Классическая механика Ньютона

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Содержание

Введение

Связь закона сохранения импульса с однородностью пространства

Движение тел с переменной массой

Границы применимости классической механики

Заключение

Список литературы

Введение

Классическая механика Ньютона сыграла и играет до сих пор огромную роль в развитии естествознания. Она объясняет множество физических явлений и процессов в земных и внеземных условиях, составляет основу для многих технических достижений в течение длительного времени. На ее фундаменте формировались многие методы научных исследований в различных отраслях естествознания. Во многом она определяла мышление и мировоззрение. Вплоть до начала XX в. в науке господствовало механистическое мировоззрение, физическая сущность которого заключается в том, что все явления природы можно объяснить движениями частиц и тел. Примером большого успеха механистического представления физических процессов можно считать разработку молекулярно-кинетической теории вещества, позволившей понять тепловые процессы.

Закон сохранения импульса (закон сохранения количества движения) -- закон, утверждающий, что сумма импульсов всех тел системы есть величина постоянная, если векторная сумма внешних сил, действующих на систему тел, равна нулю.

В классической механике закон сохранения импульса обычно выводится как следствие законов Ньютона. Из законов Ньютона можно показать, что при движении системы в пустом пространстве импульс сохраняется во времени, а при наличии внешнего воздействия скорость изменения импульса определяется суммой приложенных сил

Как и любой из фундаментальных законов сохранения, закон сохранения импульса связан, согласно теореме Нётер, с одной из фундаментальных симметрий, -- однородностью пространства.

Закон сохранения импульса впервые был сформулирован Р. Декартом.

Уравнение движения материальной точки переменной массы для случая присоединения (или отделения) частиц было получено и основательно исследовано в магистерской диссертации И. В. Мещерского, защищенной в Петербургском Университете 10 декабря 1897 года. Первое сообщение об уравнении движения материальной точки переменной массы в общем случае одновременного присоединения и отделения частиц было сделано И. В. Мещерским 24 августа 1898 года на заседании секции математики и астрономии X съезда русских естествоиспытателей и врачей в Киеве, широкую известность оно получило позднее, после работы «Уравнения движения точки переменной массы в общем случае», напечатанной в «Известиях Петербургского политехнического института» в 1904 году.

Связь закона сохранения импульса с однородностью пространства

В классической механике закон сохранения импульса обычно выводится как следствие законов Ньютона. Из законов Ньютона можно показать, что при движении в пустом пространстве импульс сохраняется во времени, а при наличии взаимодействия скорость его изменения определяется суммой приложенных сил.

Как и любой из фундаментальных законов сохранения, закон сохранения импульса описывает одну из фундаментальных симметрий, -- однородность пространства.

Рассмотрим второй закон Ньютона

Перепишем его для системы из N частиц:

где суммирование идет по всем силам, действующим на n-ю частицу со стороны m-ой. Согласно третьему закону Ньютона, силы вида и будут равны по абсолютному значению и противоположны по направлению, то есть Тогда после подстановки полученного результата в выражение (1) правая часть будет равна нулю, то есть:

Как известно, если производная от некоторого выражения равна нулю, то это выражение есть постоянная величина относительно переменной дифференцирования, а значит:

То есть суммарный импульс системы частиц есть величина постоянная. Нетрудно получить аналогичное выражение для одной частицы.

Следует учесть, что вышеприведенные рассуждения справедливы лишь для замкнутой системы.

Также стоит подчеркнуть, что изменение импульса зависит не только от действующей на тело силы, но и от продолжительности её действия.

Связь с однородностью пространства

Согласно теореме Нётер каждому закону сохранения ставится в соответствие некая симметрия уравнений, описывающих систему. В частности, закон сохранения импульса эквивалентен однородности пространства, то есть независимости всех законов, описывающих систему, от положения системы в пространстве. Простейший вывод этого утверждения основан на применении лагранжева подхода к описанию системы.

Рассмотрим функцию Лагранжа свободного тела зависящую от обобщённых координат обобщённых скоростей и времени t. Здесь точка над q обозначает дифференцирование по времени, Выберем для рассмотрения прямоугольную декартову систему координат, тогда для каждой -той частицы. Используя однородность пространства, мы можем дать всем радиус-векторам частиц одинаковое приращение, которое не будет влиять на уравнения движения: где В случае постоянства скорости функция Лагранжа изменится следующим образом:

где суммирование идет по всем частицам системы. Так как приращение не влияет на уравнения движения, то вариация функции Лагранжа должна быть равной нулю: С учётом того, что вектор -- произвольный, последнее требование выполняется при:

Воспользуемся уравнением Лагранжа

Это означает, что сумма, стоящая под знаком дифференциала, -- постоянная величина для рассматриваемой системы. Сама сумма и есть суммарный импульс системы:Учитывая, что лагранжиан свободной частицы имеет вид: нетрудно видеть, что последнее выражение совпадает с выражением в ньютоновом формализме:

Для релятивистской свободной частицы лагранжиан имеет несколько другую форму: что приводит к релятивистскому определению импульс

В настоящее время не существует каких-либо экспериментальных фактов, свидетельствующих о невыполнении закона сохранения импульса.

Закон сохранения импульса и однородность пространства

Механическая система называется замкнутой (или изолированной), если на неё не действуют внешние силы, т. е. она не взаимодействует с внешними телами.

Строго говоря, каждая реальная система тел всегда незамкнута, т. к. подвержена, как минимум, воздействию гравитационных сил. Однако если внутренние силы гораздо больше внешних, то такую систему можно считать замкнутой (например, Солнечная система).

Для замкнутой системы равнодействующий вектор внешних сил тождественно равен нулю:

Отсюда

Это есть закон сохранения импульса: импульс замкнутой системы не изменяется во времени.

Импульс системы тел может быть представлен в виде произведения суммарной массы тел на скорость центра инерции:

, тогда

При любых процессах, происходящих в замкнутых системах, скорость центра инерции сохраняется неизменной.

Закон сохранения импульса является одним из фундаментальных законов природы. Он был получен как следствие законов Ньютона, но он справедлив и для микрочастиц, и для релятивистских скоростей, когда ц « с

Если система не замкнута, но главный вектор внешних сил F = 0, то = const, как если бы внешних сил не было (например, прыжок из лодки, выстрел из пушки или реактивное движение (рис. 3.3, 3.4))

Рис. 3.3. Выстрел из пушки. Скорость ядра Uя, масса ядра Tя, скорость пушки v„, масса пушки т„.

Рис. 3.4. Реактивное движение. Полет шаттла

Закон сохранения импульса является следствием симметрии пространства - времени, в его основе лежит такое свойство пространства - времени, как однородность пространства.

Движение тел с переменной массой

Переменная масса - это масса тела, которая может меняться при медленных движениях из-за частичных приобретений или потерь составляющего вещества.

Чтобы записать уравнение движения для тела с такой массой, возьмем для примера движение ракеты. В основе ее перемещений лежит очень простой принцип: она движется за счет выброса вещества с большой скоростью, а также сильного воздействия, оказываемого на это вещество. В свою очередь выбрасываемые газы также оказывают воздействие на ракету, придавая ей ускорение в противоположном направлении. Кроме того, ракета находится под действием внешних сил, таких, как гравитация Солнца и других планет, земная тяжесть, сопротивление среды, в которой она совершает движение.

Рисунок 11

Обозначим массу ракеты в какой-либо момент времени ttкак m(t), а ее скорость как v(t)v(t). То количество движения, которая она при этом совершает, будет равно mv. После того, как пройдет время dt, обе эти величины получат приращение (соответственно dm и dv, причем значение dm будет меньше 00). Тогда количество движения, совершаемого ракетой, станет равно:

(m+dm)(v+dv).

Нам необходимо учитывать тот момент, что за время dt также происходит движение газов. Это количество тоже нужно добавить в формулу. Оно будет равно dmгазvгаз. Первый показатель означает массу газов, которые образуются за указанное время, а второй - их скорость.

Теперь нам нужно найти разность между суммарным количеством движения за время t+dtи количеством движения системы во время t. Так мы найдем приращение данной величины за время dt, которое будет равно Fdt (буквой F обозначена геометрическая сумма всех тех внешних сил, которые действуют в это время на ракету).

В итоге мы можем записать следующее:

(m+dm)(v+dv)+dmгаз+vгаз?mv=Fdt.

Поскольку нам важны именно предельные значения dmdt, dvdt и их производные, приравняем эти показатели к нулю. Значит, после раскрытия скобок произведение dm?dv может быть отброшено. С учетом сохранения массы получим:

dm+dmгаз=0.

Теперь исключим массу газов dmгаз и получим скорость, с которой газы будут покидать ракету (скорость струи вещества), выражающаяся разностью vотн=vгаз?v. Учитывая эти преобразования, можно переписать исходное уравнение в следующем виде:

dmv=vотнdm+Fd.

Теперь разделим его на dt и получим:

Mdv/dt=vотн*dm/dt+F.

Уравнение Мещерского

Форма полученного уравнения точно такая же, как у уравнения, выражающего второй закон Ньютона. Но, если там мы имеем дело с постоянной массой тела, то здесь из-за потери вещества она постепенно меняется. К тому же помимо внешней силы нужно учитывать так называемую реактивную силу. В примере с ракетой это будет сила выходящей из нее газовой струи.

Формула Циолковского

Попробуем исключить из уравнения движения ракеты внешние силы, воздействующие на нее. Предположим, что движение ракеты прямолинейно, а направление противоположно скорости газовой струи vотн. Будем считать направление полета положительным, тогда проекция вектора vотн является отрицательной. Она будет равна ?vотн. Переведем предыдущее уравнение в скалярную форму:

mdv=vотн.

Тогда равенство примет вид:

Dv/dm=?vотн/m.

Газовая струя может выходить во время полета с переменной скоростью. Проще всего, разумеется, принять ее в качестве константы. Такой случай наиболее важен для нас, поскольку так уравнение решить намного проще.

Исходя из начальных условий, определим, какое значение приобретет постоянная интегрирования С. Допустим, что в начале пути скорость ракеты будет равна 0, а масса m0. Следовательно, из предыдущего уравнения можем вывести:

C=vотн ln*m0/m.

Тогда мы получим соотношения следующего вида:

Определение 3

v=vотн ln*m0/m или m0/m=evvотн.

Это соотношение и является формулой Циолковского.

Она предназначена для расчета запаса топлива, с помощью которого ракета может набрать необходимую скорость. При этом время сгорания топлива не обусловливает величину максимальной скорости ракеты. Чтобы разогнаться до предела, нужно увеличить скорость истечения газов. Для достижения первой космической скорости следует изменить конструкцию ракеты. Она должна быть многоступенчатой, поскольку необходимо меньшее соотношение между требуемой массой топлива и массой ракеты.

Границы применимости законов классической механики

Ньютоновская механика и, в частности, преобразования Галилея основывались на допущении, что во всех системах отсчета время протекает одинаково. Естественно, возникает вопрос: как могла теория в течении нескольких веков успешно применяться на практике и давать правильные результаты? Более того, и в настоящее время мы с успехом ведем расчеты движения небесных тел, космический кораблей, автомобилей, судов и т.п. на базе законов ньютоновской механики, пользуемся преобразованиями Галилея - и всегда имеем отличные результаты. Здесь нет никакого противоречия. Все дело в том, что перечисленные тела движутся со скоростями значительно меньшими скорости света в вакууме. А в этом случае релятивистские формулы с достаточной для практических целей точностью переходят в ньютоновские.

Действительно, пусть тело движется со скоростью v= 10 км/сек относительно Земли. Это- скорость космической ракеты. Обычно в инженерной практике имеют дело с телами, которые движутся значительно медленнее. Свяжем с этим телом новую систему отсчета. Точные соотношения между координатами и временем в обеих системах отсчета выражаются с помощью преобразований Лоренца. Однако нетрудно убедиться, что, пользуясь преобразованиями Галилея, мы получим практически одинаковые результаты. Действительно, в нашем случае соотношение

Следовательно, для того чтобы величину отличить от единицы, нужен измерительный прибор, позволяющий измерять с точностью до девяти значащих цифр. На практике мы пользуемся значительно менее точными приборами.

Таким образом, при анализе явлений, происходящих со скоростями значительно меньшими, чем скорость света в вакууме, можно с успехом пользоваться преобразованиями Галилея, т.е. формулами ньютоновской механики. Применение в этих случаях преобразований Лоренца даст практически тот же результат, хотя вкладки будут значительно более сложными. Мы получили принципиальной важности результат: теория относительности включает в себя ньютоновскую механику как предельный случай механики явлений, скорость которых значительно меньше скорости света в вакууме. На этом примере виден путь развития науки. Всякая научная теория описывает некоторый круг явлений с определенной степенью точности, зависящей от уровня развития науки, а также измерительной техники. При дальнейшем развитии науки мы охватываем все более обширный круг явлений. Одновременно возрастает и точность наших измерений.

На определенном этапе может оказаться, что старая теория уже не сможет объяснить вновь открытые явления. Выводы старой теории вступят в противоречия с новыми фактами. Тогда создается новая теория, часто на основе совершенно новых принципов. Однако новая теория не отбрасывает старую, как заблуждение. Так было и с теорией относительности. Ее появление вызвало бурную дискуссию. Многие ученые, не сумев отказаться от привычных представлений, не поняли ее сущности. Однако дальнейшее развитие науки полностью подтвердило истинность как ее исходных положений, так и всех ее выводов.

При достаточно медленных движениях вполне допустимо пользоваться формулами ньютоновской механики, при анализе же быстрых движений правильные результаты дает только теория относительности. Попробую более точно ввести критерий того, какие движения следует считать медленными, а какие - быстрыми.

Допустим, что аппаратура позволяет производить измерения величин с точностью до n значащих цифр. Тогда, если относительная ошибка меньше , то мы ее обнаружить не сможем. Подсчитаем, при какой же скорости движения тела не могут быть обнаружены изменения его массы. Относительная ошибка при измерении массы

Эта ошибка должна быть меньше , следовательно или Возведем неравенство в квадрат. Тогда или

Учитывая, что , имеем

Пусть, например, измерения производятся с точностью до шести значащих цифр (n=6). Тогда . Таким образом, при скоростях движения, не превосходящих четыреста километров в секунду, масса покоя отличается от релятивистской массы менее чем на , т.е. менее чем на одну десятую долю процента.

Заключение

курков стилістичний переклад роман

Научное познание движется от незнания к более полному знанию предмета. В данном случае -- к раскрытию всеобщих связей явлений природы, их взаимопереходов, принципов развития и т. п. Этот процесс имеет свое начало, но пока существует человечество, он не будет иметь завершения. В общем процессе познания каждая из наук дает представление о какой-то одной стороне явлений природы, но только на основе достижений всех наук складывается объективный взгляд на окружающую человека действительность.

Так, физика выявляет взаимосвязи между телами во всех трех мирах: микро-, макро- и мегамире. Познание человеком законов взаимодействий микромира дало возможность использовать заключенные в нем огромные силы на благо человека. Однако пренебрежительное отношение к этим законам влечет за собой негативные последствия.

Углубляют и расширяют представления о мироустройстве и современные достижения химической науки. Особенно ценные сведения об организации макромира дает эволюционная химия как высший уровень развития химических знаний. Ее научные результаты позволяют подтвердить мысль о том, что жизнь во всех ее проявлениях и многообразии зародилась и сформировалась в земных условиях благодаря уникальному стечению обстоятельств в эволюции Вселенной.

Современная биология делает вывод о том, что в результате химической эволюции появляются белки и кислоты в виде РНК и ДНК, которые лежат в основе наследственности и предшествуют образованию клетки -- основы всего живого.

Научные открытия эволюционной химии и биологии дают основания утверждать единство живой и неживой природы. Появление живой материи из неживой обусловливает полную зависимость первой от второй.

Появились экологические проблемы. Но самая большая опасность наступит тогда, когда экологические процессы примут необратимый характер.

Благодаря законам движение тела переменной массы Мещерского и Циолковского мы знаем как происходит в природе и современной технике движение тел, масса которых меняется со временем. Масса Земли возрастает вследствие падения на нее метеоритов, масса метеорита при полете в атмосфере уменьшается в результате отрыва или сгорания его частиц, масса дрейфующей льдины возрастает при намерзании и убывает при таянии и т. д. Движение якоря с якорной цепью, когда все большее число звеньев цепи сходит с лебедки,-- пример движения тела переменной массы.

Список литературы

1Закон сохранения импульса https://studopedia.ru/

2Связь с однородностью пространства https://ru.wikipedia.org/

3Веретенников В. Г., Синицын В. А. Теоретическая механика (дополнения к общим разделам) М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006.

4Движение тел с переменно массой https://zaochnik.com/

5Границы применимости классической механики https://www.kazedu.kz/

Размещено на Allbest.ru