3(H, t):
U3(H, t) =
. (7)
Так как c1 > c2, то при t < H/c1 в рассматриваемой точке будут отсутствовать перемещения; при H/c1 < t < H/c2 в рассматриваемой точке будут фиксироваться только продольные волны, и тогда из (7) получим
U3(H, t) =. (8)
При t > H/c2 в точке (0, 0, H) будут наблюдаться и продольные, и поперечные волны, и согласно (7)
U3(H, t) =. (9)
Полученные формулы (7), (8) и (9) позволяют исследовать закон распределения случайного перемещения U3(H, t).
Если амплитуда A есть случайное число, а частота является неслучайной, то, как видно из приведенных выражений, закон распределения перемещения U3(H, t) совпадает с законом распределения случайной величины A и у них будут отличаться только числовые характеристики.
Если случайной является частота колебаний , а амплитуда A - неслучайное число, то достаточно сложно найти точный закон распределения для U3(H, t), но наличие расчетных формул (7), (8) и (9) дает возможность смоделировать закон распределения случайного перемещения, если, конечно, известен закон распределения для .
Пусть случайными будут и амплитуда, и частота колебаний, причем известен их совместный закон распределения. В этом случае также достаточно несложно на основе метода статистических испытаний (метод Монте-Карло), получить нужную информацию о случайном перемещении U3(H, t) в любой момент времени.
Заметим, что не представляет затруднений рассмотрение перемещений в любой другой точке и нахождение для них законов распределения. При этом будут более громоздкими расчетные формулы типа (7), (8), (9), но принципиальных сложностей при этом не возникает.
Библиографический список
гармонический колебание упругий среда
1. Новацкий В. Теория упругости. М.: Мир, 1975. 872 с.
2. Кеч В., Теодореску П. Введение в теорию обобщенных функций с приложениями в технике: Пер. с румынского. М.: Мир, 1978. 519 с.
3. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров: Пер. с английского. М.: Наука, 1970. 720 с.
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Динамические эффекты в различных средах. Колебания системы сред. Колебания жидкого слоя с покрытием под действием установившихся гармонических колебаний. Состояние идеальной жидкости с упругим покрытием. Двумерное и обратное преобразование Фурье.
дипломная работа [546,5 K], добавлен 09.10.2013Условия возникновения колебаний. Гармонические колебания и их характеристики. Скорость и ускорение. Затухающие, вынужденные колебания, резонанс. Период математического и пружинного маятников. Волны в упругой среде. Длина, интенсивность и скорость волны.
шпаргалка [62,5 K], добавлен 08.05.2009Повышение динамического качества станков с помощью возмущений подшипников качения. Колебания при отсутствии вынуждающей силы и сил вязкого сопротивления. Незатухающие гармонические вынужденные колебания. Нарастание амплитуды во времени при резонансе.
реферат [236,6 K], добавлен 24.06.2011Распространение волн в упругой среде. Уравнение плоской и сферической волны. Принцип суперпозиции, разложение Фурье и эффект Доплера. Наложение встречных плоских волн с одинаковой амплитудой. Зависимость длины волны от относительной скорости движения.
презентация [2,5 M], добавлен 14.03.2016Единый подход к изучению колебаний различной физической природы. Характеристика гармонических колебаний. Понятие периода колебаний, за который фаза колебания получает приращение. Механические гармонические колебания. Физический и математический маятники.
презентация [222,7 K], добавлен 28.06.2013Маятник под воздействием сил тяжести и электростатического взаимодействия. Колебания стержня и маятника под действием сил тяжести и упругости. Примеры комбинированных маятников, расчет частоты колебаний. Затухающие колебания комбинированного осциллятора.
курсовая работа [307,1 K], добавлен 11.12.2012Определяющие соотношения модели нелинейно упругой среды, вычисление компонент тензора напряжений. Определение автомодельного движения. Сведение модельных соотношений к системе дифференциальных уравнений. Краевая задача разгрузки нелинейно упругой среды.
курсовая работа [384,1 K], добавлен 30.01.2013Особенности колебаний, имеющих физическую природу. Характеристика схемы пружинного маятника. Исследование колебаний физических маятников. Волновой фронт как геометрическое место точек, до которых доходят колебания к рассматриваемому моменту времени.
курсовая работа [1,7 M], добавлен 01.11.2013Исследование понятия колебательных процессов. Классификация колебаний по физической природе и по характеру взаимодействия с окружающей средой. Определение амплитуды и начальной фазы результирующего колебания. Сложение одинаково направленных колебаний.
контрольная работа [1,6 M], добавлен 24.03.2013Свободные колебания в линейных системах в присутствии детерминированной внешней силы. Нелинейные колебания, основные понятия: синхронизация, слежение, демодуляция, фазокогерентные системы связи. Незатухающие, релаксационные и комбинированные колебания.
курсовая работа [4,1 M], добавлен 27.08.2012Малые колебания, тип движения механических систем вблизи своего положения устойчивого равновесия. Теория свободных колебаний систем с несколькими степенями свободы. Затухающие и вынужденные колебания при наличии трения. Примеры колебательных процессов.
курсовая работа [814,3 K], добавлен 25.06.2009Изучение сущности механических колебаний. Характерные черты и механизм происхождения гармонических, затухающих и вынужденных колебаний. Разложение колебаний в гармонический спектр. Применение гармонического анализа для обработки диагностических данных.
реферат [209,3 K], добавлен 25.02.2011Воздействие внешней периодической силы. Возникновение вынужденных колебаний, имеющих незатухающий характер. Колебания, возникающие под действием периодически изменяющейся по гармоническому закону силы. Зависимость амплитуды от частоты вынуждающей силы.
презентация [415,6 K], добавлен 21.03.2014Способы построения программы в программной среде MatLab. Формулы, необходимые для математического моделирования физической модели. Построение графической модели колебания струны с жестко закрепленными концами. Создание физической модели колебания.
лабораторная работа [307,7 K], добавлен 05.01.2013Колебания - один из самых распространенных процессов в природе и технике. Процесс распространения колебаний среди множества взаимосвязанных колебательных систем называют волновым движением. Свойства свободных колебаний. Понятие волнового движения.
презентация [5,0 M], добавлен 13.05.2010Свободные и линейные колебания, понятие их частоты и периода. Расчет свободных и вынужденных колебаний с вязким сопротивлением среды. Амплитуда затухающего движения. Определение гармонической вынуждающей силы. Явление резонанса и формулы его расчета.
презентация [962,1 K], добавлен 28.09.2013Принцип применения операторного метода для анализа переходных колебаний в электрических цепях, содержащих один реактивный элемент и резисторы. Переходные колебания в цепи с емкостью и с индуктивностью. Свободные переходные процессы в цепи с емкостью.
лекция [174,2 K], добавлен 27.04.2009Принцып генерирования гармонических сигналов. Спектральный состав и анализ периодических колебаний. Частотный состав непериодического колебания. Распределение энергии в спектре непереодического колебания. Расположение энергетически участков спектра.
реферат [103,5 K], добавлен 05.05.2009Законы изменения параметров свободных затухающих колебаний. Описание линейных систем дифференциальными уравнениями. Уравнение движения пружинного маятника. Графическое представление вынужденных колебаний. Резонанс и уравнение резонансной частоты.
презентация [95,6 K], добавлен 18.04.2013Изучение динамического поведения цилиндрической оболочки (упругой или вязкоупругой), контактирующей с жидкостью. Рассмотрение задач о распространении волн в цилиндрической оболочке, заполненной или нагруженной жидкостью и обзор методов их решения.
статья [230,6 K], добавлен 09.01.2016
