Рівняння Бернуллі. Режими руху рідини

Размещено на http://www.allbest.ru/

Практична робота

Гідродинаміка

Рівняння Бернуллі. Режими руху рідини

1. Основні формули та визначення

За різними ознаками рух рідини поділяють:

за швидкістю в одному перерізі в різний час: усталений (стаціонарний) рух, при якому швидкість не змінюється з часом; неусталений (нестаціонарний) рух, при якому швидкість рідини в кожній точці простору змінюється з часом.

за швидкістю в різних перерізах в різний час: рівномірний рух, при якому швидкості в подібних точках різних перерізів однакові, нерівномірний при якому швидкості в подібних точках різних перерізів різні.

за обмеженням потоку: напірний рух, при якому потік обмежений з усіх боків твердими стінками, безнапірний рух, при якому існує вільна поверхня, що контактує з газом, найчастіше повітрям, вільний струмінь, який не має твердих стінок і з усіх боків обмежений газом.

за обертанням частинок рідини: вихровий, при якому частинки рідини рухаються обертально і поступально, безвихровий, якщо частинки не обертаються.

Лінією течії називається крива, дотична до якої в кожній точці збігається з напрямком вектора швидкості рідини. Трубка течії - трубчаста поверхня, яка утворена лініями течії, проведеними через усі точки контуру дуже малої елементарної площадки, перпендикулярної напрямку течії. Елементарна струминка - частина потоку, що знаходиться в середині трубки течії.

Потік рідини - це рухомий об'єм певних розмірів, що складається з нескінчено великої кількості нескінчено малих елементарних струминок. Живий переріз - переріз потоку, нормальний до кожної лінії течії.

Витрата - об'ємна кількість рідини, що протікає через живий переріз потоку за одиницю часу. Її визначають як суму витрат елементарних струминок, з яких складається потік:

, (5.1)

де - місцева швидкість у центрі перерізу елементарної струминки, площею .

Основні гідравлічні елементи потоку:

площа живого перерізу ;

середня швидкість - умовна швидкість, однакова для всіх точок перерізу, при якій витрата потоку буде такою ж, як і при різних місцевих швидкостях;

. (5.2)

змочений периметр - периметр живого перерізу рідини, що контактує з твердими стінками. Для труби, повністю заповненої водою, з живим перерізом коло -, квадрат -, де - сторона квадрата;

гідравлічний радіус - відношення площі живого перерізу до змоченого перерізу:

(5.3)

Він наближено враховує вплив форми і розмірів живого перерізу на рух рідини. Для кола, для квадрата,для відкритого каналу трикутної форми з рівним сторонами

Основними рівняннями, що дозволяють вирішувати простіші задачі про рух ідеальної рідини є рівняння витрат і рівняння Бернуллі.

Рівняння витрат: У різних перерізах одного і того ж потоку з різними площами витрата буде незміною:

. (5.4)

Рівняння (5.4) є умовою нерозривності потоку рідини, що не стискається і з нього випливає, що швидкості зворотно пропорційні площам поперечних перерізів.

Рівняння Бернуллі для потоку ідеальної рідини являє собою закон збереження питомої енергії рідини по довжині потоку. Питома енергія - енергія, що віднесена до одиниці ваги, об'єму або маси. Це рівняння пов'язує між собою тиск, середню швидкість і геометричну висоту в різних перерізах потоку і є основним рівнянням практичної гідродинаміки. Рівняння Бернуллі, записане для перерізів 1 і 2 елементарного потоку ідеальної рідини (рис. 5.1) має вигляд:

, (5.5)

де - вертикальна координата центру тяжіння і-того перерізу або, з енергетичної точки зору питома енергія положення;

- тиск в центрі ваги і-того перерізу;

- середня швидкість рідини в і-тому перерізі.

З енергетичної точки зору сума трьох доданків є повною питомою енергією рідини в і-тому перерізі або повним гідродинамічним напором. Двочлен - це питома потенціальна енергія або п'єзометричний напір в і-тому перерізі, що складається з питомої енергії положення і питомої енергії тиску (п'єзометричної висоти) ;

- питома кінетична енергія в і-тому перерізі або швидкісний напір.

Геометрична інтерпретація рівняння Бернуллі для ідеальної рідини показана на рис. 1, де лінія - геометрична лінія, яка з'єднує центри ваги рідини, - п'єзометрична лінія, яка з'єднує п'єзометричні висоти, - лінія повного напору, що з'єднує повні напори.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 1.

Для потоку реальної (в'язкої) рідини рівняння Бернуллі записується в наступному вигляді:

, (5.6)

де - коефіцієнт Коріоліса і-того перерізу, що враховує нерівномірність розподілу швидкостей по перерізу і рівний відношенню дійсної кінетичної енергії до кінетичної енергії того ж потоку при рівномірному розподілі швидкостей. Звичайно його значення в каналах і трубопроводах змінюється в межах 1,05...1,10, при ламінарному режимі ;

- сумарна втрата повного напору між перерізами 1 і 2, обумовлена в'язкістю (рис. 2).

Геометрична інтерпретація рівняння Бернуллі для реальної рідини показана на рис. 2.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 2

Розрізняють два режими руху рідини: ламінарний і турбулентний. При ламінарному режимі частинки рідини рухаються паралельно одна до одної вздовж осі труби зі сталими швидкостями. При турбулентному режимі окремі частинки рухаються хаотично, їхні траєкторії перетинаються, окремі об'єми перемішуються і обертаються. У результаті виникають пульсації тисків і швидкостей, тому рух неусталений.

Режими руху рідини визначаються за допомогою безрозмірного числа Рельнольдса:

, (3.4.7)

де - середня швидкість руху рідини; - гідравлічний радіус, який визначається за формулою (3.4.3); - кінематична в'язкість рідини, яка визначається за формулою (1.16).

Для круглих труб

. (3.4.8)

Експериментально визначено, що для круглих труб при режим руху ламінарний, при - турбулентний, при - почергово чергується то ламінарний, то турбулентний режим руху. Число Рельнолдса при якому відбувається зміна режиму руху рідини називається критичним , а швидкість, що відповідає критичному числу Рельнолдса - критичною.

Ламінарний режим виникає в тонких капілярних трубках, під час руху високов'язких рідин фільтрації води в порах грунту, при малих швидкостях. Малов'язкі рідини (вода, бензин, спирт) майже завжди рухаються при турбулентному режимі.

2. Вказівки до вирішення задач

гідравлічний бернуллі ідеальний рідина

Частина задач даного розділу розрахована на використання рівняння Бернуллі для ідеальної рідини, тобто без урахування гідравлічних втрат (втрат тиску) і нерівномірності розподілу швидкостей (коефіцієнта Коріоліса). Інша частина задач розв'язується за допомогою рівняння Бернуллі для потоку реальної рідини в загальному випадку з урахуванням вказаних вище обставин.

Проте коефіцієнт Коріоліса слідує враховувати лише при ламінарном режимі течії, коли . Для турбулентних потоків можна приймати . При використанні рівняння Бернуллі важливо правильно вибрати два перерізи, для яких воно записується. В якості перерізів рекомендується брати:

вільну поверхню рідини в резервуарі (баку), де ;

атмосферу, де р_над=0; р_абс=р₀;

переріз, де приєднаний той або інший манометр, п'єзометр;

нерухоме повітря далеко від входу в трубу, в яку відбувається всмоктування із атмосфери.

Рівняння Бернуллі рекомендується спочатку записувати в загальному вигляді, а потім записувати з заміною його членів заданими буквеними величинами і виключити члени, рівні нулю.

При цьому необхідно пам'ятати наступне:

вертикальна ордината z завжди відраховується від довільної площини вгору;

тиск р, що входить в праву і ліву частині рівняння, повинен бути задано в одній системі відліку (абсолютній або надлишковій);

сумарна втрата тиску завжди пишеться в правій частини рівняння Бернуллі із знаком „+”.

В частковому випадку, коли рідина підводиться до резервуару, баку, і т.д. можна враховувати, що втрачається вся кінетична енергія рідини. У випадку ламінарного режиму при цьому слід враховувати коефіцієнт .

3. Приклади розв'язку задач

Приклад 1.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Визначити довжину трубопровода l, по якому з резервуара витікає нафта з відносною густиною д = 0,9 в'язкостю по Энглеру °Е. Масова годинна витрата нафти в трубопроводі М_ч (т/год), висота нафти в резервуарі Н (м), діаметри труб d. Місцевими опорами в трубопроводі нехтувати.

Дано:

М_ч = 8,5 т/год, d = 50мм = 0,05 м, Н = 4,7 м, °Е = 90,

с_н = д?с_в = 0,9•1000 = 900кг/м³

Рішення

Масова витрата нафти в секунду буде дорівнювати: М_с = 8,5•1000/3600= 2,36кг/с.

Переведемо масову витрату нафти в об'ємну:

Q=М_с/с_н = 2,36/900 = 0,0026 м³/с

Враховуючи в'язкість по Энглеру визначимо кінематичний коефіцієнт в'язкості:

м²/с.

З умови знайдемо швидкість в трубопроводе

м/с

Визначимо режим течії нафти на ділянках трубопровода:

< Re_кр = 2300

Отримане значення оизначає, что в трубопроводі режим течії - ламінарний.

Проведемо перерізи 1 - 1 , 2 - 2 і площину порівняння 0 - 0 (на схемі).

Запишемо рівняння Бернуллі:

З принятої схеми, маємо:

z₁ = Н - вісота нафти в резервуарі Н = 4,7м, z ₂ = 0 - геометричний напір в перерізах трубопровода,

б₁ = б₂ = 2 - коефіцієнт Кориоліса для круглих труб при ламинарній течії

v₁ = v₂ = v - швидкість течії нафти, однакова, т.к. діаметр постійний

- п'езометричний напір, р₁ = р_а + р_м = р₂.

H_n - сумарні втрати напору, Н_п = Н_м + Н_дл

Н_м - місцеві втрати, по умовам ;

Н_дл - втрати по довжині трубопровода,

Коефіцієнт Дарси

,

тоді .

Підставивши в рівняння Бернуллі, отримуємо:

Після перетворення маємо:

Звідки м.

Приклад 2

Размещено на http://www.allbest.ru/

Визначити динамічний коефіцієнт в'язкості масла м, перекачуваного по трубопроводу довжиною l, діаметром d, якщо витрата масла М_с (кг/с), показники манометра р_м, а густина масла с_м = 870кг/м³

Дано:

М_ч = 4кг/с

d = 75мм = 0,075м

l = 135м

р_м = 2,0кгс/см² = 2•98,1•10³Па =196,2кПа

Рішення

Переведемо масову витрату ніфти в об'емну:

Q=М_с/с_м = 4/870 = 0,0046 м³/с

З умови визначимо щвидкість в трубопроводі

м/с

Проведемо перерізи 1 - 1, 2 - 2 і площину порівняння 0 - 0 (на схемі).

Запишемо рівняння Бернуллі:

Виходячи з прийнятої схеми, маємо:

z₁ = 0, z ₂ = 0 - геометричний напір в перерізах трубопровода рівний нулю тому що трубопровід горизонтальний,

б₁ = б₂ - коефіцієнт Коріоліса для круглих труб при ламінарній течії

v₁ = v₂ = v - швидкість течії нафти, одинакова, т. к. діаметр постійний

- п'єзометричний напір, р₁ = р_а + р_м , р₂ = р_а.

H_n - сумарні втрати напору, Н_п = Н_м + Н_дл

Н_м - місцеві втрати, по умові ;

Н_дл - втрати по довжині трубопровода,

Визначимо режим течії нафти на ділянках трубопровода:



, тоді

Коефіцієнт Дарси ,

< Re_кр = 2300

тоді .

Підставив в рівняння Бернуллі, отримуємо:

Після спрощення:

Звідки

кг•с/м².

Приклад 3



Размещено на http://www.allbest.ru/

Визначити максимальну висоту Н, на яку може бути піднята насосом вода, якщо подача насоса Q, показання манометра р_м, діаметр трубопровода d, його довжина l, абсолютна шорсткість труб Д= 1,0мм, ступінь відкриття засувки Лудло х:d=3/8, кут відкриття зворотного клапана б=50°, радіус закруглення колін R=0,715d.

Дано:

Q = 50м³/час = 0,0139м³/с

р_м =5,20ат=5,2•98,1•10³ = 510,12кПа

l = 100м

d = 125мм = 0,125м

х:d = 3/8

R = 0,715d= 89мм

Д =1,0мм

с = 1000кг/м³

Рішення

Знаючи витрату, визначимо швидкість води в трубопроводі: , швидкість в трубопроводі м/с.

Н_дл - втрати по довжині трубопроводу,

Коефіцієнт Дарсі визначимо по формулі Нікурадзе:

тоді м.

Н_м - місцеві втрати, м;

- сума коефіцієнтів місцевих опорів

ж₁ = 5,52 - коефіцієнт опору засувки Лудло;

ж₂ = 1,536 - коліно 90° с закругленням d/R = 1,4;

Н_У - спільні втрати напору,

Н_У = Н_н + Н_дл + Н_м = Н_н + 4,5+ 0,046 =Н_н + 4,546м

де Н_н - висота нагнітання води;

Тиск в трубопроводі визначиться по формулі: р_м = с • g • Н_У.

З формули висота підйому води в трубопроводі:

м.

Приклад 4

Размещено на http://www.allbest.ru/

Визначити висоту підйому нафти Н (м) нафти, якщо показники манометра р_м (ат), масова годинна витрата нафти в трубопроводі М_ч (т/год), діаметри труб d, довжина трубопроводу l, відносна густина нафти д = 0,89. В'язкість нафти по Энглеру °Е. Місцевими опорами в трубопроводі знехтувати.

Дано:

М_ч = 140т/год

d = 250мм = 0,25м

l = 120м

р_м1 = 3,1 ат

р_м2 = 0,11 ат

°Е = 105

с_н = д?с_в = 0,89•1000 = 890кг/м³

Рішення

Переведемо показання манометра в систему СІ: 1 ат = 98,1•10³Па, тоді:

р_м1 = 3,1• 98,1•10³ = 304,11•10³Па,

р_м2 = 0,11• 98,1•10³ = 10,79•10³Па,

Масова витрата нафти в секунду буде:

М_с = 140•1000/3600= 38,9кг/с.

Переведемо масову витрату нафти в об'ємну:

Q=М_с/с_н = 38,9/890 = 0,0436 м³/с

Враховуючи в'язкість по Энглеру визначимо кінематичний коефіцієнт в'язкості

м²/с.

З умови , швидкість в трубопроводі

м/с

Визначимо режим течії нафти:

, < Re_кр = 2300

Отримане значення визначає, що в трубопроводі режим течії - ламінарний.

Проведем перерізи 1 - 1, 2 - 2 і площину порівняння 0 - 0, як показано на схемі.

Напишемо рівняння Бернуллі:

Виходячи з прийнятої схеми, маємо:

z₁ = 0, z ₂ = H - геометричний напір в перерізах трубопроводу, висота підйому нафти;

б₁ = б₂ = 2 - коефіцієнт Коріоліса для круглих труб при ламінарній течії

v₁ = v₂ = v - швидкість течії, однакова, т.к. діаметр постійний

- п'єзометричний напір, р₁ = р_а + р_м1, р₂ = р_а + р_м2;

H_У - сумарні втрати напору, Н_У = Н_м + Н_дл

Н_м - місцеві втрати, по умові ;

Н_дл - втрати по довжині трубопроводу,

Коефіцієнт Дарсі для ламінарної течії: ,

тоді .

Підставивши в рівняння Бернуллі, отримуємо:

Після спрощення:

Звідки

м.

4. Задачі для самостійного розв'язування

На яку висоту h може засмоктуватися вода з резервуару по трубці, під'єднаній до вузького перерізу горизонтального трубопроводу, якщо витрата рідини, що протікає, 2,7 л/с, а діаметри d₁=5см і d₂=2,5 см, надлишковий тиск р₁ = 8000 Па. Втратами енергії знехтувати.



Размещено на http://www.allbest.ru/

Визначте витрату гасу, що витікає з резервуару по трубопроводу діаметром 50 мм при надлишковому тиску в резервуарі р₀=16 кПа. Висота рівня Н= 1 м, а висота піднімання гасу в п'єзометрі h=1,75 м. Втратами енергії знехтувати, питома маса гасу - 800 кг/м³

Размещено на http://www.allbest.ru/

З напірного бака витікає вода по трубі діаметром d₁=20 мм і виходить в атмосферу через насадок діаметром d₂=10 мм. Надлишковий тиск у баці p₀=180 кПа, висота рівня води над віссю труби H=1,6 м . Не зважаючи на втрати енергії, обчисліть швидкість руху води в трубопроводі й на виході з насадка.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Визначити витрата гасу в трубопроводі Q ( м³/год ), якщо в трубці Піто гас піднявся на висоту Н = 460мм, показання манометра h_м = 20мм рт. ст. .діаметри труб d = 50мм і D = 2d, відносна густина гасу д_к = 0,8. Опором прямих ділянок зневажити.



Размещено на http://www.allbest.ru/

Визначити висоту рівня мазуту в резервуарі Н (м), якщо витрата мазуту М_ч = 70т/год, діаметр труби d =100 мм l = 2м, густина мазуту с_м = 950 кг/м³, в'язкість по Ейлеру єЕ =100.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Визначити висоту машинного масла в резервуарі Н (м), якщо довжина трубопроводу l =20м, діаметр труб d = 125 мм, витрата масла М_ч = 50т/год, густина с_м = 890 кг/м³, в'язкість масла по Енглеру єЕ = 20. Опором входу в трубу зневажити.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Визначити довжину трубопроводу l (м), якщо витрата гасу М_ч =130т/год, діаметр труб d = 150 мм, показання манометра р_м = 3,0ат відносна густина гасу д_к = 0,8. Коефіцієнт л обчислити по формулі Нікурадзе, прийнявши абсолютну шорсткість труб Д = 0,2 мм.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Визначити витрату води Q (м³/год) у трубопроводі діаметром d = 100мм і довжиною l = 18м, якщо висота води в резервуарі Н = 3 м, показання манометра р_м = 1,0ат. Коефіцієнт л підрахувати по формулі Нікурадзе, прийнявши абсолютну шорсткість труб Д = 0,5 мм. Опором вхідної ділянки зневажити.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Визначити різницю рівнів води в резервуарах Н (м), якщо через сифонний трубопровід діаметром d = 400 мм і довжиною l = 20 м проходить витрата води Q = 480 м³/год. На усмоктувальній стороні встановлений прийомний пристрій (сітка зі зворотнім клапаном), радіус заокруглення колін R = d. Коефіцієнт л підрахувати по формулі Нікурадзе, прийнявши абсолютну шорсткість труб Д = 1,0 мм.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Визначити витрату води Q (м³/год) у трубі діаметром d =13 мм і довжиною l = 2,5 м, якщо висота води в резервуарі Н = 1,2 м. Коефіцієнт л обчислити по формулі Нікурадзе, прийнявши абсолютну шорсткість труби Д = 0,2 мм.



Размещено на http://www.allbest.ru/

Визначити показання манометра р_м (ат), якщо витрата води в трубопроводі Q = 30 м³/год, висота підйому Н = 4м, діаметри труб d₁ =75 мм d₂, 100мм, d₃ =50 мм, ступінь відкриття засувки Лудло х:d = 0,5, радіуси заокруглень колін R=1,25d. Утратами напору на прямих ділянках зневажити через їхню малість.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Визначити витрату води Q (м³/год) у трубопроводі діаметром d = 150мм і довжиною l =300 м, якщо показання манометра р_м = 4,5ат, висота підйому Н = 30 м, кут відкриття коркового крана б =20°, радіус заокруглення колін R=167 мм. Коефіцієнт л обчислити по формулі Нікурадзе, прийнявши абсолютну шорсткість труб Д=0,2 мм.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на Allbest.ru

...