Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Министерство образования РФ

МАТИ-РГТУ им. Циолковского

Кафедра высшей математики

Курсовая работа

Часть 1

Решение нелинейных уравнений

Вариант № 17

Москва 2004

Содержание

I. Введение

II.Отделение корней

III. Уточнение корней

1. Метод дихотомии

2. Метод простой итерации

3. Метод Ньютона

4. Метод секущих

IV. Решение уравнения в МathCad

I. Введение

Решить уравнение на интервале [-10;10] с точностью

Постановка задачи:

Множество значений переменной х, при которых уравнение F(x)=0 является тождеством, называется решением уравнения. При этом каждое значение х из этого множества называется корнем этого уравнения. Нахождение точных значений возможно, как правило, только в исключительных случаях. Поэтому большое значение имеют методы приближенного решения уравнения с заданной точностью. Решение задачи можно разбить на два этапа: а) отделение корней, т.е. выделение промежутков, внутри которых содержится только один корень уравнения; б) вычисление корня, принадлежащего выделенному промежутку с заданной точностью.

II. Отделение корней

Решение задачи отделения корней для непрерывной функции основано на том, что, если функция на концах отрезка [а;Ь] имеет значения разных знаков, то внутри этого отрезка функция проходит через нуль, т.е. содержится корень уравнения. Таким образом, чтобы произвести отделение корней, необходимо разбить область предполагаемого нахождения корней на равные отрезки длиной h и вычислить значение функции на концах отрезка. Если будет выполняться условие F(х)*F(х+h) <= 0, то корень внутри отрезка [x;x+h].

Блок-схема алгоритма отделения корней приведена на рис. 1



Рис.1 - Блок-схема алгоритма отделения корней

Текст программы

program otd;

uses crt;

function y (x:real): real;

begin

y:=sqr(x)-20*sin(x)

end;

const a=-10;

b=10;

h=0.7;

var xl,xr,yl,yr:real;

begin

clrscr;

xl:=a;

xr:=a+h;

while xl<b do

begin

yl:=y(xl);

yr:=y(xr);

if yl*yr<0 then writeln(`Корни находятся на отрезках:[' ,xl:4:2, ' , ' , xr:4:2,']');

xl:=xr;

xr:=xl+h;

end;

readln;

end.

Результат:

Решения находятся на отрезках: [-0.20; 0.50],

[2.60 ; 3.30],

II. Уточнение корней

1. Метод дихотомии

Все методы предполагают, что предварительно произведено отделение корней и на отрезке находится только один корень. Метод половинного деления состоит в том, что мы уменьшаем длину отрезка та к, что корень остается внутри отрезка; процесс продолжается до тех пор, пока длина отрезка не станет меньше заданной точности. Уменьшение длины отрезка производится самым естественным образом: делением отрезка пополам и выбором той половины, внутри которой находится корень (т.е. на концах которой функция имеет разный знак). Продолжается до тех пор, пока отрезок не станет меньше заданной точности.

К недостаткам метода можно отнести: малую скорость сходимости и неприменимость к корням чётной кратности;

Скорость сходимости:

Отсюда видно, что итерационный метод сходится со скоростью геометрической прогрессии со знаменателем q=1/2

Блок-схема алгоритма метода дихотомии приведена на рис. 2



Рис.2 - Блок-схема алгоритма метода дихотомии

Текст программы

program search_d;

uses crt;

const a=2.60;

b=2.90;

eps=0.00001;

function f(x:real): real;

begin

f:=sqr(x)-20*sin(x)

end;

var xl,xp,x:real;

yl,yp,y:real;

begin

clrscr;

xl:=a;

xp:=b;

while xp-xl> eps do

begin

x:=xl+(xp-xl)/2;

yl:=f(xl);

yp:=f(xp);

y:=f(x);

if yl*y<0 then xp:=x

else if y=0 then

begin

xl:=x;

xp:=x

end

else xl:=x

end;

x:=xl+(xp-xl)/2;

writeln (`корень уравнения x=', x:2:5);

readln

end.

Результат:

Корни уравнения на отрезках: [-0.20; 0.50], x=0.00000

[2.60 ; 3.30], x=-2,75295

2. Метод простой итерации

Метод простой итерации имеет фундаментальный характер и заключается в замене выберем эквивалентное ему уравнение .

При этом и, следовательно,

,

где - некоторое число, выбираемое из условий сходимости.

Выбрав некоторое нулевое приближение , находим остальные приближения:

Сходимость метода

Сходимость определяется по формуле:

,

Как видно чем меньше q, тем больше скорость сходимости. Метод простой итерации сходиться в малой определённой окрестности корня.

Формально, выполнение условия - гарантирует сходимость метода.

Метод сходиться со скоростью геометрической прогрессии со знаменателем q.

Блок-схема алгоритма метода простой итерации приведена на рис. 3

Рис. 3 - Блок-схема алгоритма метода простой итерации

Текст программы

program iteratio;

uses crt;

function f(x:real): real;

begin

f:=sqr(x)-20*sin(x)

end;

function df(x:real): real;

begin

df:=2*x-20*cos(x)

end;

function d2f(x:real): real;

begin

d2f:=2+20*sin(x)

end;

function p(x:real): real;

begin

p:=x-0.05*f(x)

end;

const a=2.60;

b=3.30;

eps=0.00001;

var x,xp:real;

begin clrscr;

x:=(a+b)/2;

if df(x)*d2f(x)>0 then x:=a;

x:=b;

repeat xp:=x;

x:=p(xp)

until abs(x-xp)<=eps;

writeln(`корень уравнения x=',x:2:5);

readln

end.

Корни уравнения на отрезках: [-0.20;-0.50], x= 0.00004 при = -0.05

[2.60;3.30], x= 2.75295 при = +0.01

3. Метод Ньютона

За начальное приближение X0 выбирается какая-либо точка заданного отрезка, для которой F(a)*F(b)>0.

В точке с абсциссой Х0 строится касательная к графику функции. Ее уравнение имеет вид у=кх+b , где к=f `(X0) , b=f(X0)-f `(X0)*X0 . Там где эта касательная пересекает ось ОХ берется следующее приближение - Х1 , y(X1)=0 , kX1+b=0 , X1=(-b)/k , X1=(f '(X0)*X0-f(X0))/f `(X0) , X1=X0-f(X0)/f `(X0).

Основная формула метода касательных

Xn-1=Xn-F(Xn)/F'(Xn).

Процесс продолжается до тех пор, пока расстояние между двумя последовательными приближениями не станет меньше заданной точности |Х1-Х0|>е , где е - заданная точность.

Условия сходимости метода:

1) в интервале есть корень

2) в интервале существует F'(x) и F”(x)

3) за начальное приближение принимается точка, в которой

F(a)*F”(b)>0 X2=X1-f(X1)/f `(X1).

Метод Ньютона сходится с квадратичной скоростью он является частным случаем метода простой итерации с итерационной функцией

ц(X)=X-F(X)/F'(X) .

Текст программы

program newton;

uses crt;

function f(x:real): real;

begin

f:=sqr(x)-20*sin(x)

end;

function df(x:real): real;

begin

df:=2*x-20*cos(x)

end;

function d2f(x:real): real;

begin

d2f:=2+20*sin(x)

end;

const a=-0.20;

b=0.50;

eps=0.00001;

var x,xp: real;

begin

clrscr;

x:=(a+b)/2;

if df(x)*d2f(x)>0 then x:=b

else x:=a;

repeat xp:=x;

x:=xp-f(xp)/df(xp)

until abs(x-xp)<=eps;

writeln(' корень уравнения x=', x:2:5);

readln

end.

Результат:

Корни уравнения на отрезках: [-0.20; 0.50], x=0.00000

[2.60 ; 3.30], x=-2,75295

4. Метод секущих

Метод секущих представляет из себя двухшаговый итерационный метод, полученный из метода Ньютона:

Заменяем F'(x) на разделённую разность:

Произвольно выбираем первое приближение корня

Получаем второе приближение корня

Получаем алгоритм для нахождения следующего приближения:

сходимость касательный итерация mathcad

Текст программы

Program secushih;

Uses crt;

Const a=-0.20;

b=0.50;

eps=0.00001;

Function F(x:real):real;

Begin

F:=x*x-20*sin(x)

end;

Var x,xp,xn:real;

BEGIN

clrscr;

x:=(a+b)/2;

xp:=x+eps;

repeat

xn:=xp-((xp-x)/(F(xp)-F(x)))*F(xp);

x:=xp;

xp:=xn;

until abs(xn-x)<=eps;

Writeln(`Корень уравнения x=',x:2:6);

Readln;

END.

Результат:

Корни уравнения на отрезках: [-0.20; 0.50], x=0.00000

[2.60 ; 3.30], x=-2,75295

IV. Решение уравнения в Mathcad

Функция:

Общий график:

1ый корень на интервале : [2.60 ; 3.30], x=-2,75295



2ой корень на интервале [-0.20; 0.50], x=0.000000

Размещено на Allbest.ru

...