УДК 519.21

У вступі обґрунтовано актуальність теми та доцільність роботи, наведено огляд досліджень з теорії масового обслуговування, пов'язаних з вивченням систем та мереж з керованими параметрами. Вказано мету роботи, наукову новизну та практичне значення одержаних результатів, стисло викладено зміст роботи за розділами.

У розділі 1 "Керовані мережі обслуговування марківського типу" основною моделлю, що вивчається - є - мережа. Процес надходження і обслуговування вимог у такій мережі відбувається наступним чином.

На кожний з "" обслуговуючих вузлів і ззовні надходить потік вимог, який керується однорідним ланцюгом Маркова. Це означає, що моменти надходження вимог на -ий вузол співпадають з моментами змін станів ланцюга . У -ому вузлі для обслуговування вимог ми маємо необмежене число однотипних приладів. Вимога, яка надійшла для обслуговування в -ий вузол, займає будь-який прилад на час, розподілений за показниковим законом з параметром . Після обслуговування в - ому вузлі вимога з імовірністю надходить у вузол "" і з імовірністю:

залишає мережу,

- матриця маршрутизації мережі.

Об'єктом дослідження є процес обслуговування вимог:

,

де , - число зайнятих приладів в -ому вузлі в момент часу .

У підрозділі 1.1 дано огляд результатів для багатоканальних систем і мереж, які в наступних розділах дисертації будуть розвинуті для класу багатоканальних мереж з керованим джерелом вимог.

У підрозділі 1.2 вивчено перехідний режим процесу обслуговування вимог в - мережі.

Інформацію про перехідний режим містять генератриси вектору:

,

де - число приладів, зайнятих в -ому вузлі вимогами, які надійшли в мережу через -ий вузол при умові, що в початковий момент керуючий процес знаходиться в стані "". Основним результатом цього підрозділу є

Теорема 1.7 Генератриси , , , які визначають перехідний режим обслуговування вимог в мережі типу , є єдиним розв'язком системи інтегральних рівнянь:

, (1)

де , - інфінітезимальні характеристики керуючого процесу ,

,

, .

Доведення теореми 1.7 базується на лемах 1.1, 1.2.

Далі як наслідок (1) отримані інтегральні рівняння для першого і другого моменту процесу обслуговування в перехідному режимі (лема 1.3), а теорема 1.8 встановлює єдиність розв'язку цих рівнянь. У результаті перший і другий момент як функції часу знайдені в термінах перетворень Лапласа (лема 1.5).

Підрозділ 1.3 присвячений вивченню стаціонарного режиму функціонування - мереж.

Спочатку розглядається керована система обслуговування типу і для неї отримано наступний результат.

Теорема 1.9. Якщо для системи обслуговування типу керуючий ланцюг Маркова ергодичний і , то для будь-яких і

(2)

де - інфінітезимальна матриця, а - ергодичний розподіл - - вимірний вектор, складений з .

Співвідношення (2) являє собою матричний варіант формули Такача, яка отримана для системи типу без керування.

У наслідку 1.2 для першого і другого моменту стаціонарного розподілу отримано замкнені формули через параметри системи.

Далі вивчається стаціонарний режим для процесу обслуговування в мережі типу .

Нехай - число приладів, зайнятих в -ому вузлі у стаціонарному режимі, а - число приладів, зайнятих в -ому вузлі у стаціонарному режимі вимогами, які надійшли в мережу через -ий вузол, - вектор-функція, яка визначається перетворенням Лапласа:

,

, ,

, , .

Основним результатом підрозділу 1.3 є

Теорема 1.11. Якщо для кожного ланцюг Маркова ергодичний, і спектральний радіус матриці маршрутизації менший , то для процесу обслуговування існує стаціонарний режим і:

, , (3)

де - розв'язок рівняння балансу

, (4)

коли .

,

,

де - розв'язок рівняння балансу (4), коли:

,

- -вимірний вектор, у якого - а компонента дорівнює 1, а інші 0.

У наслідку 1.3 отримано подання генератриси стаціонарного розподілу через генератриси перехідного режиму.

Підрозділ 1.4 присвячено узагальненню закону Джексона на випадок керованих мереж. Під законом Джексона будемо розуміти властивість незалежності компонент стаціонарного розподілу. Якщо для мережі справедливий цей закон, то структура зв'язків між вузлами мережі впливає на стаціонарний розподіл тільки через рівняння балансу. Оскільки для керованих мереж мультиплікативної форми стаціонарного розподілу немає, то закон Джексона в класичному розумінні для них не виконується. Тому було введено поняття узагальненого закону Джексона, коли незалежність компонент замінюється на некоррельованість.

Умови застосовності узагальненого закону Джексона містить

Теорема 1.14. Нехай умови теореми 1.11 виконуються і матрицю можна подати у вигляді:

, , , (5)

де , , , власні числа матриці . Тоді якщо для кожного функції:

,

,

перетворюються в на спектрі , матриці , то:

, . (6)

У розділі 2 "Мережі з керованим джерелом вимог напівмарківського типу" вивчається більш загальна модель мереж з керованим джерелом вимог. Узагальнення має відношення до двох елементів попередньої моделі. По-перше, ускладнюється алгоритм керування вхідним потоком, по-друге, знімається припущення про показниковість часу обслуговування вимог.

Зупинимося на опису моделі. На "" обслуговуючих вузлів іззовні надходить один загальний вхідний потік вимог, який керується ланцюгом Маркова згідно наступного алгоритму. Моменти надходженння вимог співпадають з моментами , змін станів ланцюга . Якщо в момент ланцюг переходить в стан "", то вимога з номером з імовірністю надходить для обслуговування у вузол:

, ,

- прямокутна матриця розміром .

У кожному вузлі ми маємо необмежене число однотипних обслуговуючих приладів, , - функція розподілу часу обслуговування в -ому вузлі. Після обслуговування в -ому вузлі вимога з імовірністю надходить в вузол "" і з імовірністю:

залишає мережу.

Для зручності посилань мережі такого типу будемо позначати через .

У підрозділі 2.1 для - мереж вивчається перехідний режим процесу обслуговування:

, ,

де , - число зайнятих приладів в - ому вузлі в момент часу , якщо в початковий момент мережа порожня та .

Показано (лема 2.1), що генератриси , векторів є єдиним розв'язком інтегральних рівнянь:

(7)

, ,

де - перехідні ймовірності напівмарківського процесу , який визначається напівмарківською матрицею:

,

.

.

Далі (лема 2.2, наслідок 2.1) використовуючи співвідношення (7) в термінах перетворень Лапласа знайдені перший і другий моменти процесу обслуговування як функції часу.

У підрозділі 2.2 вивчено стаціонарний режим процесу обслуговування вимог в - мережі.

Основним результатом цього підрозділу є теорема 2.1. Нехай ланцюг ергодичний, спектральний радіус матриці маршрутизації менший , та:

для . Тоді для процесу обслуговування , існує стаціонарний режим і:

, (8)

де - генератриса стаціонарного розподілу.

Доведення цього результату базується на лемах 2.3-2.6 і результатах теорії багатовимірного марківського відновлення. Основною складністю є перевірка умови безпосередньої інтегровності за Ріманом.

Характеристики процесу обслуговування в стаціонарному режимі вивчено в

Теорема 2.2. Якщо виконуються умови теореми 2.1, то:

, ,

де розв'язок рівняння балансу (4), коли:

;

,

де функції , - перший і другий моменти процесу обслуговування і перетворення Лапласа , , функцій мають вигляд:

,

,

, - перетворення Лапласа функцій розподілу .

Порівняння теореми 2.2 з аналогічними результатами для мереж інших типів показує, що формула розрахунку математичних сподівань у стаціонарному режимі для , і - мереж інваріантна відносно типу моделі. При цьому самі стаціонарні розподіли суттєво відрізняються.

У підрозділі 2.3 вивчено властивості біномних моментів , , процесів обслуговування і .

Нехай:

,

де функції , визначаються системою інтегральних рівнянь:

,

, .

Обмеженість доведена в лемі 2.8.

Позначимо через:

,

.

Асимптотичні властивості біномних моментів вивчено в наступних двох теоремах.

Теорема 2.3. Нехай ланцюг Маркова ергодичний, спектральний радіус матриці менший , і

для .

Тоді , ,

для довільних , функції безпосередньо інтегровні за Ріманом на і

. (9)

Теорема 2.4. Якщо виконуються умови теореми 2.3, то в області:

існують генератриси , , біномних моментів , і

.

Оскільки генератриса стаціонарного розподілу:

,

то рекурентне співвідношення (9) являє собою ефективний засіб обчислення характеристик стаціонарного розподілу. У випадку - мереж ця можливість реалізована в теоремі 2.5 і наслідку 2.2.

У підрозділі 2.4 розглянуто мережі з декількома джерелами вимог і для них доведено теореми 2.6-2.8. Ці результати є аналогом відповідних тверджень підрозділів 2.2-2.3. Введення мереж з декількома джерелами вимог дозволило систематизувати клас моделей, які вивчаються в дисертації.

У підрозділі 2.5 вивчаються потоки вимог, що завершили обслуговування в мережах напівмарківського типу. У теоремах 2.9, 2.10 знайдено інтенсивності вихідних потоків для кожного вузла - мережі. Ці результати важливі для оцінки ефективності роботи мережі обслуговування.

У розділі 3 "Дифузійна апроксимація мереж при критичному навантаженні" метод дифузійної апроксимації застосовується до багатоканальних мереж обслуговування типу і як наслідок отримано результати для мереж з керованим джерелом вимог.

У 3.1 дано огляд результатів з дифузійної апроксимації і сформульовано дві основні теореми розділу 3.

Нехай параметри вхідних потоків і інтенсивності обслуговування , мережі типу залежать від "" (номера серії) наступним чином

1) існують константи такі, що:

, ,

де - стандартний броунівський рух, - означає збіжність в рівномірній топології;

2) , .

Умови 1), 2) вказують на критичне навантаження в мережі.

Вивчається послідовність випадкових процесів:

, ,

,

,

,

,

- розв'язок рівняння балансу (4) при .

Для нормованого процесу обслуговування , в перехідному режимі справедлива.

Теорема 3.3. Нехай мережа типу задовольняє умовам 1), 2) і спектральний радіус матриці маршрутизації менший . Тоді послідовність випадкових процесів , на будь-якому скінченному проміжку збігається в - топології до дифузійного процесу з вектором переносу:

і матрицею дифузії:

(10)

Крім для процесу обслуговування , вивчається послідовність:

, ,

, ,

.

Процес описує стаціонарний режим функціонування мережі. Для нього справедлива.

Теорема 3.4. Нехай мережа типу задовольняє умовам 1), 2) і спектральний радіус матриці маршрутизації менший . Тоді послідовність випадкових процесів , на будь-якому скінченному проміжку збігається в -топології до дифузійного процесу Орнштейна-Уленбека () з вектором переносу:

і матрицею дифузії:

, .

У підрозділі 3.2 доведено слабку (у розумінні скінченновимірних розподілів) збіжність до . У зв'язку з цим розглянемо два незалежних - вимірних гауссівських процеси і . Процес визначається середніми значеннями , і коваріаційними функціями:

,

, .

Для процесу , , ,

, ,

, ,

, .

Для , доведено наступний результат.

Теорема 3.5. Нехай мережа типу задовольняє умовам 1), 2) і спектральний радіус матриці маршрутизації менший . Тоді скінченновимірні розподіли процесу збігаються до скінченновимірних розподілів .

Доведення цієї теореми базується на лемах 3.1, 3.2 і використовує подання процесу обслуговування в - мережі у вигляді суми процесів індикаторного типу.

Сумарний процес: обслуговування багатоканальна джексон алгоритм

є дифузійним процесом з вектором переносу:

і матрицею дифузії виду (10). Однак теорема 3.5 у порівнянні з теоремою 3.3 містить більше інформації про структуру граничного процесу. Доданок відповідає за флуктуації вхідного потоку, а - за флуктуації часу обслуговування. Далі в підрозділі 3.3 твердження теореми 3.5 посилено до збіжності в рівномірній топології (теорема 3.6).

Підрозділ 3.4 містить результати про дифузійну апроксимацію , , які аналогічні тим, що були отримані в 3.2, 3.3 для послідовності , . У підрозділі 3.5 наведено застосування загальних граничних теорем 3.3, 3.4 до мереж з керованим джерелом вимог.

У висновках сформульовано основні результати й вказані шляхи їх можливого застосування.

ВИСНОВКИ

У дисертації отримано нові науково обґрунтовані результати для класу стохастичних багатоканальних мереж Джексона з керованим джерелом вимог, які суттєво розвивають теорію мереж і в сукупності розв'язують важливе наукове завдання аналізу і розрахунку характеристик ефективності функціонування керованих моделей мережевої структури.