Системы счисления. Описание понятия. Позиционные и непозиционные системы. Принципы перевода из одной системы счисления в другую

Размещено на http://www.allbest.ru/

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ

РЕСПУБЛИКИ КАЗАХСТАН

Евразийский Национальный Университет им. Л.Н. Гумилева

Реферат

по дисциплине: "Информатика"

Системы счисления. Описание понятия. Позиционные и непозиционные системы. Принципы перевода из одной системы счисления в другую

Выполнила: Сейдвалиева А.К.

Астана - 2013

Содержание

Введение

1. Непозиционные системы счисления

2. Позиционные системы счисления

3. Преобразование чисел

4. Шестидесятеричная система счисления

5. Двоичная система счисления

6. Восьмеричная и шестнадцатеричная системы счислений

7. Перевод из одной системы счисления в другую

Список используемой литературы

Введение

Для начала проведем границу между числом и цифрой. Число это некоторая абстрактная сущность для описания количества. Цифры - это знаки используемые для записи чисел. Цифры бывают разные, самыми распространенными являются арабские цифры, они представляются известными знаками от нуля (0) до девяти (9), еще распространены римские цифры, мы их можем иногда встретить на циферблате часов или в обозначении века (IXX век).

Итак, запомним: число, это абстрактная мера количества, цифра это знак для записи числа.

Существует множество способов записи чисел с помощью цифр. Эти способы грубо можно разделить на две части:

· позиционные системы счислений;

· непозиционные системы счислений.

Позиционные системы счислений мы рассмотрим более подробно ниже. Расскажем вкратце о непозиционных системах счислениях.

1. Непозиционные системы счисления

В непозиционной системе счисления величина числа не зависит от положения цифры в представлении числа. Если бы мы перемешали цифры в числе 603121200000, то мы бы не смогли понять, сколько стоит пылесос, в непозиционной системе такого не случиться. Ярким примером непозиционной системы счисления является римская система.

2. Позиционные системы счисления

Чем хороши позиционные системы счисления? Тем, что они позволяют легко производить арифметические расчеты. Попробуйте считать, используя, например, римские цифры. Сколько будет ? То-то, а вот достаточно представить эти числа арабскими цифрами и мы легко сможем посчитать в столбик .

Представление чисел с помощью арабских цифр самая распространенная позиционная система счисления, она называется "десятичной системой счисления". Десятичной системой она называется потому, что использует десять цифр. Вот эти цифры: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9. Внимательно их пересчитайте - их ровно десять. Замете: максимальная цифра (9) на единичку меньше количества цифр (10).

Компьютер, в отличии от человека, хорошо разбирается в двоичной системе, он использует цифры: 0 и 1. Обратите внимание, что и здесь: система двоичная, а максимальная цифра 1.

Программисты пользуются, для упрощения себе жизни, еще восьмеричной и шестнадцатеричной системами счисления.

Количество цифр используемых в системе счисления называется "основанием". В десятичной системе основание равно десяти, в двоичной системе основание равно двум, ну а в восьмеричной и шестнадцатеричной соответственно восьми и шестнадцати.

В общем случае в позиционной системе счисления числа представляются следующим образом:

(a_na_{n ? 1}...a₀)_f,

где a₀,a₁,...,a_n - цифры, а f - основание системы счисления. Если используется десятичная система, то f - можно опустить.

Примеры чисел:

· 11001₂ - число в двоичной системе счисления, a₀ = 1,a₁ = 0,a₂ = 0,a₃ = 1,a₄ = 1;

· 221₃ - число в троичной системе счисления, a₀ = 1,a₁ = 2,a₂ = 2;

· 31₈ - число в восьмеричной системе счисления, a₀ = 1,a₁ = 3;

· 25₁₀ - число в десятичной системе счисления, a₀ = 5,a₁ = 2;

3. Преобразование чисел

Такое представление чисел обозначает вот такое число:

a_nfⁿ +... + a₁f¹ + a₀f⁰,

где a₀,a₁,...,a_n - цифры, а f - основание системы счисления.

Посмотрим чему равны числа из примеров. Используем только что приведенную формулу:

;

· ;

· ;

· .

Мы знаем, как узнать чему равно число в любой системе счисления. Но как нам получить это число? Представим, что у нас есть некоторое число A, и мы хотим получить его представление в системе по основанию f. Как нам это сделать?

Мы знаем, что число A можно представить в виде (a_na_{n ? 1}...a₀)_f, будем из этого исходить. Что будет, если мы поделим это число на f. Получим:

и остаток от деления a₀. Почему a₀? Все члены суммы делятся на f без остатка, а последний член a₀ в результате деления дает 0 и a₀ в остатке, т.к. максимальное значение цифры всегда на единичку меньше основания системы. Итак, мы получили самую правую цифру a₀ как остаток от деления и число (a_na_{n ? 1}...a₁)_f как результат деления числа A на f. Если мы так будем продолжать делить, то получим все цифры a₁,a₂...a_n.

Возьмем для примера полюбившиеся нам число 25 и получим представление этого числа в двоичной системе счисления:

· 25 / 2 = 12, остаток 1;

· 12 / 2 = 6, остаток 0;

· 6 / 2 = 3, остаток 0;

· 3 / 2 = 1, остаток 1;

· 1 / 2 = 0, остаток 1.

Что и следовало ожидать, получили: 11001₂.

Представим число 25 в троичной системе счисления:

· 25 / 3 = 8, остаток 1;

· 8 / 3 = 2, остаток 2;

· 2 / 3 = 0, остаток 2.

Получили число: 221₃.

Для укрепления наших знаний проделаем вычисления для восьмеричной и десятичной систем счисления.

Восьмеричная система счисления:

· 25 / 8 = 3, остаток 1;

· 3 / 8 = 0, остаток 3.

Результат: 31₈.

Десятичной система счисления:

· 25 / 10 = 2, остаток 5;

· 2 / 10 = 0, остаток 2.

Результат: 25₁₀.

Чтобы еще лучше понять перевод в различные системы счислений посмотрим какие трансформации происходят внутри числа 4567₁₀.

Представим это число в виде:

.

Посмотрим что у нас получиться при последовательном делении на 10:

· делим на 10, получаем и 7 в остатке;

· делим еще раз на 10, получаем и 6 в остатке;

· и еще раз делим на 10, получаем 4 и 5 в остатке;

· делим в последний раз на 10, получаем 0 и 4 в остатке.

4. Шестидесятеричная система счисления

То как мы представляем время на часах это пример шестидесятеричной позиционной системы счисления. В представлении времени используется три позиции для часов, минут и секунд; так как для каждой позиций приходиться использовать 60 цифр, а у нас только десять цифр, то для каждой шестидесятеричной позиции используется две десятичные цифры (00, 01, 02,..., 59), а позиции разделяются двоеточием: h:m:s.

Чтобы получить время в секундах мы должны посчитать вот по такой формуле:

h60² + m60¹ + s60⁰ = h3600 + m60 + s

Рассмотрим действия с шестидесятеричной системой на двух небольших задачках:

1. Пирог нужно печь в духовке 45 минут, сколько это будет в секундах?

2. Нужно испечь десять пирогов, сколько потребуется времени?

Чтобы производить вычисления в шестидесятеричной системе счисления нужно знать таблицу сложений и умножений шестидесятеричных чисел. Каждая таблица очень большая, она размером 60х 60 ячеек, мы то обычную таблицу умножения еле запомнили, а уж выучить шестидесятеричную таблицу умножения нам вряд ли окажется по силам.

Чтобы решить эти задачи можно посчитать все в десятичной системе, а потом результат перевести назад в шестидесятеричную систему.

Приступим. Чтобы перевести 45 минут в количество секунд, нужно просто, подставить числа в верхнюю формулу: h равняется нулю, m равняется 45 и s - нулю, получаем:

.

Ответ на первый вопрос: пирог нужно печь в духовке 2700 секунд.

Чтобы узнать сколько потребуется времени чтобы испечь десять пирогов нужно время готовки умножить на количество пирогов, то есть на десять. , но это время в секундах, а нам бы хотелось получить время в привычных нам часах, минутах и секундах, для этого воспользуемся стандартным способом перевода из одной системы счисления в другую, делением на основание счисления. Приступим:

· 27000 / 60 = 450 и 0 в остатке, записываем остаток в младший разряд хх:хх:00;

· 450 / 60 = 7 и 30 в остатке, записываем остаток в следующий разряд хх:30:00;

· 7 / 60 = 0 и 7 в остатке, записываем остаток в старший разряд 07:30:00.

Ответ на второй вопрос: чтобы испечь десять пирогов потребуется 7 часов 30 минут и 0 секунд. система счисление позиционная преобразование

5. Двоичная система счисления

В компьютерной технике очень часто используется двоичная система счисления. Такую систему очень легко реализовать в железе (кремнии, транзисторах, микросхемах).

Двоичная система счисления является позиционной системой. В ней используется две цифры: 0 и 1. В железе это может быть реализовано присутствием какого-либо физического явления или его отсутствием. Например: есть электрический заряд или его нет, есть напряжение или нет, есть ток или нет, есть сопротивление или нет, отражает свет или нет, намагничено или ненамагничено, есть дырка или нет и т.п.

Мы уже знаем, как переводить числа в различные системы счисления. Посмотрим, как это происходит с двоичной системой счисления. Переведем число в двоичной системе счисления в десятичную:

.

Вы это можете проверить на калькуляторе в Windows. Он умеет производить расчеты в двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной системах счисления. Теперь вы знаете, как он это проделывает. Если вы заходите посвятить свою жизнь программированию, то вам часто придется работать со степенями двойки. Хорошо бы было их вам поскорее выучить. Вот таблица.

Степень	Значение
0	1
1	2
2	4
3	8
4	16
5	32
6	64
7	128
8	256
9	512
10	1024
11	2048
12	4096
13	8192
14	16384
15	32768
16	65536

Произведем обратное преобразование. Чтобы преобразовать число в десятичном виде к двоичному, нам нужно будет делить все время на два и смотреть на остаток от деления. Возьмем число 33.

· 33 : 2 = 16 остаток 1;

· 16 : 2 = 8 остаток 0;

· 8 : 2 = 4 остаток 0;

· 4 : 2 = 2 остаток 0;

· 2 : 2 = 1 остаток 0;

· 1 : 2 = 0 остаток 1.

Получили 100001₂.

Возьмем число 55. Посмотрим что получиться.

· 55 : 2 = 27 остаток 1;

· 27 : 2 = 13 остаток 1;

· 13 : 2 = 6 остаток 1;

· 6 : 2 = 3 остаток 0;

· 3 : 2 = 1 остаток 1;

· 1 : 2 = 0 остаток 1.

Получили 110111₂.

Приведу еще примеры со сложением, вычитанием, умножением и делением.

Сложение:

1001

1010

----

10011.

Вычитание:

1110

0101

----

1001.

Умножение:

1110

0101

----

1110

0000

1110

0000

-------

1000110.

Деление:

1000110|101

101 -----

---- 0001110

111

101

---

101

101

---

00.

6. Восьмеричная и шестнадцатеричная системы счислений

Компьютерам очень удобно оперировать двоичными числами, но люди не привыкли работать с большим количеством цифр. Например, чтобы представить в двоичном виде число 1234 потребуется больше 10 двоичных цифр (10011010010). Поэтому были придуманы восьмеричная и шестнадцатеричная системы счислений. Они удобны как и десятичные числа тем, что для представления числа требуется меньшее количество разрядов. А по сравнению с десятичными числами, перевод в двоичное представление очень простой. Это как будто мы двоичное число разбили на группы по три или четыре разряда и каждой двоичной комбинации придумали значок. Вот таблица для восьмеричных цифр.

Двоичная комбинация	Значок
000	0
001	1
010	2
011	3
100	4
101	5
110	6
111	7

А вот таблица для шестнадцатеричных цифр.

Двоичная комбинация	Значок
0000	0
0001	1
0010	2
0011	3
0100	4
0101	5
0110	6
0111	7
1000	8
1001	9
1010	A
1011	B
1100	C
1101	D
1110	E
1111	F

Перевод произвести очень просто, посмотрим на примере числа 10011010010.

Разбиваем его на группы по три цифры: 010 011 010 010. И по таблице переводим: 2322₈.

Чтобы перевести число в шестнадцатеричное представление разбиваем двоичное число на группы по четыре цифры: 0100 1101 0010. И по таблице переводим: 4D2₁₆. С помощью калькулятора Windows мы можем убедиться, что все проделанное верно.

В программистских кругах шестнадцатеричные числа принято предварять значком 0x (например, 0x4D2), такое написание пошло от языка программирования C, либо значком $ (например, $4D2), такая нотация произошла от языка программирования Pascal. Иногда в литературе используют буквы "h" и "b" для обозначения соответственно шестнадцатеричных и двоичных чисел (например, FFh или 1011b).

7. Перевод из одной системы счисления в другую

Общий принцип 1: чтобы перевести число в некоторую систему счисления с основанием M (цифрами 0,..., M-1), иначе говоря, в M-ичную СС, нужно представить его в виде:

C = a_n * Mⁿ + a_n-1 * M^n-1 +... + a₁ * M + a₀.

a_1..n - цифры числа, из соответствующего диапазона. a_n - первая цифра, a₀ - последняя.

Сравните эту запись с представлением числа, например, в десятичной системе.

Из системы с большим основанием - в систему с меньшим.

Очевидно, чтобы найти такое представление, можно:

1. Разделить число нацело на M, остаток - a₀.

2. Взять частное и проделать с ним шаг 1, остаток будет a₁...

И так, пока частное не равно 0.

Искомое число будет записано в новой системе счисления полученными цифрами.

Общий принцип 2: Если основание одной системы - степень другого, например, 2 и 16, то перевод можно делать на основании таблицы:

2 -> 16: собираем с конца числа четверки (16 = 2⁴) чисел, каждая четверка - одна из цифр в 16-ричной с-ме. Пример ниже.

16 -> 2 - наоборот. Создаем четверки по таблице.

Из меньшего основания - к большему.

Просто вычисляем:

C = a_n * Mⁿ + a_n-1 * M^n-1 +... + a₁ * M + a₀,

где М - старое основание. Вычисления, естественно, идут по новой системе счисления.

Например: из 2 - в 10: 100101 = 1*2⁵ + 0*2⁴ + 0*2³ + 1*2² + 0*2¹+1=32+4+1=37.

Вообще говоря, можно сделать много хитрых трюков. В примерах реализаций они есть.

Много вопросов задается относительно дробей и отрицательных чисел.

Отрицательные - модуль числа не меняется при переходе к другой СС. Посему, запомнить знак, применить стандартный метод - поставить знак. Дальше буду говорить уже о положительных числах:

· Десятичные дроби - переношу запятую, запоминая, на какую степень основания умножил.

Например, перенос в троичном числе запятой с 4-го места от конца - то же, что и умножить его на 3⁴:

121201,2112 * 3⁴ = 1212012112.

После стандартной процедуры с положительными числами поделить на этот множитель получившуюся дробь. Получится периодическая дробь - значит судьба Ваша такая. Помните: в 3-чной системе 1/3 = 0.1, а в десятичной - 0,(3). Неблагодарное это дело - с десятичными дробями оперировать.

· Обыкновенные - правильность дроби сохраняется относительно преобразований, значит то же - стандарт по числителю и знаменателю.

Список используемой литературы

1. Каган Б.М. Электронные вычислительные машины и системы. - М.: Энергоатомиздат, 1985.

2. Майоров С. А., Кириллов В.В., Приблуда А.А., Введение в микроЭВМ. - Л.: Машиностроение, 1988.

3. Фомин С. В., Системы счисления. - М.: Наука, 1987.

4. Калабеков Б.А., Цифровые устройства и микропроцессорные системы. - М: Горячая линия - Телеком, 2000.

5. Ворощук А.Н., Основы ЦВМ и программирования. - М.: Наука, 1978.

6. Шауман А.М., Основы машинной арифметики. - Л.: Издательство Ленинградского университета, 1979.

7. Шафрин Ю., Основы компьютерной технологии. - М.: АБФ, 1997.

Размещено на Allbest.ru

...